第四章指数函数与对数函数学考复习

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指数函数与对数函数复习

指数与指数函数基础梳理1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1n a m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ， (a r )s ＝a rs ， (ab )r ＝a r b r ，其中a ＞0，b ＞0，r ，s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质y ＝a xa ＞10＜a ＜1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0，1)当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数对数与对数函数基础梳理1．对数的概念(1)对数的定义：如果N a b =(a ＞0且a ≠1)，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作Na b log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． (2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a (a ＞0且a ≠1)log a N 常用对数底数为10 lg N 自然对数底数为eln N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质 (对数恒等式) ①N aNa =log ；②b ba a=log (a ＞0且a ≠1)．(2)对数的运算法则：如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； (3)对数的换底公式abNbNalog log log =(a ，b 均大于零且不等于1)；推论：a bba log 1log = ；b a b an m m n log log = ； da d c cb b a log log log log =⋅⋅.3．对数函数的图象与性质xa y log =a ＞1 0＜a ＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0 当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数4.反函数：指数函数y ＝a x 与对数函数xa y log =互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．练习检测1．(2011·某某)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )．A ．0 B.33C ．1 D. 3解析由题意有3a ＝9，则a ＝2，∴tan a π6＝tan π3＝ 3. 答案 D2．(2012·某某五校联考)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，故选B.答案 B3．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )．A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值解析设y ＝f (x )，t ＝2x ＋1，则y ＝1t ，t ＝2x ＋1，x ∈(－∞，＋∞)t ＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)．因此y ＝1t 在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)．答案 A4．(2011·某某)已知a ＝4.32log 5，b ＝6.34log 5，c ＝3.03log 51⎪⎭⎫⎝⎛，则( )．A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析 c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3＝5－log 30.3＝5log 3103，log 23.4＞log 22＝1，log 43.6＜log 44＝1，log 3103＞log 33＝1，又log 23.4＞log 2103＞log 3103，∴log 2 3.4＞log 3103＞log 4 3.6 又∵y ＝5x 是增函数，∴a ＞c ＞b . 答案 C5．(2012·某某一中月考)已知32121=+-aa ，则a ＋a －1＝______；a 2＋a －2＝________.解析由已知条件(a 12＋a －12)2＝9.整理得：a ＋a －1＝7 又(a ＋a －1)2＝49，因此a 2＋a －2＝47. 答案 7 476.化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1)65312121132)(b a ba b a ⋅⋅---；(2)21332121231)4()3(65----⋅÷-⋅⋅b a b a b a .[审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键．解 (1)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a . (2)原式＝－52a －16b －3÷(4a 23·b －3)12 ＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32 ＝－54a －12·b －32 ＝－54·1ab3＝－5ab 4ab 2.化简结果要求(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂．【训练1】计算：(1)021231)12()972()71(027.0--+----；(2)213323121)(1.0)4()41(----⋅b a ab . 解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－13－(－1)－2⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝412·432100·a 32·a －32·b 32·b －32＝425a 0·b 0＝425. 7.函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为( )．[审题视点] 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性．解析y ＝e 2x ＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1，当x ＞0时，e 2x －1＞0且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x －1＞1且随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减，又函数y 是奇函数，故选A. 答案 A利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数y ＝a x －1a x ＋1，y＝e x －e －x2，y ＝lg(10x －1)等．8. 已知方程10x ＝10－x ，lg x ＋x ＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是________．解析作函数y ＝f (x )＝10x ，y ＝g (x )＝lg x ，y ＝h (x )＝10－x 的图象如图所示，由于y ＝f (x )与y ＝g (x )互为反函数，∴它们的图象是关于直线y ＝x 对称的．又直线y ＝h (x )与y ＝x 垂直，∴y ＝f (x )与y ＝h (x )的交点A 和y ＝g (x )与y ＝h (x )的交点B 是关于直线y ＝x 对称的．而y ＝x 与y ＝h (x )的交点为(5,5)．又方程10x＝10－x 的解α为A 点横坐标，同理，β为B 点横坐标．∴α＋β2＝5，即α＋β＝10. 答案 109.(2011·某某五市模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥K ，K ，f (x )＜K ，取函数f (x )＝2＋x ＋e －x ，若对任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最大值为________．10. 若f 1(x )＝3|x －1|，f 2(x )＝2·3|x －a |，x ∈R ，且f (x )＝⎩⎨⎧f 1(x )，f 1(x )≤f 2(x )，f 2(x )，f 1(x )＞f 2(x )，则f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立，则实数a 的取值X 围是________．1．已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜a ＜b解析将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 答案 C2．(2012·黄冈中学月考)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )．A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞) 解析设y ＝f (x )，t ＝3x ＋1. 则y ＝log 2t ，t ＝3x ＋1，x ∈R .由y ＝log 2t ，t >1知函数f (x )的值域为(0，＋∞)．答案 A3．若1log 32>a ，则a 的取值X 围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫23，14.求值：(1)log 89log 23；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；(3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245.[审题视点] 运用对数运算法则及换底公式．解 (1)原式＝log 2332log 23＝23.(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg 105＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5)＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1. (3)法一原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. 法二原式＝lg 427－lg 4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝lg 10＝12.对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化． 5. (1)若2a ＝5b ＝10，求1a ＋1b 的值． (2)若x log 34＝1，求4x ＋4－x 的值．解 (1)由已知a ＝log 210，b ＝log 510，则1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. (2)由已知x ＝log 43，则4x ＋4－x ＝4log 43＋4－log 43＝3＋13＝103.6.已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (321log )，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c[审题视点] 利用函数单调性或插入中间值比较大小．解析 log 123＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 123)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47＜log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125＞532＝2＞log 49，又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (0.2－0.6)＜f (log 123)＜f (log 47)，即c ＜b ＜a ，故选B. 答案 B一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比较大小，同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决．7.(2010·全国)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝215-，则( )． A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a解析法一 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，c ＝5－12＝15，而5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，综上c ＜a ＜b ，故选C.法二 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，1＜log 2e ＜log 23＜2，∴12＜1log 23＜1log 2e ＜1；c ＝5－12＝15＜14＝12，所以c ＜a ＜b ，故选C. 答案 C8.已知函数f (x )＝)2(log ax a-，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值X 围．[审题视点]a ＞0且a ≠1，问题等价于在[0,1]上恒有⎩⎨⎧a ＞12－ax ＞0.解 ∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是关于x 的减函数，∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎨⎧a ＞12－a ＞0，即1＜a ＜2.∴a 的取值X 围是(1,2)．研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原则．研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题．复合函数的单调性的法则是“同增异减”．本题的易错点为：易忽略2－ax ＞0在[0,1]上恒成立，即2－a ＞0.实质上是忽略了真数大于0的条件． 9. 已知f (x )＝log 4(4x －1) (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．解 (1)由4x －1>0解得x >0，因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)，f (x )在(0，＋∞)上递增． (3)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]．10.(2011·某某改编)设函数f(x)＝⎩⎨⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x 的取值X 围是________．。

(精选试题附答案)高中数学第四章指数函数与对数函数知识点汇总

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数知识点汇总单选题1、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（） A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2)答案：C分析：根据条件知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，求a 的范围即可．∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立， ∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13，∴a 的取值范围是(0,13]．故选：C ．2、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x ,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞)答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围.令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x =0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1，则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件；当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x的图象没有交点，因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x ∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ，所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)，故选：B.3、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为ℎ=m ⋅a t ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg2≈0.3，结果取整数）（）A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天答案：B分析：根据题设条件先求出m 、a ，从而得到ℎ=120⋅2110t ，据此可求失去50%新鲜度对应的时间. {10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a 20⇒{a 10=2,m =120，故a =2110，故ℎ=120⋅2110t ，令ℎ=12，∴2t 10=10,∴t 10lg2=1，故t =100.3≈33，故选：B.4、已知f (x )={2x −x 2,x ≥5f(x +3),x <5，则f (4)+f (-4)=（） A ．63B ．83C ．86D ．91答案：C分析：由给定条件求得f (-4)=f (5)，f (4)=f (7)，进而计算f (5)、f (7)的值，相加即可得解.依题意，当x <5时，f (x )=f (x +3)，于是得f (-4)= f (-1)=f (2)=f (5)，f (4)=f (7)，当x ≥5时，f (x )=2x -x 2，则f (5)=25-52=7，f (7)=27-72=79，所以f (4)+f (-4)=86.故选：C5、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图象如图所示，直线x =14，x =12与y =x a ，y =x b 的图象分别交于A ､B ､C ､D 四点，且|AB|=|CD|，则12a +12b =（）A ．12B ．1C ．√2D ．2 答案：B分析：把|AB |=|CD |用函数值表示后变形可得．由|AB |=|CD |得(14)a −(14)b =(12)a −(12)b ，即[(12)a −(12)b ][(12)a +(12)b ]=(12)a −(12)b ≠0，所以(12)a +(12)b=1，故选：B ．6、设log 74=a,log 73=b ，则log 4936=（）A ．12a −bB ．12b +aC ．12a +bD ．12b −a答案：C分析：根据对数的运算性质计算即可.解：log 4936=log 7262=log 76=log 72+log 73=12log 74+log 73=12a +b .故选：C.7、已知a =log 20.6,b =log 20.8,c =log 21.2，则（）A ．c >b >aB ．c >a >bC ．b >c >aD ．a >b >c答案：A分析：由对数函数得单调性即可得出结果.∵y =log 2x 在定义域上单调递增，∴log 20.6<log 20.8<log 21.2，即c >b >a .故选：A.8、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1 是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（）A ．[1,5]B ．[32,5)C ．(32,5)D ．(1,5)答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a，解不等式组可求得答案因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a，解得32≤a <5，故选：B9、下列计算中结果正确的是（）A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12 C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确；对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误；对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误；故选：A10、镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为√55，√33，√2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A ．甲同学和乙同学B ．丙同学和乙同学C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学答案：C分析：判断出√55，√33，√2的大小关系即可得出答案.(√55)10=52=25，(√2)10=25=32．∵25<32．∴√55<√2．又∵(√33)6=33=9，(√2)6=23=8，∴√33>√2．∴有√55<√2<√33．又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C.填空题11、已知a >b >1，若log a b +log b a =52,a b =b a ，则a +2b =___________. 答案：8分析：利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．解：由log a b +log b a =52，且log a b ⋅log b a =1所以log a b,log b a 是方程x 2−52x +1=0的两根，解得log b a =2或log b a =12，又a >b >1，所以log b a =2，即a =b 2，又a b =b a从而b 2b =b a ⇒a =2b ，且a =b 2，则b =2，a =4．所以a +2b =8.所以答案是：8.12、若√4a 2−4a +1=√(1−2a )33，则实数a 的取值范围_________ ．答案：(−∞，12]分析：由二次根式的化简求解由题设得√4a2−4a+1=√(2a−1)2=|2a−1|，√(1−2a)33=1−2a，所以|2a−1|=1−2a所以1−2a≥0，a≤12．所以答案是：(−∞，12]13、已知4a=8，2m=9n=6，且1m +12n=b，则a+b=______．答案：52解析：将指数式4a=8化为对数式可求出a，将指数式2m=9n=6化为对数式可分别求出m,n，代入1m +12n=b可求出b，进而可求出a+b的值. 因为4a=8，2m=9n=6，所以a=log48=lg8lg4=lg23lg22=3lg22lg2=32，m=log26，n=log96，所以b=1log26+12log96=log62+12log69=log62+log63=log6(2×3)=1，所以a+b=52.所以答案是：5214、若a>0且a≠1，则函数f(x)=a x−4+3的图像恒过的定点的坐标为______．答案：(4,4)分析：任意指数函数一定过定点(0,1)，根据该性质求解.令x−4=0，得x=4，所以f(4)=a0+3=4，所以函数f(x)=a x−4+3的图像恒过定点(4,4)．所以答案是：(4,4)15、不等式2022x≤1的解集为______．答案：(−∞,0]分析：根据给定不等式利用指数函数单调性求解即可作答.依题意，不等式2022x ≤1化为：2022x ≤20220，而函数y =2022x 在R 上单调递增，解得x ≤0，所以不等式2022x ≤1的解集为(−∞,0].所以答案是：(−∞,0]解答题16、对于定义在区间[m,n ]上的两个函数f (x )和g (x )，如果对任意的x ∈[m,n ]，均有|f (x )−g (x )|≤1成立，则称函数f (x )与g (x )在[m,n ]上是“友好”的，否则称为“不友好”的．已知函数f (x )=log a (x −3a )，g (x )=log a 1x−a (a >0,a ≠1)．(1)若f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上都有意义，求a 的取值范围；(2)讨论函数f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是否“友好”．答案：(1)(0,1)(2)答案见解析分析：（1）由题意解不等式组{a +2−3a >0a +2−a >0即可；（2）假设存在实数a ，使得f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的，即|f (x )−g (x )|=|log a (x 2−4ax +3a 2)|≤1，即−1≤log a (x 2−4ax +3a 2)≤1，只需求出函数y =log a (x 2−4ax +3a 2)在区间[a +2,a +3]上的最值，解不等式组即可．（1）若f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上都有意义，则必须满足{a +2−3a >0a +2−a >0，解得a <1，又a >0且a ≠1，所以a 的取值范围为(0,1)．（2）假设存在实数a ，使得f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的，则|f (x )−g (x )|=|log a (x 2−4ax +3a 2)|≤1，即−1≤log a (x 2−4ax +3a 2)≤1，因为a ∈(0,1)，则2a ∈(0,2)，a +2>2，所以[a +2,a +3]在x =2a 的右侧，由复合函数的单调性可得y =log a (x 2−4ax +3a 2)在区间[a +2,a +3]上为减函数，从而当x =a +2时，y max =log a (4−4a )，当x =a +3时，y min =log a (9−6a )，所以{log a (4−4a )≤1log a (9−6a )≥−10<a <1，即{4−4a ≥a 9a −6a 2−1≤00<a <1 ，解得0<a ≤9−√5712，所以当0<a ≤9−√5712时，f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的；当9−√5712<a <1时，f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“不友好”的．17、设函数f (x )=log 3(9x )⋅log 3(3x )，且19≤x ≤9．（1）求f （3）的值；（2）若令t =log 3x ，求实数t 的取值范围；（3）将y =f (x )表示成以t(t =log 3x)为自变量的函数，并由此求函数y =f (x )的最大值与最小值及与之对应的x 的值．答案：（1）6；（2）[−2，2]；（3）f(x)min =−14，此时x =−√39；f(x)max =12，此时x =9．分析：（1）根据题目函数的解析式，代入x =3计算函数值；（2）因为t =log 3x ，根据对数函数的单调性求出实数t 的取值范围；（3）根据换元法将函数转化为二次函数，借助二次函数的单调性求出函数取最大值，最小值，接着再求取最值时对应的x 的值.（1）f （3）=log 327⋅log 39=3×2=6；（2）t =log 3x ，又∵19≤x ≤9，∴−2≤log 3x ≤2，∴−2≤t ≤2，所以t 的取值范围为[−2，2]；（3）由f (x )=(log 3x +2)(log 3x +1)=(log 3x)2+2log 3x +2=t 2+3t +2，令g (t )=t 2+3t +2=(t +32)2−14，t ∈[−2，2]，①当t =−32时，g(t)min =−14，即log 3x =−32，解得x =√39，所以f(x)min =−14，此时x =−√39； ②当t =2时，g(t)max =g （2）=12，即log 3x =2⇒x =9，∴f(x)max =12，此时x =9．小提示：求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．18、已知函数f(x)=ln(x +a)(a ∈R)的图象过点(1,0)，g(x)=x 2−2e f(x).（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数y =f(x)+ln(2x −k)在区间(1,2)上有零点，求整数k 的值；（3）设m >0，若对于任意x ∈[1m ,m]，都有g(x)<−ln(m −1)，求m 的取值范围. 答案：（1）f(x)=lnx ；（2）k 的取值为2或3；（3）(1,2).解析：（1）根据题意，得到ln(1+a)=0，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得y =ln (2x 2−kx )，得到2x 2−kx −1=0，设ℎ(x)=2x 2−kx −1，根据题意转化为函数y =ℎ(x )在(1,2)上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得g (x )的最大值g (m )，得出g(x)max <−ln(m −1)，得到m 2−2m <−ln(m −1)，设ℎ(m)=m 2−2m +ln(m −1)(m >1)，结合ℎ(m)单调性和最值，即可求解.（1）函数f(x)=ln(x +a)(a ∈R)的图像过点(1,0)，所以ln(1+a)=0，解得a =0，所以函数f (x )的解析式为f(x)=lnx .（2）由（1）可知y =lnx +ln(2x −k)=ln (2x 2−kx )，x ∈(1,2)，令ln (2x 2−kx )=0，得2x 2−kx −1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，则函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，等价于函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，所以{ℎ(1)=1−k<0ℎ(2)=7−2k>0，解得1<k<72，因为k∈Z，所以k的取值为2或3.（3）因为m>0且m>1m ，所以m>1且0<1m<1，因为g(x)=x2−2e f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，所以g(x)的最大值可能是g(m)或g(1m)，因为g(m)−g(1m )=m2−2m−(1m2−2m)=m2−1m2−(2m−2m)=(m−1m )(m+1m−2)=(m−1m)⋅(m−1)2m>0所以g(x)max=g(m)=m2−2m，只需g(x)max<−ln(m−1)，即m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，ℎ(m)在(1,+∞)上单调递增，又ℎ(2)=0，∴m2−2m+ln(m−1)<0，即ℎ(m)<ℎ(2)，所以1<m<2，所以m的取值范围是(1,2).小提示：已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1 、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2 、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.19、已知函数f(x)=ax2+bx+1(a≠0)的图象关于直线x＝1对称，且函数y=f(x)+2x为偶函数，函数g(x)=1−2x.(1)求函数f(x)的表达式；(2)求证：方程f(x)+g(x)=0在区间[0,1]上有唯一实数根；(3)若存在实数m，使得f(m)=g(n)，求实数n的取值范围.答案：(1)f(x)=(x−1)2(2)证明见解析(3)(−∞,0]分析：（1）根据二次函数的对称轴以及奇偶性即可求解a,b，进而可求解析式，（2）根据函数的单调性以及零点存在性定理即可判断，（3）将条件转化为函数值域，即可求解.（1）∵f(x)=ax2+bx+1的图象关于直线x＝1对称，∴−b=1⇒b=−2a.2a又y=f(x)+2x=ax2+(b+2)x+1为偶函数，∴b=−2，a=1.∴f(x)=x2−2x+1=(x−1)2.（2）设ℎ(x)=f(x)+g(x)=(x−1)2+1−2x，∵ℎ(0)=1>0，ℎ(1)=−1<0，∴ℎ(0)·ℎ(1)<0. 又f(x)=(x−1)2，g(x)=1−2x在区间[0,1]上均单调递减，∴ℎ(x)在区间[0,1]上单调递减，∴ℎ(x)在区间[0,1]上存在唯一零点.∴方程f(x)+g(x)=0在区间[0,1]上有唯一实数根.（3）由题可知f(x)=(x−1)2≥0，g(x)=1−2x<1，若存在实数m，使得f(m)=g(n)，则g(n)∈[0,1)，即1−2n≥0，解得n≤0.∴n的取值范围是(−∞,0].。

全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必考知识点归纳

全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必考知识点归纳单选题1、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（）A ．[0,34]B ．(0,34) C ．[0,916]D ．(0,916)答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案. 函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点，若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0，若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916.故m ∈(0,916).故选：D ．2、已知函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（）A ．√e )B ．(−∞,√e )C ．√e )D ．(0,√e ) 答案：B分析：f (x )=x 2+e x −12(x <0)关于y 轴对称的函数为：f(−x)=x 2+e −x −12(x >0)，函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点，即f(−x)=g(x)有解，通过数形结合即可得解.f (x )=x 2+e x −12(x <0)关于y 轴对称的函数为： f(−x)=x 2+e −x −12(x >0)，函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点，即f(−x)=g(x)有解，即x 2+e −x −12=x 2+ln(x +a)，整理的：e −x −12=ln(x +a)， y =e −x −12和y =ln(x +a)的图像存在交点，如图：临界值在x =0处取到（虚取），此时a =√e ，故当a <√e 时y =e −x −12和y =ln(x +a)的图像存在交点，故选：B. 3、镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为√55，√33，√2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A ．甲同学和乙同学B ．丙同学和乙同学C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学答案：C分析：判断出√55，√33，√2的大小关系即可得出答案.(√55)10=52=25，(√2)10=25=32．∵25<32．∴√55<√2．又∵(√33)6=33=9，(√2)6=23=8，∴√33>√2．∴有√55<√2<√33．又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C.4、已知函数f(x)=11+2x ，则对任意实数x ，有（）A ．f(−x)+f(x)=0B ．f(−x)−f(x)=0C ．f(−x)+f(x)=1D ．f(−x)−f(x)=13答案：C分析：直接代入计算，注意通分不要计算错误．f (−x )+f (x )=11+2−x +11+2x =2x 1+2x +11+2x =1，故A 错误，C 正确；f (−x )−f (x )=11+2−x −11+2x =2x 1+2x −11+2x =2x −12x +1=1−22x +1，不是常数，故BD 错误；故选：C ．5、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x ,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞)答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围.令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x =0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1，则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件；当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x的图象没有交点，因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x ∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ，所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)，故选：B.6、已知对数式log (a+1)24−a （a ∈Z ）有意义，则a 的取值范围为（）A ．(−1,4)B ．(−1,0)∪(0,4)C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}答案：C分析：由对数的真数大于0，底数大于0且不等于1列出不等式组，然后求解即可.由题意可知:{a +1>0a +1≠124−a>0 ⇔{a >−1a ≠0a <4 ，解之得:−1<a <4且a ≠0.∵a ∈Z ，∴a 的取值范围为{1,2,3}.故选：C.7、若函数f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，则a 的值为（）A ．1B ．－1C ．±1D ．0答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0．即ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0恒成立，所以ln [(1−a 2)x 2+1]=0，即(1−a 2)x 2=0 恒成立，所以1−a 2=0，即a =±1．当a =1时，f (x )=ln(x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意；当a =−1时，f (x )=ln(−x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意；故选：C.8、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为ℎ=m ⋅a t ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg2≈0.3，结果取整数）（）A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天答案：B分析：根据题设条件先求出m 、a ，从而得到ℎ=120⋅2110t ，据此可求失去50%新鲜度对应的时间. {10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a 20⇒{a 10=2,m =120，故a =2110，故ℎ=120⋅2110t ，令ℎ=12，∴2t 10=10,∴t 10lg2=1，故t =100.3≈33，故选：B.9、设a =log 2π，b =log 6π，则（）A ．a −b <0<abB ．ab <0<a −bC ．0<ab <a −bD ．0<a −b <ab答案：D分析：根据对数函数的性质可得a −b >0，ab >0， 1b −1a <1，由此可判断得选项. 解：因为a =log 2π>log 22=1，0=log 611,00，ab >0，故排除A 、B 选项；又1b −1a =a−b ab =log π6−log π2=log π3<log ππ<1，且ab >0，所以0<a −b <ab ，故选：D.10、设2a =5b =m ，且1a +1b =2，则m =（）A ．√10B ．10C ．20D ．100答案：A分析：根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得1a =log m 2，1b =log m 5，进而结合对数的运算公式，即可求解.由2a =5b =m ，可得a =log 2m ，b =log 5m ，由换底公式得1a =log m 2，1b =log m 5，所以1a +1b =log m 2+log m 5=log m 10=2，又因为m >0，可得m =√10．故选：A.填空题11、已知10p ＝3，用p 表示log 310＝_____．答案：1p ##p −1分析：根据指数和对数的关系，以及换底公式，分析即得解.∵10p ＝3，∴p =lg3，∴log 310＝1g101g3＝11g3＝1p .所以答案是：1p ． 12、当x ∈[k −12,k +12), k ∈Z 时，f(x)=k .若函数g(x)=xf(x)−mx −1没有零点，则正实数m 的取值范围是___________.答案：[1,43)∪[85,2)分析：将问题转化为函数f(x)与ℎ(x)=1x +m 图象的交点问题，结合图象得出正实数m 的取值范围. 当x =0时，g(0)=−1≠0当x ≠0时，xf(x)−mx −1=0可化为f(x)=1x +m 作出函数f(x)与ℎ(x)=1x +m 的图象由图可知当x <0时，要使得函数g(x)=xf(x)−mx −1没有零点必须满足−1≤ℎ(−12)<0，解得1≤m <2 当x >0时，要使得函数g(x)=xf(x)−mx −1没有零点必须满足1≤ℎ(32)<2或者2≤ℎ(52)<3，解得13≤m <43或85≤m <135 综上，m ∈[1,43)∪[85,2)所以答案是：[1,43)∪[85,2)小提示：关键点睛：解决本题的关键在于将问题转化为函数图象的交点问题，结合数形结合的思想方法解决问题.13、函数y =a x−1+1图象过定点A ，点A 在直线mx +ny =3(m >1,n >0)上，则1m−1+2n 最小值为___________. 答案：92##4.5分析：根据指数函数过定点的求法可求得A (1,2)，代入直线方程可得(m −1)+2n =2，根据1m−1+2n =12(1m−1+2n )((m −1)+2n)，利用基本不等式可求得最小值. 当x =1时，y =a 0+1=2，∴y =a x−1+1过定点A (1,2)，又点A 在直线mx +ny =3上，∴m +2n =3，即(m −1)+2n =2，∵m >1，n >0，∴m −1>0，∴1m−1+2n =12(1m−1+2n )((m −1)+2n)=12(5+2n m−1+2(m−1)n )≥ 12(5+2√2n m−1⋅2(m−1)n )=92（当且仅当2n m−1=2(m−1)n ，即m =53，n =23时取等号）， ∴1m−1+2n 的最小值为92. 所以答案是：92.解答题14、已知定义域为R 的函数，f(x)=−2x +b 2x+1+a 是奇函数. （1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2−2t)+f(2t 2−k)<0恒成立，求实数k 的取值范围.答案：（1）a =2，b =1；（2）k <−13.解析：（1）根据f (0)=0，可得b =1，再由f (1)=−f (−1)即可求解.（2）判断f (x )在R 上为减函数，结合函数为奇函数可得t 2−2t >−2t 2+k ，从而可得对一切t ∈R 有3t 2−2t −k >0，由Δ<0即可求解.（1）因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)=0，即−1+b 2+a =0，解得b =1.从而有f(x)=−2x +12x+1+a .又由f (1)=−f (−1)，知−2+14+a =−−12+11+a ，解得a =2. 经检验，当f(x)=−2x +12x+1+2时，f(−x)=−f(x)，满足题意.（2）由（1）知f(x)=−2x +12x+1+2=−12+12x +1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2−2t )+f (2t 2−k )<0等价于f (t 2−2t )<−f (2t 2−k )=f (−2t 2+k ).因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2−2t >−2t 2+k .即对一切t ∈R 有3t 2−2t −k >0，从而Δ=4+12k<0，解得k<−13.15、对于函数f(x)，若其定义域内存在实数x满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“伪奇函数”．（1）已知函数f(x)=x−2x+1，试问f(x)是否为“伪奇函数”？说明理由；（2）若幂函数g(x)=(n−1)x3−n(n∈R)使得f(x)=2g(x)+m为定义在[−1,1]上的“伪奇函数”，试求实数m的取值范围；（3）是否存在实数m，使得f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−3是定义在R上的“伪奇函数”，若存在，试求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．答案：（1）不是；（2）[−54,−1]；（3）[1−√3,2√2]．分析：（1）先假设f(x)为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；（2）先根据幂函数确定出g(x)的解析式，然后将问题转化为“2m=−(2x+2−x)在[−1,1]上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出m的取值范围；（3）将问题转化为“2m2−6=−(4x+4−x)+2m(2x+2−x)在R上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出m的取值范围.（1）假设f(x)为“伪奇函数”，∴存在x满足f(−x)=−f(x)，∴−x−2−x+1=−x−2x+1有解，化为x2+2=0，无解，∴f(x)不是“伪奇函数”；（2）∵g(x)=(n−1)x3−n(n∈R)为幂函数，∴n=2，∴g(x)=x，∴f(x)=2x+m，∵f(x)=2x+m为定义在[−1,1]的“伪奇函数”，∴2−x+m=−2x−m在[−1,1]上有解，∴2m=−(2x+2−x)在[−1,1]上有解，令2x=t∈[12,2]，∴2m=−(t+1t)在t∈[12,2]上有解，又对勾函数y=t+1t 在[12,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，且t=12时，y=52，t=2时，y=52，∴y min=1+1=2,y max=52，∴y=t+1t的值域为[2,52]，∴2m∈[−52,−2]，∴m∈[−54,−1]；（3）设存在m满足，即f(−x)=−f(x)在R上有解，∴4−x−m⋅2−x+1+m2−3=−(4x−m⋅2x+1+m2−3)在R上有解，∴2m2−6=−(4x+4−x)+2m(2x+2−x)在R上有解，令2x+2−x=t∈[2,+∞)，取等号时x=0，∴2m2−6=−(t2−2)+2mt在[2,+∞)上有解，∴t2−2mt+2m2−8=0在[2,+∞)上有解（*），∵Δ=4m2−4(2m2−8)≥0，解得m∈[−2√2,2√2]，记ℎ(t)=t2−2mt+2m2−8，且对称轴t=m，当m∈[−2√2,2]时，ℎ(t)在[2,+∞)上递增，若（*）有解，则ℎ(2)=22−2mt+2m2−8≤0，∴m∈[1−√3,2]，当m∈(2,2√2]时，ℎ(t)在[2,m)上递减，在(m,+∞)上递增，若（*）有解，则ℎ(m)=m2−2m2+2m2−8=m2−8≤0，即m2−8≤0，此式恒成立，∴m∈(2,2√2]，综上可知，m∈[1−√3,2√2].小提示：关键点点睛：解答本题（2）（3）问题的关键在于转化思想的运用，通过理解“伪奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.。

(带答案)高中数学第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记

(每日一练)高中数学第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记高中数学第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记单选题1、已知函数f(x)={2,x>mx2+4x+2,x≤m，若方程f(x)−x=0恰有三个根，那么实数m的取值范围是（）A．[−1,2)B．[−1,2]C．[2,+∞)D．(−∞,−1]答案：A分析：由题意得，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，结合图象可得出结果.解：由题意可得，直线y=x与函数f(x)=2(x>m)至多有一个交点，而直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)至多两个交点，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，则只需要满足直线y=x与函数f(x)=2(x>m)有一个交点直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)有两个交点即可，如图所示，y=x与函数f(x)=x2+4x+2的图象交点为A(−2,−2)，B(−1,−1)，故有m≥−1.而当m≥2时，直线y=x和射线y=2(x>m)无交点，故实数m的取值范围是[−1,2).故选：A.2、设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x−2)>f(x−4)成立的x的取值范围为（）A．(13,1)B．(−1,32)C．(−∞,32)D．(−∞,−1)∪(32,+∞)答案：D分析：方法一 :求出f(3x−2),f(x−4)的解析式,直接带入求解.方法二 : 设t=x2+1，则y=lgt，判断出f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数,由f(3x−2)>f(x−4)得|3x−2|>|x−4|，解不等式即可求出答案.方法一 :∵f(x)=lg(x2+1)∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg[(3x−2)2+1]>lg[(x−4)2+1]，则(3x−2)2+1>(x−4)2+1，解得x<−1或x>32.方法二 :根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t=x2+1，则y=lgt，在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1,+∞)上为增函数，则f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数，f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，解得x <−1或x >32，故选：D ．3、已知函数f(x)=4+a x+1的图象经过定点P ，则点P 的坐标是（） A ．(－1，5)B ．(－1，4)C ．(0，4)D ．(4，0) 答案：A分析：令x +1=0，即可求出定点坐标；当x +1=0，即x =−1时，a x+1=a 0=1，为常数，此时f(x)=4+1=5，即点P 的坐标为(－1，5). 故选：A.小提示：本题考查指数型函数过定点，考查运算求解能力，属于基础题. 4、若n <m <0，则√m 2+2mn +n 2−√m 2−2mn +n 2等于（） A ．2m B ．2n C ．−2m D ．−2n 答案：C分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果. 原式=|m +n|−|m −n|，∵n <m <0，∴m +n <0，m −n >0， ∴原式=−(m +n)−(m −n)=−2m ．故选：C小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可. 5、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（） A ．25B ．5C ．259D ．53答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．因为2a =5，b =log 83=13log 23，即23b =3，所以4a−3b =4a 43b =(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C.6、化简√−a 3·√a 6的结果为（） A ．−√a B ．−√−a C ．√−a D ．√a 答案：A分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案. 由题意，可知a ≥0，∴√−a 3·√a 6=(−a)13⋅a 16=−a 13⋅a 16=−a 13+16=−a 12=−√a .故选：A.7、中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C =Wlog 2(1+SN )，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S N 从1000提升至5000，则C 大约增加了（）（附：lg2≈0.3010）A ．20%B ．23%C ．28%D ．50% 答案：B分析：根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.将信噪比SN从1000提升至5000时，C 大约增加了Wlog 2(1+5000)−Wlog 2(1+1000)Wlog 2(1+1000)=log 25001−log 21001log 21001≈lg5000lg2−lg1000lg2lg1000lg2=lg53=1−lg23≈0.23=23%.故选：B.8、若x 1，x 2是二次函数y =x 2−5x +6的两个零点，则1x 1+1x 2的值为（）A ．−12B ．−13C ．−16D ．56 答案：D分析：解方程可得x 1=2,x 2=3，代入运算即可得解. 由题意，令x 2−5x +6=0，解得x =2或3，不妨设x 1=2,x 2=3，代入可得1x 1+1x 2=12+13=56.故选：D.9、已知实数a,b ∈(1,+∞)，且log 2a +log b 3=log 2b +log a 2，则（） A ．a <√b log 3b ，再根据对数运算性质得log 2a >log 2√b ，结合y =log 2x 单调性， a >√b ，继而得解. 由log 2a +log b 3=log 2b +log a 2，变形可知log 2a −log a 2<log 2b −log b 2，利用换底公式等价变形，得log 2a −1log2a<log 2b −1log 2b ，由函数f (x )=x −1x 在(0,+∞)上单调递增知，log 2a <log 2b ，即a log 3b ，得log 2a +log b 3>log 3b +log a 2，即log 2a −log a 2>log 3b −log b 3，同样利用f (x )=x −1x 的单调性知，log 2a >log 3b ，又因为log3b=log√3√b>log2√b，得log2a>log2√b，即a>√b，所以√b<a<b.故选：B.10、已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3，则A．a<b<c B．a<c20=1,0<0.20.3<0.20=1,则0<c<1,a<c<b．故选B．小提示：本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．多选题11、已知函数f(x)=|lgx|，则（）A．f(x)是偶函数B．f(x)值域为[0,+∞)C．f(x)在(0,+∞)上递增D．f(x)有一个零点答案：BD分析：画出f(x)的函数图象即可判断.画出f(x)=|lgx|的函数图象如下：由图可知，f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；f(x)值域为[0,+∞)，故B正确；f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，故C错误；f(x)有一个零点1，故D正确.故选：BD.12、已知函数f(x)=log2(2x+8x)−2x，以下判断正确的是（）A．f（x）是增函数B．f（x）有最小值C．f（x）是奇函数D．f（x）是偶函数答案：BD分析：由题设可得f(x)=log2(12x+2x)，根据复合函数的单调性判断f(x)的单调情况并确定是否存在最小值，应用奇偶性定义判断奇偶性.由f(x)=log2(2x+23x)−log222x=log2(12x+2x)，令μ=2x>0为增函数；而t=1μ+μ在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增；所以t在x∈(−∞,0)上递减，在x∈(0,+∞)上递增；又y=log2t在定义域上递增，则y在x∈(−∞,0)上递减，在x∈(0,+∞)上递增；所以f(x)在(−∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增，故最小值为f(0)=1，f(−x)=log2(12−x +2−x)=log2(2x+12x)=f(x)，故为偶函数.故选：BD13、对于函数f(x)的定义域中任意的x1,x2(x1≠x2)，有如下结论:当f(x)=2x时，上述结论正确的是（）A．f(x1+x2)=f(x1)⋅f(x2)B．f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)C．f(x1)−f(x2)x1−x2>0D．f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2答案：ACD解析：由指数幂的运算性质判断A，B，由指数函数的单调性判断C，由指数幂和根式的互化结合基本不等式判断D．对于A，f(x1+x2)=2x1+x2，f(x1)⋅f(x2)=2x1⋅2x2=2x1+x2，f(x1+x2)=f(x1)⋅f(x2)，正确；对于B，f(x1⋅x2)=2x1⋅x2，f(x1)+f(x2)=2x1+2x2，f(x1⋅x2)≠f(x1)+f(x2)，错误；对于C，∵f(x)=2x在定义域中单调递增，∴f(x1)−f(x2)x1−x2>0，正确；对于D，f(x1+x22)=2x1+x22=√2x1+x2≤12(2x1+2x2)=f(x1)+f(x2)2，又x1≠x2，则f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2，正确；故选：ACD小提示：关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查指数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将指数幂形式化为根式，即2x1+x22=√2x1+x2=√2x1⋅2x2，利用指数幂的运算结合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．14、已知函数f(x)=(log2x)2−log2x2−3，则下列说法正确的是（）A．f(4)=−3B．函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点C．函数y=f(x)的最小值为−4D．函数y=f(x)的最大值为4E．函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称答案：ABC分析：A，利用函数直接求解；B令f(x)=0求解即可；C，转化为二次函数求解；D，转化为二次函数求解；E，取特殊值验证即可.A 正确，f(4)=(log 24)2−log 242−3=−3；B 正确，令f(x)=0，得(log 2x +1)(log 2x −3)=0，解得x =12或x =8，即f(x)的图象与x 有两个交点；C 正确，因为f(x)=(log 2x −1)2−4(x >0)，所以当log 2x =1，即x =2时，f(x)取最小值−4；D 错误，f(x)没有最大值；E 错误，取x =1，则f(1)=−3≠f(3). 故选：ABC.小提示：本题主要考查对数型函数的图象和性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 15、已知关于x 的方程x 2+(m −3)x +m =0，则下列说法正确的是（）A ．当m =3时，方程的两个实数根之和为0B ．方程无实数根的一个必要条件是m >1C ．方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0 答案：BCD分析：方程没有实数根，所以选项A 错误；由题得m >1，m >1是1<m <9的必要条件，所以选项B 正确；由题得0<m ≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1，所以选项C 正确；由题得m <0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0，所以选项D 正确. 对于选项A ，方程为x 2+3=0，方程没有实数根，所以选项A 错误；对于选项B ，如果方程没有实数根，则Δ=(m −3)2−4m =m 2−10m +9<0,所以1<m <9，m >1是1<m <9的必要条件，所以选项B 正确；对于选项C ，如果方程有两个正根，则{Δ=m 2−10m +9≥0−(m −3)>0m >0 ,所以0<m ≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1，所以选项C 正确；对于选项D ，如果方程有一个正根和一个负根，则{Δ=m 2−10m +9>0m <0,所以m <0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0，所以选项D 正确. 故选：BCD小提示：方法点睛：判断充分条件必要条件，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件，灵活选择方法判断得解. 填空题16、函数f (x )=lnx +x 2−3的零点个数为________．答案：1分析：解法一，将函数f (x )=lnx +x 2−3的零点转化为函数y =lnx 与y =3−x 2图象的交点问题，作出函数图象，数形结合，可得答案；解法二，利用零点存在定理结合函数的单调性，可得答案.解法一：令f (x )=0，可得方程lnx +x 2−3=0，即lnx =3−x 2，故原函数的零点个数即为函数y =lnx 与y =3−x 2图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．由图可知，函数y =3−x 2与y =lnx 的图象只有一个交点，故函数f (x )=lnx +x 2−3只有一个零点，所以答案是：1解法二：∵f (1)=ln1+12−3=−2<0，f (2)=ln2+22−3=ln2+1>0，∴f (1)f (2)<0，又f (x )=lnx +x 2−3的图象在(1,2)上是不间断的，∴f (x )在(1,2)上必有零点，又f (x )=lnx +x 2−3在(0,+∞)上是单调递增的，∴函数f (x )的零点有且只有一个，所以答案是：117、已知10p ＝3，用p 表示log 310＝_____．答案：1p ##p −1分析：根据指数和对数的关系，以及换底公式，分析即得解.∵10p ＝3，∴p =lg3，∴log 310＝1g101g3＝11g3＝1p . 所以答案是：1p ．18、计算：27−13−(−17)−2+25634−3−1+(√2−1)0=_______. 答案：16分析：根据指数幂的运算性质直接求解即可．27−13−(−17)−2+25634−3−1+(√2−1)0=(33)−13−(−7)2+(44)34−13+1 =13−49+64−13+1=16.所以答案是：16．解答题19、设函数f(x)=log m x（m>0且m≠1）的图像经过点(3,1).（1）解关于x的方程f2(x)+(m−1)f(x)+1−m2=0；,9)，试求实数a的值.（2）不等式[1+f(x)]⋅[a−f(x)]>0的解集是(13；（2）a=2.答案：（1）x=9或x=181分析：(1)根据给定条件求出m值，并代入方程，再解方程即得.(2)由给定解集借助对数函数单调性求出f(x)范围，换元借助一元二次不等式即可得解.（1）由已知得f(3)=1，即log m3=1，则m=3，于是得f(x)=log3x，方程f2(x)+(m−1)f(x)+1−m2=0⇔f2(x)+2f(x)−8=0，从而得f(x)=2或f(x)=−4，即log3x=2或log3x=−4，x=9或x=1，81；所以原方程的根为x=9或x=181,9)，从而得log3x∈(−1,2).（2）依题意，函数f(x)=log3x中，x∈(13又[1+f(x)]⋅[a−f(x)]>0⇔(log3x+1)⋅(log3x−a)<0，令log3x=t，即一元二次不等式(t+1)⋅(t−a)<0的解集为(−1,2)，因此有-1，2是关于t的方程(t+1)⋅(t−a)=0的两根，则a=2，所以实数a的值为2.20、某校手工爱好者社团出售自制的工艺品，每件的售价在20元到40元之间时，其销售量y（件）与售价x （元/件）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下表所示．(1)求此一次函数的解析式；(2)若每件工艺品的成本是20元，在不考虑其他因素的情况下，每件工艺品的售价是多少时，利润最大？最大利润是多少？答案：(1)y =−20x +840(20⩽x ⩽40)(2)每件工艺品的售价为31元时，利润最大，最大利润为2420元分析：（1）设y =ax +b ，任取两级数据代入求得参数值得解析式；（2）由（1）中关系式得出利润与x 的关系，由二次函数的性质得最大值．（1）设y =ax +b ，不妨选择两组数据(20,440)，(22,400)代入，可得{440=20a +b,400=22a +b,解得{a =−20,b =840, ∴一次函数的解析式为y =−20x +840(20⩽x ⩽40)．（2）设利润为S 元，由题意可得S =(−20x +840)(x −20)=−20x 2+1240x −16800=−20(x −31)2+2420， ∴当x =31时，S max =2420，∴每件工艺品的售价为31元时，利润最大，最大利润为2420元．。

第四章指数函数与对数函数(单元复习)高一数学(人教A版2019必修第一册)

性质
y<0
y>0
当x>1时，_____；当0<x<1时，_____
增函数
在(0，＋∞)上是_______
y>0
y<0
当x>1时，_____；当0<x<1时，_____
减函数
在(0，＋∞)上是_______
知识点梳理
8.反函数
y＝logax
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数_________(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线
2
3
2
⋅ 3 −1 = 9 ，
2
又因为 3 ⋅ 3 > 0，
2
所以 = − − 1 的取值范围为 0, 9 ．
故选：A．
典型例题
题型二：指数函数的图象及其应用
【对点训练6】已知 = 2
−1
，且其在区间 , 上的值域为 1,2 ，记满足该条件的实数、所形成的实
【对点训练2】求值：
（1）
2
5
3
5
lg3+ lg9+ lg 27−lg 3
lg81−lg27
；
7
（2）log 5 35 − 2log 5 3 + log 5 7 − log 5 1.8．
2
【解析】（1）
4
3 3
3
lg3+ 5 lg9+ 5 lg 27−lg 3
lg81−lg27
4
1
lg3+ 5 lg3+ 5 ⋅ 2 lg3− 2 lg3
【解析】（1）
1
2
原式 = log 5 5 2 + lg10 −3 + lne + 2 1 × 2 log 2 3

(精选试题附答案)高中数学第四章指数函数与对数函数真题

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数真题单选题1、设a=log2π，b=log6π，则（）A．a−b<0<ab B．ab<0<a−bC．0<ab<a−b D．0<a−b<ab答案：D分析：根据对数函数的性质可得a−b>0，ab>0，1b −1a<1，由此可判断得选项.解：因为a=log2π>log22=1，0=log61<b=log6π<log66=1，所以a>1,0<b<1，所以a−b>0，ab>0，故排除A、B选项；又1b −1a=a−bab=logπ6−logπ2=logπ3<logππ<1，且ab>0，所以0<a−b<ab，故选：D.2、若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根（精确度0.1）为（）．A．1.2B．1.4C．1.3D．1.5答案：B分析：根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.解：因为f(1)<0,f(1.5)>0，所以f(1)f(1.5)<0，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.5−1=0.5>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.25)<0，所以f(1.25)f(1.5)<0，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5−1.25=0.25>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.375)<0，所以f(1.375)f(1.5)<0，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5−1.375=0.125>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.4375)>0，所以f(1.4375)f(1.375)<0，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375−1.375=0.0625<0.1，所以满足精确度0.1；所以方程x 3+x 2−2x −2=0的一个近似根（精确度0.05）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B . 故选：B3、已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（） A ．a 45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、c ∈(0,1)，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a 4，可得c >45.综上所述，a 0 且a ≠1)，则“a ≥3”是“f (x )在R 上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A分析：先由f(x)在R 上单调递增求得a 的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得. 若f(x)在R 上单调递增，则{a >1a −1>0a +1≥3 ，所以a ≥2，由“a ≥3”可推出“a ≥2”，但由“a ≥2”推不出 “a ≥3”，所以“a ≥3”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A.5、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9，则（） A ．a >0>b B ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a 答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．［方法一］：（指对数函数性质）由9m =10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0.又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b . ［方法二］：【最优解】（构造函数）由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1，令f ′(x)=0，解得x 0=m11−m，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x)在(1,+∞)上单调递增，所以f(10)>f(8)，即a>b，又因为f(9)=9log910−10=0，所以a>0>b .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用a,b的形式构造函数f(x)=x m−x−1(x>1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．6、已知函数f(x)={2,x>mx2+4x+2,x≤m，若方程f(x)−x=0恰有三个根，那么实数m的取值范围是（）A．[−1,2)B．[−1,2]C．[2,+∞)D．(−∞,−1]答案：A分析：由题意得，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，结合图象可得出结果.解：由题意可得，直线y=x与函数f(x)=2(x>m)至多有一个交点，而直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)至多两个交点，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，则只需要满足直线y=x与函数f(x)=2(x>m)有一个交点直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)有两个交点即可，如图所示，y=x与函数f(x)=x2+4x+2的图象交点为A(−2,−2)，B(−1,−1)，故有m≥−1.而当m≥2时，直线y=x和射线y=2(x>m)无交点，故实数m的取值范围是[−1,2).故选：A.7、已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m >0，log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，则log z m 的值为（） A ．160B ．60C ．2003D ．320答案：B分析：根据换底公式将log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，化为log m x =124，log m y =140，log m xyz =112，再根据同底数的对数的加减法运算即可得解. 解：因为log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，所以log m x =124，log m y =140，log m xyz =112，即log m x +log m y +log m z =112，∴log m x =112−log m y −log m z =112−124−140=160， ∴log z m =60．故选：B ．8、下列函数中是增函数的为（）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍.对于D，f(x)=√x3为R上的增函数，符合题意，故选：D.9、已知函数f(x)={a x,x<0(a−3)x+4a,x≥0满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（）A．(0,14]B．(0，1)C．[14,1)D．(0，3)答案：A分析：根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，则f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，则函数y=a x在(−∞,0)上是减函数，有0<a<1，函数y=(a−3)x+4a在[0,+∞)上是减函数，有a−3<0，即a<3，并且满足：a0≥f(0)，即4a≤1，解和a≤14，综上得0<a≤14，所以a的取值范围为(0,14].故选：A10、如图所示，函数y=|2x−2|的图像是（）A．B．C．D．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x=1及x≠1时的函数值即可得解.∵y=|2x−2|={2x−2,x≥12−2x,x<1，∴x=1时，y=0,x≠1时，y>0. 故选：B.填空题11、化简：(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________．答案：2−1263分析：分析式子可以发现，若在结尾乘以一个(1−12)，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2=(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2=(1+1232)×(1−1232)×2=(1−1264)×2=2−1263所以答案是：2−1263﹒12、不等式log4x≤12的解集为___________.答案：(0,2]分析：根据对数函数的单调性解不等式即可. 由题设，可得：log 4x ≤log 4412，则0<x ≤412=2， ∴不等式解集为(0,2]. 所以答案是：(0,2].13、在用二分法求函数f (x )的零点近似值时，若第一次所取区间为[−2,6]，则第三次所取区间可能是______．（写出一个符合条件的区间即可）答案：[−2,0]或[0,2]或[2,4]或[4,6](写一个即可)．分析：根据二分法的概念，可求得结果．第一次所取区间为[−2,6]，则第二次所取区间可能是[−2,2]，[2,6]；第三次所取区间可能是[−2,0]，[0,2]，[2,4]，[4,6]．所以答案是：[−2,0]或[0,2]或[2,4]或[4,6](写一个即可)．14、设函数f(x)={2x +1,x ≤0|lgx |,x >0，若关于x 的方程f 2(x )−af (x )+2=0恰有6个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______．答案：(2√2,3)分析：作出函数f(x)的图象，令f(x)=t ，结合图象可得，方程t 2−at +2=0在(1,2]内有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得；作出函数f(x)={2x +1,x ≤0|lgx |,x >0的大致图象，令f (x )=t ，因为f 2(x )−af (x )+2=0恰有6个不同的实数解，所以g (t )=t 2−at +2=0在区间(1,2]上有2个不同的实数解，∴{Δ=a 2−8>01<a2<2g (1)=3−a >0g (2)=6−2a ≥0 ，解得2√2<a <3，∴实数a 的取值范围为(2√2,3)．所以答案是：(2√2,3)．15、函数y =log a (kx −5)+b （a >0且a ≠1）恒过定点(2,2)，则k +b =______．答案：5分析：根据对数函数的图象与性质，列出方程组，即可求解. 由题意，函数y =log a (kx −5)+b 恒过定点(2,2)，可得{2k −5=1b =2 ，解得k =3,b =2，所以k +b =3+2=5.所以答案是：5. 解答题16、（1）计算：(1100)−12−√(1−√2)2−8×(√5−√3)0+816；（2）已知x +x −1=4，求x 12+x −12．答案：（1）3；（2）x 12+x −12=√6.分析：（1）根据指数幂的运算法则进行计算，求得答案；（2）先判断出x >0，然后将x 12+x −12平方后结合条件求得答案. （1）原式=[(100)−1]−12−(√2−1)−8+(23)16，=10012−√2+1−8+212=10+1−8=3．（2）由于x +x−1=4>0，所以x >0，(x 12+x −12)2=x +x −1+2=6，所以x 12+x −12=√6．17、（1）证明对数换底公式：log b N =log a N log a b（其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，N >0）（2）已知log 32=m ，试用m 表示log 3218. 答案：（1）证明见解析；（2）log 3218=2+m 5m.分析：（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明. （2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得. （1）设log b N =x ，写成指数式b x =N . 两边取以a 为底的对数，得xlog a b =log a N .因为b >0，b ≠1，log a b ≠0，因此上式两边可除以log a b ，得x =log a N log a b.所以，log b N =log a N log a b.（2）log 3218=log 318log 332=log 332+log 32log 325=2+log 325log 32=2+m 5m.小提示：本题考查换底公式的证明和应用，属基础题，关键是将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明. 18、已知函数f (x )＝a x −1a x +1(a ＞0，且a ≠1)．（1）若f (2)＝35，求f (x )解析式；（2）讨论f (x )奇偶性．答案：（1）f (x )=2x −12x +1；（2）奇函数．分析：（1）根据f (2)=35，求函数的解析式；（2）化简f (−x )，再判断函数的奇偶性. 解：（1）∵f (x )=a x −1a x +1，f (2)=35．即a 2−1a 2+1=35，∴a =2．即f (x )=2x −12x +1．（2）因为f (x )的定义域为R ，且f (−x )=a −x −1a −x +1=1−a x1+a x =−f (x )，所以f (x )是奇函数．19、如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB 的长为x 米．(1)当AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？答案：(1)15米；(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.分析：（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则BC =(50−2x)m ，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得S =x(50−2x)，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则BC =(50−2x)m ，由题意得，x(50−2x)=300，解得x 1=15,x 2=10，∵50−2x ≤25，∴x ≥12.5，∴x=15，所以，AB的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得，S=x(50−2x)=−2x2+50x=−2(x−12.5)2+312.5,12.5≤x<25∴x=12.5时，S取得最大值，此时，S=312.5，所以，当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米．。

人教版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳完整版

人教版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳完整版单选题1、下列式子的互化正确的是（） A ．6√y 2=y 13(y <0)B ．x−13=−√x 3(x ≠0)C ．x −54=√(1x )54(x >0)D ．−√x =(−x )12(x >0)答案：C解析：根据根式与分数指数幂的互化可逐项分析. 根据分数指数幂的运算可知，√y 26=|y|13=−y 13(y <0)，x−13=√x3x ≠0)，x−54=√(1x)54(x >0)，−√x =−(x )12(x >0)，故选：C2、已知函数f(x)=2x −x −1，则不等式f(x)>0的解集是（）． A ．(−1,1)B ．(−∞,−1)∪(1,+∞) C ．(0,1)D ．(−∞,0)∪(1,+∞) 答案：D分析：作出函数y =2x 和y =x +1的图象，观察图象可得结果. 因为f (x )=2x −x −1，所以f (x )>0等价于2x >x +1，在同一直角坐标系中作出y =2x 和y =x +1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式2x >x +1的解为x <0或x >1.所以不等式f (x )>0的解集为：(−∞,0)∪(1,+∞). 故选：D.小提示：本题考查了图象法解不等式，属于基础题.3、若32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，则f (x )的另一个零点为（） A ．1B ．2C ．（1，0）D ．（2，0）答案：A分析：由32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，可得a 值，再利用韦达定理列方程解出f (x )的另一个零点．因为32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，所以f (32)=2×(32)2−a ×32+3=0，解得a =5．设另一个零点为x 0，则x 0+32=52，解得x 0=1，所以f (x )的另一个零点为1．故选：A ．4、用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（） A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.4答案：B分析：利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得.依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7∈(0.68,0.72)，且满足|0.72-0.68|<0.1，所以所求的符合条件的近似值为0.7. 故选：B5、下列函数中是增函数的为（）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍.对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意，故选：D.6、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（） A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100 答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A7、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（）A ．[1,5]B ．[32,5) C ．(32,5)D ．(1,5) 答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解不等式组可求得答案因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解得32≤a <5，故选：B8、设log 74=a,log 73=b ，则log 4936=（） A ．12a −b B ．12b +a C ．12a +b D ．12b −a 答案：C分析：根据对数的运算性质计算即可.解：log 4936=log 7262=log 76=log 72+log 73=12log 74+log 73=12a +b . 故选：C.9、设a =log 2π，b =log 6π，则（）A ．a −b <0<abB ．ab <0<a −bC ．0<ab <a −bD ．0<a −b <ab 答案：D分析：根据对数函数的性质可得a −b >0，ab >0， 1b −1a <1，由此可判断得选项.解：因为a =log 2π>log 22=1，0=log 611,00，ab >0，故排除A 、B 选项；又1b −1a =a−b ab=log π6−log π2=log π3<log ππ<1，且ab >0，所以0<a −b <ab ，故选：D.10、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（） A ．[0,34]B ．(0,34) C ．[0,916]D ．(0,916) 答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点，若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0，若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916.故m ∈(0,916). 故选：D ．多选题11、(多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（）A ．(-1)13和(−1)26B ．343和13-43C ．212和414D ．4−32和(12)−3 答案：BC分析：根据分数指数幂的定义以及运算法则逐个验证与化简，即可判断选择.A 不符合题意，(-1)13和(−1)26不符合分数指数幂的定义，但(-1)13=√-13=-1，(-1)26=√(-1)26=1;B 符合题意，13-43=343.C 符合题意，414=√224=212;D 不符合题意，4−32和(12)−3均符合分数指数幂的定义，但4-32=1432=18，(12)−3 =23=8.故选：BC小提示：本题考查分数指数幂的定义以及运算法则，考查基本分析判断与化简能力，属基础题. 12、若函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，则必有（）． A ．0<a <1B ．a >1C ．b >0D ．b <0 答案：BC分析：对底数a 分情况讨论即可得答案.解：若0<a <1，则y =a x −(b +1)的图像必过第二象限，而函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，所以a >1．当a >1时，要使y =a x −(b +1)的图像过第一、三、四象限，则b +1>1，即b >0．故选：BC小提示：此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.13、已知函数y =log a (x +c )(a,c 为常数，其中a >0,a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是（）A ．a >1B ．0<a <1C ．c >1D ．0<c <1 答案：BD分析：根据对数函数的图象判断．由图象知0<a <1，可以看作是y =log a x 向左移动c 个单位得到的，因此0<c <1，故选：BD ．14、已知n <m ，函数f (x )={log 12(1−x ),−1≤x ≤n22−|x−1|−3,n <x ≤m 的值域是[−1,1]，则下列结论正确的是（） A ．当n =0时，m ∈(12,2]B ．当n ∈[0,12)时，m ∈(n,2]C ．当n ∈[0,12)时，m ∈[1,2]D ．当n =12时，m ∈(12,2]答案：CD分析：先对分段函数去绝对值讨论单调性，作出y =log 12(1−x )，x ≥−1和y =22−|x−1|−3，x ≥−1的图象，n =0时，由图可得m 的范围，可判断A ；当n ∈[0,12)时先求出y =log 12(1−x )，−1≤x ≤n 的值域，进而可判断x ∈(n,m ]时，f (x )=1必有解，即可得m 的范围，可判断B ，C ；当n =12时，先计算f (x )=log 12(1−x )在[−1,12]上的值域，即可得y =22−|x−1|−3，n <x ≤m 的范围，进而可得m 的范围，可判断D ．当x >1时，x −1>0，此时y =22−|x−1|−3=22−x+1−3=23−x −3单调递减，当−1<x <1时，x −1<0，此时y =22−|x−1|−3=22+x−1−3=21+x −3单调递增，所以y =22−|x−1|−3在(−1,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以当x =1时，y =22−|x−1|−3取得最大值，为22−3=1．作出y =log 12(1−x )与y =22−|x−1|−3在[−1,+∞)上的图象如图所示：对于A ，当n =0时，f (x )={log 12(1−x ),−1≤x ≤022−|x−1|−3,0<x ≤m，因为f (x )的值域为[−1,1]，结合图象知m ∈[1,2]，故A不正确；对于B ，当n ∈[0,12)，x ∈[−1,n ]时，1−x ∈[1−n,2]，此时f (x )=log 12(1−x )∈[−1,log 12(1−n )]，此时−1≤f (x )≤log 12(1−n )<1，因为f (x )的值域为[−1,1]，则x ∈(n,m ]时，f (x )=1必有解，即22−|x−1|−3=1，解得x =1，由图知m ∈[1,2]，故B 不正确，C 正确；对于D ，当n =12时，f (x )=log 12(1−x )在[−1,12]上单调递增，此时f (x )的最小值为f (−1)=log 122=−1，f (x )的最大值为f (12)=log 12(1−12)=1，要使f (x )的值域为[−1,1]，由图知m ∈(12,2]，故D 正确．故选：CD ．小提示：关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查分段函数的值域，解题的关键是根据题意作出f(x)的图象，结合图象逐个分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题15、已知函数f(x)={x 2,x ∈(−∞,0),lnx,x ∈(0,1),−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞), 若函数g(x)=f(x)−m 恰有2个零点，则实数m 可以是（） A ．−1B ．0C ．1D ．2答案：ABC分析：转化为函数y=f(x)的图象与直线y=m恰有两个交点，画出函数f(x)的图象，根据图象可得解.因为函数g(x)=f(x)−m恰有2个零点，所以函数y=f(x)的图象与直线y=m恰有两个交点，画出函数f(x)的图象如图：由图可知，m=1或m≤0，结合选项，因此m可以为-1，0，1．故选：ABC．小提示：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.双空题，a b=b a，则a=______，b=______．16、已知log b a>1，若log a b+log b a=52答案： 4 2分析：将对数等式利用换底公式变形，求出log b a，再借助指数函数单调性即可得解.依题意，a>0且a≠1，b>0且b≠1，因为log a b+log b a=52，则1log b a+log b a=52，即2(log b a)2−5log b a+2=0，解得log b a=2或log b a=12(舍去)，于是得a=b2，因a b=b a，即有(b2)b=b b2，亦即b2b=b b2，而指数函数y=b x是R上单调函数，因此有2b=b2，解得b=2，从而a=b2=4，所以a=4，b=2.所以答案是：4；217、（1）若函数f(x)=log2(ax2+ax+1)的定义域为R，则实数a的取值范围是___________；（2）若函数f(x)=log2(ax2+ax+1)的值域为R，则实数a的取值范围是___________.答案：[0,4)[4,+∞)分析：（1）由题可得ax2+ax+1>0恒成立，分类讨论结合二次函数的性质即得；（2）由题可得ax2+ax+1>0的解包含所有的正数，分类讨论结合二次函数的性质即得.（1）当a=0时，f(x)=0符合题意；当a≠0时，欲使ax2+ax+1>0在R上恒成立，则{a>0Δ=a2−4a<0,解得0<a<4，综上，实数a的取值范围是[0,4)；（2）当a=0时，f(x)=0，不符合题意；当a≠0时，欲使ax2+ax+1取遍所有正数，只须使{a>0Δ=a2−4a≥0，解得a≥4，综上，实数a的取值范围是[4,+∞).所以答案是：[0,4)；[4,+∞).18、已知函数f(x)={(x +1)e x 0≤x <1,x 2−2x x ≥1,则函数f (x )的值域为___________.若函数g (x )=f (x )−k 有2个零点，则k 的范围是___________.答案： [−1,+∞)； [1,2e ).分析：利用函数在0≤x <1时的单调性，进而可得函数在0≤x <1时的值域，再利用二次函数的性质可得函数x ≥1时的值域，即得函数的值域，然后作出函数图象，结合函数图象即可求出参数的取值范围；因为f(x)={(x +1)e x 0≤x <1x 2−2x x ≥1，当0≤x <1时，由y =x +1>0,y =e x >0单调递增，∴f (x )=(x +1)e x 在[0,1)上单调递增，∴当0≤x <1时，f (x )=(x +1)e x ∈[1,2e )，当x ≥1时，所以f (x )=x 2−2x =(x −1)2−1∈[−1,+∞)，综上，函数f (x )的值域为[−1,+∞)，作出函数f (x )的图象与直线y =k 如图所示：函数g (x )=f (x )−k 有2个零点，即y =f (x )与y =k 有2个交点，所以1≤k<2e，即k∈[1,2e).所以答案是：[−1,+∞)；[1,2e).解答题19、对于函数f(x)，若其定义域内存在实数x满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“伪奇函数”．（1）已知函数f(x)=x−2x+1，试问f(x)是否为“伪奇函数”？说明理由；（2）若幂函数g(x)=(n−1)x3−n(n∈R)使得f(x)=2g(x)+m为定义在[−1,1]上的“伪奇函数”，试求实数m的取值范围；（3）是否存在实数m，使得f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−3是定义在R上的“伪奇函数”，若存在，试求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．答案：（1）不是；（2）[−54,−1]；（3）[1−√3,2√2]．分析：（1）先假设f(x)为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；（2）先根据幂函数确定出g(x)的解析式，然后将问题转化为“2m=−(2x+2−x)在[−1,1]上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出m的取值范围；（3）将问题转化为“2m2−6=−(4x+4−x)+2m(2x+2−x)在R上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出m的取值范围.（1）假设f(x)为“伪奇函数”，∴存在x满足f(−x)=−f(x)，∴−x−2−x+1=−x−2x+1有解，化为x2+2=0，无解，∴f(x)不是“伪奇函数”；（2）∵g(x)=(n−1)x3−n(n∈R)为幂函数，∴n=2，∴g(x)=x，∴f(x)=2x+m，∵f(x)=2x+m为定义在[−1,1]的“伪奇函数”，∴2−x+m=−2x−m在[−1,1]上有解，∴2m=−(2x+2−x)在[−1,1]上有解，令2x=t∈[12,2]，∴2m=−(t+1t)在t∈[12,2]上有解，又对勾函数y=t+1t 在[12,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，且t=12时，y=52，t=2时，y=52，∴y min=1+1=2,y max=52，∴y=t+1t的值域为[2,52]，∴2m∈[−52,−2]，∴m∈[−54,−1]；（3）设存在m满足，即f(−x)=−f(x)在R上有解，∴4−x−m⋅2−x+1+m2−3=−(4x−m⋅2x+1+m2−3)在R上有解，∴2m2−6=−(4x+4−x)+2m(2x+2−x)在R上有解，令2x+2−x=t∈[2,+∞)，取等号时x=0，∴2m2−6=−(t2−2)+2mt在[2,+∞)上有解，∴t2−2mt+2m2−8=0在[2,+∞)上有解（*），∵Δ=4m2−4(2m2−8)≥0，解得m∈[−2√2,2√2]，记ℎ(t)=t2−2mt+2m2−8，且对称轴t=m，当m∈[−2√2,2]时，ℎ(t)在[2,+∞)上递增，若（*）有解，则ℎ(2)=22−2mt+2m2−8≤0，∴m∈[1−√3,2]，当m∈(2,2√2]时，ℎ(t)在[2,m)上递减，在(m,+∞)上递增，若（*）有解，则ℎ(m)=m2−2m2+2m2−8=m2−8≤0，即m2−8≤0，此式恒成立，∴m∈(2,2√2]，综上可知，m∈[1−√3,2√2].小提示：关键点点睛：解答本题（2）（3）问题的关键在于转化思想的运用，通过理解“伪奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.20、已知函数f(x)=ln(2x2+ax+3).（1）若f(x)是定义在R上的偶函数，求a的值及f(x)的值域；（2）若f(x)在区间[−3,1]上是减函数，求a的取值范围.答案：（1）a=0，[ln3,+∞)；（2）a∈(−5,−4]解析：（1）根据偶函数的定义，求出a=0，得f(x)=ln(2x2+3)，验证定义域是否关于原点对称，求出真数的范围，再由对数函数的单调性，即可求出值域；（2）u(x)=2x2+ax+3,g(u)=lnu，由条件可得，u(x)=2x2+ax+3在[−3,1]上是减函数，且u(x)>0在[−3,1]上恒成立，根据二次函数的单调性，得出参数a的不等式，即可求解.解：（1）因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)=f(−x)，所以ln(2x2+ax+3)=ln(2x2−ax+3)，故a=0，此时，f(x)=ln(2x2+3)，定义域为R，符合题意.令t=2x2+3，则t⩾3，所以lnt⩾ln3，故f(x)的值域为[ln3,+∞).（2）设u(x)=2x2+ax+3,g(u)=lnu.因为f(x)在[−3,1]上是减函数，所以u(x)=2x2+ax+3在[−3,1]上是减函数，且u(x)>0在[−3,1]上恒成立，故{−a4⩾1,u(x)min=u(1)=5+a>0,解得−5<a≤−4，即a∈(−5,−4].小提示：本题考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性、单调性、值域，研究函数的性质要注意定义域，属于中档题.。

人教版高中数学第四章指数函数与对数函数必考知识点归纳

人教版高中数学第四章指数函数与对数函数必考知识点归纳单选题1、若ln2=a ，ln3=b ，则log 818=（）A ．a+3ba 3B ．a+2b 3a C ．a+2ba 3D ．a+3b 3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log 818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a 3a .故选：B 2、设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f (x )（）A ．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(−12,12)单调递减 C ．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D ．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减答案：D分析：根据奇偶性的定义可判断出f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈(−12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出f (x )单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，利用复合函数单调性可判断出f (x )单调递减，从而得到结果. 由f (x )=ln |2x +1|−ln |2x −1|得f (x )定义域为{x |x ≠±12}，关于坐标原点对称，又f (−x )=ln |1−2x |−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f (x )，∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈(−12,12)时，f (x )=ln (2x +1)−ln (1−2x )，∵y =ln (2x +1)在(−12,12)上单调递增，y =ln (1−2x )在(−12,12)上单调递减，∴f (x )在(−12,12)上单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，f (x )=ln (−2x −1)−ln (1−2x )=ln 2x+12x−1=ln (1+22x−1)，∵μ=1+22x−1在(−∞,−12)上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：f (x )在(−∞,−12)上单调递减，D 正确.故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f (−x )与f (x )的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.3、已知对数式log (a+1)24−a （a ∈Z ）有意义，则a 的取值范围为（）A ．(−1,4)B ．(−1,0)∪(0,4)C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}答案：C分析：由对数的真数大于0，底数大于0且不等于1列出不等式组，然后求解即可.由题意可知:{a +1>0a +1≠124−a>0 ⇔{a >−1a ≠0a <4 ，解之得:−1<a <4且a ≠0. ∵a ∈Z ，∴a 的取值范围为{1,2,3}.故选：C.4、已知a =log 20.2,b =20.2,c =0.20.3，则A ．a 20=1, 0<0.20.3<0.20=1,则0<c <1,a <c 0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是（）A ．a >0B ．a >1C ．a <1D ．0<a <1答案：D分析：把f (－2)，f (－3)代入解不等式，即可求得．因为f (－2)＝a 2， f (－3)＝a 3，f (－2)>f (－3)，即a 2>a 3，解得：0<a <1．故选：D6、函数f (x )={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，若函数g (x )=f (x )−t (t ∈R )有3个不同的零点a ，b ，c ，则2a +2b +2c 的取值范围是（）A ．[16,32)B ．[16,34)C ．(18,32]D ．(18,34)答案：D分析：作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，利用图象得出a,b,c 的性质、范围，从而可求得结论．作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，如图，则1−2a =2b −1，4<c <5，2a +2b =2，2c ∈(16,32)，所以18<2a +2b +2c <34．小提示：关键点点睛：本题考查函数零点问题，解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点的横坐标，从而可通过作出函数图象与直线，得出零点的性质与范围．7、已知函数y=a x、y=b x、y=c x、y=d x的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（）A．b+d>a+c B．b+d<a+c C．a+d>b+c D．a+d<b+c答案：B分析：如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，即得解.如图，作出直线x =1,得到c >d >1>a >b ，所以b +d <a +c .故选：B8、指数函数y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（） A ．14B ．12C ．2D ．4答案：B分析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值.因为y =a x 的图象经过点(3,18)，所以a 3=18，解得a =12，故选：B.9、设alog 34=2，则4−a =（）A ．116B ．19C ．18D ．16答案：B分析：根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解由alog34=2可得log34a=2，所以4a=9，所以有4−a=19，故选：B.小提示：本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.10、如图所示，函数y=|2x−2|的图像是（）A．B．C．D．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x=1及x≠1时的函数值即可得解.∵y=|2x−2|={2x−2,x≥12−2x,x<1，∴x=1时，y=0,x≠1时，y>0.故选：B.多选题11、在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（）A．y=﹣2x B．y=x﹣6C．y=3xD．y=x2﹣3x+4答案：ACD分析：横纵坐标相等的函数即y =x ，与y =x 有交点即存在完美点，依次计算即可.横纵坐标相等的函数即y =x ，与y =x 有交点即存在完美点，对于A,{y =x y =−2x ，解得{x =0y =0，即存在完美点(0,0)，对于B,{y =x y =x −6，无解，即不存在完美点，对于C,{y =x y =3x，解得{x =√3y =√3或{x =−√3y =−√3，即存在完美点(√3,√3)，(−√3,−√3) 对于D,{y =x y =x 2−3x +4，x 2−3x +4=x ,即x 2−4x +4=0，解得x =2，即存在完美点(2,2). 故选：ACD.12、已知函数f(x)=(log 2x )2−log 2x 2−3，则下列说法正确的是（）A ．f(4)=−3B ．函数y =f(x)的图象与x 轴有两个交点C ．函数y =f(x)的最小值为−4D ．函数y =f(x)的最大值为4E ．函数y =f(x)的图象关于直线x =2对称答案：ABC分析：A ，利用函数直接求解；B 令f(x)=0求解即可；C ，转化为二次函数求解；D ，转化为二次函数求解；E ，取特殊值验证即可.A 正确，f(4)=(log 24)2−log 242−3=−3；B 正确，令f(x)=0，得(log 2x +1)(log 2x −3)=0，解得x =12或x =8，即f(x)的图象与x 有两个交点；C正确，因为f(x)=(log2x−1)2−4(x>0)，所以当log2x=1，即x=2时，f(x)取最小值−4；D错误，f(x)没有最大值；E错误，取x=1，则f(1)=−3≠f(3).故选：ABC.小提示：本题主要考查对数型函数的图象和性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.13、已知函数f(x)=|lgx|，则（）A．f(x)是偶函数B．f(x)值域为[0,+∞)C．f(x)在(0,+∞)上递增D．f(x)有一个零点答案：BD分析：画出f(x)的函数图象即可判断.画出f(x)=|lgx|的函数图象如下：由图可知，f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；f(x)值域为[0,+∞)，故B正确；f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，故C错误；f(x)有一个零点1，故D正确.故选：BD.14、（多选题）下列计算正确的是（）A ．√(−3)412=√−33B ．(a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=−9a a >0,b >0C ．√√93=√33D ．已知x 2+x −2=2，则x +x −1=2 答案：BC 解析：根据根式运算和指数幂的运算法则求解判断.A. √(−3)412=√3412=√33，故错误；B. (a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=−9a 23+12−16b 12+13−56=−9a ，故正确； C. √√93=916=(32)16=313=√33，故正确；D. 因为x 2+x −2=(x +x −1)2−2=2，所以(x +x −1)2=4，则x +x −1=±2，故错误；故选：BC15、已知函数f (x )=lg (x 2+ax −a −1)，下列结论中正确的是（）A ．当a =0时，f (x )的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)B ．f (x )一定有最小值C ．当a =0时，f (x )的值域为RD ．若f (x )在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是{a |a ≥−4}答案：AC分析：A 项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B 项为最值问题，问一定举出反例即可；C 项代入参数值即可求出函数的值域；D 项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.对于A ，当a =0时，f (x )=lg (x 2−1)，令x 2−1>0，解得x <−1或x >1，则f (x )的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，故A 正确；对于B 、C ，当a =0时，f (x )=lg (x 2−1)的值域为R ，无最小值，故B 错误，C 正确；对于D ，若f (x )在区间[2,+∞)上单调递增，则y =x 2+ax −a −1在[2,+∞)上单调递增，且当x =2时，y >0，则{−a 2≤24+2a −a −1>0，解得a >−3，故D 错误．故选：AC ．双空题16、已知函数f(x)={x 2+x +1,−1⩽x ⩽0(12)x ,0<x ⩽1 则f(f(0))=_______；f(x)的最小值为____．答案： 12##0.5 12##0.5分析：根据函数f(x)={x 2+x +1,−1⩽x ⩽0(12)x ,0<x ⩽1 ，先求得f(0)，再求f(f(0))即可；分−1⩽x ⩽0和0<x ⩽1讨论求解最小值.因为函数f(x)={x 2+x +1,−1⩽x ⩽0(12)x ,0<x ⩽1所以f(0)=1，f(f(0))=f(1)=12；当−1⩽x ⩽0时，f(x)=x 2+x +1=(x +12)2+34∈[34，1]，当0<x ⩽1时，f(x)=(12)x ∈[12,1)，f(x)的最小值为12，所以答案是：12，1217、函数y =log 12(x 2−x )的单调递增区间为______，单调递减区间为______. 答案： (−∞,0) (1,+∞)分析：令x 2−x >0，求得函数y =log 12(x 2−x )的定义域，再利用复合函数的单调性求解.令x 2−x >0，得x <0或x >1，所以函数y =log 12(x 2−x )的定义域为(−∞,0)∪(1,+∞). 因为y =x 2−x 在(−∞,0)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，知由复合函数的单调性知：函数y =log 12(x 2−x )的单调递增区间为(−∞,0)，单调递减区间为(1,+∞). 所以答案是：(−∞,0)，(1,+∞)18、已知函数f (x )={−x +3,x ≤21,x >2.．（1）不等式f (3x −1)<f (x 2)的解集为____________；（2）若关于x 的方程f (e x +1e x −a)=2有两个不等实数根，则实数a 的取值范围为________．答案： (3−√52,√2) (1,+∞)分析：由图像可知函数f(x)为“不增”函数，利用函数的单调性即可解出不等式；根据函数图像可得e x +1e x −a =1，由换元法可得一元二次方程在(0,+∞)上有两个不等实数根，结合二次函数的性质即可得出结果.作出函数图像，该函数为“不增”函数，所以{x 2<3x −1x 2<2，解得3−√52<x <√2，所以解集为(3−√52,√2)；由函数图像可得e x+1e x−a=1，令t=e x，t2−(a+1)t+1=0在区间(0,+∞)上有两个不等实数根，则有{a+1>0,(a+1)2−4>0,解得a>1．所以答案是：(3−√52,√2)；(1,+∞).解答题19、某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N∗)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a−3x500)万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？答案：（1）500名；（2）(0,5].解析：（1）求出剩下1000−x名员工创造的利润列不等式求解；（2）求出从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a−3x500)x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000−x)(1+1500x)万元，列出不等关系，在（1）的条件下求出a的范围．解：（1）由题意，得10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，即x2−500x≤0，又x>0，所以0<x≤500.即最多调整500名员工从事第三产业.（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a−3x500)x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000−x)(1+1500x)万元，则10(a−3x500)x⩽10(1000−x)(1+1500x)，所以ax−3x 2500⩽1000+2x−x−1500x2.所以ax⩽2x 2500+1000+x，即a⩽2x500+1000x+1在x∈(0,500]时恒成立.因为2x500+1000x⩾2√2=4，当且仅当2x500=1000x，即x=500时等号成立，所以a≤5，又a>0，所以0<a≤5.所以a的取值范围为(0,5].小提示：本题考查函数的应用，已知函数模型，直接根据函数模型列出不等式求解即可，考查了学生的数学应用意识，运算求解能力．20、已知a∈R，函数f(x)=log2(12x+a).(1)若关于x的方程f(x)+2x=0的解集中恰有两个元素，求a的取值范围；(2)设a>0，若对任意t∈[−1, 0]，函数f(x)在区间[t, t+1]上的最大值与最小值的和不大于log26，求a的取值范围.答案：(1)(−14,0)(2)(0,1]分析：（1）化简方程f(x)+2x=0，分离常数a，利用换元法，结合二次函数的性质求得a的取值范围. （2）利用函数的单调性求得f(x)在区间[t, t+1]上的最大值与最小值，根据最大值与最小值的和不大于log26列不等式，利用换元法，结合二次函数的性质来求得a的取值范围.（1）f(x)+2x=0，log2(12x+a)+2x=0，log 2(12x +a)+log 222x =log 21，(12x +a)⋅22x =1，a =1−2x22x =122x −12x ，令t =12x∈(0,+∞)，则a =t 2−t =(t −12)2−14， 02−0=0,t 2−t =0⇒t =0或t =1，(t −12)2−14≥−14（t =12时，等号成立）要使y =a 与y =(t −12)2−14在区间(0,+∞)有两个交点，结合二次函数的性质可知a ∈(−14,0). （2）因为函数y =12x +a 在R 上递减，所以函数f (x )=log 2(12x +a)在定义域内递减.所以f (x )在区间[t,t +1]上的最大值为f (t )=log 2(12t +a)，最小值为f (t +1)=log 2(12t+1+a)，f (t )+f (t +1)=log 2(12t +a)+log 2(12t+1+a) =log 2[(12t +a)(12t+1+a)]≤log 26，所以(12t +a)(12t+1+a)≤6对t ∈[−1,0]恒成立，令ℎ=12t+1(12≤ℎ≤1)，(2ℎ+a )(ℎ+a )=2ℎ2+3aℎ+a 2≤6对ℎ∈[12,1]恒成立， y =2ℎ2+3aℎ+a 2在[12,1]上递增，所以y max =2+3a +a 2≤6,a 2+3a −4=(a +4)(a −1)≤0，解得−4≤a ≤1，由于a>0，所以0<a≤1，所以a的取值范围是(0,1].。

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（a ≠ 0， n N＋），
a
1
n＝
√na （a＞0），
a
mn ＝
√na
m（a＞0，m，n
N＋，且
m n
为既约分数）.
2．观察函数
y ＝ x2，y ＝ x3，y ＝ x 及 y ＝ x－1．这些函数表达式的共同特征是什么？你还能举出类似的函数吗？
4.3 指数函数
❖ 数学是打开科学大门的钥匙, 轻视数学必将造成对一切知识的损害，因为轻视数学的人不可能掌握其它学科和理解万物。
3
y2
5 71 5 7
(x2 y2)3 x6 y6
小试牛刀2
4.2 有理指数幂
❖ 巩固知识 ⒈根式和分数指数幂的概念． ⒉有理指数幂的定义． ⒊有理指数幂的运算．
❖ 课后练习
4.3幂函数
1 ． a n ＝ a×a×a×…×a ( n 个 a 连乘 )
a 0 ＝1（ a ≠ 0），
a
–n
＝
1 an
4.2 有理指数幂
❖ 2．有理指数幂的定义
❖ 正数的正分数指数幂的意义是：
❖ amn n am(a 0，m ，且 n N ） ❖ 正数的负分数指数幂：
❖
am n
1
m
(a 0 ，m ，n N且 n 1)
an
❖ 规定了分数指数幂的意义以后，指数从整数推广到了有理数，即分数指数幂是有理指数幂．
4.2 有理指数幂
————弗·培根
第一次第二次第三次
第x次
球菌分裂过程
……
y 2x
2=21 4=22 8=23
2x
返回
第1次后
一
第2次后
尺
之
木
第3次后
日取
第4次后
其
半
y (1)x 2
第x次后
剩余长度y 1 2
(1)2 2
(1)3 2
(1)4 2
…...
(1)x 2
仔细观察两个关系式的底数和指数，请问
有什么发现?
❖ 【例2】求下列各式的值：
2
❖ 1 83
2
10012
3
(16
)
3 4
81
解⑴ ❖
2
83
2
(23)3
2323
22
4
⑵ ❖
100
1 2
1
1
1002
1
1
(102 ) 2
1
10
⑶ ❖
(16
)
3 4
81
(
24 34

)
3 4
(
2
)4(
3 4
)
3
( 2 )3 3
( 3 )3 2
27 8
小试牛刀1
4.2 有理指数幂
1
36
2
21313
1
32
13
1 6
231 6
⑵
( p14q83)8
(
1
p4
)8
(q83
)8
⑶
p2q3
p2 q3
(3 5 125) 4 5
13 1
(53 52 ) 54
⑷
513 14
523
1 4
1
512
5
54
3 xy2(
xy )3
3
1
xy 2 ( x 2
1
y 2 )3
3
3
xy 2 x 2
y
y 2x
1
01
x
图象
x -2 -1.5 -1 -0.5 0
y 4 2.83 2 1.41 1
y
0.5 1 1.5 2
0.71 0.5 0.35 0.25
1
01
x
图象指数函数 y 2x 的图象和性质
1. 定义域: R ； 2. 值域: ( 0 , +∞) ； 3. 过点: ( 0 , 1) ； 4. 单调性: 在 R 上是增函数； 5. 函数值的变化情况:
(1) y 2x；
(2) y (1)x 2
定义
一般地，形如 y a x
的函数叫做指数函数，其中 x 是自变量．
函数的定义域是 R ．
变式练习：请问同学们下面的式子是不是指数函数？
y 32x
图象
y 2x
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
y 0.25 0.35 0.5 0. 71 1 1.41 2 2.83 4
❖ 【例3】化简下列各式：
❖ 12
3 31.5 612
2
(
p
1 4
q83
)8
3(3 5 125) 4 5
4 3 xy2(
xy )3
解⑴ ❖
2
3
3
1.5
6
12
2
1
32
(
32)13
1
126
1
1
1
232 (321)3 (22 3)6
2
1
32
1
33
2(1)13
2216
1
36
2
213
1
23
1
32
1
33
当 x > 0时, y > 1. 当 x < 0时, 0< y <1.
y
· (0,1)
0
x
性质
y ax (a 1)
图象
定义域值域单调性过定点
4.1 整数指数幂
2．整数指数幂运算法则整数指数幂运算法则（a 0 ，b 0 ，m，n为整
数）： am an amn
(am)n amn
(ab)n anbn
练习：小试牛刀：比一比，看谁算的快．
4.1 整数指数幂
❖ 巩固知识
⒈整数指数幂的概念．
⒉整数指数幂运算法则．
❖ 课后练习
4.2 有理指数幂
❖ 性质
根据n次方根的意义，可得
．
当为奇数时 n an a
(n a)n a
当为偶数时
n
an
a
a a
(a (a
0), 0),
4.2 有理指数幂
❖ 【例1】求下列各式的值： ❖ 13 (8)3 2 (10)2 3 4 (3 )4 4 (a b)2 (a b) ❖ 解 ⑴ 3 (8)3 8 ❖ ⑵ (10)2 10 10 ❖ ⑶ 4 (3 )4 3 3 ❖ ⑷ (a b)2 a b b a (a b)
第四章指数函数与对数函数
4.1 整数指数幂
1．整数指数幂的概念 ❖ 当n为正整数时，n个相同因数a的相乘，记作：an，
称为正整数指数幂，读作“a的n次方”，也可读作 “a的n次幂”，其中，a称为底数，n称为指数； ❖ 当n = 0时，a0(a 0)称为零指数幂；任何不等于0的数的0次幂都等于1； ❖ 即a0 = 1 (a 0) ❖ 形如a-n (a 0) 称为负整数指数幂；a-n是an的倒数 ❖ 正整数指数幂，零指数幂，负整数指数幂合称为整数指数幂．
❖ 1．次根式的定义如果x2 = a （a 0），则称x为a的平方根（二次方根），记作：x = ± a；
如果x3 = a，则称x为a的立方根（三次方根），记作：x 3 a ；
如果xn = a （n是一个大于1的正整数），则称x为a 的一个n方次根，记作：x n a ．
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数
当n为偶数时，对于每一个正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，分别用n a和- n a表示，可以合并写为“± （a > 0） ”；
4.2 有理指数幂
❖ 而对于每一个负数a，它的偶次方根是没有意义的；零的n次方根是零，用n 0 = 0表示；
❖ 我根们式把，形其如中nn 称a（为有根意指义数时，）a的称式为子被称开为方n数次；