第十一讲带余除法和余数性质

| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2知识站牌第十一讲带余除法和余数性质| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲2.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．※带余除法【例 1】 一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。

【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，四年级，复赛，第3题【解析】 因为最大的三位数为999，999362727÷=，所以满足题意的三位数最大为：36278980⨯+=【答案】980【例 2】 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 1013121001-=，100171113=⨯⨯，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91。

【答案】13,77,91共三个【例 3】 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】清华附中，小升初分班考试【解析】 (法1)因为 甲=乙1132⨯+，所以 甲+乙=乙1132⨯++乙=乙12321088⨯+=；则乙(108832)1288 =-÷=，甲1088=-乙1000=．(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的(111)+倍，所以得到乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=．【答案】乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=【例 4】 3782除以某个整数后所得的商恰好是余数的21倍，那么除数最小可能是 。

【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2008年，学而思杯，4年级，第2题【解析】 设除数为a ，商为b ，余数为c ，则3782a b c ÷=，且21b c =。

可以将除式转化为第一单元| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲213782a c c ⨯+=，所以2113782c a +=（），所以c 和211a +（）是3782的约数，378223161=⨯⨯，在3782的约数中只有31611891⨯=被21除所得的余数为1，所以2111891a +=，90a =。

【答案】90【例 5】 在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有______个.【考点】除法公式的应用 【难度】4星 【题型】填空【关键词】2009年，第14届，华杯赛，初赛，第10题【解析】 根据题意，设这样的数除以57所得的商和余数都为a （a ﹤57），则这个数为57×a +a =58a 。

所以58a ﹥2009，得到a ﹥2009÷58=373458，由于a 为整数，所以a 至少为35.又由于a ﹤57，所以a 最大为56，则a 可以为35，36，37，…，56.由于每一个a 的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满足条件的数共有56-35+1=22个。

【答案】22【例 6】 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【考点】带余除法的估算问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余0)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．【答案】99【例 7】 托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．【考点】带余除法的估算问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】圣彼得堡数学奥林匹克【解析】 除以3、6和9的余数分别不超过2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过25815++=，既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8．所以该数加1后能被3，6，9整除，而[3,6,9]18=，设该数为a ，则181a m =-，即18(1)17a m =-+（m 为非零自然数），所以它除以18的余数只能为17．【答案】17※特殊数的余数特征【例 1】 2000"2"2222个除以13所得余数是_____.【考点】多位数的余数问题 【难度】3星 【题型】填空【解析】 方法一、我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。

方法二、因为1001是13的倍数222222=2221001⨯，所以每6个2能整除13，那么2000个2中6个一组可以分为333组余2，所以答案为22÷13余9【答案】9第二单元| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲【例 2】 已知20082008200820082008a =个，问：a 除以13所得的余数是多少？【考点】多位数的余数问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2008年，学而思杯，5年级，第3题【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到200820082008100002008=⨯+；20082008200820082008100002008=⨯+；2008200820082008200820082008100002008=⨯+；根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008除以13余6361311⨯+-=，200820082008除以13余1136390⨯+-=，即200820082008是13的倍数．而2008除以3余1，所以20082008200820082008a =个除以13的余数与2008除以13的余数相同，为6. 【答案】6【例 8】 将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数：A ＝13579111315171921……9799101103。

则数a 共有_____位，数a 除以9的余数是___。

【考点】特殊数字9 【难度】4星 【题型】填空【关键词】2006年，第11届，华杯赛，初赛，第12题【解析】 一位的奇数有5个，两位的奇数有45个，再加两个三位奇数，所以a 是一个5+2×45+3×2=101（位）数。

从1开始的连续奇数被9除的余数依次为1，3，5，7，0，2，4，6，8，1，3，5，7，0，2，4，6，8，…，从1开始，每周期为9个数1，3，5，7，0，2，4，6，8的循环。

因为（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被9除余数为0，从1-89恰为5个周期，所以这个101位数a被9除的余数为1+3+5+7+0+2+4被9除的余数，等于4。

解法2：一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同，利用这条性质，a =13579111315171921……9799101103中13579的数字和被9除的余数是7，而111315171921……9799所有数字之和被9除的余数是0，101103的数字和被9除的余数是6。

所以，a 被9除的余数是（7+6）被9除的余数，是4。

【答案】101位，余数是4※余数的可加性，可减性，可乘性【例 9】 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【考点】余数的加减法定理 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2004年，少年数学智力冬令营【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，所以这样的数组共有下面4个：()2000,2003，()1998,2000,2003 ，()2000,2003,2001,1995 ，()1998,2000,2003,2001,1995．【答案】4【例 10】 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2005年，小学数学奥林匹克第三单元| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲【解析】 (70110160)50290++-=，50316......2÷=，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，11058 1......52÷=，5250>，所以除数不是58．7029 2......12÷=，11029 3......23÷=，16029 5......15÷=，12231550++=，所以除数是29【答案】29【例 11】 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2000年，小学数学奥林匹克【解析】 两个顾客买的货物重量是3的倍数．(151618192031)(12)119339...2+++++÷+=÷=，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20千克．【答案】20【例 12】 从1，2，3，4，…，2007中取N 个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除．N最大为多少？【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2007年，第五届，走美杯，初赛，六年级，第8题【解析】 取出的N 个不同的数中，任意三个的和能被15整除，则其中任意两个数除以15的余数相同，且这个余数的3倍能被15整除，所以这个余数只能是0，5或者10．在12007中，除以15的余数为0的有151⨯，152⨯，…，15133⨯，共有133个；除以15的余数为5的有1505⨯+，1515⨯+，…，151335⨯+，共有134个；除以15的余数为10的有15010⨯+，15110⨯+，…，1513310⨯+，共有134个．所以N 最大为134．【答案】134【例 13】 求2461135604711⨯⨯÷的余数．【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为246111223...8÷=，1351112...3÷=，604711549...8÷=，根据同余定理(三)，2461135604711⨯⨯÷的余数等于83811⨯⨯÷的余数，而838192⨯⨯=，1921117...5÷=，所以2461135604711⨯⨯÷的余数为5．【答案】5【例 14】 在图表的第二行中，恰好填上8998～这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】填空【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积．因此原题中的8998～可以改换为110～，这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们得到下面的结果：进而得到本题的答案是：| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲【答案】【例 15】 222212320012002+++++除以7的余数是多少？【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2007年，实验中学【解析】 由于22222200220034005123200120021001200313356⨯⨯+++++==⨯⨯，而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故2222212320012002+++++除以7的余数是0；【答案】0。