高考复习：直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系复习
相
公共点
只有一个实 d = r △=0
切
根
相
没有公共点 方程组无实 d>r
△<0
离
根
由
kx (x
yk 3)2
1 0 (y 4)4
4
消去y得
(k2 1)x2 2(k2 5k 3)x (k2 10k 30) 0(*)
∵直线l与圆C相切
方程(*)有两相等实数根
则△=0,可解得 k 21 20
直线方程为 21x 20 y 41 0
(1 3)2 (1 4)2 29 4
点P(1,—1)在圆C外部 过点P且与圆相切的直线应有两条.
①当直线l斜率不存在时,方程为x=1
由
x 1 (x 3)
2
(y
4)2
得D(1,4)
4
即直线l与圆C有唯一公共点D
l与圆C相切符合题意.
②当直线l斜率存在时,设方程为 y 1 k(x 1) 即kx y k 1 0
综合①②得切线方程为 21x 20 y 41 0和x=1
三．例题选讲
例1．已知过点P（1，－1）的直线l与圆C：(x 3)2 ( y 4)2 4
相切，求切线方程。
解:法二(几何法):
(1 3)2 (1 4)2 29 4
点P(1,—1)在圆C外部
过点P且与圆相切的直线应有两条.
直线与圆的位置关系种类
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(两个交点)
判断直线与圆位置关系的方法 方法一(代数法)：直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0
数学复习：直线与圆的位置关系
数学复习：直线与圆的位置关系学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．导语海上日出是非常壮丽的美景．在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采．在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系．一、直线与圆的位置关系的判断问题如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？提示转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解．知识梳理例1已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．解方法一将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.则Δ＝4m(3m＋4)．(1)当Δ>0，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点．(3)当Δ<0，即－43<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．方法二已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2，1)，半径r＝2.圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝|2m－1－m－1|1＋m2＝|m－2|1＋m2.(1)当d<2，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点．(2)当d＝2，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点．(3)当d>2，即－43<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．反思感悟直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．跟踪训练1(1)已知圆C:x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能答案A解析将点P(3，0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3，0)在圆内．∴过点P的直线l必与圆C相交．(2)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是() A．(0，2]B．(1，2]C．(0，2)D．(1，2)答案C解析由题意得，圆心到直线的距离为d＝|1＋1|12＋(－1)2>m，∴m<2，∵m>0，∴0<m<2.二、圆的弦长问题知识梳理求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图①，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2.图①(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)．图②例2求直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长．解方法一直线x －3y ＋23＝0和圆x 2＋y 2＝4的公共点坐标就是方程组－3y ＋23＝0，2＋y 2＝4的解．1＝－3，1＝1，2＝0，2＝2.所以公共点的坐标为(－3，1)，(0，2)，所以直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为(－3－0)2＋(1－2)2＝2.方法二如图，设直线x －3y ＋23＝0与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，则OM ⊥AB (O 为坐标原点)，又|OM |＝|0－0＋23|12＋(－3)2＝3，所以|AB |＝2|AM |＝2|OA |2－|OM |2＝222－(3)2＝2.反思感悟(1)求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几何法．(2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况．跟踪训练2已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直．(1)求直线l的方程；(2)若圆C的圆心为点(3，0)，直线l被该圆所截得的弦长为22，求圆C的标准方程．解(1)2x－y－3＝0，4x－3y－5＝0，x＝2，y＝1，∴两直线交点为(2，1)．设直线l的斜率为k l，∵直线l与x＋y－2＝0垂直，∴k l＝1，∵直线l过点(2，1)，∴直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.(2)设圆的半径为r，依题意，得圆心(3，0)到直线x－y－1＝0的距离为|3－1|2＝2，则由垂径定理得r2＝(2)2＋(2)2＝4，∴r＝2，∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.三、圆的切线问题例3(1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是()A．2B．3C．4D．6答案C解析由题意易知圆心C(－1，2)，半径长r＝2，点(a，b)在直线y＝x－3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，易求d＝|－1－2－3|2＝32，所以切线长的最小值为d2－r2＝(32)2－2＝4.(2)过点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为__________________．答案y＝4或3x＋4y－13＝0解析∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外．当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意．设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0.圆心(2，3)到切线l的距离为|2k－3＋4＋k|k2＋1＝1，解得k＝0或k＝－3 4，因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.反思感悟求过某一点的圆的切线方程(1)点(x0，y0)在圆上．①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方程．②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点(x0，y0)在圆外．①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．③过圆外一点的切线有两条．跟踪训练3(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3，3)的切线方程为()A．2x－y＋9＝0B．2x＋y－9＝0C．2x＋y＋9＝0D．2x－y－9＝0答案B解析x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1，2)，k PC＝12，∴切线的斜率k＝－2，∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为() A．1B．22 C.7D．3答案C解析圆心C(3，0)到直线y＝x＋1的距离d＝|3－0＋1|2＝22.所以切线长的最小值为l＝(22)2－12＝7.1．知识清单：(1)直线与圆的三种位置关系．(2)圆的弦长问题．(3)圆的切线问题．2．方法归纳：几何法、代数法．3．常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况．1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是()A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离答案B解析∵圆心(0，0)到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|0－0＋1|2＝22<1，∴直线与圆x 2＋y 2＝1相交，又(0，0)不在y ＝x ＋1上，∴直线不过圆心．2．圆x 2＋y 2＝4在点P (3，－1)处的切线方程为()A.3x ＋y －2＝0B.3x ＋y －4＝0C.3x －y －4＝0D.3x －y ＋2＝0答案C解析∵(3)2＋(－1)2＝4，∴点P 在圆上．∴P 为切点．∵切点与圆心连线的斜率为－33，∴切线的斜率为3，∴切线方程为y ＋1＝3(x －3)，即3x －y －4＝0.3．(多选)若直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是()A ．－2B ．－12C ．2D ．12答案CD解析圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，由圆心(1，1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为|7－b|5＝1，得b＝2或b＝12.4．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为________．答案2解析直线方程为y＝3x，圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心(2，0)到直线的距离d＝23 (3)2＋1＝3，弦长l＝2r2－d2＝24－3＝2.课时对点练1．“a<3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相交”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析圆(x－a)2＋(y－3)2＝(22)2的圆心为(a，3)，半径为2 2.若直线x－y＋4＝0与圆(x－a)2＋(y－3)2＝(22)2相交，则|a－3＋4|2<22，解得－5<a<3，所以“a<3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相交”的必要不充分条件．2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是() A．相切B．相交C．相离D．不确定答案B解析∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2＞1.∴圆心(0，0)到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2＜1＝r，则直线与圆的位置关系是相交．3．(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为() A．0B．4C．－2 D.3答案AB解析由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为22，所以圆心到直线的距离d＝ 2.又d＝|a－2| 2，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.4．已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1，2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为() A．y－2＝0B．x＋2y－5＝0C．2x－y＝0D．x－1＝0答案B解析当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1，2)的直径垂直．已知圆心O(0，0)，所以过点P(1，2)的直径所在直线的斜率k＝2－01－0＝2，故所求直线的斜率为－12，所以所求直线方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.5．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为23，则直线的斜率为() A.3B．±3C.3 3D．±33答案D解析因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为23，所以圆心C(2，3)到直线的距离d＝4－(3)2＝1，所以|2k－3＋3|k2＋1＝|2k|k2＋1＝1，解得k＝±3 3 .6．过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，则切线l的方程为() A．y＝1B．4x－3y－5＝0C．y＝1或3x－4y－5＝0D．y＝1或4x－3y－5＝0答案D解析由题意可设切线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－2k ＋1|k 2＋1＝1，∴3k 2－4k ＝0，∴k ＝0或k ＝43，∴切线l 的方程为y ＝1或4x －3y －5＝0.7．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为C (－2，3)，则直线l 的方程为____________．答案x －y ＋5＝0解析由圆的方程可得，圆心为P (－1，2)，所以k PC ＝1－1＝－1，故直线l 的斜率为k ＝1，所以直线方程为y －3＝x ＋2，即x －y ＋5＝0.8．过圆x 2＋y 2＝8内的点P (－1，2)作直线l 交圆于A ，B 两点．若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB 的长为________．答案30解析由题意知直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0，圆心O (0，0)到直线l 的距离为d ＝|－1|2＝22，则有|AB |＝2r 2－d 2＝28－12＝30.9．已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝4外有一点P (4，－1)，过点P 作直线l .(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为135°时，求直线l 被圆C 所截得的弦长．解(1)圆C 的圆心为(2，3)，半径r ＝2.当斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝4，此时圆C 与直线l 相切；当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －4)，即kx －y －4k －1＝0，则|2k －3－4k －1|1＋k 2＝2，解得k ＝－34，所以此时直线l 的方程为3x ＋4y －8＝0.综上，直线l 的方程为x ＝4或3x ＋4y －8＝0.(2)当直线l 的倾斜角为135°时，直线l 的方程为x ＋y －3＝0，圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3－3|2＝2，故所求弦长为2r 2－d 2＝24－2＝2 2.10．已知圆C 过点(1，1)，圆心在x 轴正半轴上，且与直线y ＝x －4相切．(1)求圆C 的标准方程；(2)已知过点P (1，3)的直线l 交圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝2，求直线l 的方程．解(1)由题意，设圆心坐标为C (a ，0)(a >0)，由题意，得(a －1)2＋(0－1)2＝|a －4|2，解得a ＝－6(舍)或a ＝2，所以圆的半径为r ＝|2－4|2＝2，则圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝2.(2)若斜率不存在，则直线方程为x ＝1，弦心距d ＝1，半径为2，则|AB |＝2r 2－d 2＝2，符合题意；若斜率存在，设直线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0.弦心距d ＝|k ＋3|1＋k 2，得|AB |＝22－(k ＋3)21＋k 2＝2，解得k ＝－43，直线方程为y ＝－43x ＋133.综上所述，直线l 的方程为x ＝1或y ＝－43x ＋133.11．已知圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，直线mx ＋y ＋1＝0始终平分圆C 的面积，则圆C 的方程为()A ．x 2＋y 2－2y ＝2B ．x 2＋y 2＋2y ＝2C ．x 2＋y 2－2y ＝1D ．x 2＋y 2＋2y ＝1答案D解析在直线mx ＋y ＋1＝0的方程中，令x ＝0，则y ＝－1，则直线mx ＋y ＋1＝0过定点(0，－1)．由于直线mx ＋y ＋1＝0始终平分圆C 的面积，则点(0，－1)是圆C 的圆心，又圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的半径r ＝|－1＋3|2＝ 2.因此，圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝2，即x 2＋y 2＋2y ＝1.12．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有一个交点，则b满足()A．|b|＝2B．－1＜b≤1或b＝－2C．－1≤b＜1D．非以上答案答案B解析曲线x＝1－y2含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分．在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝1－y2(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示．相切时，b＝－2，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.13．若直线2mx－ny＝－2(m>0，n>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则4m＋1 n的最小值是()A．9B．4 C.12D.1 4答案A解析圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为C(－1，2)，半径为r＝2，直线被圆截得的弦长为4，则圆心在直线上，所以－2m－2n＝－2，m＋n＝1.又m>0，n>0，所以4m＋1 n＝(m＋n5＋4nm＋mn≥5＋24nm×mn＝9，当且仅当4nm＝mn，即m＝23，n＝13时等号成立，所以4m＋1n的最小值是9.14．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．答案102解析圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦|AC|＝210，最短弦BD恰以E(0，1)为中点，且与AC垂直，设点F为其圆心，坐标为(1，3)．故|EF|＝5，所以|BD|＝210－(5)2＝25，则S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝102.15．已知圆x 2＋y 2＝4内一定点P (1，0)，过P 作直线l 交圆于A ，B 两点，若l 的倾斜角为45°，则|AB |的值为________；若AP →＝2PB →，则直线l 的斜率为________．答案14±153解析由题可得直线l 的方程为y ＝x －1，圆x 2＋y 2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，则圆心到直线的距离d ＝|－1|2＝22，则|AB |＝＝14，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵AP →＝2PB →，∴(1－x 1，－y 1)＝2(x 2－1，y 2)，∴x 1＋2x 2＝3，y 1＝－2y 2，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，代入x 2＋y 2＝4，整理得(m 2＋1)y 2＋2my －3＝0，y 1＋y 2＝－2m m 2＋1，y 1y 2＝－3m 2＋1，∴－y 2＝－2m m 2＋1，－2y 22＝－3m 2＋1，则可解得m ＝±35，则可得直线的斜率为±153.16．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，半径为2，且被直线l ：4x －3y －3＝0截得的弦长为2 3.(1)求圆C 的方程；(2)设P 是直线x ＋y ＋4＝0上的动点，过点P 作圆C 的切线PA ，切点为A ，证明：经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标．解(1)设圆心(a ，0)(a >0)，则圆心到直线l ：4x －3y －3＝0的距离d ＝|4a －3|5，由题意可得，d 2＋(3)2＝22，即(4a －3)225＋3＝4，解得a ＝2或a ＝－12(舍去)．∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)∵P 是直线x ＋y ＋4＝0上一点．设P (m ，－m －4)，∵PA 为圆C 的切线，∴PA ⊥AC ，即过A ，P ，C 三点的圆是以PC 为直径的圆．设圆上任一点Q (x ，y )，则PQ →·CQ →＝0，∵PQ →＝(x －m ，y ＋m ＋4)，CQ →＝(x －2，y )，∴PQ →·CQ →＝(x －m )(x －2)＋y (y ＋m ＋4)＝0，即x 2＋y 2－2x ＋4y ＋m (－x ＋y ＋2)＝0，2＋y 2－2x ＋4y ＝0，x ＋y ＋2＝0＝－1，＝－3＝2，＝0.∴经过A ，P ，C 三点的圆必过定点(－1，－3)和(2，0)．。
2025高考数学一轮复习-2.2-直线与圆的位置关系【课件】
【例 2】 (1)已知直线 l：ax＋by－3＝0 与圆 M：x2＋y2＋4x－1 ＝0 相切于点 P(－1，2)，则直线 l 的方程为________．
(2)过点 A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1 的切线，求此切线方程． [思路探究] (1)利用 MP⊥l，同时点 P 在直线 l 上． (2)先确定点 A 在圆外，利用 d＝r 求切线方程．
第2章 圆与方程
2.2 直线与圆的位置关系
必备知识·情境导学探新知
知识点
“大漠孤烟直，长河落日圆”，这 是唐代诗人王维的诗句．它描述了黄昏 日落时分塞外特有的景象．如果我们把 太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图 片．
图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直 线与圆有几种位置关系？
[解] 法一：将直线 mx－y－m－1＝0 代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴(1)当 Δ>0 时，即 m>0 或 m<－43时，直线与圆相交，即直线与 圆有两个公共点；
(2)当 Δ＝0 时，即 m＝0 或 m＝－43时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点；
与圆 C 相交．]
类型 2 直线与圆相切问题 [探究问题] 1．怎样判断直线与圆相切？ [提示] 一般采用几何法，即圆心到直线的距离等于半径． 2．当点(x0，y0)在圆外时，过该点的直线与圆相切有几条？当设 点斜式只求出一个解时怎么办？ [提示] 有两条．虽设点斜式但要分斜率存在与不存在两种情况， 当只求出一个解时，另一条一定是 x＝x0.
d＞__r
d＝__r
d＜__r
方程组 方程组 方程组有两 _无__解_ 仅__有__一__组__解__ 组不同解
高中数学知识点：直线与圆的位置关系
高中数学知识点：直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：
(1)直线与圆相交，有两个公共点；
(2)直线与圆相切，只有一个公共点；
(3)直线与圆相离，没有公共点.
2.直线与圆的位置关系的判定：
(1)代数法：
判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l与圆C有公共点.
有两组实数解时，直线l与圆C相交；
有一组实数解时，直线l与圆C相切；
无实数解时，直线l与圆C相离.
(2)几何法：
由圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系判断：
当d r
<时，直线l与圆C相交；
当d r
=时，直线l与圆C相切；
当d r
>时，直线l与圆C相离.
要点诠释：
(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.
(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.
(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.。
2025高考数学总复习直线与圆、圆与圆的位置关系
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( × ) (2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线
与圆相切.( √ ) (4)在圆中最长的弦是直径.( √ )
则圆心(－1,3)到直线 l 的距离 d＝|－k－1＋3＋k2 1|＝1， 解得 k＝－34， 此时直线l的方程为3x＋4y－4＝0，
综上，所求直线的方程为3x＋4y－4＝0或x＝0.
常用结论
1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在 直线方程为x0x＋y0y＝r2.
常用结论
2.圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到. (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 交 点 的 圆 系 方 程 为 x2 ＋ y2 ＋ D1x ＋ E1y ＋ F1 ＋ λ(x2 ＋ y2 ＋ D2x ＋ E2y ＋ F2) ＝ 0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解).
8x－6y＋16＝0的位置关系是
√A.外切
B.相交
C.外离
D.内切
圆C1的圆心C1(0,0)，半径r1＝2， 圆C2可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9， ∴圆心C2(4,3)，半径r2＝3， ∴|C1C2|＝ 4－02＋3－02＝5＝r1＋r2，故两圆外切.
高考数学直线与圆的位置关系
消去y得：
(1 + k2 )x2 -10k2 x + 25k2 -16 = 0（*）
消去k得： 当y=0时,k=0 此时x=0 而的圆的切线方程，首先必须判 断这点是否在圆上，若在圆上，则该点为切点.若在圆外， 一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解题较为简单. 切线应有两条，若求出的斜率只有一个，应找出过这一点 而与x轴垂直的另一条切线.
3.若方程
有解，则b的取值范围是_____
例题４
已知点P（5，0）和⊙O：x2+y2=16 (1)自P作⊙O的切线，求切线的长及切线的方程; (2)过P任意作直线l与⊙O交于A、B两相异点， 求弦AB中点M的轨迹.
y
x
O
P(5,0)
Q
A
y
M(x ,y)
B
x
O
P(5,0)
例题1 已知点P（5，0）和⊙O：x2+y2=16 (1)自P作⊙O的切线，求切线的长及切线的方程; (2)过P任意作直线l与⊙O交于A、B两相异点， 求弦AB中点M的轨迹.
3.在课前热身(3)中，判断两圆关系得到|O1O2|＜|r1+r2|， 未必相交，还可能内含，一定要追加|O1O2|＞|r1-r2|才行.
例1（1）过圆x2+y2=1上一点A(a ,b)的切线方程为 ___a_x_+_b_y_=_1___ (2):若点A(a ,b)在圆x2+y2=1内，则直线ax+by=1与 此圆的位置关系是__相_离____
4.在坐标平面上与点A(1, 2 )的距离为1 且与点B(3, 1 )的距离为2的直线共有 __2____条
直线与圆的位置关系 的判定方法：
直线与圆的位置关系知识点及例题
直线与圆的位置关系一、知识点梳理1、直线与圆的位置关系：例1、下列判断正确的是（ ）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交． A ．①②③ B ．①② C ．②③ D ．③例2、过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______． 例3、以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______． 例4、下列直线是圆的切线的是（ ）A ．与圆有公共点的直线B ．到圆心的距离等于半径的直线C ．垂直于圆的半径的直线D ．过圆直径外端点的直线例5．如图所示，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C 为圆心，r 为半径作⊙C ，当r 为多少时，⊙C 与AB 相切？2、切线的判定：（1）根据切线的定义判定：即与圆有 一个 公共点的直线是圆的切线.（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于 半径 的直线是圆的切线.（3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的 外端 并且 垂直于 这条半径的直线是圆的切线.判定切线时常用的辅助线作法：（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直.（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径.例6、判断下列命题是否正确（1）经过半径的外端的直线是圆的切线（2）垂直于半径的直线是圆的切线；（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.例7．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，•那么⊙P与OB的位置关系是（） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切例8、如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．例9、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．例10、如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=12，∠D=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．例11、如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．3、切线的性质：1、经过切点的半径垂直于圆的切线，经过切点垂直于切线的直线必经过圆心对于切线的性质可分解为：过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中任意两个作为条件，就可以推出第三个作为结论4、切线长定理：切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．例12、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。
高考复习-直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系知识集结知识元直线与方程知识讲解1．直线的倾斜角【知识点的认识】1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．2．范围：[0，π）（特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°）3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．4．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当a≠时，k＝tanα；当α＝时，斜率不存在；②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且tanα随α的增大而增大．【命题方向】直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．（1）直接根据直线斜率求倾斜角例：直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．解答：因为直线x+y﹣1＝0的斜率为：﹣，直线的倾斜角为：α．所以tanα＝﹣，α＝120°故选C．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．（2）通过条件转换求直线倾斜角例：若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B.45°C．60°D．120°分析：由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB 的倾斜角．解答：∵直线经过A（0，1），B（3，4）两点，∴直线AB的斜率k＝＝1，∴直线AB的倾斜角α＝45°．故选B．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．直线的斜率【考点归纳】1．定义：当直线倾斜角α≠时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k 表示，即k ＝tan α．2．斜率的求法（1）定义：k ＝tan α（α≠）（2）斜率公式：k ＝．3．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当α≠时，k ＝tan α；当α＝时，斜率不存在；②根据正切函数k ＝tan α的单调性：当α∈[0，）时，k ＞0且随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k ＜0且随α的增大而增大．【命题方向】直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．常见题型：（1）已知倾斜角范围求斜率的范围；（2）已知斜率求倾斜角的问题．（3）斜率在数形结合中的应用．3．直线的点斜式方程【知识点的认识】设P （x ，y ）是直线l 上不同于P 0的任意一点．方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程．4．直线的斜截式方程【知识点的认识】1．直线在y轴上的截距一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距．（注意：截距是坐标概念，不是距离）2．直线的斜截式方程已知直线l的斜率为k，在y轴上的截距是b，则直线l的斜截式方程为y＝kx+b．由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程．5．直线的两点式方程【知识点的认识】直线的两点式方程：经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式．（x1≠x2，y1≠y2）#注意：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线．特别地：①当x1＝x2时，直线l的方程为x＝x1；②当y1＝y2时，直线l的方程为y＝y1．6．直线的截距式方程【知识点的认识】直线的截距式方程：若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式：可推得直线的斜截距方程为：．#注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线．例题精讲直线与方程例1.若直线x+3y+1=0与直线2x+（a+1）y+1=0互相平行，则a的值为（）A．4B．-C．5D．-例2.直线（a2+1）x-2ay+1=0（a∈R）的倾斜角不可能为（）A．B．C．D．例3.直线2x+y+1=0与直线x-y+2=0的交点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限圆与方程知识讲解1．圆的标准方程【知识点的认识】1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．2．圆的标准方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．【解题思路点拨】已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．【命题方向】可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化．例1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y+2）2＝5分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，由圆M经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，化简得：|4a﹣3b|＝5①，又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．故选：A点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为（）A．1B．C．2D．4分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为x2+（y+1）2＝2，故半径等于，故选B．点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．2．圆的一般方程【知识点的认识】1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．2．圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）其中圆心坐标为（﹣，﹣），半径r＝．3．圆的一般方程的特点：（1）x2和y2系数相同，且不等于0；（2）没有xy这样的二次项．以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．3．二元二次方程表示圆的条件【知识点的知识】1、圆的定义：平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆．定点就是圆心，定长就是半径．2、圆的标准方程：圆的标准方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，圆心为（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为x2+y2＝r2．3、圆的一般方程：圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0．当D2+E2﹣4F＞0时，表示圆心（﹣，﹣），半径为的圆；当D2+E2﹣4F＝0时，表示点（﹣，﹣），；当D2+E2﹣4F＜0时，不表示任何图形．因此二元二次方程表示圆的条件是D2+E2﹣4F＞0．注意：形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0的方程表示圆的条件：①A＝C≠0；②B＝0；③D2+E2﹣4F＞0．4．点与圆的位置关系【知识点的知识】点与圆的位置关系分为在园内，在圆上和在圆外，判断的方法就是该点到圆心的距离和圆半径的大小之间的比较．①当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；②当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；③当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．5．关于点、直线对称的圆的方程【知识点的知识】（1）已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可．（2）若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标．例题精讲圆与方程例1.过原点的直线l被圆x2+（y-2）2=4所截得的弦长为，则l的倾斜角为（）A．B．或C．D．或例2.直线y=x+1被圆（x-1）2+y2=6截得的弦长为___例3.已知点A（-1，0），过点A可作圆x2+y2-mx+1=0的两条切线，则m的取值范围是_________．直线与圆的位置关系知识讲解1．二元二次方程表示圆的条件【知识点的知识】1、圆的定义：平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆．定点就是圆心，定长就是半径．2、圆的标准方程：圆的标准方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，圆心为（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为x2+y2＝r2．3、圆的一般方程：圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0．当D2+E2﹣4F＞0时，表示圆心（﹣，﹣），半径为的圆；当D2+E2﹣4F＝0时，表示点（﹣，﹣），；当D2+E2﹣4F＜0时，不表示任何图形．因此二元二次方程表示圆的条件是D2+E2﹣4F＞0．注意：形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0的方程表示圆的条件：①A＝C≠0；②B＝0；③D2+E2﹣4F＞0．2．圆的切线方程【知识点的认识】圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．圆的切线方程的类型：（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．【实例解析】例1：已知圆：（x﹣1）2+y2＝2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为．解：圆：（x﹣1）2+y2＝2，的圆心为C（1，0），半径r＝．①当直线l经过点P（2，1）与x轴垂直时，方程为x＝2，∵圆心到直线x＝2的距离等于1，∴直线l与圆不相切，即x＝2不符合题意；②当直线l经过点P（2，1）与x轴不垂直时，设方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．∵直线l与圆：（x﹣1）2+y2＝2相切，∴圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解之得k＝﹣1，因此直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化简得x+y﹣3＝0．综上所述，可得所求切线方程为x+y﹣3＝0．这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照着看就是．例2：从点P（4，5）向圆（x﹣2）2+y2＝4引切线，则圆的切线方程为．解：由圆（x﹣2）2+y2＝4，得到圆心坐标为（2，0），半径r＝2，当过P的切线斜率不存在时，直线x＝4满足题意；当过P的切线斜率存在时，设为k，由P坐标为（4，5），可得切线方程为y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，∴圆心到切线的距离d＝r，即＝2，解得：k＝，此时切线的方程为y﹣5＝（x﹣4），即21x﹣20y+16＝0，综上，圆的切线方程为x＝4或21x﹣20y+16＝0．这个例题用的方法也是前面所说，但告诉我们一个基本性质，即圆外的点是可以做两条切线的，所以以后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种．【考点分析】本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分．3．直线与圆相交的性质【知识点的知识】直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．【例题解析】例：写出直线y＝x+m与圆x2+y2＝1相交的一个必要不充分条件：解：直线x﹣y+m＝0若与圆x2+y2＝1相交，则圆心（0，0）到直线的距离d＜1，即d＝，∴|m|，即，∴满足的必要不充分条件均可．故答案为：满足的必要不充分条件均可．这是一道符合高考命题习惯的例题，对于简单的知识点，高考一般都是把几个知识点结合在一起，这也要求大家知识一定要全面，切不可投机取巧．本题首先根据直线与圆的关系求出满足要求的m的值；然后在考查了考试对逻辑关系的掌握程度，不失为一道好题．【考点解析】本知识点内容比较简单，在初中的时候就已经学习过，所以大家要熟练掌握，特别是点到直线的距离怎么求，如何判断直线与圆相切．4．直线与圆的位置关系【知识点的认识】1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲直线与圆的位置关系例1.'已知圆C：x2+y2+2x-3=0．（1）求圆C的半径和圆心坐标；（2）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求△C'DE面积最大时直线m的方程．'例2.'过点（-4，0）作直线l与圆（x+1）2+（y-2）2=25交于A，B两点，若|AB|=8，求直线l的方程．'例3.'已知点A（1，1），B（-1，3）．（1）求以AB为直径的圆C的方程；（2）若直线x-my+1=0被圆C截得的弦长为，求m值．'圆与圆的位置关系知识讲解1．圆与圆的位置关系及其判定【知识点的认识】1．圆与圆的位置关系2．圆与圆的位置关系的判定设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断①外离（4条公切线）：d＞r1+r2②外切（3条公切线）：d＝r1+r2③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2|⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．2．两圆的公切线条数及方程的确定【概念】之前谈到过圆外一点可以做两条圆的相切，那么当有两个圆的时候，他们的公切线有几条呢？这里面不得不考虑两个圆的位置关系．①当两圆相离时，公切线有四条；②当两圆外切时，公切线有三条；③当两圆内切时，公切线仅有一条；④当两圆的关系为内含时，没有公切线．【考点解析】初中知识，在高考中较少涉及，求切线的方法无外乎先设出切线方程，然后根据切线的性质求出切线的参数即可．3．圆系方程【知识点的知识】所谓圆系方程指的是所有的圆都有相同的圆心，但圆的半径不同的圆的总和，还可以是圆的半径相同，但圆心不同，我们把满足这两种情况的圆的总和就叫做圆系方程；除了圆系，还有直线系（过某一定点）等等．【例题解析】例：已知圆系方程x2+y2+2kx+（4k+10）y+5k2+20k＝0（k∈R），是否存在斜率为2的直线l被圆系方程表示的任意一圆截得的弦长是定值？如果存在，试求直线l的方程；如果不存在，请说明理由．解：假设存在满足条件的直线方程为y＝2x+m，圆的方程配方可得：（x+k）2+（y+2k+5）2＝25．所以圆心到直线的距离d＝，由垂径定理可得：，解得m＝0或m＝﹣10，故存在满足条件的直线方程，方程为y＝2x或y＝2x﹣10．这个题可以看出，遇到圆系方程的题，只需知道其概念就可以了，关键还是看圆心、半径、圆心到直线的距离这三个因素，常用的方法就是待定系数法．【考点分析】本考点也是在初中就已经学过，对于高考来说，算是个冷门，但也偶尔会考，还是希望大家了解这些基本的概念，争取不漏死角．4．相交弦所在直线的方程【知识点的知识】求解相交弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程．例题精讲圆与圆的位置关系例1.已知以点（1.2）为圆心的圆C与直线x+2y=0相切，则圆C的方程为_________________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线与圆的位置关系
【复习目标】
能根据给定直线、圆的方程．判断直线与圆的位置关系。
【重点难点】
掌握直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法。
【知识梳理】
1． 直线与圆的位置关系
直线0:=++C By Ax l 与圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 的位置关系的判别方法有：
（1） 几何方法：圆心(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离22||B A C Bb Aa d +++=
,
①d<r ⇔直线与圆 ；
②d=r ⇔直线与圆 ；
③d>r ⇔直线与圆 。
（2）代数法：由⎩
⎨⎧=-+-=++222)()(0r b y a x C By Ax 得到的一元二次方程的判别式为△，则 ①△>0⇔直线与圆 ；②△＝0⇔直线与圆 ；
③△<0⇔直线与圆 。
2、直线与圆交于A ，B ，设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则AB=
又设AB 的中点为M ，圆心为C 则MC 垂直与
3、圆外的点P 到圆C 的圆心的距离为d ，过该点的圆的切线的切点为T ，若圆的半径为r ，则PT=
4、直线与圆相离，设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上的点到直线上的点的距离
的最小值是 最大值是
5、圆的切线问题：
【回归课本】
1. 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，则过点P(2，4)与圆O 相切的切线方程为________________．
2. (必修2P 115练习1改编)已知圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是________．
3. (必修2P 115练习4改编)若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．
4.过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是__________．
5. (必修2P 107习题4改编)以点(2，－2)为圆心并且与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0相外切的圆的方程是________
【例题精讲】
题型一、直线与圆的位置关系
例1、 已知直线1:+=kx y l ，圆12)1()1(:22=++-y x C
（1） 试证明：不论k 为何值时，直线l 和圆C 总有两个交点；
（2） 求直线l 被圆C 截得的最短弦长。
训练1、若直线01=+-y x 与圆2)(22=+-y a x 有公共点，则实数a 的取值范围是
题型二、圆的切线问题
例2、 已知点)1,3(M ，直线04=+-y ax 及圆4)2()1(22=-+-y x
（1） 求过M 点的圆的切线方程；
（2） 若直线04=+-y ax 与圆相切，求a 的值；
（3） 若直线04=+-y ax 与圆相交于A,B 两点，且弦AB 的长为32，求a 的值。
训练2、已知点),1(a A ，圆42
2=+y x
（1） 若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；
（2） 若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a 的值及切线方程。
例3、圆C 方程为0422=-+x y x ，)1(+=x k y 上存在一点P 使得过P 的两条切线互相垂直，则k 的范围为
题型三、圆的弦长问题
例3、 已知过点)3,3(--M 的直线l 被圆021422=-++y y x 截得的弦长为54，则直
线l 的方程为
例4、 已知AC ，BD 为圆4:22=+y x O 的两条互相垂直的弦，垂足为)2,1(M ，则四
边形ABCD 的面积最大值为
直线与圆的综合问题
例5、如图，平面直角坐标系中COD AOB ∆∆、为两等腰直角三角形，)0002>-a a C A ）（，（）、，（设COD AOB ∆∆、的外接圆的圆心分别为N M 、
（1）若圆M 与直线CD 相切，求直线CD 的方程（2）若直线AB 截圆N 所得弦长为4，求圆N 的方程（3）是否存在这样的圆N 使得其上有且仅有三点到直线AB 的距离为2？
训练3、已知以点P 为圆心的圆经过点)0,1(-A 和)4,3(B ，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且104=CD 。
（1） 求直线CD 的方程；
（2） 求圆P 的方程；
（3） 设点Q 在圆P 上，试问使QAB ∆的面积等于8的点Q 共有几个，并证明你的结论。
【反馈练习】 1、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为
2、求直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为
3、从圆22(1)(1)1x y -+-=外一点P(2,3)向圆引切线,则切线长
4、若直线2211ax by x y +=+=与相交,则点(,)P a b 与圆的位置关系是
5、若直线y x b =+与曲线x =,则实数b 的取值范围为
6、在平面直角坐标系中，已知圆42
2=+y x 上有且仅有四个点到直线0512=+-c y x 的距离为1，则实数c 的取值范围为。