多项式的整除问题
数学中的多项式函数与整除性理论
数学中的多项式函数与整除性理论多项式函数作为基本的数学概念，在数学的各个分支中都有着广泛的应用。
而整除性理论是现代数学中的一个重要理论体系，它探究了数字之间的整除关系及其相关性质。
本文将探究多项式函数与整除性理论的关系，以及多项式函数在整除性理论中的应用。
1. 多项式函数的定义及性质多项式函数是指以自变量x为变量，系数为任意实数或复数的一次或多次幂的和。
即P(x)=a0+a1x+a2x^2+…+anxn，其中a0,a1,a2,…,an为实数或复数。
多项式函数的阶次为最高幂的次数，而且一般情况下只考虑最高幂的系数不为零的多项式函数。
多项式函数具有以下性质：（1）多项式函数加法和乘法都满足结合律、交换律和分配律。
（2）多项式函数的导数是其各项系数与下标同时减一的多项式函数。
（3）多项式函数的零点是指使其取值为零的自变量值。
每个n 次多项式函数最多有n个不同的零点。
2. 整除性理论中的多项式函数应用整除性理论探究了数字之间的整除关系及其相关性质，其应用范围覆盖了数论、代数及解析几何等许多分支。
在整除性理论中，多项式函数有着重要的应用。
（1）多项式的因式分解与整数相似，多项式也可以进行因式分解。
多项式的因式分解指的是将一个多项式表示成若干个一次或多次幂的乘积的形式，即P(x)=a(x-b1)(x-b2)…(x-bn)，其中b1，b2，…，bn为多项式的根。
（2）最大公因数和最小公倍数多项式的最大公因数是指可以整除每个给定的多项式的最高公共因式。
最小公倍数是指可以被每个给定的多项式除尽的最小公倍式。
（3）整处关系的判定多项式的整除关系也可以像整数一样判定。
如果一个多项式f(x)能够被另一个多项式g(x)整除，则在f(x)除以g(x)的余数为零的情况下，f(x)可以表示为g(x)与余数r(x)的乘积。
即f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，其中q(x)为商，r(x)为余数。
如果r(x)为零，则f(x)能够被g(x)整除。
多项式的除法
多项式的除法1． 带余除法定理1 （带余除法定理）设()f x 与()g x 是多项式，且()0g x ≠，那么存在惟一的一对多项式()q x 与()r x ，使得()()()()f x g x q x r x =+ ①其中()0r x =或者()()deg deg r x g x <。
()q x 叫做以()g x 除()f x 所得的商，()r x 叫做余式。
定义1：在①式中，当()0r x =时，称()g x 整除()f x ，记为()g x |()f x ，也称()g x 是()f x 的因式，或()f x 是()g x 的倍式。
若()0r x ≠，则称()g x 不整除()f x 。
定理2 （余数定理）多项式()f x 除以x a -所得余数为()f a 。
推论1 ()x a -|()()()f x f a -推论2 若()[]f x Z x ∈,a 与b 是不同的整数,则()a b -|()()()f a f b -.由余数定理还可以得到以下重要定理:定理3 (因式定理)多项式()f x 有因式x a -的充要条件是()0f a =.多项式整除的基本性质:(1) 若()f x |()g x ,()g x |()h x ,则()f x |()h x(2) 若()h x |()f x ,()h x |()g x ,则()h x |()()f x g x ±⎡⎤⎣⎦(3) 若()h x |()f x ,则()h x |()()f x g x ⋅,()g x 为任意多项式.(4) 若()f x |()g x ,()g x |()f x ,则()()f x c g x =⋅,其中c 是不等于零的常数.2． 多项式的分解定义2:一个次数大于零的多项式()f x ,如果在数域F 内除形如λ和()f x μ(,λμ为非零数)的因式(称为()f x 的平凡因式)外,无其它因式,则称()f x 在F 内不可约.若()f x 在F 内除平凡因式外,还有其它因式,则称()f x 在F 内可约.不可约多项式的一些重要性质:(1) 如果多项式()p x 不可约,而()f x 是任一多项式,那么,或者()()(),1p x f x =,或者()p x |()f x .(2) 如果多项式()f x 与()g x 的乘积能被不可约多项式()p x 整除,那么()f x 与()g x 中至少有一个被()p x 整除.定理4 数域F 上的次数大于零的多项式()f x ,如果不计零次因式的差异,那么()f x 可以惟一地分解为以下形式:()()()()1212t k k k t f x ap x p x p x = ②其中a 是()f x 的最高次项的系数,()()()12,,t p x p x p x 是首项系数为1的互不相等的不可约多项式,并且()()1,2,,i p x i t = 是()f x 的i k 重因式.【注】其中数域F 是指Q ,或R ,或C .关于整系数多项式的分解问题.定义3:设整系数多项式()0mj j j f x a x ==∑各项系数的最大公约数等于1,即()012,,,,1m a a a a = ;则称()f x 为本原多项式.引理 设()f x ,()g x 和()h x 都是整系数多项式并且()()()h x f x g x =⋅,如果质数p 整除多项式()h x 的所有系数,那么至少有()f x 与()g x 这两个多项式之一,其所有的系数也都能被p 整除.推论 本原多项式的乘积仍然是一个本原多项式.定理5 如果整系数多项式()f x 在有理系数范围内可约,那么,它在整系数范围内也可约. 以上论断的等价陈述是:如果整系数多项式()f x 在整系数范围内不可约,那么它在有理数范围内也不可约.3． 最大公因式定义4:如果两个多项式()f x 与()g x 同时被()d x 整除,那么()d x 叫做()f x 与()g x 的公因式.如果()d x 是()f x 与()g x 的公因式,并且()f x 与()g x 的所有公因式都整除()d x ,则()d x 叫做()f x 与()g x 的最大公因式.【注】两个不全为零的多项式的最大公因式是不唯一的,它们之间只有常数因子的差异.这时,我们约定,最大公因式是指首项系数为1的那一个,这样,两个多项式()f x 与()g x 的最大公因式就是惟一的,记为()()(),f x g x .两个多项式的最大公因式,有以下重要定理:定理6 设多项式()f x 与()g x 的最大公因式为()d x ,那么存在多项式()u x 与()v x ,使以下等式成立:()()()()()f x u x g x v x d x += ③定义5:如果两个多项式除零次多项式外无其他的公因式,那么就称这两个多项式互素. 显然,()f x 与()g x 互素()()(),1f x g x ⇔=.定理7 两个多项式()f x 与()g x 互素的充要条件是,存在多项式()u x 与()v x ,使()()()()1f x u x g x v x += ④互素多项式的一些重要性质:(1) 若()()()()()(),1,,1f x h x g x h x ==,则()()()(),1f x g x h x -=(2) 若()h x |()()f x g x ,()()(),1h x f x =,则()h x |()g x .(3) 若()g x |()f x ,()h x |()f x ,()()(),1g x h x =,则()()g x h x |()f x .针对性训练1. 求19861x -除以()()2211x x x +++所得的余式. 解:()()32111x x x x -=-++ ()21x x ∴++|()31x -又()()()662198633111x x x p x -=-=- ()31x ∴-|()19861x -()21x x ∴++|()19861x -由此可知, 19861x -除以()()2211x x x +++所得余式()()()21r x x x ax b =+++.这里,a b R ∈,于是()()()()()198********x x x x g x x x ax b -=+++++++ 令x i =,得()20i ai b -=++,即2a bi -=-+. 比较两端的实部和虚部,得2,0a b ==. 故所求余式为()()221r x x x x =++.2. 设多项式()[]32f x x bx cx d Z x =+++∈,并且bd cd +是奇数,证明:()f x 不能分解为两个整系数多项式的乘积.证明:因为()bd cd b c d +=+是奇数,所以d 与b c +均为奇数,从而()11f b c d =+++是奇数.假设()()()()2,,f x x p x qx r p q r Z =+++∈。
关于多项式的综合算式练习题
关于多项式的综合算式练习题题一：多项式的整除性质已知多项式$P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4$，求：1. $P(2)$的值；2. $P(-1)$的值；3. 化简$P(2x)$。
解析：1. 将$x$替换为2，得到：$P(2) = 2^3 - 3(2^2) + 2(2) - 4 = 8 - 12 + 4 - 4 = -4$。
2. 将$x$替换为-1，得到：$P(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2(-1) - 4 = -1 - 3 + (-2) - 4 = -10$。
3. 化简$P(2x)$，将$x$替换为$2x$，得到：$P(2x) = (2x)^3 - 3(2x)^2 + 2(2x) - 4 = 8x^3 - 12x^2 + 4x - 4$。
题二：多项式的运算已知多项式$Q(x) = 3x^2 - 5x + 2$和$R(x) = 2x^2 - x + 3$，求：1. $Q(x) + R(x)$的结果；2. $Q(x) - R(x)$的结果；3. $Q(x) \cdot R(x)$的结果。
解析：1. 将$Q(x)$和$R(x)$对应的系数相加，得到：$Q(x) + R(x) = (3x^2 - 5x + 2) + (2x^2 - x + 3) = 5x^2 - 6x + 5$。
2. 将$Q(x)$和$R(x)$对应的系数相减，得到：$Q(x) - R(x) = (3x^2 - 5x + 2) - (2x^2 - x + 3) = x^2 - 4x - 1$。
3. 将$Q(x)$和$R(x)$进行乘法运算，得到：$Q(x) \cdot R(x) = (3x^2 - 5x + 2) \cdot (2x^2 - x + 3) = 6x^4 - 11x^3 + 4x^2 - 14x + 6$。
题三：多项式的因式分解已知多项式$S(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$，求其因式分解。
多项式整除
例3．求实数 m , p, q 满足什么条件时多项式
x mx 1 整除多项式 x 3 px q.
2
附：整数上的带余除法
对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r， 使 a＝qb＋r，
其中 0 r b .
q x g x r x q x g x r x
即
q x －q x g x ＝r x －r x .
若q x q x ，由g x 0, 有r x －r x 0
4 2i 5 2i
9 8i 9 8i
１ 有
f ( x ) g( x ) x 2 2ix 5 2i 9 8i .
例２.
把 f ( x ) x 表成 x 1的方幂和．
5
０ ０ ０ ０ ０ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １= c0 2 3 4 １ 2 3 4 5= c1 １ １ 1 3 6 3 6 10= c2 １ １ 1 4 4 10= c3 １ １ 1 1 5= c4 x 5 ( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2 5( x 1) 1
g( x ) | f ( x ) h2 x 使得 f ( x ) g ( x )h2 x .
f ( x ) h1 x h2 x f ( x ).
若 f ( x ) 0,
则 g ( x )＝0,
f ( x )＝cg( x )，c P ,c 0
② g ( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g ( x ) | f ( x ).
多项式的整除性和带余除法
• 整除性的几个常用性质:
• 1.任一多项式 f(x)都能被 cf(x) 整除 • 2.如果f(x)|g(x),g(x)|f(x),则 f(x)=cg(x)(c≠0); • 3.如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),则 f(x)|h(x); • 4.如果g(x)|f(x),则对任意多项式u(x) 都有 g(x)|u(x)f(x); • 5.如果f(x)|g(x),f(x)|h(x),则对任意 多项式u(x),v(x) 都有 f(x)|(u(x)g(x)+v(x)h(x));
• 补充:综合除法
设 f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a1 x a 0 f ( x) ( x c)q( x) r q ( x ) bn 1 x
n 1
bn 2 x
n2
b1 x b0
比较系数, 有 a n bn 1 , a n 1 bn 2 cbn 1 , , a 0 r cb0 我们得到综合除法 c | an a n 1 cbn 1 bn 1 bn 2 an2 cbn 2 bn 3 a1 cb1 b0 a0 cb0 r
由定义不难看出 1.零多项式被任意一个多项式整除; 2.零多项式不能整除任意非零多项式; 3.任意多项式一定整除它自身. 4.零次多项式(非零常数)整除任意多项式. 当g(x)≠0时,由带余除法定理得到 Theorem1.对于P[x]中任意两个多项式 f(x)与g(x),其中g(x)≠0, 则g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除 f(x)的余式为零.
EXAMPLE1 . 实数 m, p, q 满足什么条件时, 多项式 x mx 1 能 整除 x px q ?
原题目：多项式的整除性质
原题目：多项式的整除性质
多项式的整除性质
在代数学中，多项式的整除性质是一种非常重要的属性。
它描
述了多项式之间的除法关系。
本文将介绍多项式的整除性质及其应用。
定义
设A(x)和B(x)是两个多项式，如果存在另一个多项式C(x)，
使得A(x) = B(x) * C(x)，则称B(x)可以整除A(x)，记作B(x) | A(x)。
整除定理
多项式的整除性质可以通过整除定理来描述。
整除定理指出，
当B(x)是一个一次多项式，即B(x) = ax + b，并且B(x)整除A(x)时，A(x)在x = -b/a时取值为零。
应用
多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
一些重要的应用包括：
1. 确定多项式的公因式：如果B(x)整除A(x)，则B(x)是A(x)的一个公因式。
这可以用来简化多项式、分解多项式或找到多项式的根。
2. 带余除法：根据整除性质，可以使用带余除法来将一个多项式除以另一个多项式。
带余除法是一种有效的算法，可以用于多项式的除法运算。
3. 多项式的因式分解：利用多项式的整除性质，可以将一个多项式因式分解为较低次数的多项式乘积的形式。
这在代数学和数值计算中都是非常重要的操作。
4. 多项式的最大公因式：通过利用多项式的整除性质，可以求解多项式的最大公因式。
最大公因式是两个或多个多项式共有的最高次数的公因式。
总结
多项式的整除性质是一种重要的代数属性，它描述了多项式之间的除法关系。
整除定理提供了判断多项式整除性的方法，而多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
2.2多项式的整除性
2.基本性质
(a). 对f(x)∈F[x]和c∈F( c≠0),总有f(x)|0, c|f(x), c f(x)|f(x).
注：(1)任何多项式f(x)都有因式c和cf(x)(0 ≠c∈F），
它们称为f(x)的平凡因式.
2.综合除法
若 f ( x) an xn + an1xn-1 + L + a0, 则 x c 除 f ( x) 的商式 q( x) bn1xn1 b0 和余式 r(x)
可按下列计算格式求得：
c an an1 an2 L a1 a0
＋) cbn1 cbn2 L cb1 cb0
均不成立。
问题：
(1).零多项式能否整除零多项式？ (2).任意非零多项式能否整除零多项式？ (3).零多项式能否整除任意非零多项式？ (4).零次多项式能否整除任意多项式？ (5).零次多项式能否被任意多项式整除？
结论：
1.零多项式能整除且仅能整除零多项式。 2.零多项式能被任意多项式整除（即零多
此时称g(x)是f(x)的一个因式，f(x)是g(x) 的一个倍式。
否则，则称g(x)不整除f(x),记作g(x) † f(x).
注：
(1).g(x)|f(x)不能写作g(x)/f(x),以免与分式混淆; (2).整除性不是多项式的运算，它只是F[x]元素
间的一种关系; (3).若g(x) †f(x)，则对h(x)F[x], f(x)=g(x)h(x)
f ( x) c0 c1( x a) c2( x a)2 L 的形式．
例2.3 设 f ( x) x4 x2 4x 77 , g( x) x 3, 求g( x)除f ( x)所得商式q( x)和余式r,并指出 是否有 g( x) f ( x).
多项式的除法
多项式的除法多项式的除法是初中数学中的重要内容，也是中学数学的基础知识之一。
掌握多项式的除法方法，对于解决实际问题和解题能力的提升都有着重要的作用。
本文将从多项式的定义和基本性质开始，逐步介绍多项式的除法步骤、常见技巧以及应用实例，帮助读者更好地理解和应用多项式的除法。
一、多项式的定义和基本性质多项式是由常数项、一次项、二次项等有限个单项式相加或相减得到的代数表达式。
例如，3x^2 + 2x - 1就是一个多项式，其中3x^2、2x和-1分别是它的三个单项式。
多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商式和余式的过程。
在进行多项式的除法时，需要注意以下几个基本性质：1. 除数不为零：在进行多项式的除法运算时，除数不能为零，否则运算结果将无意义。
2. 次数规则：当被除式的次数大于或等于除数的次数时，商式的次数等于被除式的次数减去除数的次数再加一。
3. 余式规则：余式的次数要小于除数的次数。
二、多项式的除法步骤多项式的除法步骤可以总结为以下几个基本步骤：1. 将除数和被除式按照降幂排列，确保每一项的次数从高到低排列。
2. 比较被除式的首项与除数的首项，将它们的系数相除得到商的首项。
3. 用商的首项乘以除数，得到一个新的多项式。
4. 将新的多项式与被除式进行相减，得到一个新的多项式。
5. 重复以上步骤，直到新的多项式的次数小于除数的次数为止。
6. 最后得到的商式就是多项式的商，剩下的多项式就是多项式的余式。
三、多项式除法的常见技巧1. 试商法：在进行多项式的除法时，可以通过试商法来确定商的首项。
试商法的基本思想是，通过猜测一个合适的商的首项，使得乘积的结果与被除式的首项相等或接近。
2. 零系数法则：当进行多项式的除法时，如果某一项的系数为零，可以直接省略该项，简化运算过程。
3. 余式为零的判断：当进行多项式的除法时，如果得到的余式为零，说明被除式可以整除除数，即两个多项式存在整除关系。
四、多项式除法的应用实例1. 求多项式的因式：通过多项式的除法，可以将一个多项式分解为若干个一次或二次的因式，从而更好地理解和运用多项式的性质。
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浅谈多项式的整除问题摘要:研究多项式以及多项式的整除理论，并利用这些理论，探究多项式整除的判别方法关键词:多项式；整除；整除理论；判别方法Discusses the multinomial shallowly the aliquot questionAbstract:Research multinomial as well as many item of aliquot theory,and using these theories,inquisition multinomial aliquot distinction method Key words:Multinomial;Aliquot;Aliquot theory;Distinguished method本文引入和研究多项式的整出问题，研究的主要内容有：研究多项式以及多项式的整除理论[1]；并利用这些理论，探究多项式整除的判别方法.1.利用单位根及因式定理此方法的关键是熟练掌握因式定理[2]和单位根的性质.例1 证明2331321m n p x x x x x ++++|++（.证明 可求得210x x ++=的根为112-+ω=，212-ω=，所以 2121()()x x x x ++=-ω-ω又因321(1)(1)0i i i i ω-=ω-ω+ω+= (1,2)i =，知31i ω=,从而333m n p i i i ω=ω=ω设33132()m n p f x x x x ++=++则有331322()10,(1,2)m n p i i i i i i f i ++ω=ω+ω+ω=+ω+ω== 故由因式定理知12()()()x x f x -ω-ω|，即21()x x f x ++|.2.利用熟知的乘法公式此方法的关键是在于熟练的掌握乘法公式，（例如：(1)(2)1()1(1)(1)n m s m m s m s m x x x x x x ---=-=-++++[3] 等）理解公式包涵的整除意义，再去解题.例2 证明1d x -整除1n x -当且仅当d 整除n .证明 充分性 设d n |，假定n dt =，则有(1)(2)1()1(1)(1)n d t d d t d t d x x x x x x ---=-=-++++从而有11d n x x -|-必要性 已知11d n x x -|-，假定n dt r =+，0r d ≤<，则111(1)(1)n dt r dt r r r dt r r x x x x x x x x x +-=-=⋅-+-=-+-有充分性的证明之11d dt x x -|-，从而有11d n x x -|-得11d r x x -|-.因为0r d ≤<，所以必有10r x -=，即0r =，故得d n |.3.利用整除的判别定理利用这种方法解题的关键是把整除转化为带余除法中所得余式为零. 对于多项式()()[],f x g x F x ∈，且()0g x ≠，则()()g x f x |的充要条件是()g x 除()f x 的余式()0r x =.[4]例3 确定m ，p 的值，使324222x x x mx px ++∣+-+.232x x ++ 422x mx px +-+ 3(7)()x x m q x -++= 43232x x x ++323(2)2x m x px -+--+32396x x x ---2(7)(6)2m x p x +--+2(7)3(7)2(7)m x m x m +++++()(315)(212)r x m p x m = -++-+令()0r x = 可得：(315)0m p -++=，2(6)0m -+=解得：6m =-，3p =4.利用不可约多项式的性质利用这种方法求解问题的关键是熟知不可约多项式的性质.例4 证明：次数>0且首项系数为1的多项式()f x 是一个不可约多项式的方幂的充要条件为：对任意的多项式()g x 必有((),())1f x g x =，或者对某一正整数m ，()()m f x g x |.证明 必要性设()()m f x p x =，其中()p x 是不可约多项式，则对于任意多项式()g x ，有((),())1p x g x =或()()p x g x |.当((),())1p x g x =时，有((),())1f x g x =；而当()()p x g x |时，有()()m m p x g x |，即()()m f x g x |.充分性 设()()()k f x p x q x =，其中k ≥1，()p x 不可约，且()p x 不是()q x 的因式，(())0q x ∂>.取()()g x q x =，则((),())()1f x q x q x =≠；且对于任意正整数m ，()f x 不能整除()m q x ，这是因为，若()()m f x q x |，则由()()p x f x |得()()m p x q x |，又由()p x 不可约得()()p x q x |，与假设矛盾.故()f x 必为一不可约多项式的方幂.5.利用待定系数法此方法关键是利用两边多项式的各系数相等来求解.例5求出4322342x x x x +++-除以21x x -+的商式和余式并把结果写成一个整式与分式的和的形式.解 设4322342x x x x +++-除以21x x -+的商式为2ax bx c ++，余式为a xb ''+，则 4322223422(1)()x x x x x x x ax bxc a x b ''+++-/-=-+++++=432()()()ax b a x a b c x b c a x b c '+-+-++-+'++∴ 2a =，3b a -=，4a b c -+=，1b c a '-+=，2b c '+=-。
解得 2a =，5b =，7c =，3a '=，9b '=-即所求商式为2257x x ++，余式为39x -.6.利用最大公因式的性质利用这种方法求解问题的关键是深刻理解最大公因式的概念及性质. 例6 设1()()()f x d x f x =，1()()()g x d x g x =。
证明：若((),())()f x g x d x =，且()f x 和()g x 不全为零，则11((),())1f x g x =；反之，若11((),())1f x g x =，则()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式.证明 因为((),())()f x g x d x =，故存在()u x ，()v x ，使得()()()()()f x u x g x v x d x +=即11()()()()()()()d x f x u x d x g x v x d x +=由于()f x ，()g x 不全为零，故()0d x ≠，两边消去()d x 得：11()()()()1f x u x g x v x +=即11((),())1f x g x =反之，1()()()f x d x f x =，1()()()g x d x g x =,知()d x 是()f x ，()g x 的公因式，因11((),())1f x g x =，故存在()u x ，()v x 使11()()()()1f x u x g x v x +=两边乘以()d x 得()()()()()f x u x g x v x d x +=若()h x 是()f x ，()g x 的任一公因式，则有()()h x d x |，从而()d x 是()f x ，()g x 的一个最大公因式7.利用互素的性质此方法关键在于熟练的掌握互素多项式的性质，并灵活应用.例7 证明22()()g x f x |的充要条件是()()g x f x |.证明 充分性显然,现证 必要性.若22()()g x f x |，()()0f x g x ==，那么()()g x f x |.如果()f x ，()g x 不全为零，令((),())()f x g x d x =，则1()()()f x d x f x =，1()()()g x d x g x =，且11((),())1f x g x =.那么2221()()()f x d x f x =，2221()()()g x d x g x =，故由22()()g x f x |，可得2211()()g x f x |，故211()()g x f x |，又11((),())1f x g x =，根据互素多项式的性质知，11()()g x f x |，从而1()g x c =（常数）.于是()()g x cd x =，()()g x f x |8.利用余数定理此方法关键在于熟知余数定理[5]的概念且灵活应用.例8 证明如果(1)()n x f x -|，那么(1)()n n x f x -|.证明 因为(1)()n x f x -|，所以1是()n f x 的根，于是(1)(1)0n f f ==，(1)()x f x -|故存在多项式()g x ，使得：()(1)()f x x g x =-，从而有()(1)()n n n f x x g x =-，此即(1)()n n x f x -|.9.利用矩阵判别法此方法关键在于求出多项式系数所构成的行列式的秩相等.定理：多项式()g x 整除()f x 的充要条件是秩()B =秩()1g m n B =-+.[6] 例9 设3()f x x px q =++,2()1g x x mx =+-,求m ,p ,q 满足什么条件时()g x 整除()f x .解 令(01)f q p A =，110011g m m -⎛⎫B = ⎪-⎝⎭ 11001101m m q p -⎛⎫ ⎪B =- ⎪ ⎪⎝⎭对B 作初等列变换3221312442()()10001000100001101101001111C m C C m C C C C C C C m m q p mq q q p p mq q q m p mq +-++/+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪B =−−−−→- −−−→ -−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据定理有()g x 整除()f x ,Z 秩(B)=秩(B )1g m n =-+0321210q m Z p mq -=⎧=-+=⎨++=⎩, 解得 当q m =，21p m =--时，()g x 整除()f x .以上是我总结的多项式整除的九种判别方法.但这些方法都是建立在多项式整除的基本性质上，故我们必须熟练的掌握这些基本性质，才能灵活运用这些方法来处理多项式的整除问题.参考文献[1] 徐利治.现代数学手则·经典数学卷[M].武汉:华中科技大学出版社,2000:120-124[2] 张禾瑞,郝鈵新. 高等代数[M].北京:高等教育出版社(第5版),2007:31-55[3] 赵云.高等代数思想方法和疑难解析[M].兰州:甘肃民族出版社(第1版),2008:4[4] 张禾瑞,郝鈵新. 高等代数[M].北京:高等教育出版社(第3版),1983:33[5] 王萼芳,丘维生.高等代数讲义[M].北京:北京大学出版社,1984:22[6] 陈惠汝.多项式整除的矩阵判别法[J].河池学院学报,2005,4(02)。