四边形探究练习题四边形

2013年四边形探究练习题参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2012•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．，=BC AH=BC=4，=4××=．2．（2012•盐城）如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明），，，3．（2012•厦门）已知平行四边形ABCD ，对角线AC 和BD 相交于点O ，点P 在边AD 上，过点P 作PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，PE=PF ．（1）如图，若PE=，EO=1，求∠EPF 的度数； （2）若点P 是AD的中点，点F 是DO 的中点，BF=BC+3﹣4，求BC 的长．PF=AO PE=EPO==，PF=PE=OD BF=x+×x=x BF=BC+34=x+3﹣x+3﹣4=6．（2012•青海）如图（*），四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点，∠AEF=90°，且EF 交正方形外角平分线CF 于点F ．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF ，这需要证明AE 和EF 所在的两个三角形全等，但△ABE 和△ECF 显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E 是边BC 的中点，因此可以选取AB 的中点M ，连接EM 后尝试着去证△AEM ≌EFC 就行了，随即小强写出了如下的证明过程： 证明：如图1，取AB 的中点M ，连接EM ．∵∠AEF=90° ∴∠FEC+∠AEB=90° 又∵∠EAM+∠AEB=90° ∴∠EAM=∠FEC∵点E ，M 分别为正方形的边BC 和AB 的中点 ∴AM=EC又可知△BME 是等腰直角三角形 ∴∠AME=135°又∵CF 是正方形外角的平分线 ∴∠ECF=135°∴△AEM ≌△EFC （ASA ） ∴AE=EF（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF 仍然成立，请你证明这一结论． （3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF 是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．中，7．（2012•锦州）已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：①BD ⊥CF ．②CF=BC ﹣CD ．（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究△AOC 的形状，并说明理由．OC=中，，中，，OC=DF OA=AE 8．（2012•佳木斯）在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，E 是对角线AC 上一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF=AE ，连接BE 、EF ．（1）若E 是线段AC 的中点，如图1，易证：BE=EF （不需证明）；（2）若E 是线段AC 或AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE 、EF 有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．CBE=∠CBE=∠9．（2012•葫芦岛）如图1和2，四边形ABCD是菱形，点P是对角线AC上一点，以点P为圆心，PB为半径的弧，交BC的延长线于点F，连接PF，PD，PB．（1）如图1，点P是AC的中点，请写出PF和PD的数量关系：PF=PD；（2）如图2，点P不是AC的中点，①求证：PF=PD．②若∠ABC=40°，直接写出∠DPF的度数．，10．（2012•黑龙江）在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，若点D 在线段BC 上，以AD 为边长作正方形ADEF ，如图1，易证：∠AFC=∠ACB+∠DAC ； （1）若点D 在BC 延长线上，其他条件不变，写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 的关系，并结合图2给出证明；（2）若点D 在CB 延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 的关系式．，，11．（2012•东营）（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF=BE ．求证：CE=CF ；（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD ． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B=90°，AB=BC ，E 是AB 上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD 的面积．=（12．（2012•常德）已知四边形ABCD 是正方形，O 为正方形对角线的交点，一动点P 从B 开始，沿射线BC 运动，连接DP ，作CN ⊥DP 于点M ，且交直线AB 于点N ，连接OP ，ON ．（当P 在线段BC 上时，如图1：当P 在BC 的延长线上时，如图2） （1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP ；②OP=ON ，且OP ⊥ON ；（2）设AB=4，BP=x ，试确定以O 、P 、B 、N 为顶点的四边形的面积y 与x 的函数关系．，，=×2+=×2+=x ．13．（2012•滨州）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，那么EF 就是梯形ABCD 的中位线．通过观察、测量，猜想EF 和AD 、BC 有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．EF=（，EF=BG EF=14．（2011•珠海）如图，在正方形ABC 1D 1中，AB=1，连接AC 1，以AC 1为边作第二个正方形AC 1C 2D 2，连接AC 2，以AC 2为边作第三个正方形AC 2C 3D 3． （1）求第二个正方形AC 1C 2D 2和第三个正方形AC 2C 3D 3的边长；（2）请直接写出按此规律所作的第7个正方形的边长．，即可得出第三个倍，据此即可求解．==，==15．（2011•永州）探究问题： （1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF ，求证DE+BF=EF ． 感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：AB=AD ，BG=DE ，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°， ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD ﹣∠EAF=90°﹣45°=45°．∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠ FAE ． 又AG=AE ，AF=AF∴△GAF ≌ △EAF ．∴ GF =EF ，故DE+BF=EF ．（2）方法迁移：如图②，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF=∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．（3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，E ，F 分别为DC ，BC 上的点，满足∠EAF=∠DAB ，试猜想当∠B 与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF ．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．，16．（2011•营口）已知正方形ABCD ，点P 是对角线AC 所在直线上的动点，点E 在DC 边所在直线上，且随着点P 的运动而运动，PE=PD 总成立． （1）如图（1），当点P 在对角线AC 上时，请你通过测量、观察，猜想PE 与PB 有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）； （2）如图（2），当点P 运动到CA 的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （3）如图（3），当点P 运动到CA 的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE 与PB 有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）17．（2011•咸宁）（1）如图①，在正方形ABCD 中，△AEF 的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数．（2）如图②，在Rt △ABD 中，∠BAD=90°，AB=AD ，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°至△ADH 位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由． （3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG ，MN 的长．．．）．即19．（2011•潍坊）已知正方形ABCD 的边长为a ，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，P 是射线AB 上任意一点，过P 点分别作直线AC 、BD 的垂线PE 、PF ，垂足为E 、F ．（1）如图1，当P 点在线段AB 上时，求PE+PF 的值． （2）如图2，当P 点在线段AB 的延长线上时，求PE ﹣PF 的值．=a =a 22．（2011•邵阳）数学课堂上，徐老师出示一道试题： 如图1所示，在正三角形ABC 中，M 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点，P 是BC 延长线上一点，N 是∠ACP 的平分线上一点．若∠AMN=60°，求证：AM=MN ． （1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程．请你将证明过程补充完整．证明：在AB 上截取EA=MC ，连接EM ，得△AEM ． ∵∠1=180°﹣∠AMB ﹣∠AMN ，∠2=180°﹣∠AMB ﹣∠B ，∠AMN=∠B=60°，∴∠1=∠2．又CN 平分∠ACP ，∠4=∠ACP=60°．∴∠MCN=∠3+∠4=120°…①又∵BA=BC ，EA=MC ，∴BA ﹣EA=BC ﹣MC ，即BE=BM ．∴△BEM 为等边三角形．∴∠6=60°． ∴∠5=180°﹣∠6=120°．…② ∴由①②得∠MCN=∠5． 在△AEM 和△MCN 中，∵ ∠1=∠2．AE=MC ，∠MCN=∠5 ． ∴△AEM ≌△MCN （ASA ）．∴AM=MN ．（2）若将试题中的“正三角形ABC ”改为“正方形A 1B 1C 1D 1”（如图2），N 1是∠D 1C 1P 1的平分线上一点，则当∠A 1M 1N 1=90°时，结论A 1M 1=M 1N 1．是否还成立？（直接写出答案，不需要证明）（3）若将题中的“正三角形ABC ”改为“正多边形A n B n C n D n …X n ”，请你猜想：当∠A n M n N n =°时，结论A n M n =M n N n 仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）=×=×=×23．（2011•衢州）△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°，AC=BC=2， （1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由．（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为s 1；按照甲种剪法，在余下的△ADE 和△BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s 2（如图2），则s 2= ；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为s 3，继续操作下去…，则第10次剪取时，s 10=；（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．，依此可知结果；，依此规律可得第，，1+++）=，．24．（2011•辽阳）已知直角梯形ABCD，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC=CD，E为CD的中点．（1）如图（1）当点M在线段DE上时，以AM为腰作等腰直角三角形AMN，判断NE与MB的位置关系和数量关系，请直接写出你的结论；（2）如图（2）当点M在线段EC上时，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请说明理由．CD25．（2011•嘉兴）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．AH=HD=DG=GC=CF=BF=BCAE=BE=ABAE=AB DG=AE=AB CD26．（2011•黑龙江）如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE=BC ，AB=3，BC=4，点P 为直线EC 上的一点，且PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BD 于点R ． （1）如图1，当点P 为线段EC 中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）．（2）如图2，当点P 为线段EC 上的任意一点（不与点E 、点C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，当点P 为线段EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR 与PQ 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．PQ=．PR+PQ=仍成立．BD===5=BC CD=CK==BE =PR =PQ BE CK=BE+PQ CK=PR+CK=PR+PQ=PQ=．27．（2011•河南）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC 于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．=5=5t=．t=t=．2t=t=28．（2011•阜新）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．，直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ． （1）在图1中证明CE=CF ；（2）若∠ABC=90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；（3）若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE ，分别连接DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．，，。