时间序列分析ARMA模型实验
ARMA时间序列模型及SPSS应用
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ARMA模型的自相关函数
ARMA(p, q)模型的自相关系数，可以看做AR(p)模型的自相关函数和MA(q) 模型的自相关系数的混合物。
• 当p=0时，它具有截尾性质；
• 当q=0时，它具有拖尾性质；
• 当p，q均不为0时，如果当p, q均大于或者等于2，其自相关函数的表现 形式比较复杂，有可能呈现出指数衰减、正弦衰减或者二者的混合衰减， 但通常都具有拖尾性质。
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ARMA模型偏相关函数
ARMA模型的偏相关函数求解方法和上述略有不同，考虑用 X t1, , Xtk 对 Xt 做最小方差估计来求ARMA(p, q)序列(把MA(q)看作是 p=0 的特例)
Xt的偏相关函数kk ，同时推出偏相关函数与自相关函数的关系。
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AR模型
对于模型：(B) Xt at 若满足条件：(B) 0 的根全在单位圆外，即所有根的模都大于1，则称此
条件为AR(p)模型的平稳性条件。
B1
B2
R 1
B3
当模型满足平稳性条件时， -1(B) 存在且一般是B的幂级数，于是模型又可
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ARMA模型
设 Xt 为零均值的实平稳时间序列，p阶自回归q阶滑动平均混合模型定义
为：
X t 1X t1 2 X t2 p X t p at 1at1 2at2 qatq.
(B) X t
=
(B)at
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二、模型的识别
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ARMA模型
方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2: 一般假定
X t 均值为0，否则令
X
t
Xt
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
记 Bk 为 k 步滞后算子, 即 Bk X t X tk , 则
模型【1】可表示为
Xt 1BXt 2B2 Xt pBp Xt ut
实际问题中, 常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况, 这 时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性, 否则季节性会被强趋势性所掩盖, 以至判断错误.
包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型, 需进 行季节差分消除序列的季节性, 差分步长应与季节周期一致.
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
式【5】称为( p, q)阶的自回归移动平均模型, 记为ARMA ( p, q)
注1: 实参数 1,2 , , p 称为自回归系数, 1,2 , ,q 为移动平均系数,
都是模型的待估参数
注2: 【1】和【3】是【5】的特殊情形 注3: 引入滞后算子，模型【5】可简记为
(B) Xt (B)ut
【6】
在实际中, 常见的时间序列多具有某种趋势, 但很多序列 通过差分可以平稳
判断时间序列的趋势是否消除, 只需考察经过差分后序列 的自相关系数
（3）季节性 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上, 序列重
复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额等 时间序列都具有明显的季节变化. 一般地, 月度资料的时间序列, 其季节周期为12个月；
Xt 1 v1B v2B2
ut
vjB
j
ut
j0
ARMAARIMA模型介绍及案例分析
（1） ARIMA( p, d, q) 模型 这里的 d 是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳 （具有一定趋势的）序列变换为平稳的，通常来说 d 的取值一般为 0,1,2。 对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建立 ARMA模型，只能对经过平稳化 处理，而后对新的平稳时序建立 ARMA( p, q) 模型。这里的平文化处理可以是差 分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。 （2） ARIMA( p, d, q)(P, D,Q)s 模型 对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同 样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。这里的 D 即为进行季节差分的阶数； P,Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，如
Step3：绘制其时序图，观察其是否平稳。分析——预测——序列图
此时可以看出该曲线有明显上升趋势，为非平稳序列，需要进行差分平稳化。 同时，也可以绘制自相关图形（操作：分析——预测——自相关）来观察其 趋势，如下图。
由上面自相关系数图可知，随着延迟数目的增加，系数并没有显著的趋近于 0，且许多数值较大的系数落在了置信区间之外，说明该时间序列并非平稳的。
j 1
rk j
k 1 k 2,3,
偏自相关系数kk ，可看作自变量 k 的函数，即偏自相关函数， 1 kk 1。 它用以测量当剔除其他滞后期（ t 1, 2,3, , k 1）的干扰的条件下，Yt 与Ytk 之 间相关的程度。与自相关系数类似，同样可以采用偏自相关分析图来对模型进行
识别。
3.1 自相关函数
自相关是时间序列Y1,Y2, Yt 诸项之间的简单相关。它的含义与相关分析中变 量之间的简单相关一样，只不过它所涉及的是同一序列自身，因而称作自相关。 自相关程度的大小，用自相关系数 rk 度量。
时间序列分析第四章ARMA模型的特性 王振龙第二版
4.1 格林函数和平稳性
一、线性常系数差分方程及其解的一般形式 先回忆线性常系数微分方程及其解的结构：
y(t ) a0 y(t ) u(t )
可转化为
y(t ) u(t ) y(t 1) a0 1 a0 其中 a0
将上述方程中的近似号改为等号，实数t改为自然数k， a0’就用a0表示，则得到一阶线性常系数差分方程
它的特征方程为： n an1 n1 ... a1 a0 0
设特征方程有不相等n个根
1, 2 ,..., n
k C ii i 1 n
则齐次方程的通解为：y (k )
若特征方程有一个l 重根，不妨设为 1 ... l 则齐次方程的通解为:
y(k ) (C1 C2 k ... Cl k l 1 )1k Ci ik
1 1 2 1 , C2 , C1 C2 1 C1 1 2 2 1 C1 C2 于是 X t at 1 1 B 1 2 B
j j j j C1 (1B) C2 (2 B) at C11 C22 at j j 0 j 0 j 0 G j at j
即：
X a
j 0
j 1 t j
k
t
t k 1
ak
上式右端是驱动函数at 的线性组合，显示了系统对现在以 及过去扰动的记忆
若
1 1，则
随着 j 的增大而缓慢减小，表明系统的记忆较强；
1j
若
1 0 ，则
随着 j 的增大而急剧减小，表明系统的记忆较弱； 客观地描述了系统的动态性
02平稳时间序列的ARMA模型
一、平稳ARMA模型
1.1 移动平均过程（Moving Average Process） 考察在白噪声过程的基础上生成的随机过程： yt = + t （1.1） yt = + t + t-1 （1.2） yt = + t + 1t-1 + … + qt-q （1.3）
i 0
其中，μ为yt的均值，dt是yt的线性确定性成分，如 周期性成分、时间t的多项式等。εt是白噪声过程， θ0=1，θi满足绝对可加或平方可加条件。 在随后的分析中我们通常都认为yt不含任何确定性 成分的随机过程，如果原序列含有均值或时间趋势 项，首先要进行退势处理。
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二、ARMA模型的识别
(1 1 L p Lp ) yt t yt (1 1 L p Lp )1 t ( L) t
一个可逆的MA(q)过程可以转换为一个无限阶的 自回归过程
yt (1 1 L q L ) t
q
(1 1 L q Lq )1 yt ( L) 1 yt t
AR(1)的自相关函数
j j j 1, 2,
AR(p)的自相关函数
尤尔—沃克(Yule-Walker)方程
j 1 j 1 2 j 2 p j p
j g11j g22j g ppj
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二、ARMA模型的识别
2.2 偏自相关函数 在AR(1)中，yt与yt-2之间也相关，它们之间的相关 性源于它们都和yt-1相关，在排除了yt-1的影响后， yt与yt-2之间的相关系数称为偏自相关系数。 偏自相关系数由下式表示 yt = 11yt-1 + ut yt = 21yt-1 + 22yt-2 + ut … yt = k1yt-1 + k2yt-2 + … + kkyt-k + ut 不同模型的自相关图和偏自相关图的特征
时间序列模型及ARMA模型讨论
２ 自回归模型 AR( p)
一般的，随机过程 X t （因变元）的观测值与ｍ个自变元 u1, u2 ,...umt 的取值的依赖关系，
可用线性方程 Xt = β1u1 + β2u2 + ... + βmum + εt ， (1 ≤ t ≤ N ) （１．1）来描述，并称式
引入后移算子Ｂ，有 X t = θ (B)at （１.５） (BAt = At−1, B2 At = B(BAt ) = At−2 ) 式（１.５）中θ (B) = 1−θ1B −θ2B2 − ... −θq Bq 。如果多项式θ (B) 可逆，即θ −1(B) 存在，
则（１.５）可写成 θ −1(B) Xt = at （１.６）
⎥ ⎥ ⎥
+
⎢ ⎢ ⎢
−θ20 ...
⎢⎣φ
0 p
⎥ ⎦
⎢⎣θ
0 p
⎥⎦
⎢⎣
−θ
0 p−1
0
1
−θ10 ...
−θ
0 p−2
0
0
1
...
−θ
0 p−3
... 0 ⎤ ⎡ I1 ⎤
...
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢
I
2
⎥ ⎥
... ...
0⎥ ...⎥⎥
⎢ ⎢ ⎢
I3 ...
⎥ ⎥ ⎥
... 1 ⎥⎦ ⎢⎣I p ⎥⎦
８ 初值的确定
9 参数初值 β 0 的选取十分重要，关系到迭代计算收敛速度的快慢,文中采用了 AR( p0 ) 的
长自回归模型.由 AR( p0 ) 模型描述的等价系统传递函数为：
时间序列模型--ARMA模型与ARCH模型(2008.11)
时间序列模型时间序列分析是现代计量经济学的重要内容，是研究经济变量的动态特征和周期特征及其相关关系的重要工具，被广泛应用经济分析和预测中。
时间序列按其平稳性与否又分为平稳时间序列和非平稳时间序列。
1．ARMA与ARCH模型2．协整与误差修正模型3．向量自回归模型1第五讲ARMA与ARCH模型本讲中将讨论时间序列的平稳性（stationary）概念及自回归模型(Autoregressive models)、移动平均模型(Moving average models)、自回归移动平均模型(Autoregressive moving average models)、自回归条件异方差模型(Autoregressivec conditional Heteroscedasticity models)的识别、估计、检验、应用。
23一、时间序列的平稳性（一）平稳时间序列所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。
严格地讲，如果一个随机时间序列t y ，对于任何时间t ，都满足下列条件： Ⅰ）均值()t E y μ=∞；Ⅱ）方差22()()t t Var y E y μσ=-=，是与时间t 无关的常数；Ⅲ）自协方差{}(,)t t k t t k k Cov y y E y y μμγ--=--=（）(）,是只与时期间隔k 有关，与时间t 无关的常数。
则称该随机时间序列是平稳的。
生成该序列的随机过程是平稳过程。
4例5.1．一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：t y =t ε tε~2(0,)iid σ该序列常被称为是一个白噪声（white noise ）。
由于t y 具有相同的均值与方差，且协方差为零,满足平稳性条件,是平稳的。
例5.2．另一个简单的随机时间列序被称为随机游走（random walk ）：1t t t y y ε-=+ t ε~2(0,)iid σ，是一个白噪声。
实验5：随机时间序列预测(1)
实验5：随机时间序列预测5.1实验目的1、 了解ARMA 预测模型的基本概念，基本原理及建模过程；2、 掌握平稳时间序列的检验方法，白噪声序列是检验方法，模型检验的方法；3、 掌握ARMA 模型的具体类型、扩展类型ARIMA 、模型算法、模型检验、模型优化及模型预测；4、 掌握利用Eviews 软件实现ARMA 模型的整个建模及各种检验流程，掌握运用Eviews 软件和推导相结合的AR 模型、MA 模型、ARMA 模型、ARIMA 模型的点预测和区间预测。
5.2实验原理Box-Jenkins 提出的ARMA 模型是从时间序列自相关的角度揭示时间序列的发展规律，它的思想源于事件的发展具有一定的惯性，而这种惯性用统计语言描述就是序列值之间存在一定的相关关系，而且这种相关关系具有一定的统计规律，我们所要做的就是通过分析相关关系找出这种规律，并用适当的模型来拟合这种规律，进而利用这种拟合模型来预测将来的走势。
5.2．1 样本自相关函数如果样本观察值为12,,,n y y y L ，我们可以给出延迟k 阶的自相关函数估计值，即样本自相关函数：121()()ˆ()n ktt k t k ntt yy y y yy ρ-+==--=-∑∑ 其中，1ntt y y n==∑。
自相关函数说明了样本数据不同时期之间的相关程度。
其取值范围在-1到+1之间，ˆk ρ越接近1，说明时间序列的自相关程度越高。
反之如果ˆk ρ越接近于0，则说明时间序列的自相关程度越低。
5.2．2、样本偏自相关函数在时间序列中，偏自相关函数是给定了121,,,t t t k y y y ---+L 的条件下，t y 与滞后期k 时间序列的条件相关。
它用来度量当其他滞后1,2,3,,1k -L 期时间序列的作用已知的条件下，单纯的t y 与t k y -的相关程度。
设样本观察值为12,,,n y y y L ，可以给出样本偏自相关函数：111,111,1ˆˆˆˆˆˆˆ1k k k j k j j kk k k j k jj ρρφρφφρ---=---=-=-∑∑ 其中：5.2.3平稳时间序列概念设时间序列{}t y 取自某一随机过程，如果此随机过程的随机特征不随时间变化，则我们称过程是平稳的；假如该随机过程的随机特征随时间的变化而变化，则我们称过程是非平稳的。
中级计量经济学-考察时间序列自相关性的ARMA模型
rˆh l E rhl rh , rh1,
E c0 ahl 1ahl1 c0
eh l rhl rˆh l ahl 1ahl1
vareh l
1 12
2 a
总 结 ： 对 于 MA(1) 模 型，超过1步的点预测 为rt的无条件均值，预 测误差的方差为rt的无 条件方差
，当l
1
0，当l 1
1，当l 0
1
1 12
，当l
1
MA2：l
0
1 12
2 2
0，02 当1l2122
2 2
，当l
2
总结：MA(q)的ACF会在滞后q期之后截尾，有限记 忆，利用此性质来确定MA模型的order
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实际MA模型的应用
模型的选择 模型的估计 模型的检验 模型的预测 模型应用举例
6
AR(2)模型的性质（续）
ACF特征：l 1l1 2l2 l c1 x1l c2 x2l
如果 12 42 0 ，x1, x2 为实数，ACF为两个指数衰减的混合 如果 12 42 0 ，x1, x2 为虚数，ACF为逐渐衰弱的正弦余弦波
，表明商业周期的存在
7
AR(p)模型
23
MA模型的应用——模型选择
ACF与PACF
若ACF表现为一个衰减拖尾的形状（非截尾），基本 可以选择AR模型，再以截尾的PACF来确定order
若ACF在滞后期为q处截尾，即 q 0，但对于 l q则有l 0
则rt服从一个MA(q)模型
Information Criteria
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表达式：
rt 0 1 rt1 p rt p at
11B pBp rt 0 at
特征方程
基于时间序列的arma模型
基于时间序列的arma模型
时间序列是研究一系列随时间推移而变化的数据的统计学方法。
ARMA（自回归移动平均）模型是常用的时间序列分析方法之一，它通过对时间序列数据的自回归和移动平均部分进行建模，从而预测未来的数据趋势和波动情况。
ARMA模型的建立需要进行模型识别、参数估计和模型检验等步骤，其中模型识别是选择AR、MA阶数的过程，参数估计是确定ARMA模型的系数值，模型检验是验证所建立ARMA模型的拟合优度和预测精度。
在实际应用中，ARMA模型可以用于金融预测、气象预报、生态环境变化等领域。
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基于ARMA模型的社会融资规模增长分析 ————ARMA模型实验 第一部分 实验分析目的及方法 一般说来,若时间序列满足平稳随机过程的性质,则可用经典的ARMA模型进行建模和预则。但是, 由于金融时间序列随机波动较大,很少满足ARMA模型的适用条件,无法直接采用该模型进行处理。通过对数化及差分处理后,将原本非平稳的序列处理为近似平稳的序列,可以采用ARMA模型进行建模和分析。
第二部分 实验数据 2.1数据来源 数据来源于中经网统计数据库。具体数据见附录表5.1 。
2.2所选数据变量 社会融资规模指一定时期内（每月、每季或每年）实体经济从金融体系获得的全部资金总额，为一增量概念，即期末余额减去期初余额的差额，或当期发行或发生额扣除当期兑付或偿还额的差额。社会融资规模作为重要的宏观监测指标，由实体经济需求所决定，反映金融体系对实体经济的资金量支持。 本实验拟选取2005年11月到2014年9月我国以月为单位的社会融资规模的数据来构建ARMA模型，并利用该模型进行分析预测。
第三部分 ARMA模型构建 3.1判断序列的平稳性 首先绘制出M的折线图，结果如下图： 图3.1 社会融资规模M曲线图 从图中可以看出，社会融资规模M序列具有一定的趋势性，由此可以初步判断该序列是非平稳的。此外，m在每年同时期出现相同的变动趋势，表明m还存在季节特征。下面对m的平稳性和季节性·进行进一步检验。 为了减少m的变动趋势以及异方差性，先对m进行对数化处理，记为lm，其时序图如下：
图3.2 lm曲线图 对数化后的趋势性减弱，但仍存在一定的趋势性，下面观察lm的自相关图 表3.1 lm的自相关图
上表可以看出，该lm序列的PACF只在滞后一期、二期和三期是显著的，ACF随着滞后结束的增加慢慢衰减至0，由此可以看出该序列表现出一定的平稳性。进一步进行单位根检验，由于存在较弱的趋势性且均值不为零，选择存在趋势项的形式，并根据AIC自动选择之后结束，单位根检验结果如下：
表3.2 单位根输出结果 Null Hypothesis: LM has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=12)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -8.674646 0.0000 Test critical values: 1% level -4.046925 5% level -3.452764 10% level -3.151911
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
单位根统计量ADF=-8.674646小于临界值，且P为0.0000，因此该序列不存在单位根，即该序列是平稳序列。 由于趋势性会掩盖季节性，从lm图中可以看出，该序列有一定的季节性，为了分析季节性，对lm进行差分处理，进一步观察季节性：
图3.3 dlm曲线图 观察dlm 的自相关表： 表3.3 dlm的自相关图 Date: 11/02/14 Time: 22:35 Sample: 2005M11 2014M09 Included observations: 106
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob ****|. | ****|. | 1 -0.566 -0.566 34.934 0.000 .|* | **|. | 2 0.113 -0.305 36.341 0.000 .|. | *|. | 3 0.032 -0.093 36.455 0.000 *|. | *|. | 4 -0.084 -0.114 37.244 0.000 .|* | .|. | 5 0.105 0.015 38.494 0.000 *|. | *|. | 6 -0.182 -0.182 42.296 0.000 .|* | *|. | 7 0.105 -0.156 43.563 0.000 .|. | *|. | 8 -0.058 -0.171 43.954 0.000 .|. | *|. | 9 -0.019 -0.196 43.996 0.000 .|* | .|. | 10 0.110 -0.045 45.429 0.000 **|. | **|. | 11 -0.242 -0.329 52.501 0.000 .|*** | .|. | 12 0.363 0.023 68.516 0.000 *|. | .|. | 13 -0.202 0.032 73.534 0.000 .|* | .|* | 14 0.101 0.125 74.815 0.000 .|. | .|* | 15 0.004 0.141 74.817 0.000 *|. | *|. | 16 -0.161 -0.089 78.110 0.000 .|** | .|. | 17 0.219 0.037 84.252 0.000 **|. | .|. | 18 -0.221 -0.036 90.623 0.000 .|* | .|. | 19 0.089 -0.046 91.662 0.000 *|. | *|. | 20 -0.080 -0.158 92.516 0.000 .|. | .|. | 21 0.067 -0.039 93.115 0.000 .|. | .|. | 22 0.068 0.056 93.749 0.000 **|. | *|. | 23 -0.231 -0.130 101.08 0.000 .|*** | .|* | 24 0.359 0.116 119.04 0.000 *|. | .|* | 25 -0.189 0.123 124.09 0.000 .|. | .|. | 26 0.032 0.034 124.23 0.000 .|. | .|. | 27 0.059 0.037 124.74 0.000 *|. | .|. | 28 -0.126 0.044 127.08 0.000 .|* | *|. | 29 0.087 -0.079 128.21 0.000 .|. | .|* | 30 -0.050 0.092 128.58 0.000 .|. | .|. | 31 -0.037 -0.019 128.79 0.000 .|. | *|. | 32 -0.035 -0.113 128.97 0.000 .|. | .|. | 33 0.041 -0.056 129.24 0.000 .|* | .|. | 34 0.078 -0.027 130.21 0.000 **|. | *|. | 35 -0.215 -0.197 137.64 0.000 .|*** | .|* | 36 0.380 0.130 161.26 0.000
由dlm的自相关图可知，dlm在滞后期为12、24、36等差的自相关系数均显著异于零。因此该序列为以12为周期呈现季节性，而且季节自相关系数并没有衰减至零，因此为了考虑这种季节性，进行季节性差分，得新变量sdlm： 观察sdlm的自相关图： 表3.4 sdlm的自相关图
Date: 11/02/14 Time: 22:40 Sample: 2005M11 2014M09 Included observations: 94 Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob ****|. | ****|. | 1 -0.505 -0.505 24.767 0.000 . |. | ***|. | 2 -0.057 -0.419 25.082 0.000 . |. | **|. | 3 0.073 -0.292 25.609 0.000 . |* | . |. | 4 0.160 0.067 28.169 0.000 **|. | .*|. | 5 -0.264 -0.125 35.252 0.000 . |* | .*|. | 6 0.098 -0.110 36.244 0.000 . |* | . |. | 7 0.098 0.019 37.243 0.000 . |. | . |* | 8 -0.041 0.082 37.419 0.000 .*|. | . |. | 9 -0.132 -0.038 39.275 0.000 . |* | .*|. | 10 0.076 -0.139 39.902 0.000 . |** | . |** | 11 0.227 0.247 45.485 0.000 ***|. | **|. | 12 -0.459 -0.259 68.647 0.000 . |* | **|. | 13 0.193 -0.251 72.777 0.000 . |* | .*|. | 14 0.132 -0.101 74.753 0.000 .*|. | .*|. | 15 -0.142 -0.189 77.056 0.000 . |. | . |. | 16 -0.053 -0.056 77.378 0.000 . |** | . |* | 17 0.233 0.091 83.751 0.000 **|. | .*|. | 18 -0.234 -0.179 90.258 0.000 . |* | . |. | 19 0.102 0.054 91.505 0.000 . |. | . |. | 20 -0.052 -0.035 91.841 0.000 . |* | . |. | 21 0.123 -0.009 93.714 0.000 . |. | . |* | 22 -0.059 0.120 94.150 0.000 . |. | . |** | 23 -0.011 0.215 94.166 0.000 . |. | .*|. | 24 -0.032 -0.170 94.301 0.000 . |* | .*|. | 25 0.088 -0.137 95.303 0.000 .*|. | . |. | 26 -0.105 -0.034 96.760 0.000 . |* | .*|. | 27 0.077 -0.116 97.562 0.000 . |. | .*|. | 28 -0.054 -0.178 97.967 0.000 . |. | . |. | 29 0.010 0.032 97.982 0.000 . |* | . |. | 30 0.102 0.039 99.457 0.000 .*|. | .*|. | 31 -0.179 -0.099 104.06 0.000 . |. | . |. | 32 0.071 -0.058 104.79 0.000 . |. | .*|. | 33 0.031 -0.066 104.93 0.000 .*|. | .*|. | 34 -0.089 -0.144 106.13 0.000 . |. | . |* | 35 0.036 0.082 106.32 0.000 . |* | .*|. | 36 0.105 -0.102 108.05 0.000