多项式整除
数学中的多项式函数与整除性理论
数学中的多项式函数与整除性理论多项式函数作为基本的数学概念，在数学的各个分支中都有着广泛的应用。
而整除性理论是现代数学中的一个重要理论体系，它探究了数字之间的整除关系及其相关性质。
本文将探究多项式函数与整除性理论的关系，以及多项式函数在整除性理论中的应用。
1. 多项式函数的定义及性质多项式函数是指以自变量x为变量，系数为任意实数或复数的一次或多次幂的和。
即P(x)=a0+a1x+a2x^2+…+anxn，其中a0,a1,a2,…,an为实数或复数。
多项式函数的阶次为最高幂的次数，而且一般情况下只考虑最高幂的系数不为零的多项式函数。
多项式函数具有以下性质：（1）多项式函数加法和乘法都满足结合律、交换律和分配律。
（2）多项式函数的导数是其各项系数与下标同时减一的多项式函数。
（3）多项式函数的零点是指使其取值为零的自变量值。
每个n 次多项式函数最多有n个不同的零点。
2. 整除性理论中的多项式函数应用整除性理论探究了数字之间的整除关系及其相关性质，其应用范围覆盖了数论、代数及解析几何等许多分支。
在整除性理论中，多项式函数有着重要的应用。
（1）多项式的因式分解与整数相似，多项式也可以进行因式分解。
多项式的因式分解指的是将一个多项式表示成若干个一次或多次幂的乘积的形式，即P(x)=a(x-b1)(x-b2)…(x-bn)，其中b1，b2，…，bn为多项式的根。
（2）最大公因数和最小公倍数多项式的最大公因数是指可以整除每个给定的多项式的最高公共因式。
最小公倍数是指可以被每个给定的多项式除尽的最小公倍式。
（3）整处关系的判定多项式的整除关系也可以像整数一样判定。
如果一个多项式f(x)能够被另一个多项式g(x)整除，则在f(x)除以g(x)的余数为零的情况下，f(x)可以表示为g(x)与余数r(x)的乘积。
即f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，其中q(x)为商，r(x)为余数。
如果r(x)为零，则f(x)能够被g(x)整除。
高等代数第三版
显然仍不能整除 f x .
第一章 多项式
假定 g x 0，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立： 并且 r x 0 ．但是F [x]的多项式 qx 和r ( x) 都是
F[ x] 的多项式，因而在 F[ x] 里，这一等式仍然成立．
f x g x qx r x
qx 0, r x f x （ii）若 f x 0 ,且 f x g x . 把f x 和g ( x)
按降幂书写: n n 1 f x an x an1 x a1x a0 g x bm x m bm1 x m1 b1x b0
于是由 r x 的唯一性得出，在 F[ x] 里 g x 也不能整除
f x .
总之，两个多项式之间的整除关系 不因为系数域的扩大而改变.
第一章 多项式
例1
确定m ，使 x 1 | x mx mx 1 .
1 n m 令q1 x a n bm x ，并记 f1 x f x q1 x g x,
这里an 0, bm 0,并且 n
m
第一章 多项式
则f1 x 有以下性质：
或者 f1 x 0或 f1 x f x
f k 1 x f k x qk 1 x g x
f x f1 x g x
由于多项式 f1 x, f 2 x,的次数是递降的, 故存在k使
f k x 0或 f k x g x ，于是
第一章 多项式
3、多项式的带余除法定理
定理 设f x, g x F[ x] ，且 g x 0 ，则存在
多项式的整除性和带余除法
多项式整除性理论主要讨论任给两个多项式 f(x),g(x), 是否有 g(x) 整除f(x)以及与此相关的多项式的最大公因式, 多项式的因式分解等问题. 在讨论一元多项式的整除性理论时,带余除法是 一个重要定理, 它给出了判断多项式 g(x)能否整除多项式f(x)的一个有效方法; 并且是讨论一元多项式的最大公因式及多项式根的理论基础.
如果f(x)|g(x),f(x)|h(x),则对任意多项式u(x),v(x) 都有f(x)|(u(x)g(x)+v(x)h(x));
为什么?
多项式的整除不是运算, 它是Ｆ[x]元素间的一种关系, 类似于实数集 R 元素间的大小关系, 相等关系; 多项式的整除性是不因数域的扩充而改变的.即当数域扩充时, 作为扩充后的数域上的多项式 f(x)和g(x), g(x)
g(x)≠0, g(x)│f(x)等价于 g(x)除 f(x)的余式零.
q(x)和r(x)的求法与中学的方
法基本相同. 在做除法时, 可
由定义不难看出 零多项式被任意一个多项式整除; 零多项式不能整除任意非零多项式; 任意多项式一定整除它自身. 零次多项式(非零常数)整除任意多项式. 当g(x)≠0时,由带余除法定理得到 Theorem1.对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)≠0, 则g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.
多项式的整除性和带余除法
带余除法定理:对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中(g(x)≠0,一定有P[x]中的多项式q(x)和r(x)存在,使得
Definition5.(整除的定义)
称P[x]上的多项式g(x) 整除f(x),如果存在P[x]上的多项式h(x), 使得
原题目：多项式的整除性质
原题目：多项式的整除性质
多项式的整除性质
在代数学中，多项式的整除性质是一种非常重要的属性。
它描
述了多项式之间的除法关系。
本文将介绍多项式的整除性质及其应用。
定义
设A(x)和B(x)是两个多项式，如果存在另一个多项式C(x)，
使得A(x) = B(x) * C(x)，则称B(x)可以整除A(x)，记作B(x) | A(x)。
整除定理
多项式的整除性质可以通过整除定理来描述。
整除定理指出，
当B(x)是一个一次多项式，即B(x) = ax + b，并且B(x)整除A(x)时，A(x)在x = -b/a时取值为零。
应用
多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
一些重要的应用包括：
1. 确定多项式的公因式：如果B(x)整除A(x)，则B(x)是A(x)的一个公因式。
这可以用来简化多项式、分解多项式或找到多项式的根。
2. 带余除法：根据整除性质，可以使用带余除法来将一个多项式除以另一个多项式。
带余除法是一种有效的算法，可以用于多项式的除法运算。
3. 多项式的因式分解：利用多项式的整除性质，可以将一个多项式因式分解为较低次数的多项式乘积的形式。
这在代数学和数值计算中都是非常重要的操作。
4. 多项式的最大公因式：通过利用多项式的整除性质，可以求解多项式的最大公因式。
最大公因式是两个或多个多项式共有的最高次数的公因式。
总结
多项式的整除性质是一种重要的代数属性，它描述了多项式之间的除法关系。
整除定理提供了判断多项式整除性的方法，而多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
多项式的整除最新版
只有一对，此时分别称为f(x)除以g(x)
的商式与余式。
证明：先证定理的前一部分。 若f(x)=0或（f(x)）< (g(x)).那么 可以取q(x)=0,r(x)=f(x). 若(f(x)) (g(x)) 令 f(x)=a0xn + a1 xn-1 +…+ an-1x+ an, g(x)=b0xm+ b1xm+1+…+ bm-1x+ bm 其中a0 0，b0 0，且n >m,令有
欲使 0=f(x)h(x)成立， 只有 h(x)=0
3。 对0≠f(x)∈F[x], 不存在h(x) ∈F[x],使 f(x) = 0 h(x)成立。
4。对f(x)∈F[x],
0 ≠C ∈F，均有 f(x)=C( 1 f(x))
c
5。 对 g(x)∈F[x],0 ≠C ∈F, 若存在h(x) ∈F[x],使 C=g(x)h(x), 则g(x)与h(x)均为零多项 式。
注：
1.f(x)|g(x)不能写作f(x)/g(x),以免与 分式混淆。
2.整除性不是多项式的运算，它只是F[x] 元素间的一种关系。
3.若f(x)|g(x),则(f(x)) (g(x)) 4.若f(x) † g（x），则对任意
h(x)∈F[x],
g(x)=f(x)h(x)均不成立。
问题：
二 带余除法定理
三 定理2.2.1.设f(x)和g(x)是F[x]的任意两 个多项式，并且g(x) 0,那么在F[x]中 可以找到多项式g(x)和r(x),使
四
f(x)=g(x)q(x)+r(x) ……（*）
五
这里或者r(x)=0,或者
六
(r(x))< (g(x)).
2.2多项式的整除性
2.基本性质
(a). 对f(x)∈F[x]和c∈F( c≠0),总有f(x)|0, c|f(x), c f(x)|f(x).
注：(1)任何多项式f(x)都有因式c和cf(x)(0 ≠c∈F），
它们称为f(x)的平凡因式.
2.综合除法
若 f ( x) an xn + an1xn-1 + L + a0, 则 x c 除 f ( x) 的商式 q( x) bn1xn1 b0 和余式 r(x)
可按下列计算格式求得：
c an an1 an2 L a1 a0
＋) cbn1 cbn2 L cb1 cb0
均不成立。
问题：
(1).零多项式能否整除零多项式？ (2).任意非零多项式能否整除零多项式？ (3).零多项式能否整除任意非零多项式？ (4).零次多项式能否整除任意多项式？ (5).零次多项式能否被任意多项式整除？
结论：
1.零多项式能整除且仅能整除零多项式。 2.零多项式能被任意多项式整除（即零多
此时称g(x)是f(x)的一个因式，f(x)是g(x) 的一个倍式。
否则，则称g(x)不整除f(x),记作g(x) † f(x).
注：
(1).g(x)|f(x)不能写作g(x)/f(x),以免与分式混淆; (2).整除性不是多项式的运算，它只是F[x]元素
间的一种关系; (3).若g(x) †f(x)，则对h(x)F[x], f(x)=g(x)h(x)
f ( x) c0 c1( x a) c2( x a)2 L 的形式．
例2.3 设 f ( x) x4 x2 4x 77 , g( x) x 3, 求g( x)除f ( x)所得商式q( x)和余式r,并指出 是否有 g( x) f ( x).
多项式的整除运算方法
多项式的整除运算方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊多项式的整除运算方法，这可真是个有趣又实用的玩意儿呢！你看啊，多项式就像是一群小伙伴，它们在一起玩耍，而整除运算呢，就像是给它们排排队，分分组。
比如说，一个多项式能不能被另一个多项式整除，就好像一群小朋友能不能被分成整齐的小组一样。
咱先来说说多项式整除的基本概念吧。
这就好比你有一堆糖果，你要看看能不能正好分成几个相同的小堆。
如果能，那就是整除啦！比如说，x²+2x 能不能被 x 整除呢？那当然能啦，就像把那些糖果正好能按一定规则分好一样。
还有啊，多项式整除也有一些小窍门呢！就像你找东西有诀窍一样。
比如，你可以通过观察系数啦，次数啦等等来判断。
这多有意思呀！再说说多项式整除的运算规则吧。
这就好像玩游戏有游戏规则一样。
咱得按照规则来，不能乱来呀！比如说，两个多项式相乘的结果要是能被另一个多项式整除，这中间可就有大学问了。
你想想，这就像搭积木，要把一块块积木搭得稳稳当当的，不能随便乱搭。
在多项式的整除运算里，我们得细心，得认真，不能马虎哟！不然可就搭不好啦。
还有一个特别重要的点，就是要多练习呀！就像你学骑自行车，不练习怎么能行呢？只有多做几道题，多尝试几次，才能真正掌握这个神奇的多项式整除运算方法呀！咱可别小看这多项式的整除运算，它在好多地方都有用呢！比如在数学研究中，在解决实际问题中，都能看到它的身影。
你说神奇不神奇？所以啊，朋友们，好好学一学多项式的整除运算吧！它会给你带来很多惊喜和收获的。
别觉得它难，只要你用心，肯定能学会。
就像那句话说的：世上无难事，只怕有心人嘛！相信自己，你一定能行的！。
7.2 多项式的整除性
定理7.2.1
域F上х的多项式作成的环F[х]是整区。 证明：只要证明F[х]中无零因子。 若ƒ(х)≠0，g(х)≠0，则 次ƒ(х)≠ -∞，次g(х)≠ -∞， 故次ƒ(х)g(х)=次ƒ(х)+次g(х)≠-∞， 因而ƒ(х)g(х)≠ 0。
结论：对ƒ(х )=q(х )g(х )+r(х ), g(х ) ≠0,次r(х )<次g(х )， 则q(х ) 与 r(х )是唯一确定的。 证明：若ƒ(х )=q1(х )g(х )+r1(х )， 次r1(х )<次g(х )，则 q1(х)g(х)+r1(х)=q(х)g(х)+r(х) 从而,(q1(х)-q(х))g(х)=r(х)-r1(х) 若q1(х )-q(х )≠0，则 次(q1(х )-q(х ))g(х )≥次g(х )， 但次(r(х )-r1(х ))< 次g(х )，产生矛盾。 因之， q1(х )-q(х )=0，即q1(х )=q(х ） 故，r1（х ）=r（х ）。
故次ƒ(х)g(х)=次ƒ(х)+ 次g(х) 。
例子
例 试证域F上的多项式环F[x]的理想都是主理想. 证:设I是F[x]的一个理想.若I中没有非零多项式, 则I={0},它是由0生成的理想.若I中有非零多项式, 设其中次数最低的为g(x).对于它有两种情况: (1)次g(x)=0,即g(x)=aF,且a0.a在F中有逆元 a-1, a-1a=1I,故I=F[x],是由1生成的主理想. (2)次g(x) 0,任取f(x) I,存在q(x),r(x) F[x]使得 f(x)=q(x)g(x)+r(x).因为g(x) I,且I是F[x]的理想, 推出r(x) I.由于g(x)的取法知必有r(x)=0,因此 f(x)=q(x)g(x) (g(x)).有f(x)的任意性知I (g(x)). 反之,g(x) I,对任意h(x) F[x],g(x)h(x) I,从而 (g(x)) I.综上知I=(g(x)),证毕.
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例3．求实数 m , p, q 满足什么条件时多项式
x mx 1 整除多项式 x 3 px q.
2
附：整数上的带余除法
对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r， 使 a＝qb＋r，
其中 0 r b .
q x g x r x q x g x r x
即
q x －q x g x ＝r x －r x .
若q x q x ，由g x 0, 有r x －r x 0
4 2i 5 2i
9 8i 9 8i
１ 有
f ( x ) g( x ) x 2 2ix 5 2i 9 8i .
例２.
把 f ( x ) x 表成 x 1的方幂和．
5
０ ０ ０ ０ ０ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １= c0 2 3 4 １ 2 3 4 5= c1 １ １ 1 3 6 3 6 10= c2 １ １ 1 4 4 10= c3 １ １ 1 1 5= c4 x 5 ( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2 5( x 1) 1
g( x ) | f ( x ) h2 x 使得 f ( x ) g ( x )h2 x .
f ( x ) h1 x h2 x f ( x ).
若 f ( x ) 0,
则 g ( x )＝0,
f ( x )＝cg( x )，c P ,c 0
② g ( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g ( x ) | f ( x ).
③ 允许 g ( x ) 0，此时有 0 0h( x ), h( x ) P[ x ]
即 0 0.
0 0 零多项式整除零多项式，有意义． 0 除数为零，无意义． 0
区别：
④ 当 g( x ) | f ( x ) 时， 如果 g( x ) 0, 则 g ( x ) 除
附：
综合除法
+ an , 则 x a 除 f ( x )
n n-1 f ( x ) a x + a x + 若 0 1
n1 q ( x ) b x bn1 和余式 r 的商式 0
可按下列计算格式求得：
a
a0
＋)
a1 ab0 b1
a2 ab1 b2
an1 abn 2 bn1 r
再证唯一性． 若同时有 f x q x g x r x , 其中 r x g x 或r x ＝0. 和 f x q x g x r x , 其中 r x g x 或r x ＝0. 则
证： 先证存在性．
① 若 f ( x ) 0, 则令 q( x ) r ( x ) 0. 结论成立． ② 若 f ( x ) 0, 设 f ( x ), g( x ) 的次数分别为 n, m , 当 n m 时， 显然取 q( x ) 0, r ( x ) f ( x ) 即有
若 f1 x n, 由归纳假设，存在 q1 ( x ), r1 ( x ) 使得
f1 x q1 x g x r1 x
其中 r1 x < g( x ) 或者 r1 ( x ) 0. 于是
f x b 1ax n m q1 x g x r1 x .
f ( x ) | 0;
对 f ( x ) P[ x ], a P , a 0, 有 a | f ( x ).
即，任一多项式整除它自身；
零多项式能被任一多项式整除； 零次多项式整除任一多项式． 2) 若 ，则 f ( x ) 与 a f ( x )有相同的因式和倍式． 即 a 0 时，
f ( x ) c0 c1 ( x a ) c2 ( x a )2
的形式．
例1．求 g x 除 f x 的商式和余式
f x x x x,
3 2
g x x 1 2i
解: 由
1 2i
１
＋)
－１
－１
０
1 2i 2i
q x －q x ＋ g x ＝ r x －r x g x max r , r
但 q x －q x ＋ g x g x , 矛盾． 所以 q x q x , 从而 r x =r x . 唯一性得证．
解: ∵ １ 1
二、整除
1．定义
设 f ( x ), g( x ) P[ x ], 若存在 h( x ) P[ x ] 使
f ( x ) g ( x )h( x )
则称 g ( x ) 整除 f ( x ), 记作 g ( x ) | f ( x ). ① g( x ) | f ( x ) 时， 称 g ( x )为 f ( x )的因式， f ( x ) 为 g ( x ) 的倍式．
若 f ( x ) 0， 则 h1 x h2 x ＝1
h1 x ＋ h2 x ＝0 h1 x ＝ 数．
故有 f ( x )＝cg( x )，c 0 成立． 4) 若 f ( x ) | g ( x )，g ( x ) | h( x )，f ( x ) | h x （整除关系的传递性）
1 n m q ( x ) b ax q1 x , r x r1 x 使 即有
f ( x ) q( x ) g ( x ) r ( x ),
成立．
由归纳法原理，对 f ( x ), g ( x ) 0, q( x ), r ( x ) 的存在性得证．
f ( x ) 所得的商可表成
f ( x) . g( x )
2．整除的判定
定理1 f ( x ), g( x ) P[ x ], g( x ) 0,
g( x ) | f ( x ) g( x ) 除 f ( x ) 的余式 r x 0.
3．整除的性质
1) 对 f ( x ) P[ x ], 有 f ( x ) | f ( x ),
一、带余除法 二、整除
一、带余除法
定理
对 f ( x ), g( x ) P[ x ], g( x ) 0, 一定存在 q( x ), r ( x ) P[ x ], 使
f ( x ) q( x ) g ( x ) r ( x )
成立，其中 ( r ( x )) ( g ( x )) 或 r ( x ) 0, 并且这样的 g( x ), r ( x ) 是唯一决定的． 称 q( x ) 为 g ( x ) 除 f ( x ) 的商， r ( x )为 g ( x ) 除 f ( x ) 的余式．
1 n m b ax g x 与 f ( x )首项相同， 因而，多项式 则
f1 ( x )=f ( x ) b-1ax n-m g x
的次数小于n或 f1为0． 若
f1 x = 0,
1 n m q ( x ) b ax , r ( x ) 0 即可． 令
f ( x ) | g( x )
af ( x ) | bg( x ), a , b P (a 0).
3) 若 g( x ) | f ( x )，f ( x ) | g ( x ), 则
f ( x )＝cg( x )，c 0.
证： f ( x ) | g( x ) h1 x 使得 g ( x ) f ( x )h1 x ;
f ( x ) q( x ) g( x ) r ( x ),
结论成立．
下面讨论 n m 的情形， 对 n 作数学归纳法． 次数为０时结论显然成立．
假设对次数小于n的 f ( x ) ，结论已成立．
现在来看次数为n的情形．
m n 设 f ( x )的首项为 ax , g ( x ) 的首项为 bx , (n m )
5) 若 f ( x ) | gi ( x )，i = 1,2,
,r ,r 有
ur ( x ) gr ( x ))
则对 ui ( x ) P[ x ], i = 1,2,
f ( x ) | ( u1 x g1 ( x ) u2 ( x ) g2 ( x )
6) 整除不变性： 两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变．
an abn1 ,
b0 a0
这里， b1 a1 ab0 , b2 a2 ab1 ,
bn1 an1 abn 2 ,
r an abn1 .
说明： 综合除法一般用于
① 求一次多项式 x a 去除 f x 的商式及余式． ② 把 f x 表成 x a 的方幂和，即表成