多项式的整除

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数学中的多项式函数与整除性理论

数学中的多项式函数与整除性理论多项式函数作为基本的数学概念，在数学的各个分支中都有着广泛的应用。

而整除性理论是现代数学中的一个重要理论体系，它探究了数字之间的整除关系及其相关性质。

本文将探究多项式函数与整除性理论的关系，以及多项式函数在整除性理论中的应用。

1. 多项式函数的定义及性质多项式函数是指以自变量x为变量，系数为任意实数或复数的一次或多次幂的和。

即P(x)=a0+a1x+a2x^2+…+anxn，其中a0,a1,a2,…,an为实数或复数。

多项式函数的阶次为最高幂的次数，而且一般情况下只考虑最高幂的系数不为零的多项式函数。

多项式函数具有以下性质：（1）多项式函数加法和乘法都满足结合律、交换律和分配律。

（2）多项式函数的导数是其各项系数与下标同时减一的多项式函数。

（3）多项式函数的零点是指使其取值为零的自变量值。

每个n 次多项式函数最多有n个不同的零点。

2. 整除性理论中的多项式函数应用整除性理论探究了数字之间的整除关系及其相关性质，其应用范围覆盖了数论、代数及解析几何等许多分支。

在整除性理论中，多项式函数有着重要的应用。

（1）多项式的因式分解与整数相似，多项式也可以进行因式分解。

多项式的因式分解指的是将一个多项式表示成若干个一次或多次幂的乘积的形式，即P(x)=a(x-b1)(x-b2)…(x-bn)，其中b1，b2，…，bn为多项式的根。

（2）最大公因数和最小公倍数多项式的最大公因数是指可以整除每个给定的多项式的最高公共因式。

最小公倍数是指可以被每个给定的多项式除尽的最小公倍式。

（3）整处关系的判定多项式的整除关系也可以像整数一样判定。

如果一个多项式f(x)能够被另一个多项式g(x)整除，则在f(x)除以g(x)的余数为零的情况下，f(x)可以表示为g(x)与余数r(x)的乘积。

即f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，其中q(x)为商，r(x)为余数。

如果r(x)为零，则f(x)能够被g(x)整除。

高等代数第三版

显然仍不能整除 f x .
第一章多项式
假定 g x 0，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立：并且 r x 0 ．但是F [x]的多项式 qx 和r ( x) 都是
F[ x] 的多项式，因而在 F[ x] 里，这一等式仍然成立．
f x g x qx r x
qx 0, r x f x （ii）若 f x 0 ,且 f x g x . 把f x 和g ( x)
按降幂书写: n n 1 f x an x an1 x a1x a0 g x bm x m bm1 x m1 b1x b0
于是由 r x 的唯一性得出，在 F[ x] 里 g x 也不能整除
f x .
总之，两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变.
第一章多项式
例1
确定m ，使 x 1 | x mx mx 1 .
1 n m 令q1 x a n bm x ，并记 f1 x f x q1 x g x,
这里an 0, bm 0,并且 n
m
第一章多项式
则f1 x 有以下性质：
或者 f1 x 0或 f1 x f x
f k 1 x f k x qk 1 x g x
f x f1 x g x
由于多项式 f1 x, f 2 x,的次数是递降的, 故存在k使
f k x 0或 f k x g x ，于是
第一章多项式
3、多项式的带余除法定理
定理设f x, g x F[ x] ，且 g x 0 ，则存在

多项式整除

例3．求实数 m , p, q 满足什么条件时多项式
x mx 1 整除多项式 x 3 px q.
2
附：整数上的带余除法
对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r，使 a＝qb＋r，
其中 0 r b .
q x g x r x q x g x r x
即
q x －q x g x ＝r x －r x .
若q x q x ，由g x 0, 有r x －r x 0
4 2i 5 2i
9 8i 9 8i
１有
f ( x ) g( x ) x 2 2ix 5 2i 9 8i .

例２.
把 f ( x ) x 表成 x 1的方幂和．
5
０００００１１１１１１１１１１１１= c0 2 3 4 １ 2 3 4 5= c1 １１ 1 3 6 3 6 10= c2 １１ 1 4 4 10= c3 １１ 1 1 5= c4 x 5 ( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2 5( x 1) 1
g( x ) | f ( x ) h2 x 使得 f ( x ) g ( x )h2 x .
f ( x ) h1 x h2 x f ( x ).
若 f ( x ) 0,

则 g ( x )＝0,
f ( x )＝cg( x )，c P ,c 0
② g ( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g ( x ) | f ( x ).

原题目：多项式的整除性质

原题目：多项式的整除性质
多项式的整除性质
在代数学中，多项式的整除性质是一种非常重要的属性。

它描
述了多项式之间的除法关系。

本文将介绍多项式的整除性质及其应用。

定义
设A(x)和B(x)是两个多项式，如果存在另一个多项式C(x)，
使得A(x) = B(x) * C(x)，则称B(x)可以整除A(x)，记作B(x) | A(x)。

整除定理
多项式的整除性质可以通过整除定理来描述。

整除定理指出，
当B(x)是一个一次多项式，即B(x) = ax + b，并且B(x)整除A(x)时，A(x)在x = -b/a时取值为零。

应用
多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。

一些重要的应用包括：
1. 确定多项式的公因式：如果B(x)整除A(x)，则B(x)是A(x)的一个公因式。

这可以用来简化多项式、分解多项式或找到多项式的根。

2. 带余除法：根据整除性质，可以使用带余除法来将一个多项式除以另一个多项式。

带余除法是一种有效的算法，可以用于多项式的除法运算。

3. 多项式的因式分解：利用多项式的整除性质，可以将一个多项式因式分解为较低次数的多项式乘积的形式。

这在代数学和数值计算中都是非常重要的操作。

4. 多项式的最大公因式：通过利用多项式的整除性质，可以求解多项式的最大公因式。

最大公因式是两个或多个多项式共有的最高次数的公因式。

总结
多项式的整除性质是一种重要的代数属性，它描述了多项式之间的除法关系。

整除定理提供了判断多项式整除性的方法，而多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。

2.2多项式的整除性

项式有任意多高次的因式）。 3.零次多项式只能被零次多项式整除。 4.零次多项式整除任一多项式。
2.基本性质
(a). 对f(x)∈F[x]和c∈F( c≠0),总有f(x)|0, c|f(x), c f(x)|f(x).
注：(1)任何多项式f(x)都有因式c和cf(x)(0 ≠c∈F），
它们称为f(x)的平凡因式.
2.综合除法
若 f ( x) an xn + an1xn-1 + L + a0, 则 x c 除 f ( x) 的商式 q( x) bn1xn1 b0 和余式 r(x)
可按下列计算格式求得：
c an an1 an2 L a1 a0
＋) cbn1 cbn2 L cb1 cb0
均不成立。
问题：
(1).零多项式能否整除零多项式？ (2).任意非零多项式能否整除零多项式？ (3).零多项式能否整除任意非零多项式？ (4).零次多项式能否整除任意多项式？ (5).零次多项式能否被任意多项式整除？
结论：
1.零多项式能整除且仅能整除零多项式。 2.零多项式能被任意多项式整除（即零多
此时称g(x)是f(x)的一个因式，f(x)是g(x) 的一个倍式。
否则，则称g(x)不整除f(x),记作g(x) † f(x).
注：
(1).g(x)|f(x)不能写作g(x)/f(x),以免与分式混淆; (2).整除性不是多项式的运算，它只是F[x]元素
间的一种关系; (3).若g(x) †f(x)，则对h(x)F[x], f(x)=g(x)h(x)
f ( x) c0 c1( x a) c2( x a)2 L 的形式．
例2.3 设 f ( x) x4 x2 4x 77 , g( x) x 3, 求g( x)除f ( x)所得商式q( x)和余式r,并指出是否有 g( x) f ( x).

多项式的整除性

4.3 多项式的整除性教学内容：4.3多项式的整除性教学目标：正确理解多项式的整除概念及性质。

理解和掌握带余除法。

授课时数：2学时教学重点：多项式整除的概念及基本性质教学难点：带余除法定理及证明（定理4.3.1及证明）教学过程：在][x F 中除法不是永远可以实施的，因此多项式整除性的研究在多项式理论中占有重要的地位。

一、多项式整除的概念及性质1. 定义定义 1 设][)(),(x F x g x f ∈.如果存在][)(x F x h ∈,使得)()()(x h x f x g =,则称)(x f 整除（能除尽）)(x g ,记作)(|)(x g x f 。

此时说)(x f 是)(x g 的因式，)(x g 是)(x f 的倍式。

如果满足条件的)(x h 不存在，即对任意)()()(],[)(x h x f x g x F x h ≠∈,则称)(x f 不能整除)(x g , 记作()|()f x g x .由定义1知：1︒0|)(],[)(x f x F x f ∈∀;特别地，0|0.2︒)(|,x f c F c ∈∀.3︒,c d F ∀∈,0≠c ，有d c |.如2|0。

4︒高次多项式不能整除低次多项式。

多项式的整除运算方法

多项式的整除运算方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊多项式的整除运算方法，这可真是个有趣又实用的玩意儿呢！你看啊，多项式就像是一群小伙伴，它们在一起玩耍，而整除运算呢，就像是给它们排排队，分分组。

比如说，一个多项式能不能被另一个多项式整除，就好像一群小朋友能不能被分成整齐的小组一样。

咱先来说说多项式整除的基本概念吧。

这就好比你有一堆糖果，你要看看能不能正好分成几个相同的小堆。

如果能，那就是整除啦！比如说，x²+2x 能不能被 x 整除呢？那当然能啦，就像把那些糖果正好能按一定规则分好一样。

还有啊，多项式整除也有一些小窍门呢！就像你找东西有诀窍一样。

比如，你可以通过观察系数啦，次数啦等等来判断。

这多有意思呀！再说说多项式整除的运算规则吧。

这就好像玩游戏有游戏规则一样。

咱得按照规则来，不能乱来呀！比如说，两个多项式相乘的结果要是能被另一个多项式整除，这中间可就有大学问了。

你想想，这就像搭积木，要把一块块积木搭得稳稳当当的，不能随便乱搭。

在多项式的整除运算里，我们得细心，得认真，不能马虎哟！不然可就搭不好啦。

还有一个特别重要的点，就是要多练习呀！就像你学骑自行车，不练习怎么能行呢？只有多做几道题，多尝试几次，才能真正掌握这个神奇的多项式整除运算方法呀！咱可别小看这多项式的整除运算，它在好多地方都有用呢！比如在数学研究中，在解决实际问题中，都能看到它的身影。

你说神奇不神奇？所以啊，朋友们，好好学一学多项式的整除运算吧！它会给你带来很多惊喜和收获的。

别觉得它难，只要你用心，肯定能学会。

就像那句话说的：世上无难事，只怕有心人嘛！相信自己，你一定能行的！。

高等代数第二版课件§1[1].3_整除的概念

若 g x 0 则在 F x 中有
f x g x q x r x , r x 0
第二章多项式
但 F x 中的多项式 q x , r x 仍是 F x 的多项式。因而在 F x 中，这一等式仍然成立。由 q x , r x 的唯一性知，在 F x 中 g x
第二章多项式
x f k x 例1.3.2：证明
k 1 的充要条件是 x f x
证：充分性显然。 x xq x c
k
k
xq1 x c k
由于 x f
f g h x m1 x m2 x , h x f g
第二章多项式
m1 x , m2 x F x
若性质3： h x f x ，对 g x F x 。 h fg 有证：
f x
第二章
多项式

作业 P44 1（1），2（1），3（1）
第二章
多项式
h x f x
m1 x , m2 x F x
性质2：若 h x g x , h x f x ，则 h f g 。证： g x h x m1 x , f x h x m2 x
g x 除 f x 的余式 r x 0
证：充分性。若 f x g x q x r x 且 r x 0 则有 g x f x 必要性。若 g x f x ，则 f x g x q x 例1.3.1 设 f x 5x4 2x3 3x2 7x 1, g x x2 2x 3 求 g x 除 f x 所得的余式和商式。

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因而即
q ( x) q ( x) 0
r ( x) r ( x), q( x) q( x)
说明：1。若无r(x)=0或(r(x))< (g(x))的限制，则使 f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立的，q(x),r(x)不唯一，此时不能定义商式与余式，也不能判断一个多项式能否整除另外一个多项式。 5 2 例如： f ( x) x 1, g ( x) x f ( x) x 2 0 x 5 1 令 q( x) 0, r ( x) x 1. f ( x) x x ( x 1 x ). 令 q( x) x , r ( x) x x 1
<二>多项式整除的基本性质
1。如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),那么f(x)|h(x). 证明：f(x)|g(x) h1(x) F[x] 使 g(x)=f(x) h1(x) ……（1） g(x)|h(x) h2(x) F[x] 使 h(x)=g(x) h2(x) ……（2）由（1），（2）得h(x)=f(x)(g(x) h2(x)) 即 f(x)|h(x)
注：1。每一个多项式f(x)都能整除cf(x), 其中c F. 2。g(x)|f(x) g(x)|cf(x). (c F) g(x)|f(x) cg(x)|f(x). (0 c F) 即：f(x)与cf(x) (c F)有相同的因式。 f(x)与cf(x) (0 c F)有相同的倍式。
6。若f(x)|g(x),g(x)|f(x),那么f(x)=cg(x),其中 0 c F. 证明：由f(x)|g(x) (x) F[x],使 g(x)=f(x) (x) ……（1）由g(x)|f(x) (x) F[x],使 f(x)=g(x) (x) ……（2）由（1），（2）得：f(x)=f(x) (x) (x) 若f(x)=0,则由（1）知g(x)=0,从而f(x)=g(x). 若f(x)=0,则由（1）知(x) (x)=1，于是，（(x) (x)）=0，从而（(x)）=0，（ (x)）=0，令 (x)=c,(0 c F)
二
证明：先证定理的前一部分。若f(x)=0或（f(x)）< (g(x)).那么可以取q(x)=0,r(x)=f(x). 若(f(x)) (g(x)) 令 f(x)=a xn + a xn-1 +…+ an-1x+ an, g(x)=b0xm+ b1xm+1+…+ bm-1x+ bm 其中a0 0，b0 0，且n >m,令有
问题：
1。零多项式能否整除零多项式？ 2。任意非零多项式能否整除零多项式？ 3。零多项式能否整除任意非零多项式？ 4。零次多项式能否整除任意多项式？ 5。零次多项式能否被任意多项式整除？
Байду номын сангаас
分析：
1。因h(x) ∈F[x],均有 0=0h(x) 成立，故0|0有意义。
2。对0≠f(x)∈F[x],
0
m
0
r(x)=f(x). 满足等式（*）且或者r(x)=0,或者（r(x))<(g(x)). 下证唯一性。
假设存在 q( x), r ( X ) f [ X ] 使
F ( X ) g ( x)q( x) x( x)
…….(3)
且 r ( x) 0 或者 ( x(x)) (g(x)) 由（3），（*）得
1
0
0
0
0
1
0
F2 (x)= F1 (x)- b0-1 a xn -m g(x) 其中b10是f1 (x)的首次系数。则f2 (x)=0或者（f2(x)）< （ f1 (x)）=n. 这样做下去，由于（f1(x)）> （ f2 (x)> （ f3 (x) ）>…… 最后一定存在fk(x): fk(x)= fk-1(x)-b0-1 a xn -m g(x) 而fk(x)=0或（ fk (x)）<m,于是有等式：
注：
1.f(x)|g(x)不能写作f(x)/g(x),以免与分式混淆。 2.整除性不是多项式的运算，它只是F[x] 元素间的一种关系。 3.若f(x)|g(x),则(f(x)) (g(x)) 4.若f(x) † g（x），则对任意 h(x)∈F[x], g(x)=f(x)h(x)均不成立。
g ( x)[q( x) q( x)] r ( x) r ( x)
若是 r ( x)
r ( x) 0那么，
q ( x) q ( x) 0
这时等式右边的次数将小于g(x)的次数，而等式左边的次数将不小于g(x)的次数，这是不可能的。因此必有：
r ( x) r ( x) 0
0
1
f1(x)=f(x)- b0-1 a xn-m g(x).
0
则f1(x)=0或（f1(x)）< （f(x)）=n 若f (x)=0则f(x)= a xn-m g(x). 令q(x)= b0-1 a xn-m,r(x)=0即可。若f1(x)=0，（f1(x)）< （g(x)）则有 f(x)= b -1 a xn-m g(x)+ f (x) 令q(x)= b0-1 a xn-m ， r(x)=f1(x)即可。若f1(x) 0，（f1(x)）=n1 >（g(x)）, 令
5。对
g(x)∈F[x],0 ≠C ∈F, 若存在h(x) ∈F[x],使 C=g(x)h(x), 则g(x)与h(x)均为零多项式。
结论：
1。零多项式能整除且仅能整除零多项式。 2。零多项式能被任意多项式整除（即零多项式有任意多高次的因式）。 3。零次多项式只能被零次多项式整除。 4。零次多项式整除任一多项式。
则有：f(x)=cg(x). 说明：若f(x)与g(x)均有首项系数为1的多项式，则有c=1,f(x)=g(x).从而可用此性质判定两首项系数为1的多项式是否相等。
带余除法定理定理2.2.1.设f(x)和g(x)是F[x]的任意两个多项式，并且g(x) 0,那么在F[x]中可以找到多项式g(x)和r(x),使 f(x)=g(x)q(x)+r(x) ……（*）这里或者r(x)=0,或者 (r(x))< (g(x)). 满足以上条件的多项式q(x)和r(x)只有一对，此时分别称为f(x)除以g(x)的商式与余式。
例2.令h(x)=(x-2)(x-3),g(x)=(x-2) ² ,f(x)=(x-3) ² . 有h(x)|f(x)g(x),但h(x) † g(x)且h(x) † f(x). 4。若h(x)|f2(x),(i=1,2,……，t),那么 gi(x) F[x],(i=1,2,……，t),有 h(x)|(f1(x)g1(x) + f2(x)g2(x) +… + fi(x)gi(x) ) 5。每一个多项式f(x)都能被cf(x)整除，其中 0 c F. 1 证明：由f(x)= c (cf(x)),可得。
注：此命题的逆命题不一定成立。例1.令h(x)=x,g(x)=x ² -1,g(x)=x ² +1,有 h(x)|(f(x) +g(x))，但h(x) † f(x),h(x) † g(x).
3。如果h(x)|f(x),那么g(x) F[x],均有 h(x)|f(x)g(x) 证明：h(x)|f(x) (x) F(x),使 f(x)= h(x)(x)，得 f(x)g(x) =h(x)((x)g(x)),即 h(x)|f(x)g(x) 注：此命题逆命题不一定成立。
§2.5 多项式的整除
设F是一个数域，F[x]是F上一元多项式环。一、多项式整除的定义与性质。 <一>多项式整除的定义定义：令f(x)和g(x)是数域F上多项式环F[x]的两
个多项式，如果存在F[x]的多项式h(x),使
g(x)=f(x)h(x)
则称f(x)整除（能除尽）g(x). 记为 f(x)|g(x) 此时称f(x)是g(x)的因式， g(x)是f(x)的倍式。否则，则称f(x)不整除g(x),记作f(x) † g(x).
不存在0h(x)∈F(x),使 0=f(x)h(x)成立。欲使 0=f(x)h(x)成立，只有 h(x)=0
3。
对0≠f(x)∈F[x], 不存在h(x) ∈F[x],使 f(x) = 0 h(x)成立。
4。对f(x)∈F[x],
0 ≠C ∈F，均有 1 f(x)=C( c f(x))
2。如果h(x)|f(x),h(x)|g(x),那么 h(x)|(f(x) +g(x)). 证明：h(x)|f(x) (x) F[x],使 f(x)=h(x) (x) ……（1） h(x)|g(x) (x) F[x],使 g(x)=h(x) (x) ……（2）由（1），（2）得 f(x) +g(x)=h(x)((x) +(x) ) 即 h(x)|(f(x) +g(x)).
10
1
k-1,0
k-1
f(x)-b0-1a xn-mg(x)=f1(x), f1(x)-b0-1a10xn1-mg(x)=f2(x), …… fk-1(x)-b0-1ak-1,0xnk-1-mg(x)=fk(x),. 相加得： f(x)=b0-1a xn-m+b0-1a10xn1-m+…+b0-1ak-1,0xnk-1-m 令g(x)=b0-1a xn-m+b0-1 a10xn1-m+…+b0-1 ak-1,0xnk-10
5
2 2 5 4
2
5
4
2。 q ( x )
1 b0
(b a x b a x ... b a x
1 nm 1 n1 m 1 0 0 0 10 0 k 1 , 0 nm nk 1 m 0 k 1 , 0