6第五章5-1,3耦合电感的伏安关系
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第23讲 耦合电感及其伏安关系
(L1 M )(L2 M ) M (L1 M ) (L2 M )
L1L2 M 2
L1 L2 2M
Leq
17
例2 如图所示两个耦合电感并联，求其等效电感。
解： 利用异名端相连时的去
耦等效电路求解。
Leq
Leq ( L1 M ) //(L2 M ) M
(L1 M )(L2 M ) (L1 M ) (L2 M )
线圈1与线圈2的互感
4
线圈2通电流 i2时：
Φ22：线圈2的自感磁通。
22：线圈2的自感磁链。
Ψ22 = N2Φ22 = L2i2
L2：线圈2的自感。 Φ12：线圈2的自感磁通中与
线圈1相交链的部分。
Ψ12 = N1 Φ12 = M12 i2
线圈密绕
互感磁链
线圈1与线圈2的互感
可以证明： M12 = M21
M k=
L1 L2
k=0时： M=0，两线圈互 不影响。
k=1时：全耦合
M 2 = L1L2 7
二、耦合电感的伏安关系 如图所示，磁通相助时， 各线圈总磁链为：
Ψ1 = Ψ11 + Ψ12 = L1i1 + Mi2
Ψ2 = Ψ22 +Ψ21 = L2i2 + Mi1
假设各线圈的端口电压与本线圈的电流方向相关联, 电流 与磁通符合右手螺旋关系, 则两线圈的端口电压分别为：
故令M12 = M21 = M 5
互感M的单位：亨（H）
耦合： 一条支路的电流
（压）与另一条支
路的电流（压）相
关联。
磁耦合： 支路（元件）之间
的耦合是通过磁的 交连来实现的。
线圈密绕
耦合系数： 是指两个线圈的互感磁链与自感磁链比值
10.1耦合电感的伏安关系10.2耦合电感的去耦等效10.4理想
M
di dt
L2
di dt
M
di dt
R2 i
R R1 R2 L L1 L2 2M
( R1
R2 )i
( L1
L2
2M ) di dt
Ri
L di dt
L L1 L2 2M 0
M
1 2
(
L1
L2 )
互感不大于两个自感的算术平均值。
2019/10/10
[解]
uCD
M
di1 dt
2019/10/10
18
由图 (b)可知，0≤t≤1s时，i1 =10tA，则
d(10t) uCD M dt 10V
练习：P290 5
1≤t≤2s时，i1=(-10 t+20)A，
则 uCD
M
d(10t dt
20)
10V
t≥2s时，i1=0，则
uCD 0
(1)
i2 n N1
2019/10/10
48
若i1和i2参考方向从异名端流入或流出，则
i1 1 N2 (2) i2 n N1
2019/10/10
49
在进行变流关系计算时是选用式(1)还是选用(2)式， 取决于两电流参考方向的流向与同名端的位置，与两 线圈上电压参考方向无关。
当只有一个线圈时：
1 11 L1i1 称L1为自感系数，单位亨(H)。
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁 链为自磁链与互磁链的代数和：
1 11 12 L1i1 M12i2
耦合电感的伏安关系
耦合电感的伏安关系当上述的图4.5中两个耦合的电感1L 和2L 中有变化的电流时，各电感中的磁通链也将随电流的变化而变化。
设1L 和2L 中的电压、电流均为关联参考方向，且电流与磁通符合右手螺旋法则，依据电磁感应定律，由式（10.1 ）和式（10.2）可得：dtdiM dt di L u u dt d u 211121111±=±==ψdtdiL dt di M u u dt d u 221222122+±=+±==ψ (4-12)自感电压 dt di L u 1111= dt di L u 2222= 互感电压 dt di Mu 212= dtdiM u 121= 式（4-12 ）表示两个耦合电感的电压电流关系，即伏安关系，该式表明耦合电感上的电压是自感电压和互感电压的代数和。
1u 不仅与1i 有关也与2i 有关，2u 也如此。
12u 是变化的电流2i 在1L 中产生的互感电压，21u 是变化的电流1i 在2L 中产生的互感电压。
自感电压总为正，互感电压可正可负。
当互感磁通链与自感磁通链相互“增长”时，互感电压为正；反之互感电压为负。
在正弦稳态激励下，耦合电感伏安关系即式（4-12）的相量形式为：2111I M j I L j U &&&ωω±=2212I L j I M j U&&&ωω+±= (4-13) 式中1L j ω和2L j ω分别为两线圈自阻抗；M j ω为互阻抗；M ω称为互感抗。
4.3.3 耦合电感的同名端1、同名端的定义上述关于互感电压符号的讨论，按右手螺旋法则所规定的互感电压的正极性参考方向与产生它的电流的参考方向和两个线圈的绕向有关系。
但实际的线圈往往是密封的，无法看到具体绕向；并且在电路图中绘出线圈的方向也很不方便。
为此引入同名端(dotted terminals)的概念。
耦合电感_精品文档
线圈电流产生的磁通全部与耦合线圈交链Mmax =
；
K 近于1时称为紧耦合；K 值较小时称为松耦合；K=0 称
为无耦合。
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第二节 有耦合电感的正弦电路
含有耦合电感电路（简称互感电路）的正弦稳态计算可采用 相量法。分析时要注意耦合电感上的电压是由自感电压和互 感电压叠加而成的。根据电压、电流的参考方向及耦合电感 的同名端确定互感电压的方向是互感电路分析计算的难点。 由于耦合电感支路的电压不仅与本支路电流有关，还和与之 有耦合支路的电流有关，列写节点电压方程较困难，所以互 感电路的分析计算一般采用支路电流法（网孔法）。
第六章 耦 合 电 路
第一节 耦合电感 第二节 有耦合电感的正弦电路 第三节 空心变压器 第四节 理想变压器
第一节 耦合电感
一、互感
1. 互感现象 我们先观察下面这个实验。图6−1 所示的实验电路中，线
圈2 两端接一灵敏检流计。当开关S 闭合瞬间，可以观察到 检流计指针偏转一下之后又回到零位。发生这种现象的原因 是由于开关S 闭合的瞬间，线圈1 产生变化的磁通Φ 11，其 中的一部分磁通Φ 12与线圈2 交链，使线圈2 产生感应电动 势，因而产生感应电流使检流计指针偏转。S 闭合后，线圈 1 的电流不再发生变化，虽然仍有磁通与线圈2 交链，但该 磁通是不变化的，所以不产生感应电动势，没有电流流过检 流计，因而检流计的指针回到零位。
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第一节 耦合电感
在同频正弦稳态电路中，耦合电感的伏安关系可以用相量形 式表示，式（6−5）可表示为
（6−8）
例6−3 电路如图6−8 所示，已知R1=1 Ω，L1=L2=1 H， M=0.5 H，uS=10sin 4t。试求u2。
耦合电感及其伏安关系
I2
jM
Z11
U
S
Z 22
(M )2
Z11
令Zf 2
(M )2
Z11
Rf 2
jX f 2
反映阻抗Zf2：初级回路通过互感反映到次级的等效阻抗。 反映电阻Rf1：初级耗能元件的反映。
反映电抗Xf1：初级储能元件的反映。
24
次
I2
jM
Z11
U
S
Z 22
(M )2
Z11
级
等
效
回
路
25
空心变压器小结：
解：这是一个负载获得 最大功率的问题。
U oc
=
jωM Z11
U
S
= j5 ×10∠0 5 + j10
= 4.47∠26.57 (V)
电源
负载27
(ωM )2 Zf 2 = Z11
= 52 = 1-j2 （） 5 + j10
电源
负载
根据最大功率传输条件，应有 Z22 = Zf*2
即
R2
=
R2 + 1Ω
u1
=
dΨ1 dt
=
L1
di1 dt
+
M
di2 dt
u2
=
dΨ 2 dt
=
L2
di2 dt
+
M
di1 dt
8
如图所示，磁通相消时，
各线圈总磁链为：
Ψ1 = Ψ11 – Ψ12 = L1i1 – Mi2
Ψ2 = Ψ22 – Ψ21 = L2i2 – Mi1
假设各线圈的端口电压与本线圈的电流方向相关联, 电流 与磁通符合右手螺旋关系, 则两线圈的端口电压分别为：
耦合电感的伏安关系
• + jM1nIn
• U2 =
jM21I•1
+ jL2I•2
+ •••
+ jM2n•In
11/11
••• •••
••• ••• •••
•••
•••
U• n = jMn1I•1 + jMn2•I2 + ••• + jLnI•n
U• 1
jL1 jM12 ••• jM1n
• U2
=
jM21 jL2 ••• jM2n
电路分析基础——课程内容介绍
第三部分 正弦稳态分析
• 11、阻抗与导纳 • 12、正弦稳态功率与能量 三相电路 • 13、电路的频率响应 • 14、耦合电感与理想变压器 • 15、双口网络
电路分析基础——第三部分：第14章 目录
第14章 耦合电感和理想变压器
1 耦合电感的伏安关系 5 理想变压器的伏安关系
线圈 1： 1= f1(i1, i2) = L1 i1(t) + M12 i2(t) = 11 + 12 线圈 2： 2= f2(i1, i2) = M21 i1(t) + L2 i2(t) = 21 + 22
则：
k2 =
21 11
12 22
=
M21 L1
M12 L2
=
M2 L1L2
k= M L1L2
d1 dt
=
L1
di1 dt
+M
di2 dt
两个方程： u2(t) =
d2 dt
=
M
di1 dt
+ L2
di2 dt
互感电压 自感电压
四个变量：u1、 u2、i1、i2。
电感的伏安关系
电路分析基础——第二部分：6-6
1/5
6-6 电感的伏安关系
虽然电感是根据 —i 关系来定义的，如（6-15）式所示， 但在电路分析中，我们感兴趣的往往是元件的 VAR。
设电感如图6-14所示，当通过电感的电流变化时，磁链也 发生变化，根据电磁感应定律，电感两端产生感应电压；当电
流不变时，磁链不变，此时有电流但没电压。当电压与磁链参
t
u()d
t0
= i(t0) +
1 L
t
u()d
t0
t ≥ t0
（6-19）
电路分析基础——第二部分：6-6
4/5
（6-18）式告诉我们：在某个时刻 t 电感电流 i 的数值并不取决
于该时刻电压 u 的值，而是取决于从– 到 t 所有时刻的电压值，
也就是说与电压全部过去历史有关。 i(t) = 1 t u()d = (t)
电流来反映。
i(t) =
i(t0)+
1 L
t
u()d
t0
t ≥ t0
也就是说：某一时刻 t 时的电感电流 i(t) 取决于初始电流 i(t0)以
及在[t0，t] 区间所有的电压u(t)的值。
电路分析基础——第二部分：6-6
5/5
（6-17）式必须在 u、i 为关联参考方向时才能使用，这样 才能真正反映楞次定律——感应电动势试图阻止磁通的变化。
di(t) u(t) = – L
dt
电感的以上这种特性与电阻、电容元件完全不同，电阻是 有电压一定有电流，电容是电压的变化才能有电流；电感则是 电流变化才有电压。
（6-17）式表明：在某一时刻电感的电压取决于该时刻电感电 流的变化率。如果电流不变，那么 di /dt = 0 ，虽有电流，但电 压为零，因此，电感有通直流、阻交流的作用。
5-1耦合电感元件
组织教学：清点人数，强调课堂纪律。
复习提问：1.三相交流电的瞬时功率，有功功率和无功功率及视在功率应该如何计算？导入新课：耦合电路时一种特殊的电路，在工程中应用极为广泛。
本章主要介绍耦合电路的伏安关系和此类电路的分析方法，如果某一线圈电流产生的磁通不仅与本线圈交链，同时还与其临近的线圈交链，这种现象称为磁耦合现象，存在磁耦合现象的线圈称为耦合线圈或互感线圈。
新授课：5-1 耦合电感元件一.自磁通，互磁通和漏磁通彼此靠近放置的两个线圈，若认为它们本身的电阻为零，则这样的两个线圈构成了一个耦合电感元件。
可见耦合电感元件是磁耦合线圈的电路模型。
1．自磁通，互磁通与漏磁通设两个线圈的匝数分别为N1和N2。
今当线圈Ⅰ中通以电流i1(t)时，该电流便要在线圈Ⅰ中产生磁通Ф11,它们全部与线圈Ⅰ相链，称为线圈Ⅰ的自磁通。
Ф11中的一部分Ф21同时与线圈Ⅱ相链，Ф21称为线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的互磁通；Ф11中的另一部分Фs1只与线圈Ⅰ相链，称为线圈Ⅰ的漏磁通。
故有Ф11=Ф21+Фs1。
同样的，当线圈Ⅱ中通以电流i2(t)时，该电流也要在线圈Ⅱ中产生自磁通Ф22,而对线圈Ⅰ的互磁通则为Ф12,如图7-1-1(b)所示，Ф22中的另一部分则称为线圈的漏磁通Фs1。
故有Ф22=Ф12+Фs2。
二．同名端当两个线圈中同时通以电流时，此两电流所产生的自磁通与互磁通可能是互相加强，也可能是互相削弱，这要由两个线圈中所通电流的参考方向和两个线圈的缠绕方向共同确定。
例如在图7-2-1(a)中，两个电流所产生的自磁通与互磁通是相互加强的。
在图7-1-2(b)中自磁通与互磁通则是互相削弱的，这是因为两个电流的参考方向与图(a)相比是相反了(这个线圈的缠绕方向仍没有变)；在图7-1-2(c)中，两个电流所产生的自磁通与互磁通也是相削弱的，这是因为两个电流的参考方向与图(a)相比虽然相同，但两个线圈的缠绕方向变了。
虽然两个电流所产生的自磁通与互磁通的互相加强或者互相削弱，都是与两个线圈的缠绕方向有关的，但为了画电路图的简便，我们并不画出线圈的缠绕方向。
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产生自感电压
变化 F 21 产生互感电压u21
根据右手螺旋定则和线圈2的绕向选择了u21和F 21的参考方向；
u 21 d 21 ; 21 M 21i1 dt u 21 M di1 dt
同理，将线圈2通过电流i2， i2变化时对线圈1产生互感电压u12即：
di2 u12 M dt
M * L1
i2
L2 *
+ u2 _
时域形式：
di 1 di 2 u1 L1 M dt dt
di 1 di M 2 dt dt
i2
di 1 di 2 u2 M L2 dt dt
di 1 di 2 u2 M L2 dt dt
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
I1
j M
同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入 ，其所
产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。
由同名端及 u , i 参考方向确定互感电压 M L L * * 2 1 i1 i
2
di1 u 21 M dt
1 ＋
u12
－
1’ 2 *
＋
u21 －
2’
di1 u 21 M dt di1 M dt
L1–M12 +M23 –M13
R1 + _
L2–M12–M23 +M13
R2
+ _
U S1
L3+M12–M23 –M13
Ia
R3
Ib
U S2
已知: L1 L2 10 , M 5 , R1 R2 6 , U S 6V , 求其戴维南等效电路。 M L2 Z1 I R1 L1 – U1 + + + + + R2 US U oc U2 U oc – _ _ _
5.2具有耦合电感的正弦电路分析
对于含有互感的正弦交流电路，可用相量法进 行分析，除节点电压法不可运用外，以前讲过 的各种分析方法及网络定理； 对互感元件的电压分析时，它包括自感电压和 互感电压，而且互感电压的正负由施感电流与 互感电压的参考方向对同名端是否一致来决定；
例5－2
列写下图电路的网孔电流方程。 M I2 I 1 R1 R2 L1 L2
U j(L2 M )I1 jMI
3、互感消去法（去耦等效） M i
º + u _ i1 * * i2 L2
L1
U j(L1 M )I1 jMI U j(L2 M )I1 jMI
º
画等效电路
i º + u _ º
M
i1 L1-M i2 L2-M
L1 M13
L2
–M12
*
LL3 M23 *
L3 M M13 23 *
+M12
L1–M12 +M23 –M13
L2–M12–M23 +M13
–M12 +M23
L1 M13
L2
L3
–M12 –M23
L3+M12–M23 –M13
+M12 –M23
此题的去耦等效电路如下：
F21在线圈 N2 产生磁链 21
i1
Y21= N2F21
F21≤F11
是线圈1对线圈2的互感系数，单位 亨 (H) (mutual inductance coefficient)
L2=Y22 / i2 12
i2
i2，N2 Y22
Fs2
F12
M 12
表示线圈2对线圈1的互感
对于线性电感 M＝M12=M21 在工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合紧密程度， 常用常数k表示耦合系数：
.计算举例：
U S1
+ _
Ia
R3
L3
Ib
+
_
U S2
I3
(2) 考虑互感
网孔电流法： (1) 不考虑互感
(R1 jL1 R3 jL3 )I a (R3 jL3 )I b jMI b U S1 (R3 jL3 )I a (R2 jL2 R3 jL3 )I b jMI a U S 2
I 解得U与的关系：
( L1 L2 M 2 ) U j I L1 L2 2M
i
+ u –
I I1 I 2
Leq
( L1 L2 M 2 ) Leq L1 L2 2M
3、互感消去法（去耦等效）
i º + u _ º M i1 L1
* *
I I1 I 2
+ u
– Leq
同名端在异侧 i + u – i1 * L1 M i2 L2
di 1 di M 2 dt dt di 2 di 1 u L2 M dt dt u L1
*
i = i1 +i2
上述微分方程组对应的相量形式为：
U jL1 I1 jMI 2 U jL2 I 2 jMI1
i2 L2
di 1 di 2 u L1 M dt dt
di 1 ( L1 M ) M di dt dt
i2 = i - i1
U j(L1 M )I1 jMI
di 2 di 1 u L2 M dt dt
i1 = i - i2
di 2 ( L2 M ) M di dt dt
I2
+
U1
* j L1
_
* j L2 U 2 _
+
U 1 jωL1 I 1 jωMI 2
U 2 jωMI 1 jωL2 I 2
三、互感元件的串联、并联和互感消去法 i R1 1. 互感元件的串联 * + + u1 L1 同名端顺接 M – u + * L2 u2 – – R2
i
+ R u –
L
u u1 u2 R1i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt ( R R )i ( L L 2M ) di Ri L di R R1 R2
1 2 1 2
dt
dt
当电流为正弦量时， 的相量形式为： u U ( R1 R2 ) I ( jL1 I jM jL2 jM ) I ;
L
i
自感系数 (self-inductance coefficient)
i
u
di u L dt
2、 互感和互感系数 1 . 互感： i1F11
F21
i1，N1 Y11= N1F11 L1=Y11/i1
Fs1
N1
定义：M 21
F11 = F21
N2
+
Fs1
耦合磁通 总磁通 （主磁通） 漏磁通
di1 M dt
* i1 1 －
L
1
M
L
2
u 21
u 21
u12
i2 + － u21 ＋ 1’ 2 2’
注：u12与u21只表示电流i2（i1）在线圈1（2）中产生的互 感电压；并非1端口与2端口的端电压;
i1
+ u1 _ * L1
M * L2
i2 + u2 _
i1 + u1 _
u1 L1
例5－4
计算开路电压 OC 。 U
U S I ( R1 jL1 R2 );
60 60 I 0.384 39.8 A 12 j10 15.6239.8
UOC U1 U2 jM I R2 I (6 j5) 0.384 39.8 30 V
第五章 具有耦合电感的电路
5.1 耦合电感的伏安关系 5. 2 含有耦合电感的正弦电路分析 5.4 理想变压器
第五章 具有耦合电感的电路
5.1耦合电感的伏安特性★ 5.2具有耦合电感的正弦电路分析★★
5.3 空心变压器
5.4 理想变压器★
5.1 耦合电感的伏安关系
耦合电感在工程中有着广泛的应用，本章介绍电感 磁耦合现象，互感和耦合系数，耦合电感的电压关系， 耦合电感的等效，耦合电感电路分析及理想变压器的初 步概念； 一、 耦合电感的伏安关系 1、线性电感
–
–
–
.计算举例：
例5－1
列写下图电路的支路电流方程。
I1
M R1 L1 L3 R3 L2 R2
I2
+ _
U S1
支路电流法：
+ _
U S2
I3
I 3 I1 I 2 U S1 R1 I1 jL1 I1 jMI 2 jL3 I 3 R3 I 3 U S 2 R2 I 2 jL2 I 2 jMI1 jL3 I 3 R3 I 3
同理可推得 º L1 º * M º
-M
*
L2 º
L1+M
L2+M
当不同的线圈的两个端钮联在一起，就有三个 端钮，可以与电路的三个节点联接，即互感元 件的三端接法。上述方法也适用于三端接法：
＊当公共端为两线圈的同名端，即同侧相联：
º * M M º º L1-M L2 -M º ＊当公共端为两线圈的异名端，即异侧相联： * L1 º
R R1 R2 L L1 L2 2M
变化 F 21 产生互感电压u21
根据右手螺旋定则和线圈2的绕向选择了u21和F 21的参考方向；
u 21 d 21 ; 21 M 21i1 dt u 21 M di1 dt
同理，将线圈2通过电流i2， i2变化时对线圈1产生互感电压u12即：
di2 u12 M dt
M * L1
i2
L2 *
+ u2 _
时域形式：
di 1 di 2 u1 L1 M dt dt
di 1 di M 2 dt dt
i2
di 1 di 2 u2 M L2 dt dt
di 1 di 2 u2 M L2 dt dt
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
I1
j M
同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入 ，其所
产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。
由同名端及 u , i 参考方向确定互感电压 M L L * * 2 1 i1 i
2
di1 u 21 M dt
1 ＋
u12
－
1’ 2 *
＋
u21 －
2’
di1 u 21 M dt di1 M dt
L1–M12 +M23 –M13
R1 + _
L2–M12–M23 +M13
R2
+ _
U S1
L3+M12–M23 –M13
Ia
R3
Ib
U S2
已知: L1 L2 10 , M 5 , R1 R2 6 , U S 6V , 求其戴维南等效电路。 M L2 Z1 I R1 L1 – U1 + + + + + R2 US U oc U2 U oc – _ _ _
5.2具有耦合电感的正弦电路分析
对于含有互感的正弦交流电路，可用相量法进 行分析，除节点电压法不可运用外，以前讲过 的各种分析方法及网络定理； 对互感元件的电压分析时，它包括自感电压和 互感电压，而且互感电压的正负由施感电流与 互感电压的参考方向对同名端是否一致来决定；
例5－2
列写下图电路的网孔电流方程。 M I2 I 1 R1 R2 L1 L2
U j(L2 M )I1 jMI
3、互感消去法（去耦等效） M i
º + u _ i1 * * i2 L2
L1
U j(L1 M )I1 jMI U j(L2 M )I1 jMI
º
画等效电路
i º + u _ º
M
i1 L1-M i2 L2-M
L1 M13
L2
–M12
*
LL3 M23 *
L3 M M13 23 *
+M12
L1–M12 +M23 –M13
L2–M12–M23 +M13
–M12 +M23
L1 M13
L2
L3
–M12 –M23
L3+M12–M23 –M13
+M12 –M23
此题的去耦等效电路如下：
F21在线圈 N2 产生磁链 21
i1
Y21= N2F21
F21≤F11
是线圈1对线圈2的互感系数，单位 亨 (H) (mutual inductance coefficient)
L2=Y22 / i2 12
i2
i2，N2 Y22
Fs2
F12
M 12
表示线圈2对线圈1的互感
对于线性电感 M＝M12=M21 在工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合紧密程度， 常用常数k表示耦合系数：
.计算举例：
U S1
+ _
Ia
R3
L3
Ib
+
_
U S2
I3
(2) 考虑互感
网孔电流法： (1) 不考虑互感
(R1 jL1 R3 jL3 )I a (R3 jL3 )I b jMI b U S1 (R3 jL3 )I a (R2 jL2 R3 jL3 )I b jMI a U S 2
I 解得U与的关系：
( L1 L2 M 2 ) U j I L1 L2 2M
i
+ u –
I I1 I 2
Leq
( L1 L2 M 2 ) Leq L1 L2 2M
3、互感消去法（去耦等效）
i º + u _ º M i1 L1
* *
I I1 I 2
+ u
– Leq
同名端在异侧 i + u – i1 * L1 M i2 L2
di 1 di M 2 dt dt di 2 di 1 u L2 M dt dt u L1
*
i = i1 +i2
上述微分方程组对应的相量形式为：
U jL1 I1 jMI 2 U jL2 I 2 jMI1
i2 L2
di 1 di 2 u L1 M dt dt
di 1 ( L1 M ) M di dt dt
i2 = i - i1
U j(L1 M )I1 jMI
di 2 di 1 u L2 M dt dt
i1 = i - i2
di 2 ( L2 M ) M di dt dt
I2
+
U1
* j L1
_
* j L2 U 2 _
+
U 1 jωL1 I 1 jωMI 2
U 2 jωMI 1 jωL2 I 2
三、互感元件的串联、并联和互感消去法 i R1 1. 互感元件的串联 * + + u1 L1 同名端顺接 M – u + * L2 u2 – – R2
i
+ R u –
L
u u1 u2 R1i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt ( R R )i ( L L 2M ) di Ri L di R R1 R2
1 2 1 2
dt
dt
当电流为正弦量时， 的相量形式为： u U ( R1 R2 ) I ( jL1 I jM jL2 jM ) I ;
L
i
自感系数 (self-inductance coefficient)
i
u
di u L dt
2、 互感和互感系数 1 . 互感： i1F11
F21
i1，N1 Y11= N1F11 L1=Y11/i1
Fs1
N1
定义：M 21
F11 = F21
N2
+
Fs1
耦合磁通 总磁通 （主磁通） 漏磁通
di1 M dt
* i1 1 －
L
1
M
L
2
u 21
u 21
u12
i2 + － u21 ＋ 1’ 2 2’
注：u12与u21只表示电流i2（i1）在线圈1（2）中产生的互 感电压；并非1端口与2端口的端电压;
i1
+ u1 _ * L1
M * L2
i2 + u2 _
i1 + u1 _
u1 L1
例5－4
计算开路电压 OC 。 U
U S I ( R1 jL1 R2 );
60 60 I 0.384 39.8 A 12 j10 15.6239.8
UOC U1 U2 jM I R2 I (6 j5) 0.384 39.8 30 V
第五章 具有耦合电感的电路
5.1 耦合电感的伏安关系 5. 2 含有耦合电感的正弦电路分析 5.4 理想变压器
第五章 具有耦合电感的电路
5.1耦合电感的伏安特性★ 5.2具有耦合电感的正弦电路分析★★
5.3 空心变压器
5.4 理想变压器★
5.1 耦合电感的伏安关系
耦合电感在工程中有着广泛的应用，本章介绍电感 磁耦合现象，互感和耦合系数，耦合电感的电压关系， 耦合电感的等效，耦合电感电路分析及理想变压器的初 步概念； 一、 耦合电感的伏安关系 1、线性电感
–
–
–
.计算举例：
例5－1
列写下图电路的支路电流方程。
I1
M R1 L1 L3 R3 L2 R2
I2
+ _
U S1
支路电流法：
+ _
U S2
I3
I 3 I1 I 2 U S1 R1 I1 jL1 I1 jMI 2 jL3 I 3 R3 I 3 U S 2 R2 I 2 jL2 I 2 jMI1 jL3 I 3 R3 I 3
同理可推得 º L1 º * M º
-M
*
L2 º
L1+M
L2+M
当不同的线圈的两个端钮联在一起，就有三个 端钮，可以与电路的三个节点联接，即互感元 件的三端接法。上述方法也适用于三端接法：
＊当公共端为两线圈的同名端，即同侧相联：
º * M M º º L1-M L2 -M º ＊当公共端为两线圈的异名端，即异侧相联： * L1 º
R R1 R2 L L1 L2 2M