第6章含有耦合电感的电路例题
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线圈电流产生的磁通全部与耦合线圈交链Mmax =
；
K 近于1时称为紧耦合；K 值较小时称为松耦合；K=0 称
为无耦合。
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第二节 有耦合电感的正弦电路
含有耦合电感电路（简称互感电路）的正弦稳态计算可采用 相量法。分析时要注意耦合电感上的电压是由自感电压和互 感电压叠加而成的。根据电压、电流的参考方向及耦合电感 的同名端确定互感电压的方向是互感电路分析计算的难点。 由于耦合电感支路的电压不仅与本支路电流有关，还和与之 有耦合支路的电流有关，列写节点电压方程较困难，所以互 感电路的分析计算一般采用支路电流法（网孔法）。
第六章 耦 合 电 路
第一节 耦合电感 第二节 有耦合电感的正弦电路 第三节 空心变压器 第四节 理想变压器
第一节 耦合电感
一、互感
1. 互感现象 我们先观察下面这个实验。图6−1 所示的实验电路中，线
圈2 两端接一灵敏检流计。当开关S 闭合瞬间，可以观察到 检流计指针偏转一下之后又回到零位。发生这种现象的原因 是由于开关S 闭合的瞬间，线圈1 产生变化的磁通Φ 11，其 中的一部分磁通Φ 12与线圈2 交链，使线圈2 产生感应电动 势，因而产生感应电流使检流计指针偏转。S 闭合后，线圈 1 的电流不再发生变化，虽然仍有磁通与线圈2 交链，但该 磁通是不变化的，所以不产生感应电动势，没有电流流过检 流计，因而检流计的指针回到零位。
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第一节 耦合电感
在同频正弦稳态电路中，耦合电感的伏安关系可以用相量形 式表示，式（6−5）可表示为
（6−8）
例6−3 电路如图6−8 所示，已知R1=1 Ω，L1=L2=1 H， M=0.5 H，uS=10sin 4t。试求u2。
电路设计--含有耦合电感电路的计算
I 1 I2 I 3
异侧T型连接
U 13 j ( L1 M ) I 1 jM I 3 U 23 j ( L2 M ) I 2 jM I 3
L L +M M 11-
L L +M M 22-
M -M
小结： 同侧T型
L1 - M
L2 - M M
T型连接
同侧T型连接
异侧T型连接
去耦等效电路 同侧T型连接
U 13 jL1 I 1 jM I 2
İ1 İ3
İ2
j ( L1 M ) I 1 jM I 3 U 23 jL2 I 2 2 jM I 3
i º +
u _ º
M
i1 L1 * * i2 L2
di 1 di 2 u L1 M dt dt
di 1 ( L1 M ) M di dt dt
i2 = i - i1
di 2 di 1 u L2 M dt dt
di 2 ( L2 M ) M di dt dt M
i1 = i - i2
无互感时的阻抗小（电抗变小），这是由于互感的削弱作用， 它类似于串联电容的作用，常称为互感的“容性”效应。
思考题1
一个耦合电感，如何通过测量 电感值确定其同名端及互感值M？
L顺 L1 L2 2 M
L反 L1 L2 2 M
L顺 L反 M 4
2、耦合电感的并联电路
（1）同侧并联
i = i1 +i2
解得u, i的关系：
( L1 L2 M ) di u L1 L2 2 M dt
2
( L1 L2 M 2 ) Leq 0 L1 L2 2 M
10.2 含有耦合电感电路的计算
+ u –
L2
( L1L2 M ) Leq 0 L1 L2 2M
2
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在正弦稳态电路中
i + u – i1 * L1
M i2
jMI U jL1 I 1 2 jMI U jL I
2 2
1
I I I 1 2
上式变形为：
+ u2 _
u1 N1 -n u2 N2
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②变流关系
1 i1 (t ) i2 (t ) n
n:1 + i1 u1 _ *
*
i2 + u2 _
1 i1 (t ) i2 (t ) n
n:1 + i1 u1 _ * * i2
+ u2 _
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R1 L1 i + + u1 * M – + u L2 R2 *u – 2 –
+ i R u – L
u R1i L1 di M di L2 di M di R2i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2M ) di Ri L di dt dt
*
L2
i U jL1 I1 jM ( I - I1 ) jMI + j ( L1 M ) I 1 u U jL2 I 2 jM ( I - I 2 ) – jMI j ( L M ) I
2 2
-M
M
i2
i1 * * L1+M
R R1 R2
L L1 L2 2M
电路知识-20
电路知识-20(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、计算题(总题数：11，分数：100.00)1.在下图所示含耦合电感的正弦交流电路中，已知i 1(t)=5cos40tA，i 2(t)=2cos40tA。
试求i(t)和u(t)。
（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解：由题可知需要先计算电路的互感，分别为M 1 =7H，M 2 =12H。
再利用相量法计算i(t)和u(t)分别为：其瞬态为：i (t) =2.11cos40tAu(t)=285.7cos(40t-90°)V2.下图所示正弦交流电路，已知，L=0.1H，R=10Ω，C=10 -3 F。
求负载Z L为何值时它可以获得最大功率?最大功率为多少?并求此时电流i 2的瞬时值。
（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解：根据理想变压器的原副边电压电流之间的关系，副边电阻Z L变化到原边中有等效阻抗4Z L。
原边等效电路如下图所示。
设。
可知从4Z L电阻两端的戴维南等效电路可得等效电阻为：开路电压为：根据最大功率传输定理，要计算电阻4Z L的最大功率，只要计算出电阻4Z L两端的戴维南等效电路，使电阻4Z L共轭的值等于戴维南等效电路的电阻值，此时电阻4Z L可获得最大功率。
代入已知条件，可得：则其最大功率为：则此时电流i 2的瞬时值为：3.下图所示电路，，求3Ω电阻吸收的功率。
（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解：分析上图所示电路，可画出其去耦等效电路如下图所示。
含有耦合电感电路的计算
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例2-3
求图示电路的开路电压。
I1 R1 • L1
M12
L2
•
Us +
解法1
_
M31 L3 *
*+
M23 U oc
_
•
I1
R1
U s
j(L1 L3
2M )31
Uoc jM12I1 jM 23I1 jM I 31` 1 jL3I1
j(L3 M12 M 23 M 31)Us R1 j(L1 L3 2M31)
M31 L3+M12 –M23
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L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13
Us + I1 R1
_
+
L3+M12–M23 –M13
U
_
oc
I1
R1
U s
j(L1 L3
2M31)
U oc
j(L3 M12 M 23 M 31)Us R1 j(L1 L3 2M31)
C
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解
R1
+ + R2
i1 1uS － －ki12
* L1
M3
* L2
(R1 jL1)I1 CjL1I3 jM (I2 I3) US
(R2 jL2 )I2 jL2I3 jM (I1 I3) kI1
(
jL1
jL2
j1
C
)I3
jL1I1
jL2 I2
jM (I3 I1) jM (I3 I2 ) 0
R1 jL1
I + U 1 *•
+
jM
– *+
第六章含耦合电感电路的计算
结论：表示两个线圈相互作用，不再考虑实际绕向和相 对位置，只画出同名端及参考方向即可。
耦合电感的相量模型
i1 + u1 _ M i2 * L2
电路理论基础
* L1
u2 _
（1）施感电流均由同名端流入， 电压在同名端为“+‖，耦合电感的 + VCR时域形式： di1 di 2
M dt dt di 1 di 2 u2 M L2 dt dt u1 L1
L1：线圈1的自感系数；M21：线圈1对线圈2的互感系 数。(self-inductance coefficient) (mutual inductance coefficient) 单位：H 同理，当线圈2中通电流i2时会产生磁通22，12 。 i2 为时变时，线圈2和线圈1两端分别产生感应电压 u22 ， u12 。
可以证明：M12= M21= M。
电路理论基础
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电 压均包含自感电压和互感电压：
di1 di2 u1 u11 u12 L1 M dt dt di1 di2 u2 u21 u22 M L2 dt dt
理想耦合线圈 的伏安关系
上式体现了线圈间的耦合作用，每个线圈的端电压 是自感电压与互感电压的叠加。 互感的性质 ①从能量角度可以证明，对于线性电感 M12=M21=M ②互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相 互位置和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时， 有 M N1N2 （L N2）
电路理论基础
第六章 含耦合电感电路的计算
第六章
含耦合电感电路的计算
电路理论基础
6. 1 耦合电感 6. 2 含有耦合电感电路的计算 6. 3 空心变压器 6. 4 理想变压器
耦合电感的计算
在1≤t≤2s时 所以
i1 t (10t 20)
uab t R1i1 t 10 (10t 20) (100t 200)V di d ubc t L1 5 (10t 20) 50V dt dt uac t uab t ubc (t ) (100t 150)V d 10t 20 di1 ude t M 1 10V dt dt
①若两电流均从同名端流入(或流出)，则磁通相助，互感 压降与自感压降同号，即自感压降取正号时互感压降亦取正 号，自感压降取负号时互感压降亦取负号。 ②若一个电流从互感线圈的同名端流入，另一个电流从互 感线圈的同名端流出，磁通相消，互感压降与自感压降异号， 即自感压降取正号时互感压降取负号，自感压降取负号时互 感压降取正号。只要按照上述方法书写，不管互感线圈给出 的是什么样的同名端位置，也不管两线圈上的电压、电流参 考方是否关联，都能正确书写出两线圈的电压、电流之间关 系式。
以u2中的互感压降部分为
M di1 dt
L2
di2 dt
。考
虑磁通相助情况，互感压降部分与自感压降部分同号，所 。将L2上自感压降部分与互
感压降部分代数和相加，即得L2上电压
di2 di1 u2 L2 M dt dt
此例是为了给读者起示范作用，所以列写的过程 较详细。以后再遇到写互感线圈上电压、电流微分关 系，线圈上电压、电流参考方向是否关联、磁通相助 或是相消的判别过程均不必写出，直接可写(对本互感
(6-6b)
图6.3 磁通相助的耦合电感
如果自感磁通与互感磁通的方向相反，即磁通相消， 如图6.3所示，耦合电感的电压、电流关系方程式为：
d 1 di 1 di 2 u1 L1 M dt dt dt d 2 di2 di1 u2 L2 M dt dt dt
含有耦合电感的电路学生用2
§10-3. 空心变压器（线性变压器）⎭2221L L令1111L j R Z ω+=──原边回路阻抗L L jX R L j R Z +++=2222ω──副边回路阻抗M j Z M ω= 则电路方程为：⎪⎭⎪⎬⎫=+=+022*******I Z I Z U I Z I Z M M （2）解方程（2）得22Z ──引入阻抗/反射阻抗（reflected impedance ）即副边的回路阻抗通过互感反映到原边的等效阻抗。
注意：反射阻抗的性质与Z22相反； 由（4）得变压器副边的等效电路：2Z eq 11∙U Z M j ω∙LL jX222)(MLjRZeqωω++=L1SU∙22)(LjMωω︒∠=++︒∠=++=∙01011010)(222111j j L j M L j R U I sωωω A2112)(M U L j R M j I sωωω+-=∙Cj L j L j R ωωω1211+++ S U ∙112)(L j R M ωω++A jj j 01110102=+++︒∠=2112U L j R M j I s ωω+-=∙采用戴维南定理与最大功率传输定理。
解法1： 副边的去耦合等效电路其开路电压2M 最大功率（传输）为505.015.24142222max ==+⨯==S s M ocL U jU jX R U P∴ VU s 10=耦合系数Z L111S L M U jX R jX ∙+222ML X jX R ++2221121=⨯==L L M X X X k解法2：直接用受控源解 （1）移去L Z 后的电路如图示：等效阻抗 1122L L out jX R +j X j R M +++=1)(222)22(2222MMX j X R -++=R 1R 2当电路实现最大功率传输时5.15.2j Z Z L out +== 由实部、虚部分别相等，得⎪⎪⎪⎨⎧+=-=+5.125.22222M M X X R原边匝数N 1副边匝数N 2电路模型：1将(3)代入（2）得：221212∙∙∙∙+-=I L j L j I M j U M j U ωωωω 1 2i i22122112∙∙∙∙+-=I L j L I M j L U M U ωω由于理想变压器是全耦合变压器,耦合因数k=1，即21L L M =铁芯变压器是近似的理想变压器，广泛用于电力和电子工业中。
第6章 互感耦合电路与变压器
US
－
Z 22 = ( R2 + R) + j ( X L2 + X )
1'
2'
称为空芯变压器初、次级 回路的自阻抗 自阻抗；把
Z12 = Z 21 = jωM 称为空芯变压器回路的互阻抗 互阻抗。
6.1.3 耦合系数和同名端 1、耦合系数
两互感线圈之间电磁感应现象的强弱程度不仅与它们之 间的互感系数有关，还与它们各自的自感系数有关，并且 取决于两线圈之间磁链耦合的松紧程度。 我们把表征两线圈之间磁链耦合的松紧程度用耦合系数 耦合系数 “k” 来表示： M
k=
L1 L2
通常一个线圈产生的磁通不能全部穿过另一个线圈，所 以一般情况下耦合系数k<1，若漏磁通很小且可忽略不计 时：k=1；若两线圈之间无互感，则M=0，k=0。因此，耦 合系数的变化范围：0 ≤ k ≤ 1。 0
应用举例
1
uS i1 L1 R1 M i2 L2 R2
2
u20 ZL
**
左图所示为空芯变压器的电路模 型。其中左端称为空芯变压器的初 回路，右端为空芯变压器的次级回 路。图中uS为信号源电压，u20为次 级回路的开路电压。
• • S
2' 1' ( R 1 + jω L1 ) I 1 = U • • 由图可得空芯变压器电压方程为： j ω M I 1 = U 20 若次级回路接上负载ZL，则回路方程为：
= jω ( L1 + L2 + 2 M ) I = jωL顺 I
• •
即两线圈顺串时等效电感量为： L 顺 = L1 + L 2 + 2 M 2、 两线圈反串时，电流同时由 M L2 异名端流入（或流出)，因此它们 i * L1 * 的磁场相互消弱，自感电压和互 uM2 uL1 uM1 uL2 感电压反方向，总电压为：
电路基础-B第6章耦合电感电路的分析
第6章
耦合电感电路的分析
无论何时，在同一个变化磁通的作用下，耦合线圈同名端 产生的感应电压的极性总是相同的，即同名端有同极性，因 此同名端也称为同极性端。 2. 互感电压
如果每个线圈的电压、电流为关联参考方向，且每个线圈 的电流与该电流产生的磁通符合右手螺旋法则，则有每个线 圈两端的电压为
正弦稳态情况下，含有耦合电感（简称互感）电路的计算，
仍可采用前面介绍的相量法进行分析计算，但应注意耦合电
感上的互感电压。
本节主要介绍耦合电感的电路模型和去耦等效法在含有耦
合电感电路分析中的应用，讨论如何将耦合电感用无耦合的
电路来等效替代。
6(10)
第6章
耦合电感电路的分析
6.2.1 应用耦合电感电路模型的分析计算 耦合电感可用电感元件和电流控制电压源CCVS来模拟，注
对位置和媒介质。当媒介质是非铁磁性物质时，M为常数。
6(6)
第6章
耦合电感电路的分析
2. 耦合因数 耦合因数k定量描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，即
k M L1 L2
0≤k≤1。 当k =1时，说明两个线圈耦合得最紧，没有漏磁通，因此产 生的互感最大，这种情况又称为全耦合，如图（a）。 当k = 0时，说明线圈产生的磁通互不交链，因此不存在互感 如图（b）。
A
5 1
A j
则互感为
U oc
[ R2
j ( L2
M
)]I1
(2
j4 )
5 1
j
V
5
1018.43V
再求等效阻抗Zeq。将独立电源置零，得图c，有
(2 j4)(j2)
Zeq
3 j6
(2 j4) j2