2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(二十七) 4.4平面向量的应用 Word版含答案

课时提升作业(二十七)平面向量的应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·南昌模拟)已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上一点P使·有最小值,则点P的坐标为( )A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)【解析】选 C.设点P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),故·=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,因此当x=3时取最小值,此时P(3,0).2.(2015·宿州模拟)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4相交于A,B两点且满足|+|=|-|,O为原点.则正实数a的值为( )A.1B.2C.3D.4【解题提示】利用向量加减法的几何意义找到与的关系,然后转化求解.【解析】选B.由|+|=|-|可得⊥,又||=||=2,故||=2,所以点O到AB的距离d=,所以=,得|a|=2,又a>0,故a=2.3.(2015·赣州模拟)已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1),且a∥b,则2sinαcosα等于( )A.3B.-3C.D.-【解析】选D.由a∥b得cosα=-2sinα,所以tanα=-.所以2sinαcosα===-.4.圆C:x2+y2=1,直线l:y=kx+2,直线l与圆C交于A,B,若|+|<|-|(其中O为坐标原点),则k的取值范围是( )A.(0,)B.(-,)C.(,+∞)D.(-∞,-)∪(,+∞)【解题提示】利用|+|<|-|⇔(+)2<(-)2进行转化.【解析】选 D.由|+|<|-|两边平方化简得·<0,所以∠AOB是钝角,如图,作OM⊥AB,交AB于点M,则AM=BM,∠AOM=∠BOM>45°,令OM=d,在Rt△AMO中,∠AOM>45°,所以AM>d,又AM2+d2=1,所以1>2d2,即d2<,d<.所以O(0,0)到kx-y+2=0的距离小于,所以<,所以k<-或k>,故选D.5.若||=1,||=4,·=2,+=,则△ABC的面积是( )A.1B.2C.D.2【解析】选C.因为+=,所以=-=,=-=,又||=1,||=4,所以||=1,||=4,·=2即·=2,设与的夹角为θ,易知θ与∠BCA为对顶角,所以θ=∠BCA.·=||·||cosθ=1×4cosθ=2,得cosθ=,所以cos∠BCA=,sin∠BCA=,所以S△ABC=||·||sin∠BCA=.6.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对应的三角形的边长,若4a+2b+3c=0,则cosB= ( )A.-B.C.D.-【解题提示】将其中一个向量转化为用另外两个向量来表示,利用两向量不共线得边a,b,c的关系,再利用余弦定理求解.【解析】选A.由4a+2b+3c=0得4a+2b+3c(+)=(4a-3c)+(2b-3c)=0,又与不共线,故所以b=2a,c=a,所以cosB===-.7.(2015·宝鸡模拟)在平行四边形ABCD中,E,F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则lo(λμ)的值为( )A.-2B.-1C.1D.2【解析】选A.如图,令=a,=b,则=a+b,①=+=a+b,=+=a+b,所以=λ+μ==a+b,②因为a,b不共线,由①,②得解得λ=μ=,故lo(λμ)=lo=2lo=-2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在长江南岸渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为.【解析】如图所示,渡船速度为,水流速度为,船实际垂直过江的速度为,依题意知||=,||=25.因为=+,所以·=·+,因为⊥,所以·=0,所以25×cos(∠BOD+90°)+=0,所以cos(∠BOD+90°)=-,所以sin∠BOD=,所以∠BOD=30°,所以航向为北偏西30°.答案:北偏西30°9.(2015·九江模拟)在锐角△ABC中,AC=BC=2,=x+y(其中x+y=1),函数f(λ)=|-λ|的最小值为,则||的最小值为.【解析】如图所示:设λ=,所以|-λ|=|-|=||,由于=λ,所以点D在直线BC上,所以f(λ)=||,结合图形知:当AD⊥BC时,f(λ)取最小值,即f(λ)min=||sin∠ACB=2sin∠ACB=,所以sin∠ACB=,由于∠ACB为锐角,所以∠ACB=,因为CA=CB,所以△ABC为等边三角形,因为=x+y,且x+y=1,所以点O,A,B三点共线,所以当CO⊥AB时,||取最小值,所以||min=||sin∠BAC=2sin=.答案:10.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,若函数f(x)=x3+|a|x2+a·b x在R上有极值,设向量a,b的夹角为θ,则θ的取值范围是. 【解题提示】把问题转化为导函数的零点问题,利用一元二次方程判别式求解.【解析】因为f′(x)=x2+|a|x+a·b,由题意,得关于x的一元二次方程x2+|a|x+a·b=0有两个不同实数根,所以Δ=|a|2-4a·b>0,因为|a|=2|b|≠0,所以4|b|2-4×2|b||b|cos θ>0,即cosθ<,因为θ∈[0,π],y=cosx在[0,π]上是减函数,所以<θ≤π.答案:【误区警示】解答本题易误填,出错的原因是由题意误得关于x 的方程x2+|a|x+a·b=0有实数根,即Δ≥0.事实上,当Δ=0时,方程的实数根并不是函数f(x)的极值点.(20分钟40分)1.(5分)已知△ABC的外接圆圆心为O,若+=2,则△ABC是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不能确定【解题提示】利用已知判断O点的位置,再依据O为外心可解.【解析】选C.由+=2可得O为BC边的中点.又O为△ABC的外心,故BC为△ABC外接圆的直径,故∠BAC=90°,故△ABC为直角三角形.2.(5分)在平面直角坐标系中,O为原点,=(1,0),若|-|=|·|,=(-5,0),则||的最小值为( )A.3.5B.4.5C.5.5D.6.5【解析】选C.设P(x,y),则=(x,y).又因为|-|=|·|,所以(x-1)2+y2=x2,得y2=2x-1,又=(-5,0),所以||=|-|===. 因为2x-1≥0,所以x≥,所以当x=时,||min====5.5.3.(5分)(2015·西安模拟)已知向量a=,=a-b,=a+b,若△OAB是等边三角形,则△OAB的面积为.【解析】因为a=,=a-b,=a+b,所以+=(a-b)+(a+b)=2a=(-1,),所以|+|==2.所以等边三角形OAB的高为1,边长为,因此其面积为×=.答案:4.(12分)(2015·南昌模拟)已知向量a=(,sinx+cosx)与b=(1,y)共线,设函数y=f(x).(1)求函数f(x)的最小正周期及最大值.(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A,B,C,若有f=,边BC=,sinB=,求△ABC的面积.【解析】(1)因为a与b共线,所以y-=0,则y=f(x)=2sin,所以f(x)的最小正周期T=2π,当x=2kπ+,k∈Z时,f(x)max=2.(2)因为f=,所以2sin=,所以sinA=.因为0<A<,所以A=.由正弦定理得=,又sinB=,所以AC==2,且sinC=,所以S△AC·BC·sinC=.ABC=【加固训练】(2015·成都模拟)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a+c,b-a),n=(a-c,b),且m⊥n.(1)求角C的大小.(2)若向量s=(0,-1),t=,试求|s+t|的取值范围.【解析】(1)由题意得m·n=(a+c,b-a)·(a-c,b)=a2-c2+b2-ab=0,即c2=a2+b2-ab.由余弦定理得cosC==.因为0<C<π,所以C=.(2)因为s+t==(cosA,cosB),所以|s+t|2=cos2A+cos2B=cos2A+cos2=-sin+1.因为0<A<,所以-<2A-<,所以-<sin≤1.所以≤|s+t|2<,故≤|s+t|<.5.(13分)(能力挑战题)已知点A(-1,0),B(1,0),动点M的轨迹曲线C 满足∠AMB=2θ,||·||cos2θ=3,过点B的直线交曲线C于P,Q两点.(1)求||+||的值,并写出曲线C的方程.(2)设直线PQ的倾斜角是,试求△APQ的面积.【解题提示】(1)先根据向量的运算确定点M的轨迹,然后根据相关的值写出曲线C的方程.(2)写出直线PQ的方程,与曲线C的方程组成方程组,根据根与系数的关系求△APQ的面积.【解析】(1)设M(x,y),在△MAB中,|AB|=2,∠AMB=2θ,根据余弦定理得||2+||2-2||·||cos2θ=4.即(||+||)2-2||·||(1+cos2θ)=4.(||+||)2-4||·||cos2θ=4.而||·||cos2θ=3,所以(||+||)2-4×3=4.所以||+||=4.又||+||=4>2=|AB|,因此点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意), a=2,c=1.所以曲线C的方程为+=1.(2)由题意得直线PQ的方程为:y=x-1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得7x2-8x-8=0,所以x1+x2=,x1x2=-,y1+y2=x1+x2-2=-,y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-,因为A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2.所以S△APQ=S△ABP+S△ABQ=|AB||y1|+|AB||y2|=|y1-y2|===.即△APQ的面积是.。