山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试理科数学试题(附答案)

山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试理科数学试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.已知集合,则集合A∩B=A. B. C. D. 2.已知复数 (i 是虚数单位),则的虚部为 A.B. C. D. 3.某产品广告宣传费与销售额的统计数据如右表，根据数据表可得回归直线方程,其中,据此模型预测广告费用为9千元时,销售额为A.17万元B.18万元C.19万元D.20万元 4已知等差数数列的前项和为S n ,若a 3+a 7=6,则S 9等于 A.15 B.18 C.27 D.395.定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=f (x ),当时, ,则A.B.C.D. 6.已知的展开式的各项系数和为243,则展开式中x 2的系数为A. 5B.40C.20D.107.设变量x 、y 满足约束条件,则的最最大值为A.-6B.C. D.3 8.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,书中有一问题:“今有方物{}{1,0,1,2,3,A B x y =-=={}0,1,2{}1,2{}0,1,2,3{}1,2,3543iz i=+z 45i 45i -4545-y b x a ∧∧∧=+2b ∧={}n a (1,0)x ∈-()x f x e -=9()2f =32()n x x+200240x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩12z x y =-3273一束,外周一匝有三十二枚,问积几何?“该著作中提出了一种解决此问题的方法:“重置二位,左位减八,余加右位,至尽虚减一,即得.”通过对该题的研究发现,若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时,均可采 用此方法求解,右图是解决这类问题的程序框图,若输入n=24,则输出 的结果为A.23B.47C.24D.48 9.若函数在上是增函数,则的取值范围是A. B. C. D.10.双曲线的左、右焦点分别为为F 1、F 2,过F 2作倾斜角为的直线与y 轴和双曲线的左支分别交于点A 、B,若,则该双曲线的离心率为A.B.2C. D. 11.已知函数y =f(x )对任意的满足 (其中为函数f (x )的导函数),则下列不等式成立的是A. B. C. D.12.已知函数在R 上是单调递增函数,则的最小值是A.1B.2C.3D.4二、填空题:本大题共有4个小题,每小题5分,共20分13.若非零向量、满足,则与的夹角为_______。

14.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若∠B=60°,a =3,b,则c 的值为____________。

15.已知F(2,0)为椭圆的右焦点,过F 且垂直于x 轴的弦的长度为6,若A,点M 为椭圆上任一点,则的最大值为_____。

16.如图,一张矩形白纸ABCD,AB=10,AD=,E,F分别为AD,BC 的中点,现分别将△ABE,△CDF 沿BE,DF 折起,且A 、2()4sin sin ()cos 21(0)24x f x x x ωπωωω=⋅++->2[,]33ππ-ω[0,1)3[,)4+∞[1,)+∞3(0,]422221(0,0)x y a b a b -=>>60︒21()2OA OB OF =+2(0,)x π∈'()sin ()cos f x x f x x >'()f x ()()46f ππ<()()46f ππ>()()64f ππ>()()64f ππ<322()()3f x ax bx cx d a b =+++<23c b a-a b 2)0a a b a =-⋅=a b 22221(0)x y a b a b+=>>(-MF MA +C 在平面BFDE 同侧,下列命题正确的是____________(写出所有正确命题的序号) ①当平面ABE ∥平面CDF 时,AC ∥平面BFDE ②当平面ABE ∥平面CDF 时,AE ∥CD ③当A 、C 重合于点P 时,PG ⊥PD④当A 、C 重合于点P 时,三棱锥P-DEF 的外接球的表面积为150三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:60分 17.(12分)已知各项均为正数的等比数列,满足,且 (1)求等比数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前n 项和为T n18.(12分)如图,在三棱柱ABC-DEF 中,AE 与BD 相交于点O,C 在平面ABED 内的射影为O,G 为CF 的中点 (1)求证平由ABED ⊥平面GED(2)若AB=BD=BE=EF=2,求二面角A-CE-B 的余弦值19.(12分)某高中学校对全体学生进行体育达标测试,每人测试A 、B 两个项目,每个项目满分均为60分.从全体学生中随机抽取了100人,分别统计他们A 、B 两个项目的测试成绩,得到A 项目测试成绩的频率分布直方图和B 项目测试成绩的频数分布表如下:π{}n a 11a =123112a a a -={}n a {}n b 12log n a n b +=n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭将学生的成绩划分为三个等级如右表:(1)在抽取的100人中,求A 项目等级为优秀的人数(2)已知A 项目等级为优秀的学生中女生有14人,A 项目等级为一般或良好的学生中女生有34人,试完成下列2×2列联表,并分析是否有95%以上的把握认为“A 项目等级为优秀”与性别有关?参考公式其中(3)将样本的率作为总体的概率,并假设A 项目和B 项目测试成绩互不影响,现从该校学生中随机抽取1人进行调查,试估计其A 项目等级比B 项目等级高的概率,20.(12分)已知抛物线x 2=2P y (p>0)和圆x 2+y 2=r 2(r >0)的公共弦过抛物线的焦点F,且 弦长为4(1)求抛物线和圆的方程:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++(2)过点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点,抛物线在点A 处的切线与x 轴的交 点为M,求△ABM 面积的最小值21、(12分) 已知有两个零点 (1)求a 的取值范围(2)设x 1、x 2是f (x )的两个零点,求证证:x 1+x 2>(二)选考题:共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做,则按所做的第一题计分。

22.【选修4一4,坐标系与参数方程】(10分)已知直线l 的参数方程为为参数）， 椭圆C 的参数方程为为参数）。

在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点A 的极坐标为(2,(1)求椭圆C 的直角坐标方程和点A 在直角坐标系下的坐标 (2)直线l 与椭圆C 交于P,Q 两点,求△APQ 的面积23.【选修4-5:不等式选讲】(10分) 已知函数. (1)当a =0时,求不等式f (x )<1的解集(2)若f (x )的的图象与x 轴围成的三角形面积大于,求a 的取值范围21()ln ()2f x x a x a R =-∈12(12x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩)3π()21,0f x x x a a =---≤322018年高考诊断性测试理科数学参考答案一、选择题DCA CBBCBD C B A二、填空题13.14. 15. 16.①④ 三、解答题17. 解：（1）由已知得：，………………………………1分 或（舍去） ………………………………3分. ………………………………4分 （2），………………………………5分两式相减得：………………………………8分………………………………11分 . ………………………………12分 18. 解：（1）取中点，在三角形中，，. ……1分又因为为中点，所以，. .四边形为平行四边形.6π48123112a a a -=2111112a a q a q -=2q ∴=1q =-12n n a -∴=2log 2nn b n ==12n n n b na -=01211232222n n n T -=++++ 123112322222n n n T =++++ 012111111222222n n n n T -=++++- 1122212212n n n n -+=-=---1242n n n T +∴=-DE M BDE //OM BE 12OM BE =G CF //CG BE 12CG BE =//,CG OM CG OM ∴=∴OMGC.…………………………2分因为在平面内的射影为，所以⊥平面. 所以⊥平面.…………………………3分 又因为，所以平面平面.…………………………4分 （2）∵⊥面，∴⊥，⊥ 又∵四边形为菱形，⊥，以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， ………………………6分 于是，，，，向量，向量， …………………………8分设面的一个法向量为，，即，不妨令时，则，，取.……………………10分又为面的一个法向量. 设二面角大小为，显然为锐角， 于是，故二面角．………………………………………………12分 19. 解：（1）由项目测试成绩的频率分布直方图，得项目等级为优秀的频率为， ……………………………………1分所以，项目等级为优秀的人数为．………………………………2分//MG OC ∴C ABED O OC ABED GM ABED GM DEG ⊂平面ABED ⊥GED CO ABED CO AO CO OB AB BE =∴ABED ∴OB AO O ,,OA OB OCx y z O xyz -A (0,1,0)B (E C (1,0)BE =- (0BC =-，BCE 111(,,)x y z =m 00BE BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 111100y y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩11z =1y =11x =-(1=-m (0,1,0)=n ACE A CE B --θθcos cos ,5θ=<>===⋅ m n m n m nA CEB --A A 0.04100.4⨯=A 0.410040⨯=（2）由（1）知：项目等级为优秀的学生中，女生数为人，男生数为人.项目等级为一般或良好的学生中，女生数为人，男生数为人.作出列联表：………………………………4分计算，………………………………7分由于，所以有95%以上的把握认为“项目等级为优秀”与性别有关．………………………………8分（3）设“项目等级比项目等级高”为事件．记“项目等级为良好”为事件；“项目等级为优秀”为事件；“项目等级为一般”为事件；“项目等级为良好”为事件．于是，， 由频率估计概率得：，. …………10分因为事件与相互独立，其中．所以．所以随机抽取一名学生其项目等级比项目等级高的概率为．…………………12分 20. 解：（1）由题意可知，，所以，故抛物线的方程为. …………………………2分又，所以， …………………………3分所以圆的方程为. …………………………4分 （2）设直线的方程为：，并设，联立，消可得，.所以； ……………………5分.……………………6分A 1426A 342622⨯22100(26342614) 4.51440604852K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯2 3.841K >A A B C A 1A A 2A B 0B B 1B 1()(0.020.02)100.4P A =+⨯=2()0.4P A =0235()0.1100P B ++==14015()0.55100P B +==i A j B 1,2,0,1i j ==102120()()P C P A B A B A B =++0.40.10.40.10.40.550.3=⨯+⨯+⨯=A B 0.324p =2p =24x y =222()2pp r +=25r =225x y +=l 1y kx =+1122(,),(,)A x y B x y 241x y y kx ⎧=⎨=+⎩y 2440x kx --=12124,4x x k x x +==-212|||4(1)AB x x k =-==+，所以过点的切线的斜率为，切线为， 令，可得，， ……………………7分所以点到直线的距离， ……………………8分故， ……………………9分 又，代入上式并整理可得： ， ……………………10分 令，可得为偶函数，当时，， ，令，可得，当，，当，， 所以时，取得最小值，故的最小值为. ……………………12分21.解：（1）， …………………………………………1分当时，，此时在单调递增，至多有一个零点.…………………………………………2分当时，令，解得当时，，单调递减，当，，单调递增，故当…………………4分 ① 当时，，即，所以至多有一个零点.…………………………………………5分② 当时，，即 因为，所以在有一个零点； (6)分 因为，所以，2xy '=A 12x 111()2x y y x x -=-0y =1(,0)2xM M AB 1|1|x k d ⋅+=121|1|14(1)2|2ABM x k S k kx ∆⋅+=⨯+=+21111144y x k x x --==2211(4)116||ABMx S x ∆+=22(4)()||x f x x +=()f x 0x >223(4)16()8x f x x x x x+==++2222216(4)(34)()38x x f x x x x +-'=+-=()0f x '=x =x ∈()0f x '<)x ∈+∞()0f x '>3x =()f x 9ABM S ∆116=()2()0a x af x x x x x-'=-=>0a ≤()0f x '>()f x (0,)+∞()f x 0a >()0f x '=x =x ∈()0f x '<()f x )x ∈+∞()0f x '>()f x x =(1ln ).2af a =-0e a <≤1ln 0a -≥0f ≥()f x e a >1ln 0a -≤(1ln )0.2af a =-<1(1)02f =>()f x x ∈ln 1a a ≤-ln 221a a ≤-，由于，所以在有一个零点.综上，的取值范围是.………………………………………………………7分 （2）不妨设，由（1）知，，.构造函数， …………………………8分 则…………………………9分因为，所以，在单调递减.所以当时，恒有，即……10分 因为于是 (11)分 又，且在单调递增，所以，即………………………………………………12分22. 解：(1)由得. …………………………2分 因为的极坐标为,所以，.在直角坐标系下的坐标为 .…………………………4分（2）将代入，化简得,设此方程两根为,则 ,. ………………………6分. ………………………8分 因为直线的一般方程为, 所以点到直线的距离. ………………………9分 22(2)2ln 22(21)0f a a a aa a a a =-≥--=>2a >()f x)x ∈+∞a (e,+)∞12x x <1x∈2)x ∈+∞()))(0g x f x f x x=-≤<)())ln.gx a x a x =-+22().g x x a'==-0x <<()0g x '<()gx x ∈()(0)0g x g <=)).f x f x <1x ∈1x ∈()21111()())])].f x f x f x f x f x ==>=21)x x ∈+∞∈+∞()f x )+∞21x x >12x x +>{2cos sin x y =α=α2214x y +=A (2,)3π2cos 13x π==2sin 3y π=∴A 1212x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩2214x y +=210110t --=1,2t t 12t t +121110t t =-PQ ∴==l 01=-+y x A l 2623==d页 11第 的面积为.………………………10分 23. 解：（1）当时，化为.当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为，解得； 综上，的解集为.………………………4分（2）由题设可得…………………………6分 所以的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，， ，该三角形的面积为…………………………8分 由题设，且，解得 所以的取值范围是.………………………10分APQ ∴∆5342652821=⨯⨯0a =()1f x <|21|||10.x x ---<0x ≤0x >102x <≤0x >102x <≤12x >2x <122x <<()1f x <{}|02x x <<()1,,131,,211,.2x a x a f x x a a x x a x ⎧⎪-+-<⎪⎪=-++≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩()f x x 1(,0)3a +(1,0)a -11(,)22a -2(12).6a -2(12)362a ->0a < 1.a <-a (),1-∞-。