数学哲学对于数学教育的价值

数学哲学对于数学教育的价值

数学哲学对于数学、数学教育和数学教学的意义何在?其实这一直是一个没有定论的问题。具体说来，人们大概不会否认数学哲学对于数学和数学教育的作用，无论这种作用是大还是小，是积极的还是消极的，是长期的还是短期的，是直接的还是间接的。然而人们难以有共识的是，数学哲学在何种程度上，以何种方式对数学和数学教育起着作用。本文将从数学哲学的一个核心与重要的领域――数学观出发，对相关话题予以初步论述，以期引起中小学数学教师对此话题的关注。

一、数学观演变的历史掠影

自从数学产生以来，人们就形成了关于数学的许多认识。人们关于数学的理解和看法在相当程度上取决于当时数学知识发展的水平。例如，无论是在中国古代还是古希腊，万物固有的量性特征都促使人们思考了物质世界与数量之

间的关系。在《道德经》中，老子提出了“道生一，一生二，二生三，三生万物”的思想，而古希腊的毕达哥拉斯学派的信念则是“万物皆数”。再比如，物质存在的空间形态促使

人们对几何形体进行了研究，几何学因而成为所有数学文化的共同对象，尽管所采取的研究方法各不相同。

在数学发展早期，由于数学知识的特点，这种对于数量与空间形式的认识可能是初步的、幼稚的，甚至是错误的。例如，无论是在中国古代、古巴比伦、古埃及还是古代印度，数字与神秘主义一直有着千丝万缕的联系。在古希腊，由于受所有的数都是整数之比这一观念的影响，无理数的发现竟然被认为是一场灾难。

与古埃及、巴比伦和其他的经验主义数学范式不同的是，古希腊数学在许多基本和重大的观念上都是开创性的。在本体论方面，古希腊人把数学研究对象加以抽象化和理想化，使之成为与现实对象不同的具有永恒性、绝对性、不变性的理念对象。在认识论方面，对于数学真理的判定，古希腊人坚持运用演绎证明而不是经验感知，并赋予数学真理以与其本体论性质相当的价值观念。古希腊人把数学加以观念化，使之成为一种形而上学的学问，而不仅仅停留在实用的、技术的、巫术的、技艺的等形而上学的层面。在方法论方面，古希腊人赋予数学以严密的逻辑结构，使数学知识以一种体系化的形式呈现，并坚持通过论证的方法获得数学命题的可靠性。

演绎数学作为古希腊所开创的数学范式，其基本观念在毕达哥拉斯学派和柏拉图的数学世界中达到了顶点。毕达哥

拉斯学派首先开始把数学作为抽象的对象加以研究，柏拉图则进一步把这种思想提升到了哲学和形而上学的层面，最终形成了著名的毕达哥拉斯一柏拉图的数学观念，作为这一数学观念知识典范的就是欧几里得的《几何原本》。古希腊人创造的演绎数学范式，完全改变了经验数学范式之下人们对数学的看法，对西方数学的发展有极为深刻的影响，进而对西方数学教育的进程产生了难以估量的影响。

概括起来看，在数学发展的历史上，数学观主要经历了三个重要阶段。

第一个阶段是酝酿、准备和发动阶段。文艺复兴以来，古希腊数学范式开始逐步演变，并直接促使了现代数学的诞生。伴随着文艺复兴之后几个世纪的数学创造与进展，一批伟大的数学巨匠相继出现。如伽利略、笛卡尔、帕斯卡、牛顿、莱布尼茨等，这些数学家在古希腊演绎数学的基础上开创了现代数学的广阔领域。这一时期，整个数学思想开始从古典数学、静态数学(以古希腊数学为标志)向现代数学、动态数学(主要标志是极限思想)转变。

现代数学是以微积分的诞生为标志的。现代数学的发展在牛顿、莱布尼茨时代只是一个初步的雏形。它的逐步成熟是在第二个阶段，也就是法国数学学派兴盛的时期。以富里叶、拉普拉斯等为代表的数学家把现代数学推向了一个新的阶段。其基本特点是在数学本体论中驱逐了神的地位，建立

了相对独立的数学作为自然法典解读者的地位。

现代数学发展的最高标志(也就是第三个阶段)是数学逐渐地变成自为、自足与自律的学科，这是18世纪末、19世纪以来数学发展的一个最显著特征。19世纪中叶以来，随着非欧几何和非交换代数的诞生，以及一系列具有革命性意义的数学知识的发展，关于数学对象存在性和真理性的、神学的、柏拉图主义的和形而上学的观念开始逐步被颠覆。随着数学变成一门独立的学科，其自身的理论体系建设就成为一个十分重要的问题，所以，完善微积分的基础，更广泛地讲，完善整个数学的基础就成为当务之急。然而，关于数学的基础和数学性质，大多数数学家仍然停留在现代数学哲学的范式之中，这一点在三大流派那里体现得最为明显。三大流派的共同点是以现代性数学思想为基调的基本诉求，即相信可以通过建立坚固不变的基础，使数学获得一个免于被质疑的知识地位，并在这一体系中消除各种矛盾和悖论，达到体系的一致性。然而，这种基础主义的诉求却被证明是无法实现的。而哥德尔不完全性定理的诞生作为基础主义运动的一个意外结果，为绝对主义数学观的终结画上了句号。

虽然现代数学观念有着巨大的价值，但为了数学的长足进步，现代数学观念中有两个基本观念是需要扬弃的：一个是神学的、形而上学的柏拉图主义数学观，一个是对逻辑化、形式化、模式化的数学观念和认识范式的绝对、盲目地信仰。

二、数学观的当代发展

在19世纪末20世纪初，为了解决由于集合论悖论等悖论造成的数学基础的危机，许多数学家和数学团体致力于建立避免产生悖论和矛盾的数学基础重建工作。其中最引人注目的是形式主义、逻辑主义和直觉主义，它们构成了围绕数学危机展开的数学基础的三个主要流派。

形式主义者主张用形式公理化系统去整合整个古典数学。一个数学系统的形式化就是把这个数学系统用形式语言进行描述，而这一形式语言需要满足符号系统、形成规则和变形规则等几个条件。数学系统的公理化是指，通过选取少数不加定义的原始概念(基本概念)和无条件承认的相互制约规定(公理)作为出发点，经过严密的逻辑推理，使某一数学系统成为演绎系统。希尔伯特等数学家为了奠定数学的牢固基础，提出了元数学理论，目的是要为数学的证明、推理、方法、规则等提供一个合理的基础。

以弗雷格、罗素和怀特海为代表的逻辑主义企图沿循数理逻辑的路线去奠定数学的基础。在逻辑主义者看来，与数学相比较，逻辑具有更为基本的和起始性的知识本质。因此，把数学归结为逻辑就成为逻辑主义的基本指导思想。为了实现数学的逻辑化，首先必须假设全部数学可以还原为某种数