乌鲁木齐地区2014年高三年级第一次诊断性测验理科数学

乌鲁木齐地区2014年高三年级第一次诊断性测验理科数学（问卷） （卷面分值：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1.本卷分为问卷和答卷两部分，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A ={x |x 2-1≤0}, B ={x |x ≤0}，则A ∩(ðR B ) =A. {x |0≤x ≤1|B. {x |0 < x ≤1}C. {x |x > 0}D. {x |x < -1} 2.i 是虚数单位，则复数2i1-i的实部为A. -2B. -1C. 1D. 23.设等比数列{a n }的公比q = 12，前n 项和为S n ，则53S a=A. 5B.312 C. 152 D. 3144.下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A.y =x 3B. y =2|x |C. y =|lg x |D. y =tan x5.设z =2x +y ，其中变量x , y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x -4y ≤ -33x +5y ≤25x ≥m。

若z 的最小值为3，则m 的值为A.1B. 2C. 3D. 4 6.某几何体的三视图如图所示，则其侧面的直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 47.已知y =sin( ωx + φ)（ω > 0 , |φ| ≤ π2 ）在区间[ 0, 1]上是单调函数，其图象过点P 1（-1 , 0），P 2（0 , 1），则此函数的最小正周期T 及φ的值分别是 A. T = 4, φ = π2 B. T = 4, φ=1 C. T = 4π , φ= π2 D. T = 4π, φ= -18.若某射手每次射击击中目标的概率为P ( 0 < P < 1 )，每次射击的结果相互独立，在他连续8次射击中，“恰有3次击中目标”的概率是“恰有5次击中目标”的 概率的125，则P 的值为A. 16B. 15C. 45D. 569.一个算法的程序框图如图所示，如果输入的x 的值为2014，则输出的i 的结果为 A. 3 B. 5 C. 6 D. 810.直线l 经过抛物线y 2 = 4x 的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若AB 的中点横坐标为3，则线段AB 的俯视图2211侧视图正视图长为A. 5B. 6C. 7D. 811.已知在△ABC 中，AB = 1，BC = 6，AC = 2，点O 为△ABC 的外心，若AO sAB t AC =+，则有序实数对( s , t ) 为 A. 43(,)55 B. 34(,)55C. （- 45，35 ）D. (- 35，45 ) 12.已知函数f (x )=ln(e x - 1) ( x > 0 )A. 若f (a ) + 2a = f (b ) + 3b ，则a > bB. 若f (a ) + 2a = f (b ) + 3b ，则a < bC. 若f (a ) -2a = f (b ) -3b ，则a > bD. 若f (a ) -2a = f (b ) -3b ，则a < b 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.63x ⎛⎝的展开式中常数项为 × （用数字作答）； 14.中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的渐近线过点P (2,1)，则其离心率为 × ； 15.设数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列，且a 1=2，则数列{lg a n }的前9项和为 × ；16.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是线段A 1C 1上的动点，则四棱锥P -ABCD 的外接球半径R 的取值范围是 × .三、解答题第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知△ABC 中，a , b , c 分别为角A ，B ，C 的对边，a 2 + b 2 < c 2，且sin( 2C - π2 ) = 12 .（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求 a + bc的取值范围.18.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点. （Ⅰ）在B 1C 上是否存在点P ，使PB ∥平面B 1ED ，若存在，求出点P 的位置，若不存在请说明理由；（Ⅱ）求二面角D -B 1E -C 的平面角的余弦值19.某市共有100万居民的月收入是通过“工资薪金所得”得到的，如图是抽样调查后得到的工资薪金所得x 的频率分布直方图. 工资薪金个人所得税税率表如表所示.表中“全月应纳税所得额”是指“工资薪金所得”减去3500元所超出的部分（3500元为个税起征点，不到3500元不交税） 工资个税的计算公式为：“应纳税额”=“全月应纳税所得额”乘以“适用税率”减去“速算扣除数”. 例如：某人某月“工资薪金所得”为5500元，则“全月应纳税所得额”为5500 -3500=2000元，应纳税额为2000×10% -105=95（元）。

在直方图的工资薪金所得分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，工资薪金所得落入该区间的频率为x 取该区间中点值的概率.（Ⅰ）试估计该市居民每月在工资薪金个人所得税上缴纳的总税款；B（Ⅱ）设该市居民每月从工资薪金交完税后，剩余的为其月可支配额y ( 元 )，试求该市居民月可支配额y 的数学期望20.已知直线x + y -1= 0经过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点和焦点F .（Ⅰ）求此椭圆的标准方程；（Ⅱ）斜率为k ，且过点F 的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，求证直线BD 过定点21.已知函数f (x ) = e x - e –x (x ∈R ) .（Ⅰ）求证：当x ≥0时，f (x ) ≥2x + x 33；（Ⅱ）试讨论函数H (x ) = f (x ) - ax (x ∈R )的零点个数.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的一条直径，过A 作⊙O 的切线，在切线上取一点C ，使AC =AB ，连接OC ，与⊙O 交与点D ，BD 的延长线与AC 交于点E ，求证： （Ⅰ）∠CDE = ∠DAE ； （Ⅱ）AE = CD23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程为ρ = 2，以极点为原点极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，P 是曲线C 上的动点，点A ( 2 , 0 ) , M 是线段 AP 的中点 （Ⅰ）求点M 轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求证点M 到点E ( 32 , 0 )、F (3 , 0 )的距离之比是常数.24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|x -3| + |x -4| < m 的解集不是空集. （Ⅰ）求参数m 的取值范围的集合M ； （Ⅱ）设a , b ∈M , 求证：a + b < ab +1全月应纳税所得额 适用税率（%） 速算扣除数 不超过1500元3 0 超过1500元至4500元 10 105 超过4500元至9000元20 555 ………… …… ……元)乌鲁木齐地区2014年高三年级第一次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准1.选B .【解析】∵{}11A x x =-≤≤，{}0B x x =>R ð，∴(){}01A B x x =<≤R ð.2.选B .【解析】∵()()()2121111i i ii i i i +==-+--+，∴21i i -的实部为1-. 3.选D .【解析】∵()5151311311,1164a q S a a a q-===-， ∴53314S a =.4.选C .【解析】由函数奇偶性定义得3,tan y x y x ==是奇函数，2x y =是偶函数， ∵lg y x =的定义域为()0,+∞，∴lg y x =既不是奇函数，又不是偶函数.5.选A .【解析】 由图可知，min 3234m z m +=⨯+=，解得3m =. 6.选C .【解析】该几何体的直观图，如图所示可知，,,PAB PBC PAD ∆∆∆是直角三角形，∵2229PC PA AC =+=，2228PD PA AD =+=，25CD =，222PD PC CD ≠+，PCD ∆不是直角三角形.7.选A .【解析】∵图象经过点()()121,0,0,1P P -，∴()sin 0sin 1ωϕϕ-+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1222k k ωϕππϕπ-=⎧⎪⎨=+⎪⎩，由0,2πωϕ>≤及函数在区间[]0,1上是单调函数，可得2πωϕ==，∴4T =8.选D .【解析】由题意知，()()5333558811125C P P C P P -=-，即()221125P P -=，解得54P =（舍），或56P =.9.选A .【解析】执行第一次运算时：12014,,12013a b i ==-= 执行第二次运算时：12013,,220132014a b i =-== 执行第三次运算时：2013,2014,32014a b i === ∴输出3i =10.选D .【解析】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为0l ，分别过点,A B 作直线0l 的垂线，垂足分别为,M N ，由抛物线定义，得AB AF BF AM BN =+=+=22A B p px x +++A B x x p =++28C x p =+=.(C 是AB 的中点) 11.选A .【解析】设,AB AC 中点分别为,M N ，则()1122OM AM AO AB s AB t AC s AB t AC ⎛⎫=-=-⋅+⋅=-- ⎪⎝⎭()1122ON AN AO AC s AB t AC t AC sAB ⎛⎫=-=-⋅+⋅=-- ⎪⎝⎭由外心O 的定义知，,OM AB ON AC ⊥⊥，因此，0OM AB ⋅= ，0ON AC ⋅=102s AB t AC AB ⎡⎤⎛⎫--⋅= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴2102s AB t AC AB ⎛⎫--⋅= ⎪⎝⎭…①同理：2102t AC sAC AB ⎛⎫--⋅= ⎪⎝⎭…②∵BC AC AB =- ，∴()22222BC AC ABAC AC AB AB =-=-⋅+∴222122AC AB BC AC AB +-⋅==-…③把③代入①②得120480s t s t -+=⎧⎨+-=⎩，解得43,55s t ==.12.选A .【解析】易知，()()()ln 10x f x e x =->为增函数，∴若0a b <≤，则有()()f a f b ≤，又223a b b ≤<，∴()()23f a a f b b +<+，即()()23f a a f b b +≠+成立，∴它的逆否命题：若()()23f a a f b b +=+，则a b >成立；()()ln 12x g x e x =--在()0,ln 2递增，在()ln 2,+∞递减，()()max ln22ln2g x g ==-；()(],2ln 2g x ∈-∞-()()ln 13x x e x ϕ=--在30,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3ln ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，()max 3ln 2ln 23ln 32x ϕϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()(],2ln 23ln3x ϕ∈-∞-；当02ln 23ln3y <-时，方程()0g x y =有两解14,x x ，不妨设14x x <； 方程()0x y ϕ=也有两解23,x x ，不妨设23x x <； 又当0x >时，()()g x x ϕ>，∴1234x x x x <<<，这样当()()023f a a f b b y -=-=时，就有a b <，或a b >，故，C . D .不正确. 二、填空题 :共4小题，每小题5分，共20分.13.填135.【解析】此二项式的展开式的通项为()3666216633rr rrr r r T C x C x ---+==，令3602r -=，4r =，∴常数项为42563135T C ==.14.填【解析】根据题意得，此双曲线的渐近线方程为12y x =±，∴2ba=，∴e =15.填1.【解析】 ∵11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列，∴()1111111n n n a a =+-⨯=--， ∴111n n a n n +=+=，∴()1lg lg lg 1lg n n a n n n+==+- ∴数列{}lg n a 的前9项和为()()()9lg2lg1lg3lg2lg10lg91S =-+-++-= .16.填34⎡⎢⎣⎦.【解析】如图，设P ABCD -的外接球的球心为G ，∵,,,A B C D 在球面上，∴球心在正方体1111ABCD A B C D -上下底面中心连线1O O 上，点P 也在球上，∴GP GA R == ∵棱长为1，∴OA =，设11,O P x OG y ==，则1OG y =-，在1Rt GO P ∆中，有222R x y =+…①，在Rt GOA ∆中，()2221R y =+-⎝⎭…②，将①代入②，得2322x y =-，∵02x ≤≤，∴1324y ≤≤，∴()22222319321,22164R x y y y y ⎡⎤=+=-+=-+∈⎢⎥⎣⎦，于是34R ⎡∈⎢⎣⎦.三、解答题17.（12分）（Ⅰ）∵222a b c +<，∴222cos 02a b c C ab+-=<，∴2C ππ<<，故22C ππ<< 由1sin 222C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1cos 22C =-，∴423C π=，即23C π=； …6分（Ⅱ）1sin sin sin sin sin 32sin sin 3A A A Aa b A B c C ππ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭===i n 3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由23C π=，知03A π<<，故2333A πππ<+<，∴sin 123A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭∴2a b c +<≤1a b c +<≤…12分 18.（12分）如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则有()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0A B C D ，()()11,0,0,2,0,2E B（Ⅰ）()()11,0,2,1,2,0B E ED =--=-，设平面1B ED 的法向量(),,a b c =1n ，则11100B E ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2020a c a b +=⎧⎨-=⎩，取2a =，则1,1b c ==-，()2,1,1=-1n 设()2,,2P λλ-，则()0,,2PB λλ=--∵PB ⊄平面1B ED ，∴当且仅当1PB ⊥ n ，即10PB ⋅=n 时，PB ∥平面1B ED ∴()20λλ---=，1λ=，∴()2,1,1P ，即P 是1B C 的中点时，PB ∥平面1B ED ； …6分（Ⅱ）()()11,0,2,1,2,0B E EC =--=，设平面1B EC 的法向量(),,x y z =2n由21200B E EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得，2020x z x y +=⎧⎨+=⎩，取2x =，则1y z ==-，()2,1,1=--2n 设二面角1D B E C --的平面角为θ，易知02πθ<<，∴12122cos 3θ⋅==n n n n ． …12分 19.（12分）（Ⅰ）工资薪金所得的5组区间的中点值依次为3000,5000,7000,9000,11000，x 取这些值的概率依次为0.15,0.3,0.4,0.1,0.05，算得与其相对应的“全月应纳税所得额”依次为0,1500,3500,5500,7500（元），按工资个税的计算公式，相应的工资个税分别为：0（元），15003%045⨯-=（元）， 350010%105245⨯-=（元）， 550020%555545⨯-=（元）， 750020%555945⨯-=（元）；∴该市居民每月在工资薪金个人所得税总收入为()68450.32450.45450.19450.0510 2.132510⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⨯（元）； …6分 （Ⅱ）这5组居民月可支配额y 取的值分别是12345,,,,y y y y y13000y =（元）； 25000454955y =-=（元）； 370002456755y =-=（元）；490005458455y =-=（元）； 51100094510055y =-=（元）； ∴y 的分布列为：y3000 4955 6755 8455 10055P0.15 0.3 0.4 0.1 0.05 ∴该市居民月可支配额的数学期望为：30000.1549550.367550.484550.1100550.05Ey =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5986.75=（元） …12分20.（12分）（Ⅰ）已知直线直线10x y +-=经过椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴端点()0,b 和右焦点(),0F c ，可得1b c ==，∴2222a b c =+=故椭圆C 的标准方程为2212x y +=； …5分（Ⅱ）由椭圆C 的方程可得右焦点为()1,0F ，因为直线AB 的斜率为k ，且直线经过右焦点F ，所以直线AB 的方程为()1y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，则点D 的坐标为()11,x y -⑴当0k ≠时，因为点,B D 在椭圆C 上，∴()222221211,122x x y y +=+-= …①∴()2222121202x x y y --+-=，依题意知12x x ≠ ∴直线BD 的斜率()2112211212BD y y x x k x x y y --+==-- 则直线BD 的方程为()12221212x x y y x x y y +-=-- …②由①②得()()12122112122x x x x x y y y y y ++-=-+ …③ 把直线AB 的方程代入椭圆C 的方程得()22112x k x +-=⎡⎤⎣⎦，即()2222124220k x k x k +-+-=…④∵12,x x 是方程④的两个实数解，∴2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+…⑤ 又()()11221,1y k x y k x =-=-，∴()()()212121212111y y k x k x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦…⑥把⑤代入⑥得，2222122222241121212k k k y y k k k k ⎡⎤--=-+=⎢⎥+++⎣⎦…⑦ 把⑤⑦代入③得，()222212224221112212212k x k k y y y k k k --⋅+-=⋅-++++ 即()222122241212k k x y y y k k+-=++，令0y =，解得2x = 此时，直线BD 过定点()2,0⑵当0k =时，点,A B 为椭圆C 的长轴端点，故点D 与点A 重合，此时直线BD 即为x 轴，而x 轴过点()2,0，则直线BD 也过点()2,0综上所述，直线直线BD 过定点()2,0. …12分21.（12分）（Ⅰ）令()()()32,03x g x f x x x =--≥则()()2222x x g x f x x e e x -''=--=+--，()()2g x f x x ''=-， ∵()()22x x g x f x e e -''''=-=+-当0x ≥时，0,0x x e e ->>，∴2x x e e -+≥=…① ∴()0g x '''≥，∴函数()()0y g x x ''=≥为增函数， ∴()()00g x g ''''≥=，即()20f x x -≥…② ∴函数()()0y g x x '=≥为增函数， ∴()()00g x g ''≥=，即22x x e e x -+≥+…③∴函数()()0y g x x =≥为增函数，∴()()00g x g ≥=，即当0x ≥时，()323x f x x ≥+成立； …6分 （Ⅱ）⑴当2a ≤时，∵()()H x f x ax =-∴()()20x x H x f x a e e a a a -''=-=+-≥=-≥∴函数()()y H x x =∈R 为增函数，当0x >时，()()00H x H >=，当0x <时，()()00H x H <=， ∴当2a ≤时，函数()y H x =的零点为0x =，其零点个数为1个 ⑵当2a >时，∵对x ∀∈R ，()()H x H x -=-∴函数()y H x =为奇函数，且()00H = …④下面讨论函数()y H x =在0x >时的零点个数：由（Ⅰ）知，当00x >时，002x x e e -+>，令00x x a e e -=+∴()()()()000x x H x f x e e x x -=-+>则()()()00x x H x f x e e -''=-+，()()x x H x f x e e -''''==-当0x >时，1,01x x e e -><<，∴0x x e e -->，∴()0H x ''>∴函数()()0y H x x '=>为增函数∴当00x x <≤时，()()00H x H x ''≤=；当0x x >时，()()00H x H x ''≥= ∴函数()()0y H x x =>的减区间为(]00,x ，增区间为()0,x +∞ ∴当00x x <<时，()()00H x H <=…⑤即对(]000,x x ∀∈时，()0H x < …⑥又由（Ⅰ）知，()()()()0000323x x x x x H x f x e e x x e e x --=-+≥+-+ ()00223x x x x e e -⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦当00x >时，由③知002200223x x x e e x -+>+>+0x >故，当0x >>时，()002203x x x e e --+-> ∴()002203x x x x e e -⎡⎤-+->⎢⎥⎣⎦，即()0H x > …⑦由函数()()0y H x x x =≥为增函数和⑥⑦及函数零点定理知，存在唯一实数 (0x x *∈使得()0H x *=，又函数(),y H x x =∈R 为奇函数 ∴函数(),y H x x =∈R ，有且仅有三个零点． …12分22.（10分）（Ⅰ）∵CDE ODB OBD ∠=∠=∠又∵AC 与O 切于点A ，AD 是弦，∴DAE OBD ∠=∠∴CDE DAE ∠=∠； …5分（Ⅱ）∵CDE CAD ∠=∠，C C ∠=∠，∴CDE ∆∽CAD ∆∴CD DE AC AD =，∴DE CD AC AD=⋅ …① 而ADE ∆∽BAE ∆，∴DE AE AD AB= …② 由①②得AE CD AC AB=⋅ 又∵AC AB =，∴AE CD =． …10分23.（10分）（Ⅰ）曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y则2cos 2cos 122sin sin 2x y θθθθ+⎧==+⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，即()()22112x y x -+=≠； …5分 （Ⅱ）设()cos1,sin M θθ+，则12MEMF ===. …10分 24.（10分）（Ⅰ）设函数34y x x =-+-，则()()()723134274x x y x x x -≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩，画出其图象，可知min 1y =，要使不等式34x x m -+-<的解集不是空集，需且只需1m > ∴m 的取值范围的集合()1,M =+∞； …5分 （Ⅱ）∵,a b M ∈，∴1,1a b >>∵()()()()()1111a b ab a ab b a b +-+=-+-=--∵10,10a b ->-<，∴()()110a b --<， ∴1a b ab +<+. …10分 以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分.。