多项式带余除法
多项式的带余除法
多项式的带余除法高阶多项式的带余除法1. 概述高阶多项式的带余除法是一种数学运算，它是一种多项式除法，用于将多项式除以多项式，即使在余数存在时也能给出有效结果。
例如，如果\(f(x)\)和\(g(x)\)都是多项式，则带余多项式除法可以给出\(\frac{f(x)}{g(x)}=q(x)+r(x)\)的形式，其中\(q(x)\)是商多项式，\(r(x)\)是余数多项式。
2. 原理带余多项式除法的主要原理是将多项式\(f(x)\)按照给定的多项式\(g(x)\)的指数拆分，并根据所得的系数确定整个多项式的值，记录商多项式\(q(x)\)和余数多项式\(r(x)\)。
3. 步骤（1）将除数多项式\(g(x)\)写在除号右边，被除数多项式\(f(x)\)写在除号左边；（2）确定除数多项式和被除数多项式的最高项；（3）乘以商多项式\(q(x)\)与除数多项式\(g(x)\)的最高项，然后减去被除数\(f(x)\)的最高项，形成一个次最高项多项式；（4）重复以上步骤，直到除数多项式被减完，此时的余数多项式\(r(x)\)就是最终的结果。
4.优点（1）它可以快速准确地给出多项式除法的有效结果，也可以在余数存在时获得有效结果；（2）带余多项式除法算法在编码实现方面更高效，容易记忆，也更快，能够大大提高编程效率；（3）它可以把复杂的多项式除法变成简单的步骤，只要记住四个步骤就可以完成整个过程。
5. 缺点（1）带余多项式除法有可能出现溢出的情况；（2）带余多项式除法容易出错，如果余数多项式的项数与除数多项式的项数相同，则该余数多项式不能用带余多项式除法给出有效的结果；（3）一些复杂的多项式计算难以通过带余多项式除法来实现。
6. 应用（1）带余多项式除法在数学研究中有着广泛的应用，可以帮助我们求解多项式除法，可以用于方程求解，特征根分解，几何画图等；（2）带余多项式除法也为机器学习和操作系统等数字计算中给出了深刻的启发，这些研究利用带余多项式除法来实现数据处理的性能优化；（3）带余多项式除法的运算亦可以拓展出以矩阵为基础的算法，这些算法可以为大规模机器学习和深度学习领域提供有效的帮助。
第二次课 整除的概念
第二次课 整除的概念教学目标要求：理解多项式整除概念和性质,熟练掌握带余除法及整除的性质。
教学内容：１．带余除法定理和综合除法 ２．整除的概念 ３．整除的性质。
教学重点与难点：多项式整除的概念和性质,带余除法定理；带余除法定理的理论证明.．一、 带余除法与综合除法１．带余除法定理1 设f (x ), g (x )都是F [x ]中的多项式,且g (x )≠0,那么总可以在F [x ]中找到q (x )和r (x ),使得f (x )=g (x )q (x )+r (x )这里r (x )=0或者r (x )的次数小于g (x )的次数,满足以上条件的q (x )和r (x )只有一对. 证明 : 可行性若是f (x )=0或者f (x )的次数小于g (x )的次数,取q (x )=0,r (x )=f (x ),可使（2）式成立.若 0∂(f (x ))≥0∂(g (x )),令f (x )=a 0x n +a 1x n -1+…+a n -1x +a ng (x )=b 0x m +b 1x m -1+…+b m -1x +b m这里 a 0≠0,b 0≠0,且n ≥mg (x )=b 0x m +b 1x m -1+…+b m -1x +b m mn m n n n n n x a b x a b x f a x a n a x a ------+=++++110100101110)(1111111010)(n n n n a x a x a x f x a +++=+-2221,21220210)(n n n n a x a x a x f x a ++++-由此得： )()()(0101x g x a b x f x f m n ---=,)()()(01012x g x a b x f x f m n ---=,………………)()()(10,1101x g x a b x f x f m n k K k k ------=而 f k (x )=0或f k (x )=0的次数小于m ,把这些等式加起来得)())(()(110,1101010010x f x a b x a b x a b x g x f k m n k m n m n k ++++=-------- 取 )()(,)(110,1101010010x f x r x a b x a b x a b x q k m n k m n m n k =+++=-------- ,命题得证.唯一性：若还有q ’(x ),r ’(x ),使f (x )=g (x )q ’(x )+r ’(x ),则由f (x )=g (x )q (x )+r (x ),得g (x )(q (x )-q ’(x ))=r ’(x )-r (x ).。
数域上的一元多项式的带余除法及其应用
莆田学院数学与应用数学系《高等代数选讲》课程论文题目数域上一元多项式环中的带余除法及其应用学生姓名黄秋秋学号010401018专业数学与应用数学（师范）班级数学1012013年 6 月 6 日数域上的一元多项式环中的带余除法及其应用摘要：本文通过介绍了数域上的一元多项式在环数域上的带余除法的定理，证明以及它的两种计算格式和两种求带余除法的算法—辗转相除法和其在数域上的应用并举例子来说明带余除法的广泛用法。
关键词：一元多项式 带余除法 算法一、数域上的一元多项式环中的带余除法的定义与性质[1]带余除法的定义：对于[]p x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠。
一定有[]p x 中多项式()q x ，()r x 存在，使()()()()f x q x g x r x =+成立。
其中()()()()r x g x ∂<∂或()0r x =。
并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。
证明：存在性()1()0f x =，取()()0q x r x ==。
()2设()0f x ≠，令()(),f x g x 的次数分别为,n m 对()f x 的次数n 作数学归纳当n m <时，显然()0q x =，()()r x f x =成立。
当n m ≥时，令,n m ax bx 分别为()(),f x g x 的首项。
显然()1n m b ax g x --与()f x 有相同的首项，因而多项式()()()11n m f x f x b ax g x --=-的次数小于n 或0。
对于次数为0，取()1n m q x b ax --=，()0;r x =对于次数小于n ，由归纳法假设，对()()1,f x g x 有()()11,q x r x 存在。
使 ()()()()111f x q x g x r x =+，其中()()()()1r x g x ∂<∂或者()10r x =。
高等代数多项式 一元多项式 整除的概念
又 f ( x), g( x) 均为实系数多项式 ， 从而必有 g( x) h( x) 0. f ( x) g( x) h( x) 0. (2) 在 C上不成立．如取 f ( x) 0, g( x) ix, h( x) x
二、多项式环
定义 所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域
使得 f1 x q1 x g x r1 x
其中 r1 x < g( x) 或者 r1( x) 0. 于是
f x b1axnm q1 x g x r1 x.
即有 q( x) b1axnm q1 x , r x r1 x 使
f ( x) q( x)g( x) r( x),
成立． 由归纳法原理，对 f ( x), g( x) 0, q( x),r( x)
的存在性得证．
再证唯一性．
若同时有 f x q x g x r x,
其中 r x g x或r x＝0.
③ 若 a0 a1 an 0 ，即 f ( x) 0，则称之 为零多项式．零多项式不定义次数．
区别：
零多项式 f ( x) 0 零次多项式 f ( x) a, a 0 , ( f ( x))=0.
2．多项式的相等
若多项式 f ( x) 与 g( x) 的同次项系数全相等，则 称 f ( x)与 g( x)相等，记作 f ( x) g( x).
n
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 ai x i ,
i0 m
g( x) bm xm bm1 xm1 b1x b0 bj x j ,
多项式整除
例3．求实数 m , p, q 满足什么条件时多项式
x mx 1 整除多项式 x 3 px q.
2
附：整数上的带余除法
对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r， 使 a＝qb＋r，
其中 0 r b .
q x g x r x q x g x r x
即
q x －q x g x ＝r x －r x .
若q x q x ，由g x 0, 有r x －r x 0
4 2i 5 2i
9 8i 9 8i
１ 有
f ( x ) g( x ) x 2 2ix 5 2i 9 8i .
例２.
把 f ( x ) x 表成 x 1的方幂和．
5
０ ０ ０ ０ ０ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １= c0 2 3 4 １ 2 3 4 5= c1 １ １ 1 3 6 3 6 10= c2 １ １ 1 4 4 10= c3 １ １ 1 1 5= c4 x 5 ( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2 5( x 1) 1
g( x ) | f ( x ) h2 x 使得 f ( x ) g ( x )h2 x .
f ( x ) h1 x h2 x f ( x ).
若 f ( x ) 0,
则 g ( x )＝0,
f ( x )＝cg( x )，c P ,c 0
② g ( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g ( x ) | f ( x ).
带余除法定理的内容及证明
带余除法定理的内容及证明带余除法定理（也称为欧几里得除法）是指对于任意整数a和正整数b，存在唯一的整数q和r，使得a = bq + r，并且满足0 ≤r < b。
下面是带余除法的证明：证明步骤：假设a和b为任意的整数，其中b为正整数。
定义集合S = {a - nb | n为整数}，即S为所有a - nb的整数倍所构成的集合。
由于S包含整数，根据整数的性质，S中必然存在最小的非负整数r，即r = min{a -nb | n为整数}。
考虑r的取值范围，由于r属于集合S，可知存在某个整数n_0，使得a - n_0b = r。
可以将等式a = n_0b + r表示为a = qb + r，其中q = n_0。
接下来需要证明r的取值满足0 ≤r < b。
假设r ≥b，则可以将r表示为r = b + m，其中m ≥0。
将等式a = qb + r代入得到a = qb + b + m，整理得到a = (q + 1)b + m。
根据等式a = qb + r，我们可以得到另一个表示a的等式：a = qb' + r'，其中q' = q + 1，r' = m。
由于m = r - b，可知r - b属于集合S，这与r是集合S中最小的非负整数矛盾。
因此，假设r ≥b是错误的，即可以得出结论0 ≤r < b。
综上所述，对于任意整数a和正整数b，存在唯一的整数q和r，使得a = qb + r，并且满足0 ≤r < b。
证毕。
带余除法定理的证明基于整数的性质以及集合的最小元素的定义。
它说明了在整数除法中，商和余数总是存在且唯一的。
这个定理在数论和代数中具有重要的应用，例如在多项式除法、模运算等领域中被广泛使用。
1。
多项式带余除法定理证明
多项式带余除法定理证明一、多项式带余除法定理设f(x)，g(x)是数域P上的两个多项式，g(x)≠0，则在数域P上存在唯一的一对多项式q(x)，r(x)，使得f(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)=0或者∂(r(x))<∂(g(x))。
这里∂(p(x))表示多项式p(x)的次数。
二、证明存在性1. 当f(x) = 0或者∂(f(x))<∂(g(x))时- 取q(x)=0，r(x)=f(x)，显然f(x)=0× g(x)+f(x)满足f(x)=q(x)g(x)+r(x)且r(x) = f(x)满足r(x)=0或者∂(r(x))<∂(g(x))。
2. 当∂(f(x))≥slant∂(g(x))时- 设f(x)=a_nx^n + a_{n - 1}x^n-1+·s+a_1x + a_0，g(x)=b_mx^m + b_{m - 1}x^m-1+·s+b_1x + b_0，其中n≥slant m。
- 令f_1(x)=f(x)-(a_n)/(b_m)x^n - mg(x)。
- 那么∂(f_1(x))<∂(f(x))。
- 如果f_1(x)=0或者∂(f_1(x))<∂(g(x))，则取q(x)=(a_n)/(b_m)x^n - m，r(x)=f_1(x)，有f(x)=q(x)g(x)+r(x)。
- 如果∂(f_1(x))≥slant∂(g(x))，对f_1(x)重复上述过程。
- 由于f(x),f_1(x),·s的次数不断降低，经过有限次这样的步骤后，必然得到f_k(x)=0或者∂(f_k(x))<∂(g(x))。
- 假设经过k次得到，此时q(x)=(a_n)/(b_m)x^n - m+·s（由每次构造q(x)的部分相加得到），r(x)=f_k(x)，满足f(x)=q(x)g(x)+r(x)。
三、证明唯一性1. 假设存在两组不同的q_1(x),r_1(x)和q_2(x),r_2(x)满足条件- 即f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)，其中r_1(x)=0或者∂(r_1(x))<∂(g(x))；f(x)=q_2(x)g(x)+r_2(x)，其中r_2(x)=0或者∂(r_2(x))<∂(g(x))。
多项式的带余除法及同余问题
多项式的带余除法及同余问题一、多项式的带余除法带余除法是一种基础的多项式运算，它可以用来确定两个多项式之间的整除关系。
带余除法的核心思想是，用一个已知的多项式去除另一个多项式，然后求出余数和商。
下面我们就来介绍一下多项式的带余除法及其应用。
1.多项式的定义在代数中，多项式是由常数、变量和运算符号构成的表达式。
多项式的一般形式如下：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anxn其中，a0,a1,a2 … an是常数项，n是该多项式的最高次数。
2.多项式的带余除法设P(x)和Q(x)是两个多项式，其中Q(x)≠0，且Q(x)的最高次数不小于P(x)的最高次数。
那么，多项式P(x)除以Q(x)所得的商多项式为R(x)，余数多项式为S(x)。
带余除法的表示如下：P(x）= Q(x)× R(x) + S(x)其中，余数多项式S(x)的次数小于除式Q(x)的次数。
带余除法的流程如下：（1）将被除式P(x)和除式Q(x)按照它们的次数从高到低排列；（2）将P(x)中的最高次数项除以Q(x)中的最高次数项，得到商式的首项；（3）用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从P(x)中减去这个积，得到一个新的多项式；（4）重复以上操作，直到得到的新多项式的次数小于除式Q(x)的次数为止，最后所得的新多项式就是余数多项式S(x)。
3.例子说明我们以P(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x + 1和Q(x) = x^2 -x - 2为例，来说明多项式的带余除法的具体操作。
首先，将P(x)和Q(x)按照从高到低的次数排列：P(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x + 1Q(x) = x^2 - x - 2其次，将P(x)中的最高次数项除以Q(x)中的最高次数项，得到商式的首项为：x^2接着，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从P(x)中减去这个积，得到一个新的多项式：P(x) - x^2 Q(x) = (x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x + 1) - (x^2 -x - 2) x^2 = 3x^3 - 2x^2 + 3x + 1重复以上操作，将新的多项式3x^3 - 2x^2 + 3x + 1除以Q(x)，得到商式的首项为：3x然后，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从3x^3 - 2x^2 + 3x + 1中减去这个积，得到一个新的多项式：3x^3 - 2x^2 + 3x + 1 - 3x(x^2 - x - 2) = -5x^2 + 9x + 1 继续重复以上操作，将新的多项式-5x^2 + 9x + 1除以Q(x)，得到商式的首项为：-5最后，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从-5x^2 + 9x + 1中减去这个积，得到余数多项式：-5x^2 + 9x + 1 - (-5)(x^2 - x - 2) = 4x + 11因此，P(x)除以Q(x)所得的商多项式为x^2 + 3x - 5，余数多项式为4x + 11。
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EXAMPLE1 . 实数 m, p, q 满足什么条件时 , 多项式 x 2 + mx + 1 能 整除x 4 + px + q ? EXA2. 求 l , m，使f ( x) = x + lx + 5 x + 2
3 2
能被g ( x) = x + mx + 1整除.
2
2.4
EXERCISES. 设P是一个数域, a ∈ P. 证明 : x − a | ( x − a )
EXAMPLE 3. 设
3 2
2 x − x + 3x − 5
3 2
= a ( x − 2) + b( x − 2) + c( x − 2) + d 求a, b, c, d的值。
课堂小结
• • • • • 1.整除的概念及性质 1.整除的概念及性质 2.带余除法定理 2.带余除法定理 3.整除的定义及性质 3.整除的定义及性质 4.整除与带余除法的关系 4.整除与带余除法的关系 5.综合除法原理 5.综合除法原理
由定义不难看出 1.零多项式被任意一个多项式整除 零多项式被任意一个多项式整除; 1.零多项式被任意一个多项式整除; 2.零多项式不能整除任意非零多项式 零多项式不能整除任意非零多项式; 2.零多项式不能整除任意非零多项式; 3.任意多项式一定整除它自身 任意多项式一定整除它自身. 3.任意多项式一定整除它自身. 零次多项式(非零常数)整除任意多项式. 4.零次多项式(非零常数)整除任意多项式. g(x)≠0时 当g(x)≠0时,由带余除法定理得到 Theorem1.对于 对于P[ Theorem1.对于P[x]中任意两个多项式 ),其中 其中g( f(x)与g(x),其中g(x)≠0, 的充分必要条件是g(x) g(x)除 则g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除 f(x)的余式为零 的余式为零. f(x)的余式为零.
其中q ( x)通常称为g ( x)除f ( x)的商, r ( x)称为g ( x)除f ( x)的余式.
• Definition5.(整除的定义) Definition5.(整除的定义 整除的定义) • 称P[x]上的多项式g(x) 整除f(x),如果 上的多项式g( 整除f( ),如果 存在P[ 上的多项式h( 存在P[x]上的多项式h(x), 使得
f ( x) = g ( x)h( x) 用 g ( x ) | f ( x ) 表示 g ( x )
成立 . 整除 f ( x ),
用 g ( x ) / f ( x ) 表示 g ( x ) 不能整除 f ( x ). | 当 g ( x ) | f ( x ) 时 , 称 g ( x ) 为 f ( x )的 因式 , 称 f ( x ) 为 g ( x )的 倍式 .
n n
• 补充 综合除法 补充:综合除法
设 f ( x ) = a n x + a n −1 x
n n −1 n −1
+ L + a1 x + a 0
f ( x) = ( x − c)q ( x) + r q ( x ) = b n −1 x + bn−2 x
n−2
+ L + b1 x + b 0
L cb 1
EXAMPLE 3. 用综合除法求, 用x + 3除 f ( x) = x + 2 x − 5 x − 94 的商式和余数.
4 2
解 : 作综合除法 : −3 | 1 0 2 − 5 − 94 + −3 1 −3
3
9 − 33 114 11 − 38
2
20
所以 q( x) = x − 3 x + 11x − 38 r = f (−3) = 20
值得注意的是: 值得注意的是: 多项式的整除不是运算, 它是Ｆ[x]元素间 多项式的整除不是运算, 它是Ｆ[x]元素间 的一种关系, 的一种关系, 类似于实数集 R 元素间的大小 关系, 相等关系; 关系, 相等关系; 多项式的整除性是不因数域的扩充而改变的. 多项式的整除性是不因数域的扩充而改变的. 即当数域扩充时, 即当数域扩充时, 作为扩充后的数域上的多项 f(x)和 式 f(x)和g(x), g(x) 除f(x)的商式和余式仍 f(x)的商式和余式仍 然是上面的q(x)和 然是上面的q(x)和r(x). q(x)
EXERCISES 2. 设 f ( x ) = 2 x − x + 3 x − 5
3 2
用综合除法求 f ( 2). EXERCISES 3. 求用
4 3
( x + i) 除
2
f ( x ) = x + 2ix − (1 + i ) x − 3 x + 7 + i 的商式与余数 . * 结论 : f (c ) = 0 ⇔ ( x − c ) | f ( x )
g(x)│f(x)等价于 ▲g(x)≠0, g(x)│f(x)等价于 g(x) f(x)的余式零 的余式零. 除 f(x)的余式零. ▲q(x)和r(x)的求法与中学的方 q(x)和r(x)的求法与中学的方 法基本相同. 在做除法时, 法基本相同. 在做除法时, 可以 因为ｎ 分离系 数, 因为ｎ次多项 式是由它的ｎ＋ ｎ＋1 式是由它的ｎ＋1 个系数唯一确 定的, (做除法时按降幂排列 做除法时按降幂排列). 定的, (做除法时按降幂排列).
• 整除性的几个常用性质: 整除性的几个常用性质:
• 1.任一多项式 f(x)都能被 cf(x) 整除 1.任一多项式 f(x)都能被 • 2.如果f(x)|g(x),g(x)|f(x),则 2.如果 如果f( ),则 f(x)=cg(x)(c≠0); • 3.如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),则 3.如果 如果f( ),则 f(x)|h(x); • 4.如果g(x)|f(x),则对任意多项式u(x) 4.如果 如果g( ),则对任意多项式 则对任意多项式u(x) 都有 g(x)|u(x)f(x); • 5.如果f(x)|g(x),f(x)|h(x),则对任意 5.如果 如果f( ),则对任意 多项式u(x),v(x) 多项式u(x),v(x) 都有 f(x)|(u(x)g(x)+v(x)h(x));
• 作业： 作业： • 认真复习总结所学知识，作学习笔记； 认真复习总结所学知识，作学习笔记； • P－44－2、3、4 、 、
比较系数 , 有 a n = b n −1 , a n −1 = b n − 2 − cb n −1 , L , a 0 = r − cb 0 我们得到综合除法 c | an a n −1 a n−2 + b n −1 cb n −1 bn−2 cb n − 2 bn−3 L L a1 b0 a0 cb 0 r
• 带余除法定理:对于P[x]中任意两个 带余除法定理:对于P[ ),其中 其中(g( 多项式f(x)与g(x),其中(g(x)≠0, 一定有P[ 中的多项式q( 一定有P[x]中的多项式q(x)和r(x) 存在, 存在,使得
f ( x) = q( x) g ( x) + r( x) 成立, 其中∂(r( x)) < ∂( g( x)) 或者, r( x) = 0, 并且这样的q( x), r( x) 是唯一决定的 .