八年级下册四边形提高练习(含答案)

xxxXXXXX学校XXXX年学年度第二学期第二次月考XXX年级xx班级姓名：_______________班级：_______________考号：_______________一、综合题评卷人得分（每空？分，共？分）1、如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），不用说明理由．2、（1）自主阅读：如图1，AD∥BC，连接AB、AC、BD、CD，则S△ABC=S△BCD．证明：分别过点A和D，作AF⊥BC，DE⊥BC由AD∥BC，可得AF=DE．又因为S△ABC=×BC×AF，S△BCD=BC×DE所以S△ABC=S△BCD由此我们可以得到以下的结论：像图1这样，．（2）结论证明：如果一条直线（线段）把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线（线段）称为这个平面图形的一条面积等分线（段），如，平行四边形的一条对角线就是平行四边形的一条面积等分线段．①如图2，梯形ABCD中AB∥DC，连接AC，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，连接点A和DE的中点P，则AP即为梯形ABCD的面积等分线段，请你写出这个结论成立的理由：②如图3，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否做出四边形ABCD的面积等分线（段）？若能，请画出面积等分线（用钢笔或圆珠笔画图，不用写作法），不要证明3、如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=cm，AD=8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC，EF交AD于E，交DC于点F；同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．（1）当EP⊥BC时，求t的值是多少？（2）设△PEF的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使面积y最大？若存在，求出y的最大值；若不存在，说明理由．（4）连接AP，是否存在某一时刻t，使点E恰好在AP的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．4、一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．（3）归纳与拓展：已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c（b＜c），且它是4阶奇异矩形，求b：c（直接写出结果）．5、已知，如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点分别在正方形边上，，连接．（1）当时，求的面积；（2）设，用含的代数式表示的面积；（3）判断的面积能否等于，并说明理由．二、计算题评卷人得分（每空？分，共？分）6、如图1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，．（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；（2）如图2，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标．7、如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝．（1）求B′点的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式．参考答案一、综合题1、【考点】四边形综合题．【分析】（1）①证明△BAD≌△CAF，可得：BD=CF，∠B=∠ACF=45°，则∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，所以BD与CF 相等且垂直；②①的结论仍成立，同理证明△DAB≌△FAC，可得结论：垂直且相等；（2）当∠ACB满足45°时，CF⊥BC；如图4，作辅助线，证明△QAD≌△CAF，即可得出结论．【解答】解：（1）①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等，理由是：如图2，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∴∠DAC+∠CAF=90°，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，且∠B=∠ACB=45°，∴∠CAF=∠BAD，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°，∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即∠BCF=90°，∴BC⊥CF，即BD⊥CF；故答案为：垂直，相等；②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立，理由是：如图3，由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=∠ABC=45°∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；（2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD，理由是：如图4，过点A作AQ⊥AC，交BC于点Q，∵∠BCA=45°，∴∠AQC=45°，∴∠AQC=∠BCA，∴AC=AQ，∵AD=AF，∠QAC=∠DAF=90°，∴∠QAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，∴∠QAD=∠CAF，∴△QAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AQD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形、等腰直角三角形、全等三角形的性质和判定，本题的三个结论都是证明三角形全等得出，所以利用SAS证明三角形全等是本题的关键；第（2）问，恰当地作辅助线，构建等腰直角三角形，同样也是构建两个三角形全等得出结论．2、【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据两三角形的特殊性同底等高得出结论；（2）①根据等底等高可得S△ABC=S△AEC，即可证明S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；②连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE，证明可仿照①进行．【解答】解；（1）利用图形直接得出：同底等高的两三角形面积相等；故答案为：同底等高的两三角形面积相等；（2）①连接AE，因为AB∥CE，BE∥AC，所以四边形ABEC为平行四边形，所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，所以有S△ABC=S△AEC，所以S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED．②能，连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．因为BE∥AC，所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，所以有S△ABC=S△AEC，所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED．因为S△ACD＞S△ABC，所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线，作图如下：【点评】本题考查了学生的阅读理解能力、运用作图工具的能力，以及运用三角形、等底等高性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．还渗透了由“特殊”到“一般”的数学思想．3、【考点】四边形综合题．【分析】（1）当EP⊥BC时，DE=PC，得出8﹣2t=t，即可求出t；（2）作AG⊥BC于G，先求出CD=AG=6，再由△DEF∽△DAC，得出比例式得出DF，CF，用梯形DEPC的面积减去△DEF 和△CPF的面积即为△PEF的面积；（3）由（2）得y是t的二次函数，二次项系数＜0，故有最大值，配方得顶点式，即可得出最大值；（4）由点E在AP的垂直平分线上，得出AE=EP，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）根据题意得：AE=2t，PC=t，∴DE=8﹣2t，当EP⊥BC时，DE=PC，∴8﹣2t=t，解得：t=；（2）作AG⊥BC于G，如图所示：则四边形AGCD是矩形，∠AGB=90°，∴CD=AE，AG=AB•sin60°=4•=6，∴CD=6，∵EF∥AC，∴△DEF∽△DAC，∴，即，∴DF=6﹣t，∴CF=t，∵S梯形DEPC=（8﹣2t+t）×6=24﹣3t，S△DEF=（8﹣2t）（6﹣t）=﹣12t+24，S△CPF=t•t=，∴y=S梯形DEPC﹣S△DEF﹣S△CPF=24﹣3t﹣（﹣12t+24）﹣=﹣t2+9t，即y=﹣t2+9t；（3）存在；∵y=﹣t2+9t=﹣（t﹣2）2+9，﹣＜0，∴y有最大值，当t=2时，y的值最大，最大值=9；（4）存在；作PH⊥AD于H，如图所示：则DH=PC=t，PH=6，∴EH=8﹣2t﹣t=8﹣3t，∴EP2=（8﹣3t）2+62，又∵点E在AP的垂直平分线上，∴AE=EP，∴（2t）2=（8﹣3t）2+62，解得：t=，或t=（舍去），∴t=时，点E恰好在AP的垂直平分线上．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定方法、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、二次函数的知识以及图形面积的计算；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，通过作辅助线求出线段长度，并运用三角形相似才能求出面积．4、考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据已知操作步骤画出即可；（2）根据已知得出符合条件的有4种情况，画出图形即可；（3）根据题意得出第1次操作前短边与长边之比为：，；，；，；，，最终得出长边和短边的比是1：2，即可进行操作后得出正方形．解答：解：（1）矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下：（2）裁剪线的示意图如下：（3）b：c的值为，，，，，，，，规律如下：第4次操作前短边与长边之比为：；第3次操作前短边与长边之比为：，；第2次操作前短边与长边之比为：，；，；第1次操作前短边与长边之比为：，；，；，；，．5、解：（1）正方形中，，．又，因此，即菱形的边长为．在和中，，，，．．，，，即菱形是正方形．同理可以证明．因此，即点在边上，同时可得，从而．（2）作，为垂足，连结，，，，．．在和中，，，．，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2．因此．（3）若，由，得，此时，在中，．相应地，在中，，即点已经不在边上．故不可能有．另法：由于点在边上，因此菱形的边长至少为，当菱形的边长为4时，点在边上且满足，此时，当点逐渐向右运动至点时，的长（即菱形的边长）将逐渐变大，最大值为．此时，，故．而函数的值随着的增大而减小，因此，当时，取得最小值为．又因为，所以，的面积不可能等于1．二、计算题6、解：（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴，在中，，．．．点坐标为（2，4）．在中，，又．．解得：．点坐标为（2）如图①，．，又知，，，又．而显然四边形为矩形．，又当时，有最大值．（3）（i）若以为等腰三角形的底，则（如图①）在中，，，为的中点，．又，为的中点．过点作，垂足为，则是的中位线，，，当时，，为等腰三角形．此时点坐标为．（ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图②）在中，．过点作，垂足为．，．．，．，，当时，（），此时点坐标为．综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或．7、解：（1）在Rt△B′OC中，tan∠OB′C＝，OC＝9，∴．解得OB′＝12，即点B′的坐标为（12，0）．（2）将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上的B′点，CE为折痕，∴△CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA．由勾股定理，得CB′＝＝15．设AE＝a，则EB′＝EB＝9－a，AB′＝AO－OB′＝15－12=3．由勾股定理，得a2+32＝(9－a)2，解得a＝4．∴点E的坐标为（15，4），点C的坐标为（0，9）．设直线CE的解析式为y＝kx+b，根据题意，得解得∴CE所在直线的解析式为y＝－x+9．。