人教A版高中数学必修二高考二轮复习新第课时平面、空间两条直线

课题：平面、空间两条直线
教学目标：1.理解并会应用平面的基本性质,掌握证明关于“线共点”、“线共面”、“点共线”的方法2.公理4及等角定理.3.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面.4.两条异面直线所成的角及距离，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点. 5.会作几何体的截面图；6.会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图. 教学重点：
（一） 主要知识及主要方法：
1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
作用：①作为判断和证明是否在平面内的依据；②证明点在某平面内的依据；③检验某面是否平面的依据.
公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.
作用：①作为判断和证明两平面是否相交；②证明点在某直线上；③证明三点共线； ④证明三线共点.
公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1:经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.
作用：公理3及其推论是空间里确定平面的依据，也是证明两个平面重合的依据，还为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法. 2.证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线
3.证明直线共面通常的方法：()1先由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在
此平面内（纳入法）；()2分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合（重合法）； 也可利用共面向量定理来证明.
4.公理2是证明直线共点的依据，应该这样理解：()1如果A 、B 是交点，那么AB 是交线；
()2如果两个不同平面有三个或者更多的交点，那么它们共面； ()3如果l αβ=，点P 是α、β的一个公共点，那么P l ∈
5.求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90︒；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”.注意，异面直
线所成角的范围是π0,2⎛⎤
⎥⎝⎦
；求异面直线所成角的方法：①平移法：一般情况下应用平行四边
形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移. ②向量法：设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos
a b a b
；③补体法
6.垂线；②证明：异面直线公垂线的证明常转化为证明公垂线与两条异面直线分别垂直.
7.两条异面直线的距离：①定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度. ②计算方法：()1公垂线法；()2转化成线面距离(点面距离)；()3转化成面面距离.
a
b
（二）典例分析：
问题1．()1（06上海）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”
是“这四个点在同一平面上”的 .A 充分非必要条件；.B 必要非充分条件；.C 充要条件；.D 非充分非必要条件．
()2(05全国Ⅲ)不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有
.A 3个 .B 4个 .C 6个 .D 7个
()3（05全国Ⅱ）正方体1111ABCD A B C D -中
P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点．
那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是 .A 三角形.B 四边形.C 五边形.D 六边形
()4如图，l α
β=，A 、B α∈，C β∈，
且C l ∉，直线AB l M =，过A 、B 、C 三点
的平面记作γ，则γ与β的交线必通过
.A 点A ； .
B 点B ；
.C 点C 但不通过点M ； .D 点C 和点M
()5（07江苏）如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长
为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，
且11AE FC ==.()1求证：1,,,E B F D 四点共面；（4分）
()2略；()3略.
问题2．（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，D 、E 分别
A
B C
D 1A
1B
1C
1D
P D R
α
β
l M A B C
A
B
C
D
1D
1
C
1B
F
E
1A
为1BB 、1AC 的中点．()1证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；()2略. ( 要求用传统方法和向量法，注意书写的规范性)
()1证明：方法1（用传统方法）
：
方法2（用向量法）：
问题3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，
棱长1AA a =，()1求证：1AA 与1BD 是异面直线；
()2求1AA 于1BD 间的距离.
问题4．(07上海春)在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11A B 、AB 的中点，求异面直线1A F 与CE 所成的角( 要求用传统方法和向量法，注意书写的规范性).
A
B
C
D
E
A 1
B 1
C 1
A B
C
D E A 1
B 1 C
1 A B
C D 1A
1B
1C
1D
解法1（传统方法）：
解法2（向量法）：
（三）课后作业：
1.如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 分别
是AB 、1AA 的中点，求证：
①E 、C 、1D 、F 四点共面；
A B
C
D 1A 1B
1C
1D
F
E A B C
D 1A 1B
1C
1D
F
E A
B
C
D
1A 1B
1C
1D
E
F
②CE 、1D F 、DA 三点共线.
2.角α与β的两边分别平行，当α70=︒时， β=
3.已知ABC △的直观图是边长为a 的等边111A B C △，那么ABC △的面积为
.
A 2 .
B 2 .
C 2 .
D 2
4.如图，在空间四边形ABCD 中，已知1AD =，
BC =AD BC ⊥
，对角线BD =，
AC =，求AC 与BD 所成的角.
（四）走向高考： 5.（06北京）平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α 于点C ，则动点C 的轨迹是 .A 一条直线 .B 一个圆 .C 一个椭圆 .D 双曲线的一支
6.（06北京文）设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．
的是 .A 若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面
.B 若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 .C 若AB AC =，DB DC =，则AD =BC
B 1
A
B C
.D若AB AC
=，DB DC
=，则AD BC
⊥
7.（06重庆）对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l
.A平行.B相交.C垂直.D互为异面直线
8.（05全国Ⅰ）在正方形ABCD A B C D
-''''中，过对角线BD'的一个平面交AA'于E，交CC'于F，则
①四边形BFD E'一定是平行四边形;
②四边形BFD E'有可能是正方形
③四边形BFD E'在底面ABCD内的投影一定是正方形
④四边形BFD E'有可能垂直于平面BB D
'
以上结论正确的为 (写出所有正确结论的编号）
9.（07浙江）若P是两条异面直线,l m外的任意一点，则
.A过点P有且仅有一条直线与,l m都平行.B过点P有且仅有一条直线与,l m都垂直
.C过点P有且仅有一条直线与,l m都相交.D过点P有且仅有一条直线与,l m都异面
10.（05天津）如图，PA⊥平面ABC，90
ACB
∠=︒，
且PA AC BC a
===，则异面直线PB与AC所成角
的余弦值为
11.（06江西文）如图，已知三棱锥O ABC
-的侧棱
OA、OB、OC两两垂直，且1
OA=，2
OB OC
==，
E是OC的中点．()1略；()2求异面直线BE与AC所成的角；()3略．P
A
B
C
B A
C O E。