高中数学北师大版必修四 两角和与差的正切函数 课件(36张)
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高中数学必修四北师大版 第3章 2.3 两角和与差的正切函数ppt课件(37张)
【自主解答】 tan 60° ＋tan 15° (1)原式＝ 1－tan 60° tan 15°
＝tan 75° ＝tan(45° ＋30° ) 3 1＋ 3 3＋ 3 9＋3＋6 3 ＝ ＝ ＝ ＝2＋ 3. 6 3 3－ 3 1－ 3
(2)∵tan(23° ＋37° )＝tan 60° tan 37° ＋tan 23° ＝ ＝ 3， 1－tan 23° tan 37° ∴tan 23° ＋tan 37° ＝ 3(1－tan 23° tan 37° )， ∴原式＝ 3(1－tan 23° tan 37° )＋ 3tan 23° tan 37° ＝ 3.
名称 两角和 的正切 两角差 的正切
简记符号 T(α＋β)
公式 tan(α＋β)＝
使用条件 π α，β，α＋β≠kπ＋2(k
T(α－β)
tan α＋tan β tan β≠1 1－tan αtan β ∈Z)且tan α· tan(α－β)＝ π α，β，α－β≠kπ＋2(k tan α－tan β tan β≠－1 1＋tan αtan β ∈Z)且tan α·
[小组合作型]
两角和与差的正切公式的灵活运用
求下列各式的值． 3＋tan 15° (1) ； 1－ 3tan 15° (2)tan 23° ＋tan 37° ＋ 3tan 23 ° tan 37° .
【精彩点拨】 解决(1)题可考虑 3＝tan 60° ，再逆用公式，解决(2)题注意到 23° ＋37° ＝60° ，而tan 60° ＝ 3 ，故联想tan(23° ＋37° )的展开形式，并变形，即可 解决．
1.变形公式 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan α＋tan β tan αtan β＝1－ . tanα＋β
＝tan 75° ＝tan(45° ＋30° ) 3 1＋ 3 3＋ 3 9＋3＋6 3 ＝ ＝ ＝ ＝2＋ 3. 6 3 3－ 3 1－ 3
(2)∵tan(23° ＋37° )＝tan 60° tan 37° ＋tan 23° ＝ ＝ 3， 1－tan 23° tan 37° ∴tan 23° ＋tan 37° ＝ 3(1－tan 23° tan 37° )， ∴原式＝ 3(1－tan 23° tan 37° )＋ 3tan 23° tan 37° ＝ 3.
名称 两角和 的正切 两角差 的正切
简记符号 T(α＋β)
公式 tan(α＋β)＝
使用条件 π α，β，α＋β≠kπ＋2(k
T(α－β)
tan α＋tan β tan β≠1 1－tan αtan β ∈Z)且tan α· tan(α－β)＝ π α，β，α－β≠kπ＋2(k tan α－tan β tan β≠－1 1＋tan αtan β ∈Z)且tan α·
[小组合作型]
两角和与差的正切公式的灵活运用
求下列各式的值． 3＋tan 15° (1) ； 1－ 3tan 15° (2)tan 23° ＋tan 37° ＋ 3tan 23 ° tan 37° .
【精彩点拨】 解决(1)题可考虑 3＝tan 60° ，再逆用公式，解决(2)题注意到 23° ＋37° ＝60° ，而tan 60° ＝ 3 ，故联想tan(23° ＋37° )的展开形式，并变形，即可 解决．
1.变形公式 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan α＋tan β tan αtan β＝1－ . tanα＋β
2020-2021学年数学高中必修4北师大版课件：3.2.3 两角和与差的正切函数
数学 必修4
第三章 三角恒等变形
学案·自主学习
教案·合作探究
练案·高效测评
[提示]in45°＋30° cos45°＋30°
＝
sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
＝
tan 45°＋tan 30° 1－tan 45°·tan 30°.
答案： D
数学 必修4
第三章 三角恒等变形
学案·自主学习
教案·合作探究
练案·高效测评
3．A，B，C 是△ABC 的三个内角，且 tan A，tan B 是方程 3x2－5x＋1＝0 的
两个实数根，则△ABC 是________三角形．
解析：
tan 由根与系数关系得
tan
A＋tan B＝53， A·tan B＝13.
5 ∴tan(A＋B)＝1t－antaAn＋At·atannBB＝1－3 13＝52，
在△ABC 中，tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－52<0，∴∠C 是钝角， ∴△ABC 是钝角三角形． 答案： 钝角
数学 必修4
第三章 三角恒等变形
学案·自主学习
教案·合作探究
练案·高效测评
第三章 三角恒等变形
学案·自主学习
教案·合作探究
练案·高效测评
题型一 化简求值 求值：(1)tan 15°；(2)1t－ant7a4n°7＋4°ttaann7766°°； (3)tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°. 【思路探究】 分析式子结构，注意公式的正用、逆用、变形用．
数学 必修4
第三章 三角恒等变形
高一数学北师大版必修4课件3.2.3 两角和与差的正切函数
=
3 . 22
探究一
探究二
探究三
探究四
规律总结公式 Tα+β,Tα-β 有较多变形的公式,公式中有 tan
αtan β,tan α+tan β(或 tan α-tan β),tan(α+β)(或 tan(α-β))时,三者中知道任意 两个就可表示或求出第三个.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究三 两角和与差的正切公式的应用
������������������α +������������������β ; 1-������������������α������������������β
������������������α-������������������β . 1+������������������α������������������β
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)
3-tan 15° 1+ 3tan 15°
=
������������������ 60°-������������������ 15° 1+������������������ 60°������������������ 15°
=tan(60° -15 ° )=tan 45 ° = 1. (3)tan α +
公式 Tα+β 与一元二次方程的联系 :在两角和的正切公式 Tα+β 中,有 tan α+tan β,tan αtan β 这两项,对比一元二次方程中的根与系数的关系,为我们 解决问题找到了很好的结合点.因此 tan α,tan β 可以看作一元二次方程的 根,这样 tan α+tan β,tan αtan β,tan α-tan β 就可以互相表示,进而可以利用它 们求 tan(α± β).
高中数学北师大版必修4 两角和与差的正切函数 课件(36张)
2． 3
两角和与差的正切函数
学习导航 1.了解两角和与差的正切公式的推导． 2．理解两角和与差的正切公式及其变形公 学习目标
式．(重点)
3．掌握两角和与差的正切公式及其变形形式 在三角函数式的化简、求值及证明中的应 用．(难点)
1.两角和与差的正切公式变形较多，这些变式在解决某些 问题时十分便捷，应当利用公式能熟练推导，务必熟悉它 们． 例如， tan α ＋ tan β ＝ tan(α＋β)(1－tan α tan β )， 学 tan α ＋ tan β tan α tan β ＝ 1－ ， tan（ α＋ β） 法 指 tan α ＋ tan β ＋ tan α tan β tan(α＋ β)＝ tan(α＋ β)等． 导 2．在三角函数题目中，有时，也对一些特殊的常数进行 π π 3 代换， 例如 1＝ tan 45°， 3＝ tan ， ＝ tan 等等． 这 3 3 6 样做的前提是识别出公式结构，凑出相应公式 .
两角和与差的正切公式
名称 两角和 的正切 两角差 的正切 公式 tan (α＋ β)
tan α ＋tan β ＝1 _______________ －tan α tan β
成立条件 α ，β ，α ＋ β≠kπ π ＋ (k∈ Z) 2 α ，β ，α － β≠kπ π ＋ (k∈ Z) 2
tan (α－ β) ＝_________________
化简求值
计算： sin 15°－ cos 15° (1) ； sin 15°＋ cos 15° (2)tan 10°＋tan 50°＋ 3tan 10° tan 50°； (3)(3＋tan 30°tan 40°＋ tan 40° tan 50°＋ tan 50° tan 60° )· tan 10° . (链接教材 P119 例 4)
两角和与差的正切函数
学习导航 1.了解两角和与差的正切公式的推导． 2．理解两角和与差的正切公式及其变形公 学习目标
式．(重点)
3．掌握两角和与差的正切公式及其变形形式 在三角函数式的化简、求值及证明中的应 用．(难点)
1.两角和与差的正切公式变形较多，这些变式在解决某些 问题时十分便捷，应当利用公式能熟练推导，务必熟悉它 们． 例如， tan α ＋ tan β ＝ tan(α＋β)(1－tan α tan β )， 学 tan α ＋ tan β tan α tan β ＝ 1－ ， tan（ α＋ β） 法 指 tan α ＋ tan β ＋ tan α tan β tan(α＋ β)＝ tan(α＋ β)等． 导 2．在三角函数题目中，有时，也对一些特殊的常数进行 π π 3 代换， 例如 1＝ tan 45°， 3＝ tan ， ＝ tan 等等． 这 3 3 6 样做的前提是识别出公式结构，凑出相应公式 .
两角和与差的正切公式
名称 两角和 的正切 两角差 的正切 公式 tan (α＋ β)
tan α ＋tan β ＝1 _______________ －tan α tan β
成立条件 α ，β ，α ＋ β≠kπ π ＋ (k∈ Z) 2 α ，β ，α － β≠kπ π ＋ (k∈ Z) 2
tan (α－ β) ＝_________________
化简求值
计算： sin 15°－ cos 15° (1) ； sin 15°＋ cos 15° (2)tan 10°＋tan 50°＋ 3tan 10° tan 50°； (3)(3＋tan 30°tan 40°＋ tan 40° tan 50°＋ tan 50° tan 60° )· tan 10° . (链接教材 P119 例 4)
数学北师大版必修4课件：3-2-3 两角和与差的正切函数
第三章
三角恒等变形
§2 两角和与差的三角函数
2.3 两角和与差的正切函数
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点 两角和与差的正切公式
[填一填] tanα＋tanβ
(1)两角和的正切：tan(α＋β)＝ 1－tanαtanβ (Tα＋β)． tanα－tanβ
(2)两角差的正切：tan(α－β)＝ 1＋tanαtanβ (Tα－β)． 公式 Tα±β 的记忆规律： 公式的左侧是复角的正切即 tan(α±β)，右侧是分式，分子是
∵0<α<π2，π<β<32π， ∴π<α＋β<2π. ∴α＋β＝54π.
——易错警示—— 给值求角中的易错误区 则 2α【－例β＝5】__－__34已_π_知__.tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且 α，β∈(0，π)， 【错解】 π4或54π
【正解】 由于 tanα＝tan[(α－β)＋β] ＝1t－antaαn－αβ－＋βt·atannββ＝1＋12－12×17 17＝13， 所以 α∈(0，π4)①， 又 tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝1－12＋12×13 13＝1， 而 β∈(π2，π)①，所以 2α－β∈(－π，0)②， 故 2α－β＝－34π.
若 tanα＋tanβ－tanαtanβ＋1＝0，α，β∈(π2，π)，则 α＋β＝74 π. 解析：tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ，
∵tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1， ∴tan(α＋β)＝t1a－nαttaannαβt－an1β＝－1. ∵α＋β∈(π，2π)， 又 tan(α＋β)＝－1， ∴α＋β＝74π.
三角恒等变形
§2 两角和与差的三角函数
2.3 两角和与差的正切函数
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点 两角和与差的正切公式
[填一填] tanα＋tanβ
(1)两角和的正切：tan(α＋β)＝ 1－tanαtanβ (Tα＋β)． tanα－tanβ
(2)两角差的正切：tan(α－β)＝ 1＋tanαtanβ (Tα－β)． 公式 Tα±β 的记忆规律： 公式的左侧是复角的正切即 tan(α±β)，右侧是分式，分子是
∵0<α<π2，π<β<32π， ∴π<α＋β<2π. ∴α＋β＝54π.
——易错警示—— 给值求角中的易错误区 则 2α【－例β＝5】__－__34已_π_知__.tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且 α，β∈(0，π)， 【错解】 π4或54π
【正解】 由于 tanα＝tan[(α－β)＋β] ＝1t－antaαn－αβ－＋βt·atannββ＝1＋12－12×17 17＝13， 所以 α∈(0，π4)①， 又 tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝1－12＋12×13 13＝1， 而 β∈(π2，π)①，所以 2α－β∈(－π，0)②， 故 2α－β＝－34π.
若 tanα＋tanβ－tanαtanβ＋1＝0，α，β∈(π2，π)，则 α＋β＝74 π. 解析：tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ，
∵tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1， ∴tan(α＋β)＝t1a－nαttaannαβt－an1β＝－1. ∵α＋β∈(π，2π)， 又 tan(α＋β)＝－1， ∴α＋β＝74π.
§2两角和与差的三角函数(第3课时) 课件(北师大版必修四)
.
理解： 1.两角和的正切值可以用α 和β 的正切值表示. 2.公式的右端是分式形式，它是两角正切的和比1减两角
正切的积.
3.公式成立的条件是： k 且 2 k 且 k (k∈Z). 2 2
二、 两角差的正切公式 在两角和的正切公式中用 代换
,
2.原式可化为:
sin(45 30 ) cos(45 30 )
sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
,
是否太麻烦了?能否直接用角的正切来表示呢?
一、两角和的正切公式
sin( ) tan( ) cos( )
tan(20 40 )(1 tan 20 tan 40 ) 3 tan 20 tan 40 3.
3. 已知锐角 , ，满足 tan 3, tan 2，
3 求证： . 4
证明：因为 tan 3, tan 2，
tan tan 3 2 1， 所以 tan( ) 1 tan tan 1 3 2
5.已知 tan ， tan 是方程ax 2 bx c 0(a 0, a c) 的两根，求tan( + )的值.
b tan tan ， a 解：由根与系数的关系,得 tan tan c ， a tan tan 所以 tan( ) 1 tan tan
因为 , (0, ), 2 3 从而 .
4
所以 (0, ),
4.已知： tan 2,求tan( - )的值. 4
理解： 1.两角和的正切值可以用α 和β 的正切值表示. 2.公式的右端是分式形式，它是两角正切的和比1减两角
正切的积.
3.公式成立的条件是： k 且 2 k 且 k (k∈Z). 2 2
二、 两角差的正切公式 在两角和的正切公式中用 代换
,
2.原式可化为:
sin(45 30 ) cos(45 30 )
sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
,
是否太麻烦了?能否直接用角的正切来表示呢?
一、两角和的正切公式
sin( ) tan( ) cos( )
tan(20 40 )(1 tan 20 tan 40 ) 3 tan 20 tan 40 3.
3. 已知锐角 , ，满足 tan 3, tan 2，
3 求证： . 4
证明：因为 tan 3, tan 2，
tan tan 3 2 1， 所以 tan( ) 1 tan tan 1 3 2
5.已知 tan ， tan 是方程ax 2 bx c 0(a 0, a c) 的两根，求tan( + )的值.
b tan tan ， a 解：由根与系数的关系,得 tan tan c ， a tan tan 所以 tan( ) 1 tan tan
因为 , (0, ), 2 3 从而 .
4
所以 (0, ),
4.已知： tan 2,求tan( - )的值. 4
北师大版数学必修四课件：第3章§2 2.3 两角和与差的正切函数
tan tan tan( ) 记：T + 1 tan tan
得到： tan( )
理解：
tan tan 1 tan tan
T( α + β )
1.两角和的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的和比1减两角正 切的积. 3.公式成立的条件是：
tan tan T : tan 1 tan tan
请同学们说出对公式的理解：
1.两角差的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的差比1加两角 正切的积. 3.公式成立的条件是：
k
学会恰当赋值、逆用公式等技能.
复习
1、两角和、差的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
2、两角和、差的正弦公式
C
C
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
k
2
且 k
2
且 k
2
k Z .
tan tan
tan
tan tan 1 tan tan
用 代替 得到
tan tan tan 1 tan tan
2.3 两角和与差的正切函数
1.知识目标：
（1）掌握两角和与差的正切公式的推导 ；
（2）掌握公式的正、逆向及变形运用 ； （3）正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式形式解决
北师大版高中数学必修四课件3.2两角和与差的三角函数(第三课时)
证明：
左边= (sin cos cos sin )(sin cos cos sin ) sin2 cos2
sin2 cos2 cos2 sin2
cos2 sin2
sin2 cos2
1 sin2 cos2
tan2
2 2(sin
2
cos
cos
sin
)
6
6
2sin( ) =右边 ∴等式成立.
练习2.填空：
6
(((132)))12ssiicnnosxxccoos2s3xxsin___2_2_s_si_in_s_ni_((_n_xx_(__-6___4___)__)___)___ _－__2___cc_2o_o_s_s_c_((o___3s__(___x__x__)_)__4__;;);
8 5 11
3
.
3
3
3.小结 （1）三角恒等式证明;
（2）形如的a三si角n函数 化b c简o;s a sin b cos a2 b2 sin( )
由确sc定ion,s称为辅助a角2ba. b2
a2 b2
sin B cos B B sin2 B
3,
1 3 sin A cos A 1 即 sin(
tan C A )
6
.
1 2
5
0 A A
A A .
6
66
1 62si6n B cos B3
(cos B sin B)2
1 tan2 =右边 ∴等式成立.
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1．两角和的正切公式 tanα＋tanβ tan(α＋β)＝____________________ 1－tanαtanβ 2．两角差的正切公式 tanα－tanβ π tan(α－β)＝______________________( 其中α≠kπ＋ 2 (k∈ 1＋tanαtanβ π π Z)，β≠kπ＋2(k∈Z)，α± β≠kπ＋2(k∈Z))．
π π (3)tan(α＋4)＝tan[(α＋β)－(β－4)] π 2 1 tanα＋β－tanβ－4 5－4 3 ＝ π ＝ 2 1＝22. 1＋tanα＋βtanβ－4 1＋5×4 [规律总结] 对两角和与差的正切公式的正用、逆用、变
[答案] 3
1 tanα＋β－tan α 7＋2 [解析] tan β＝tan(α＋β－α)＝ ＝ 2＝ 1＋tanα＋βtan α 1－7 3.
5 ．设tanα，tanβ 是方程 x2 －3x ＋2 ＝ 0 的两根，则 tan(α ＋ β) 的值为________．
[答案] －3
[解析] 因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以 tanα＋tanβ tanα＋tanβ＝3，tanα· tanβ＝2，而tan(α＋β)＝ ＝ 1－tanα· tanβ 3 ＝－3. 1－2
1 1 tanα＋tanβ 2＋5 7 [解析] 因为 tan(α＋β)＝ ＝ ＝9， 1 1 1－tanαtanβ 1－2×5 7 1 tanα＋β＋tanγ 9＋8 tan[(α＋β)＋γ]＝ ＝ 7 1＝1. 1－tanα＋βtanγ 1－9×8
由已知可推得 γ<β<α， 1 3 又因为 0<tanα<2< 3 ， π π 所以 0<γ<β<α<6，即 0<α＋β＋γ<2. π 故 α＋β＋γ＝4.
1．tan(－165° )的值是( A．2＋ 3 C．－2＋ 3
) B．2－ 3 D．－2－ 3
[答案]
B
[解析] 原式＝tan(－180° ＋15° ) ＝tan15° ＝tan(45° －30° ) tan45° －tan30° ＝ ＝2－ 3. 1＋tan45° tan30°
π 3 π 2．已知α∈(2，π)，sinα＝5，则tan(α＋4)等于( 1 A．7 1 C．－7 [答案] A B．7 D．－7
)
π 3 [解析] ∵α∈(2，π)，sinα＝5， 4 3 ∴cosα＝－5，tanα＝－4. 3 1－4 π 1＋tanα 1 ∴tan(α＋4)＝ ＝ 3＝7. 1－tanα 1＋4
3．tan17° tan43° ＋tan17° tan30° ＋tan30° tan43° 的值为( A．－1 C． 3 B．1 D．－ 3
[规律总结]
该题属于给值求值题，解答此题的关键在于
先用Tα±β公式分析一下待求的问题需要什么，然后利用化归的 思想，把未知的向已知进行转化．解题过程中须多加注意角的
范围，必要时实行拆分角．
பைடு நூலகம்
1 1 1 已知 α，β，γ 都是锐角，且 tanα＝2，tanβ＝5，tanγ＝8， 求 α＋β＋γ 的值．
想到tan(10° ＋50° )的展开形式，并变形可解决(1)；在第(2)题中 π 可将 3 替换为tan60° ，再解答；(3)注意到α＋ 4 ＝(α＋β)－(β－ π 4)，利用Tα－β即可解决．
[规范解答]
(1)∵tan(10° ＋50° )
tan10° ＋tan50° ＝ ＝ 3， 1－tan10° tan50° ∴tan10° ＋tan50° ＝ 3－ 3tan10° tan50° . ∴tan10° ＋tan50° ＋ 3tan10° tan50° ＝ 3. 3－tan15° tan60° －tan15° (2) ＝ tan15° 1＋ 3tan15° 1＋tan60° ＝tan(60° －15° )＝tan45° ＝1.
)
[答案]
B
[解析] 原式＝tan17° · tan43° ＋tan30° (tan17° ＋tan43° )＝ 3 tan17° tan43° ＋ 3 · tan60° (1－tan17° tan43° )＝tan17° tan43° ＋1－ tan17° tan43° ＝1.
1 4．(2015· 江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝7，则tan β 的值为________．
课堂典例讲练
公式的直接应用
3 1 已知sin(π＋θ)＝－ 5 ，tanφ＝ 2 ，θ为第二象限 角，求tan(θ－φ)的值． [思路分析] 首先利用诱导公式求出sinθ，然后利用sin2θ
＋cos2θ＝1，求出cosθ，进而求出tanθ，最后利用tan(θ－φ)＝ tanθ－tanφ 求解． 1＋tanθtanφ
公式的逆用与变形应用
求值：(1)tan10° ＋tan50° ＋ 3tan10° tan50° ； 3－tan15° (2) ； 1＋ 3tan15° 2 π 1 π (3)已知tan(α＋β)＝5，tan(β－4)＝4，求tan(α＋4)． [思路分析] 注意到10° ＋50° ＝60° ，而tan60° ＝ 3 ，故联
[规范解答]
3 3 ∵sin(π＋θ)＝－sinθ＝－5，∴sinθ＝5，
又∵θ 是第二象限角， 4 ∴cosθ＝－ 1－sin θ＝－5，
2
sinθ 3 ∴tanθ＝cosθ＝－4， 1 又 tanφ＝2， 3 1 －4－2 tanθ－tanφ ∴tan(θ－φ)＝ ＝ ＝－2. 3 1 1＋tanθtanφ 1＋－4×2
第三章
三角恒等变形
第三章
§2 两角和与差的三角函数
2.3
两角和与差的正切函数
课前自主预习
某电视塔建在一座高山上 (如图)，小明自
A点观测山顶C的仰角为45°，塔顶P点的仰角 为75°，AB＝500 米．需求电视塔顶距地面的
高度即 PB ，显然 75°＝ 45°＋ 30°；如果能
找到tan75°与tan45°，tan30°的关系，PB便 容易求出！这就是本节所要研究的问题．