带余除法
第十一讲带余除法和余数性质
| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2知识站牌第十一讲带余除法和余数性质| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲2.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
多项式带余除法
• 带余除法定理:对于P[x]中任意两个 多项式f(x)与g(x),其中(g(x)≠0, 一定有P[x]中的多项式q(x)和r(x) 存在,使得
f ( x) q ( x) g ( x) r ( x) 成立, 其中(r ( x)) ( g ( x)) 或者, r ( x) 0, 并且这样的 q( x), r ( x) 是唯一决定的 .
1-3 多项式的整除性和带余除法
多项式整除性理论主要讨论任给两个多项 式 f(x),g(x), 是否有 g(x) 整除f(x)以及 与此相关的多项式的最大公因式, 多项式的 因式分解等问题. 在讨论一元多项式的整除性理论时,带余 除法是 一个重要定理, 它给出了判断多项 式 g(x)能否整除多项式f(x)的一个有效方法; 并且是讨论一元多项式的最大公因式及多项 式根的理论基础.
EXAMPLE3. 用综合除法求, 用x 3除 f ( x) x 2 x 5 x 94 的商式和余数 .
4 2
解 : 作综合除法 : 3 | 1 0 2 5 94 3 1 3
3
9 33 114 11 38
2
20
所以 q ( x) x 3 x 11x 38 r f (3) 20
• 整除性的几个常用性质:
• 1.任一多项式 f(x)都能被 cf(x) 整除 • 2.如果f(x)|g(x),g(x)|f(x),则 f(x)=cg(x)(c≠0); • 3.如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),则 f(x)|h(x); • 4.如果g(x)|f(x),则对任意多项式u(x) 都有 g(x)|u(x)f(x); • 5.如果f(x)|g(x),f(x)|h(x),则对任意 多项式u(x),v(x) 都有 f(x)|(u(x)g(x)+v(x)h(x));
带余除法
第十四讲 带余除法【知识要点】1、带余除式可以表示成：a ÷b ＝q …r ，0≤r<b(1)当r=O 时，我们称a 能被b 整除； (2)当r=0时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的不完全商(简称商)。
2、如果两个整数对于除数A(A 是不为0的自然数)来说是同余的，那么这两个整数的差一定能被A 整除。
这是同余的一条重要性质。
【例题精析】例1：两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商与余数的和是866，求被除数和除数。
【思路点拔】由a ÷b ＝q …r 可得：被除数＋除数=866—8—22＝836，“两个数相除，商是22，余数是8”，可以理解为“被除数比除数的22倍还多8”。
如果把除数看做1倍数， 那么可转化成"和倍问题”，除数=(836—8)÷(22+1)=36(注意8是要减两次的)，被除数=36×22+8=800。
例2：一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少?【思路点拔】 题意可以理解成：这个自然数是3的倍数少2；5的倍数少2；7的倍数少2．所以，可先求出3、5、7的最小公倍数，然后减去2即可。
[3，5，7]＝105， 105－—2＝103．例3：有一个整数，除300，262，205得到的余数相同，这个数是多少?【思路点拔】 由同余性质—“如果两个整数对于除数A(A 是不为0的自然数)来说是同余的，那么这两个整数的差一定能被A 整除”，可知(300—262)，(300—205)，(262—205) 这些差也能被整除，得：300—262＝38=19×2 300—205=95＝19×5 262—205＝57＝19×3 这三个差中公因数只有19，所以这个整数是19．例4： 整数120041111个被6除的余数是几? 【思路点拔】 120041111个＝ 120011111个×1000+11l ，因为120011111个×1000 能同时被2、3整除，所以 120011111个×1000也能被6整除，那么就只有看最后的111，111除以6余3；因此120041111个被6除余3。
有余数的除法PPT课件
课件contents•引入与概念•运算方法与步骤目录•实例分析与计算•应用场景与拓展•练习题与答案解析引入与概念01如何分配物品，使得每个人得到的数量不同？在日常生活中，遇到不能整除的情况怎么办？有余数除法在实际问题中的应用有哪些？引入问题有余数除法定义有余数除法的概念两个整数相除，不能整除时，商为整数，余数为非零整数的除法运算。
余数的定义在整数除法中，被除数减去除数与商的乘积后所得的数。
有余数除法表示方法a ÷b =c …… r，其中a为被除数，b 为除数，c为商，r为余数。
无余数除法中，被除数能被除数整除，商为整数；有余数除法中，被除数不能被除数整除，商为整数，余数为非零整数。
结果差异无余数除法满足结合律和交换律；有余数除法不满足这些运算性质。
运算性质无余数除法常用于等分、计算比例等问题；有余数除法常用于解决分配、周期等问题。
应用场景与无余数除法区别运算方法与步骤02将被除数、除数和商按照竖式格式排列。
列竖式如果余数大于除数，说明试商偏小，需要调大；如果余数小于除数，说明试商偏大，需要调小。
调整根据被除数和除数的大小，估计一个接近的商。
试商将试商与除数相乘，得到积。
相乘将被除数减去积，得到余数。
相减0201030405竖式运算方法运算步骤详解观察被除数和除数的大小关系，确定商的位数。
从被除数的最高位开始，依次与除数相除，得到每一位的商和余数。
将每一位的商相加，得到最终的商。
根据被除数的最高位和除数的最高位进行试商，确定商的最高位。
010204注意事项在列竖式时，要保证被除数、除数和商的位数对齐。
在试商时，要根据被除数和除数的大小关系进行估计，避免过大或过小的试商。
在相乘和相减时，要注意运算顺序和符号问题。
在得到最终的商后，要检查余数是否为零，以确保运算的正确性。
03实例分析与计算03例子1：23 ÷5 = 4...3计算过程：23 -5 ×4 = 3被除数为17，除数为3，商为5，余数为2。
多项式的带余除法
多项式带余除法1.多项式带余除法定理：若()f x 和()g x 是[]F x 中的两个多项式，且()0g x ≠，则在()F x 中有唯一的多项式()q x 和()r x ，满足()()()()f x q x g x r x =+其中(())(())r x g x ∂<∂，或者()0r x =。
1) 此时()q x 称为()g x 除()f x 的商式，()r x 称为余式（非0余式的次数小于除式）。
2) 当()g x x a =-时，则()()r x f a =称为余元，式中a 的F 是的元素。
此时带余除法具有形式()()()()f x q x g x f a =+，称为余元定理。
3) ()g x 是()f x 的因式的充分必要条件是()g x 除()f x 所得余式等于零。
4) 特别的，x a -是()f x 的因式的充分必要条件是()0f x =，这时称a 是()0f x =的一个根。
5) 商式与余式的计算。
2.整除的概念与性质：对数域上的任意两个多项式()f x ，()g x ，如果存在多项式()h x 满足()()()f x h x g x =那么称()g x 能整除()f x ，或()f x 能被()g x 整除记作()|()g x f x 。
此时称()g x 是()f x 的一个因式，()f x 是()g x 的一个倍式。
1) 1|(),()|(),()|0f x f x f x f x ,…2) 若()()()()f x h x g x r x =+符合带余除法定理，则()|()g x f x 当且仅当余式()0r x =3) 若()|()g x f x ，()|()f x h x 则()|()g x h x4) 若()|(),1,2,3....i g x f x i s =，则对任意的1()[],()|()()si i i i u x F x g x u x f x =∈∑5) 若()|()g x f x ，()|()f x g x 则，()()f x cg x =其中c 为非零常数6) 多项式的整除性质与数域无关经典例题1.(中国人民大学1991)多项式()f x 除以(0)ax b a -≠所得余式__()b a f __ 解：设()()()f x ax b q x A =-+ 将b ax =代入上式，得()b a f A =，由商式和余式的唯一性即可。
有余数的除法_4
有余数的除法有余数的除法对于任意一个整数除以一个自然数，一定存在唯一确定的商和余数，使被除数=除数×商+余数（0≤余数＜除数）也就是说，整数a除以自然数b，一定存在唯一确定的q和r，使a=bq＋r （0≤r＜b）成立．我们把对于已知整数a和自然数b，求q和r，使a=bq＋r（0≤r＜b）成立的运算叫做有余数的除法，或称带余除法．记为a÷b=q（余r）或a÷b=q…r读作“a除以b商q余r”，其中a叫做被除数，b叫做除数，q叫做不完全商（简称商），r叫做余数．例如5÷7=0（余5），6÷6=1（余0），29÷5=5（余4）．解决有关带余问题时常用到以下结论：（1）被除数与余数的差能被除数整除．即如果a÷b=q（余r），那么b｜（a-r）．因为a÷b=q（余r），有a=bq＋r，从而a-r=bq，所以b｜（a-r）．例如39÷5=7（余4），有39＝5×7＋4，从而39-4=5×7，所以5｜（39-4）（2）两个数分别除以某一自然数，如果所得的余数相等，那么这两个数的差一定能被这个自然数整除．即如果a1÷b=q1（余r），a2÷b=q2（余r），那么b｜（a1-a2），其中a1≥a2．因为a1÷b=q1（余r），a2÷b=q2(余r），有a1=bq1+r，a2=bq2＋r，从而a1-a2=（bql＋r）-（bq2＋r）=b（q1-q2），所以b｜(a1-a2)．例如，22÷3=7（余1），28÷3=9（余1），有22=3×7＋1，28=3×9＋1，从而28-22=3×9-3×7＝3×（9-7），所以3｜（28-22）．（3）如果两个数a1和a2除以同一个自然数b所得的余数分别为r1和r2，r1与r2的和除以b的余数是r，那么这两个数a1与a2的和除以b的余数也是r．例如，18除以5的余数是3，24除以5的余数是4，那么（18+24）除以5的余数一定等于（3＋4）除以5的余数（余2）．（4）被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变，余数的也随着扩大（或缩小）相同的倍数．即如果a÷b=q（余r），那么（am）÷（bm）=q （余rm），（a÷m))÷（b÷m）=q（余r÷m）（其中m｜a，m｜b）．例如，14÷6=2（余2），那么（14×8）÷（6×8）＝2（余2×8），（14÷2）÷（6÷2）=2（余2÷2）．下面讨论有关带余除法的问题．例1节日的街上挂起了一串串的彩灯，从第一盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏绿灯，2盏蓝灯的顺序重复地排下去，问第1996盏灯是什么颜色？分析：因为彩灯是按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏绿灯，2盏蓝灯的顺序重复地排下去，要求第1996盏灯是什么颜色，只要用1996除以5＋4＋3＋2的余数是几，就可判断第1996盏灯是什么颜色了．解：1996÷（5＋4＋3＋2）=142 (4)所以第1996盏灯是红色．例2把1至1996这1996个自然数依次写下来，得一多位数123456789101112……199419951996，试求这一多位数除以9的余数．分析：从前面我们学习被9整除的特征知道，一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，这个数必能被9整除．所以一个数除以9的余数，与这个数的各个数位上的数字之和除以9的余数正好相等．这样问题转化为求1至1996这1996个自然数中所有数字之和是多少，然后用这个和除以9所得的余数即为所求．解：将0至1999这2000个整数一头一尾分成如下1000组：（0，1999），（l，1998），（2，1997），（3，1996），……，（997，1002），（998，1001），（999，1000）．以上每一组的两数之和都是1999，并且每一组两数相加时都不进位，这样1至1999这1999个自然数的所有数字之和等于：（1＋9＋9+9）×1000=28000而1997至1999这3个自然数所有数字之和为：1×3+9×3+9×3＋7+8+9=81所以从1至1996这1996个自然所有数字之和为:28000-81=2791927919÷9=3102 (1)所以123456789……199419951996除以9的余数是1．另外：因为依次写出的任意连续9个自然数所组成的位数一定能被9整除．而1至1996共有1996个连续的自然数，且1996÷9=221…7，最后7个自然数为1990，1991，1992，…1996，这7个数的所有数字之和为：1×7＋9×7+9×7+1＋2＋3＋…+6=154154÷9=17 (1)所以123456789……199419951996这个多位数被9除余1．为什么依次写出任意连续9个自然数所组成的多位数一定能被9整除呢？这是因为任意连续的9个自然数各数位上的数字之和除以9的余数，必是0，1，2，…，7，8这9个数，而各数位上的数字之和除以9的余数，就等于这9个数之和0+1+2+…+8除以9的余数，由于0＋1＋2+…＋8=36能被9整除，所以任意连续的9个自然数各数位上的数字之和必能被9整除，因此任意连续9个自然数所组成的多位数必能被9整除．分析：首先要找到最少几个8连在一起得到的自然数能被7整除，这只要直接用除法进行试验来得出．88÷7＝12…4，888÷7=126…6，8888÷7＝1269…5，88888÷7=12698…2，888888÷7=126984，最少6个8能被7整除，凡是6的整数倍个8均能被7整除，而1996÷6=332…4，解：因为888888÷7=126984，1996÷6=332…4，8888÷7=1269…例4一个数除93，254得到相同的余数，除163所得的余数比上面的余数大1，求这个数．分析：因为这个数除93，254得到的余数相同，除163所得的余数比上面的余数大1，如果除162所得的余数应与上面的余数完全相同．这样将问题转化成相同余数的问题，根据前面结论（2）转化成整除问题，问题就可以得到解决．解：设这个数为a，则a除93，254，162，得到相同的余数，于是有：93＝aq1＋r，254＝aq2＋r,162＝aq3＋r这样a｜（254-162），a（162-93），即a是92和69的公约数，（92，69）=23，23的公约数是1，23，但a≠1，所以a=23．例5一个自然数在1000到1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求这个自然数，分析：先求出被3除余1的数，然后在其中找到除以5余2的数，最后在这些数中找出除以7余3的最小自然数，这个数必然满足被3除余1，被5除余2，被7除余3的最小自然数．再加上3，5，7的公倍数，使得和在1000到1200之间．解：被3除余1的数为：4，7，10，13，16，19，22，…，其中被5除余2的数为：7，22，37，52，67，…，这其中被7除3的最小自然数52，又因为[3，5，7]=105，所以所求数可表示为52＋105m，m是自然数，当m=10时，52＋105×10=1102即为所求．例6如图18—1，图中是一个按一定规律排列的数表，将自然数的所有奇数排成A、B、C、D、E、F六列，问1997出现在哪一列打头字母下？ABCDEF1357919171513112123252729393735333141…………图18—1分析：从数表中可以看出，每两排共10个数为一个循环周期．1997是第（1997＋1）÷2=999个奇数．凡被10除余1或9在B列，被10除余2或8在C列，被10除余3或7在D列，被10除余4或6在E列，被10除余5在F列，被10整除在A列．这样很容易求出第999个奇数除以10的余数，从而得到1997在哪一列．解：因为每两排共10个数为一个循环周期，1997是第（1997+1）÷2=999个奇数，又999÷10=99…9，所以1997在B列．。
五年级数学带余除法(含答案)
带余除法知识框架带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题精讲【例 1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。
【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】2009年，希望杯，第七届，四年级，复赛，第2题，5分【解析】125【答案】125【巩固】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，四年级，复赛，第3题【解析】因为最大的三位数为999，999362727⨯+=÷=，所以满足题意的三位数最大为：36278980【答案】980【例 2】除法算式÷□□=208中，被除数最小等于。
【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】2007年，第5届，希望杯，4年级，初赛，4题【解析】本题的商和余数已经知道了，若想被除数最小，则需要除数最小即可，除数最小是819+=，所以本题答案为：20×（8+1）+8=188.【答案】188【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。
五年级带余除法
6、887除以一个数，商是52，且除数比余数大14， 求除数和余数各是多少？ 解：设余数是
x，则除数为 x +14。 52（ x +14）+ x =887 52 x +728+ x =887 x =3
则除数=14+3=17
答：除数和余数分别是17和3.
7、76，103，141三个数，除以同一个整数，得到的 3个余数的和为38，求这个除数。
答：这个两位数是70。
2、205除以一个质数，余数为15，求这个质数。 解析：被除数＝商×除数＋余数 根据题意，除数为大于15的质数 所以 除数×商＝205–15＝190， 190＝2×5×19 所以，这个质数是19。
3、有一类自然数，其中的每一个数与3的和都是8的倍， 与3的差都是7的倍数。请按从小到大的顺序写出这类 自然数中的前三个。
10、小王在一次除法计算中，把被除数171错写成117， 结果商少了3而余数不变，那么这道题中的除数是 多少？ 解析：同余定理 因为余数相同 则（171-117）÷3=18
答：这道题中的除数是18。
思路点拨： 这个数除以6余5，除以5余3。 枚举法： 满足除以6余5的数有：11、17、23、29…… 满足除以5余3的数有：8、13、18、23…… 所以， 最小的是23。 还可以通过奇偶分析来缩小枚举范围， 请尝试一下。
同步练习 有一类自然数，其中的每一个数与5的和都是9的倍数， 与5的差都是7的倍数。请按从小到大的顺序写出这类 自然数中的前3个。
解析：因为余数之和为38，所以这个除数应大于13。 根据余数的可加性，这三个数的和除以这个整数余数为38 则：76+103+141=320 320-38=282 282=2×3×47 由题可知这个除数应该小于76， 所以这个除数应为47。
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【课前小练习】(★★) 若 a ÷b ＝ 68 ，则a的最小值为_______.
【例1】(★★) 在一个除法算式中，如果商是16，余数是 8，那么被除数与除数之和最小是 .
【例2】(★★★) 一个三位数除以43，商是a，余数是b. 求a＋b 的最大值.
【例3】(★★★) 137除以一个两位数，余数是5. 求所有符 合条件的两位数.
版块二：带余除法变整除
2. 关于余数，被除数÷除数＝商…余数 ⑴ 余数小于除数 ⑵ 被除数－余数＝除数×商 ⑶ (被除数－余数)÷除数＝商 3. 约数个数， ⑴ 分解质因数到指数形式 ⑵ 个数=指数+1连乘
【例4】(★★★★)(第15届“迎春杯”数 学竞赛初赛试题) 已知2008被一些自然数去除，得到的余数 都是10. 那么这些自然数共有______个.
带余除法
miyo
本讲主线 1. 被除数的表达式 2.带余除法变整除 3.带余式的综合应用
版块一：带余除法中的被除数
1. 带余除法 被除数÷除数＝商…余数 一般地，A÷B＝c…d d =0是整除 d ≠ 0是余数 被除数＝除数×商＋余 2.关于余数，被除数÷除数＝商…余数 ⑴余数小于除数 ⑵ 被除数＝除数×商＋余数
【例6】(★★★★)(福州市“迎春杯”小学数 学竞赛试题) 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相 等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个 自然数是______.
版三：带余式的综合应用
【例5】(★★★★)(全国小学数学奥林匹克 试题) 有两个自然数相除，商是17，余数是13， 已知被除数、除数、商与余数之和为2113， 则被除数是_______.
【超常大挑战】(★★★★) (华罗庚金杯数 学邀请赛初赛) 在大于2009的自然数中，被57除后，商 和余数相等的数共有多少个？
1.带余除法 知识大总结 被除数÷除数＝商…余数 一般地，A÷B＝c…d 2. 关于余数， ⑴ 余数小于除数 3. ⑵ 被除数－余数＝除数×商 考点： ⑴ 带余变整除 ⑵ 余数式的使用