[原创精品]2021届新高三一轮单元金卷 第十三单元复数训练卷 B卷 学生版
第30讲 种群及其动态-2023年高考生物一轮复习(新教材)
样方法的调查步骤：
确定调 查对象
适用于植物、活动范围小和活动能力弱的动物，如昆虫卵、蚜虫、跳蝻等。以植物为 例，一般不选丛生或蔓生的单子叶植物，而选择个体数目易于辨别的双子叶草本植物
取样
根据调查对象的分布状况和地段的形状，确定样方的多少、样方大小和取样方法。植 物大小不同，样方面积也应不同。草本植物样方的大小一般以1m2的正方形为宜。如 果该种群个体数较少，样方面积可适当扩大。
非生物因素 包括 生物因素 包括
阳光、温度、水等
种内竞争和其他种群的 影响等
考点分析
目 录
CONTENT
能够阐述种群的各数量特征，并说明它们之间的关系；能够运
01 用样方法和标志重捕法调查种群密度，能概述两种方法的适应
范围。
02
通过探究培养液中酵母菌种群数量的动态变化，明确构建种群 增长模型(数学模型)的方法。
时间为横坐标，种群数量为纵坐标画出曲线来表示，曲线则 大致呈 “J” 形。这种类型的种群增长称为“J”形增长。
（2）模型假设(形成原因)
在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有天敌和其他竞争物种等条件下，种群的数量每
年以一定的倍数(λ倍)增长。 （3）数学模型：Nt＝N0λt
理想条件
N0为该种群的起始数量，t为时间，Nt表示t年后该种群的数量，λ表示该种群数量是前
死亡率 性别比例
迁入率
迁出率
能力训练
6、请判断对错。
①可用每平方米草坪上杂草的数量来表示种群密度( × ) ②统计种群密度时，应去掉采集数据中最大、最小值后取平均值( × ) ③五点取样法适合调查灌木类行道树上蜘蛛的种群密度( × ) ④调查青蛙等活动范围不大的动物的种群密度可以用样方法 ( √ ) ⑤种群密度与出生率成正比( × ) ⑥种群密度能反映种群在一定时期的数量及其变化趋势 ( × )
2021高考数学 复数历年来高考习题荟萃（2020-2021）（含解析）(1)
zi，+2=2z设=2a+2bi在复平面内对应的．第四象限，故答案为D．对应的点的坐标是( ) ()(+为虚数单位1i iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】 B【解析】 z = i·(1+i) = i – 1,因此对应点(-1,1).选B 选B9.【2021山东】（1）复数z 知足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为( D )A. 2+i C. 5+i10.【2021上海理】设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，那么________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩11.【2021四川理】2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，那么图中表示z 的共轭复数的点是（ ）（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D 12.【2021全国新课改II 】设复数z 知足(1i )z = 2 i ，那么z =（A ）1+ i（B ）1 i（C ）1+ i（D ）1 i答案：A【解法一】将原式化为z =2i 1- i ,再分母实数化即可.【解法二】将各选项一一查验即可.13.【2021课标1】假设复数z 知足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为()A 、－4（B ）－45（C ）4（D ）45【命题用意】此题要紧考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【点评】此题考查复数代数形式的四那么运算及复数的大体概念，考查大体运算能力.先把Z 化成标准的(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数概念得出1z i =--. 10.【2021高考湖北文12】.若=a+bi （a ，b 为实数，i 为虚数单位），那么a+b=____________. 【答案】3【点评】此题考查复数的相等即相关运算.此题假设第一对左侧的分母进行复数有理化，也能够求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，大体概念（共轭复数），大体运算等的考查.11.【2021高考广东文1】设i 为虚数单位，那么复数34ii+= A. 43i -- B. 43i -+ C. 43i + D. 43i - 【答案】D12.【2102高考福建文1】复数（2+i ）2等于 +4i +4i +2i +2i 【答案】A.【解析】i i i 43)22()14()2(2+=++-=+，应选A.13.【2102高考北京文2】在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 A ． (1 ,3) B ．(3,1) C ．(-1,3) D ．(3 ,-1) 【答案】A14.【2021高考天津文科1】i 是虚数单位，复数534i i+-=（A ）1-i （B ）-1+i （C ）1+i （D ）-1-i【答案】C或,复数a+为纯虚数0,0b00b,应选B.=+(i为虚数单位年高考（山东理））假设复数)117i-i D．3--B．35i【解析】1iz i-=2021年高考（大纲理）【考点定位】此题要紧考查复数的代数运算在复平面内所对应的图形的面积为__8__.3416．（2021年高考（上海春））假设复数z 知足1(iz i i =+为虚数单位),那么z =1i -_______.34（江苏））设a b ∈R ，,117ii 12ia b -+=-(i 为虚数单位),那么a b +的值为____. 7. 【考点】复数的运算和复数的概念.【分析】由117ii 12ia b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++,因此=5=3a b ，,=8a b + .2020年高考复数1.【2020安徽理】 设 i 是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，那么实数a 为 （A ）2 (B) -2 (C) 1-2(D) 12A. 【命题用意】此题考查复数的大体运算，属简单题.【解析】设()aibi b R i1+∈2-=，那么1+(2)2ai bi i b bi =-=+，因此1,2b a ==.应选A. 2.【2020北京理】复数i 212i-=+ A. i B. i - C. 43i 55-- D. 43i 55-+【解析】：i 212ii -=+，选A 。
高考数学《复数》专项练习(含答案)
【复数】专项练习参考答案1．〔2021全国Ⅰ卷，文2，5分〕设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，那么a ＝( )〔A 〕−3 〔B 〕−2 〔C 〕2 〔D 〕3 【答案】A【解析】(12i)(i)2(12)i a a a ++=-++，由，得a a 212+=-，解得3-=a ，选A ．2．〔2021全国Ⅰ卷，理2，5分〕设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，那么i =x y +( )〔A 〕1 〔B 〔C 〔D 〕2 【答案】B【解析】因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i |=|1+i |x x y x y x x y +==+=所以故应选B ．3．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕设复数z 满足i 3i z +=-，那么z ＝( ) 〔A 〕12i -+ 〔B 〕12i - 〔C 〕32i + 〔D 〕32i - 【答案】C【解析】由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，应选C ．4．〔2021全国Ⅱ卷，理1，5分〕(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，那么实数m 的取值范围是( )〔A 〕(31)-， 〔B 〕(13)-， 〔C 〕(1,)∞+ 〔D 〕(3)∞--，5．〔2021全国Ⅲ卷，文2，5分〕假设43i z =+，那么||zz ＝( ) 〔A 〕1 〔B 〕1- 〔C 〕43i 55+ 〔D 〕43i 55-【答案】D【解析】∵43i z =+，∴z ＝4－3i ，|z |＝2234+．那么43i ||55z z ==-，应选D ．6．〔2021全国Ⅲ卷，理2，5分〕假设z ＝1＋2i ，那么4i1zz =-( ) (A)1 (B)−1 (C)i (D)−i 【答案】C【解析】∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，那么4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，应选C ． 7．〔2021全国Ⅰ卷，文3，5分〕复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，那么z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i【答案】C【解析一】(z －1)i ＝1＋i ⇒ zi －i ＝1＋i ⇒ zi ＝1＋2i ⇒ z ＝1＋2i i＝(1＋2i)i i 2＝2－i ．应选C ．【解析二】(z －1)i ＝1＋i ⇒ z －1＝1＋i i⇒ z ＝1＋i i＋1 ⇒z ＝(1＋i)i i 2＋1＝2－i ．应选C ．8．〔2021全国Ⅰ卷，理1，5分〕设复数z 满足1+z1z-＝i ，那么|z|＝( )〔A 〕1 〔B 〔C 〔D 〕2 【答案】A 【解析一】1+z1z-＝i ⇒ 1＋z ＝i(1－z) ⇒ 1＋z ＝i －zi ⇒ z ＋zi ＝－1＋i ⇒ (1＋i)z ＝－1＋i ⇒9．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕假设a 为实数，且2＋ai 1＋i＝3＋i ，那么a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4 【答案】D【解析】由得2＋ai ＝(1＋i)(3＋i)＝2＋4i ，所以a ＝4，应选D ．10．〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕假设a 为实数，且(2＋ai)(a －2i)＝－4i ，那么a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】B【解析】(2＋ai)(a －2i)＝－4i ⇒ 2a －4i ＋a 2i ＋2a ＝－4i ⇒ 2a －4i ＋a 2i ＋2a ＋4i ＝0⇒ 4a ＋a 2i ＝0 ⇒ a ＝0．11．〔2021全国Ⅰ卷，文3，5分〕设z ＝11＋i＋i ，那么|z|＝( )A ．12 B ．√22 C ．√32 D ．2 【答案】B 【解析】z ＝11＋i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，因此|z|＝√(12)2＋(12)2＝√12＝√22，应选B ．12．(1＋i )3(1－i )2＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 【答案】D 【解析】(1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i)(1－i )2·＝(1＋i 2＋2i)(1＋i)1＋i 2－2i＝＝2i(1＋i)－2i＝－(1＋i)＝－1－i ，应选D ．13．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕1＋3i 1－i＝( )A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i【答案】B 【解析】1＋3i 1－i＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋4i 2＝－1＋2i ，应选B ．14．〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，那么z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i【答案】A【解析】由题意得z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，应选A ．15．〔2021全国Ⅰ卷，文2，5分〕1＋2i (1－i )2＝( )A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12i D ．1－12i 【答案】B 【解析】1＋2i(1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i (－2i )i＝－2＋i 2＝－1＋12i ，应选B ．16．〔2021全国Ⅰ卷，理2，5分〕假设复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，那么z 的虚部为( )A ．－4B ．－45 C ．4 D ．45 【答案】D【解析】∵|4＋3i|＝√42＋32＝5，∴(3－4i)z ＝5，∴z＝53－4i＝5(3＋4i )25＝35＋45i ，虚部为45，应选D ．17．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕|21＋i|＝( )A ．2√2B ．2C ．√2D ．1【答案】C 【解析】|21＋i|＝|2(1－i )2|＝|1－i|＝22)1(1-+＝√2．选C ．18〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，那么z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i 【答案】A【解析】由题意得z ＝2i1－i＝2i ·(1＋i )(1−i )(1＋i)＝2i ＋2i 22＝2i−22＝－1＋i ，应选A ．19．〔2021全国卷，文2，5分〕复数z ＝－3＋i 2＋i的共轭复数是( ) A ．2＋i B ．2－I C ．－1＋iD ．－1－i【答案】D【解析】z ＝－3＋i 2＋i＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i 5＝－1＋i ，∴z ＝－1－i ，应选D ．20．〔2021全国卷，文2，5分〕复数5i1－2i＝( )A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i【答案】C 【解析】5i 1－2i＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5(i －2)5＝－2＋i ，应选C ．21．〔2021北京，文2，5分〕复数( ) 〔A 〕i 〔B 〕1＋i 〔C 〕 〔D 〕【答案】A 【解析】，应选A ．22．〔2021北京，理9，5分〕设，假设复数在复平面内对应的点位于实轴上，那么_____________． 【答案】－1【解析】(1＋i)(a ＋i)＝a ＋i ＋ai ＋i 2＝a ＋i ＋ai －1＝(a －1)＋(1＋a)i ，由题意得虚部为0，即(1＋a)＝0，解得a ＝－1． 23．〔2021江苏，文/理2，5分〕复数其中i 为虚数单位，那么z 的实部是____．【答案】524．〔2021山东，文2，5分〕假设复数21iz =-，其中i 为虚数单位，那么z ＝( ) 〔A 〕1＋i〔B 〕1−i〔C 〕−1＋i 〔D 〕−1−i【答案】B25．〔2021山东，理1，5分〕假设复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，那么z ＝( )〔A 〕1＋2i 〔B 〕1-2i 〔C 〕12i -+ 〔D 〕12i --【答案】B26．〔2021上海，文/理2，5分〕设32iiz +=，其中i 为虚数单位，那么z 的虚部等于_______． 【答案】-312i=2i+-i -1i -12i (12i)(2i)2i 4i 2i 2i (2i)(2i)5+++++-===--+a ∈R (1i)(i)a ++a =(12i)(3i),z =+-【解析】32i 23i,iz +==-故z 的虚部等于−3．27．〔2021四川，文1，5分〕设i 为虚数单位，那么复数(1＋i)2＝( )(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2＋2i 【答案】C【解析】22(1i)12i i 2i +=++=，应选C ．28．〔2021天津，文9，5分〕i 是虚数单位，复数z 满足(1i)2z +=，那么z 的实部为_______．【答案】1【解析】2(1)211i i iz z +=⇒==-+，所以z 的实部为1．29．〔2021天津，理9，5分〕,a b ∈R ，i 是虚数单位，假设(1+i)(1-b i)＝a ，那么ab的值为____．【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab=，故答案为2．。
2021年高考历史一轮复习 近代中国的政治民主化进程单元训练
1．(xx·高考山东卷)辛亥革命爆发后，山东巡抚孙宝琦曾致电清内阁，阐述对时局的看法。
阅读材料，回答问题。
顷者，宪法信条，业经颁布，君权削尽，仅存皇位，而各省不知信从，反多独立。
……重以土匪蜂起，列强环伺，瓦解瓜分，危在旦夕。
……今日各省民情，如决江河。
然察其所为，决非种族相仇，实渴望共和政体。
……依臣愚见，莫如毅然改计，俯顺舆情，实行公天下，宣布共和。
——孙宝琦致内阁电(1911年11月11日)(1)概括指出孙宝琦的电文反映了哪些史实。
(2)结合史实，说明清政府是如何应对“各省民情”的。
2．(xx·高考新课标全国卷Ⅰ)阅读材料，回答问题。
材料1：夫西人设立新闻纸馆，上以议国家之得失，下以评草野之是非，可以知四方之物价，可以悉外国之情形，原为有益之举。
今宜仿而行之，惟不准议朝廷得失。
凡外国物价，外国情形，及中国人而被外国人欺凌者，或传教不公道者，皆可写入新闻纸，布告各国，咸使闻知，使归曲于彼；且以见中国百姓痛恨洋人，必将激而生变。
庶彼君臣闻之，惕然知惧，必饬令彼国公使领事，自行约束。
——《李鸿章附呈潘司丁日昌条说》(1867年)材料2：19世纪70年代后，维新派开始办报。
他们在办报实践中提出，报纸必须“宗旨高而定”，“思想新而正”，“材料富而当”，“报事确而速”。
严复强调办报须“一举足不能无方向，一著论则不能无宗旨”。
有维新人士倡言：“无古今中外，变法必自空谈始。
故今日中国将变未变之际，以扩张报务为第一义。
阅报之多寡，与爱力之多寡有正比例；与阻力之多寡有反比例。
”梁启超提出：“所贵乎报馆之著述者，能以语言文字开将来之世界也。
”并说：“去塞求通，厥道非一，而报馆其导端也……阅报愈多者，其人愈智；报馆愈多者，其国愈强。
”——摘编自方汉奇《中国近代报刊史》(1)比较材料1、2，概括指出洋务派与维新派在办报宗旨、任务、目的方面的认识有何不同。
(2)根据材料1、2并结合所学知识，分析戊戌变法前报纸在推动近代中国民主进程中的作用。
高考数学一轮复习全套课时作业5-5复数
题组层级快练 5.5复数一、单项选择题1．(2021·衡水中学调研卷)复数i1＋2i(i 是虚数单位)的虚部是( )A.15B.25C.15iD.25i 2．(2019·课标全国Ⅱ)设z ＝i(2＋i)，则z －＝( )A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i 3．已知z－1＋i＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i 4．i 是虚数单位，若1＋7i2－i＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则ab 的值是( )A ．－15B ．－3C ．3D ．15 5．(2020·揭阳一模)已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝3＋ai ，|z －|＝2，则a ＝( ) A.7或－7 B ．1或－1 C ．2 D ．－26．(2021·江西名校高三质检)若在复平面内，复数z ＝3＋mi 6－i (m ∈R )所对应的点落在直线y ＝x 上，则m ＝( )A.157B.715 C ．－157 D ．－7157．(2021·河北六校联考)已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为(2，－1)，(0，－1)，则z 1z 2＋|z 2|＝( )A ．2＋2iB ．2－2iC ．－2＋iD ．－2－i 8．(2020·唐山二模)若复数z ＝1＋ia －i (i 是虚数单位，a ∈R )是纯虚数，则z 的虚部为( )A ．1B ．IC ．2D ．2i 9．(2021·江南十校联考)若复数z 满足z(1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12 B.2－1 C ．1 D.2＋1210．(2021·武汉市武昌区调考)设z 是复数，α(z)表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i)＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 11．已知i 是虚数单位，且复数z 1＝3－bi ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为( )A ．－6B ．6C ．0 D.1612．在复数集C 内分解因式2x 2－4x ＋5等于( )A ．(x －1＋3i)(x －1－3i)B ．(2x －2＋3i)(2x －2－3i)C ．2(x －1＋i)(x －1－i)D ．2(x ＋1＋i)(x ＋1－i)13.(2020·湖北黄冈期末)复数z 1，z 2在复平面内分别对应点A ，B ，z 1＝3＋4i ，将点A 绕原点O 逆时针旋转90°得到点B ，则z －2＝( )A ．3－4iB ．－4－3iC ．－4＋3iD ．－3－4i14．(2021·济南市质量评估)已知复数z 满足z ＋z·i ＝2(其中i 为虚数单位)，则z －＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i15．(2020·邯郸二模)复数z 在复平面内表示的点Z 如图所示，则使得z 2·z 1是纯虚数的一个z 1是( )A ．3－4iB ．4＋3iC ．3＋4iD ．4－3i 二、多项选择题16．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的真命题是( )A ．若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －2B ．若z 1＝z －2，则z －1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z －1＝z 2·z －2 D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 12＝z 22 17．下列命题正确的是( )A ．若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数B ．z 1，z 2都是复数，若z 1＋z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数C ．复数z 是实数的充要条件是z ＝z －(z －是z 的共轭复数)D ．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i(i 是虚数单位)，它们对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝1 三、填空题与解答题18．(2020·西安模拟)若a ＋bii (a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a ＝________，b ＝________．19．(2020·江苏阜宁中学调研)若复数z ＝i ＋i 2 020，则z －＋10z的模等于________．20．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ； (2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2； (3)1－3i（3＋i ）2.5.5复数 参考答案1．答案 A 2．答案 D 3．答案 B解析 z －＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，则z ＝1－3i. 4．答案 B 解析1＋7i 2－i＝（1＋7i ）（2＋i ）5＝－1＋3i ，故a ＝－1，b ＝3，故ab ＝－3.5．答案 B解析 z ＝3＋ai ，z －＝3－ai ，又|z －|＝2，则3＋(－a)2＝4，解得a ＝±1，a 的值为1或－1.故选B. 6．答案 A解析 依题意，z ＝3＋mi 6－i ＝（3＋mi ）（6＋i ）（6－i ）（6＋i ）＝18＋3i ＋6mi －m 37＝18－m 37＋3＋6m 37i ，则18－m ＝3＋6m ，解得m ＝157，故选A.7．答案 A解析 由题意知z 1＝2－i ，z 2＝－i ，则z 1z 2＝2－i －i ＝（2－i ）i －i 2＝1＋2i ，|z 2|＝1，故z 1z 2＋|z 2|＝2＋2i ，故选A. 8．答案 A解析 设z ＝1＋ia －i ＝bi(b ∈R 且b ≠0)，则1＋i ＝b ＋abi ，∴b ＝1.选A. 9．答案 A解析 由z(1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－12＋2＋12i ，故z 的实部为2－12，故选A. 10．答案 C解析 ∵α(z)表示满足z n ＝1的最小正整数n ，∴α(i)表示满足i n ＝1的最小正整数n.∵i 2＝－1，∴i 4＝1，∴α(i)＝4. 11．答案 B解析 因为z 1z 2＝3－bi 1－2i ＝3＋2b 5＋（6－b ）i 5，z 1z 2是实数，所以6－b 5＝0，所以b ＝6.故选B.12．答案 B解析 2x 2－4x ＋5＝2(x －1)2＋3＝[2(x －1)]2－(3i)2＝(2x －2＋3i)(2x －2－3i)． 13.答案 B解析 由题意知A(3，4)，B(－4，3)，即z 2＝－4＋3i ，z －2＝－4－3i. 14．答案 A解析 方法一：由z ＋z·i ＝2，得z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z －＝1＋i.方法二：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则a ＋bi ＋(a ＋bi)i ＝2，即a －b ＋(b ＋a)i ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以z ＝1－i ，所以z －＝1＋i. 15．答案 D解析 由题意可得，z ＝－2＋i ，令z 1＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则z 2·z 1＝(－2＋i)2(a ＋bi)＝(3－4i)(a ＋bi)＝(3a ＋4b)－(4a －3b)i.又z 2·z 1为纯虚数，则z 2·z 1的实部为0，即3a ＋4b ＝0，则z 1＝4－3i ，故选D. 16．答案 ABC解析 对于A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，z 1＝z 2，所以z －1＝z －2为真； 对于B ，若z 1＝z －2，则z 1和z 2互为共轭复数，所以z －1＝z 2为真；对于C ，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，若|z 1|＝|z 2|，则a 12＋b 12＝a 22＋b 22，即a 12＋b 12＝a 22＋b 22，所以z 1·z－1＝a 12＋b 12＝a 22＋b 22＝z 2·z －2，所以z 1·z －1＝z 2·z －2为真；对于D ，若z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 12＝1，z 22＝－1，所以z 12＝z 22为假，故选ABC. 17．答案 BC解析 对于A ，z 1和z 2可能是相等的复数，错误；对于B ，若z 1和z 2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，正确；对于C ，由a ＋bi ＝a －bi ，得b ＝0，正确；对于D ，由题可知，A(－1，2)，B(1，－1)，C(3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x ＋y ，2x －y)，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，错误．故选BC. 18．答案 －4 3解析 因为a ＋bi i ＝（a ＋bi ）（－i ）－i 2＝b －ai(a ，b ∈R )，(2－i)2＝4－4i －1＝3－4i ，由题意得b ＝3，a ＝－4.19．答案 6 2解析 z ＝i ＋i 2 020＝i ＋1，z －＋10z ＝1－i ＋101＋i ＝6－6i ，其模为6 2.20．答案 (1)15＋25i (2)－1 (3)－14－34i解析 (1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i＝i （2－i ）5＝15＋25i.(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1.(3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2＝－i 3＋i＝（－i ）（3－i ）4＝－14－34i.。
高考数学《复数》真题练习含答案
高考数学《复数》真题练习含答案一、选择题1．[2024·新课标Ⅰ卷]若z z －1＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由z z －1 ＝1＋i ，可得z －1＋1z －1 ＝1＋i ，即1＋1z －1 ＝1＋i ，所以1z －1＝i ，所以z －1＝1i＝－i ，所以z ＝1－i ，故选C. 2．[2024·新课标Ⅱ卷]已知z ＝－1－i ，则|z |＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2答案：C解析：由z ＝－1－i ，得|z |＝（－1）2＋（－1）2 ＝2 .故选C.3．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i ＋9i －3i 2＝6＋8i ，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z ＝1－i 2＋2i，则z －z － ＝( ) A ．－i B ．iC ．0D ．1答案：A解析：因为z ＝1－i 2＋2i ＝（1－i ）22（1＋i ）（1－i ） ＝－12 i ，所以z － ＝12 i ，所以z －z － ＝－12 i －12i ＝－i.故选A. 5．|2＋i 2＋2i 3|＝( )A ．1B ．2C ．5D ．5答案：C解析：|2＋i 2＋2i 3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5 .故选C.6．设z ＝2＋i 1＋i 2＋i5 ，则z － ＝( ) A ．1－2i B ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i答案：B解析：z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5 ＝2＋i 1－1＋i ＝－i ()2＋i －i 2 ＝1－2i ，所以z － ＝1＋2i.故选B.7．[2022·全国甲卷(理)，1]若z ＝－1＋3 i ，则z z z －－1＝( ) A ．－1＋3 i B ．－1－3 iC ．－13 ＋33 iD ．－13 －33i 答案：C解析：因为z ＝－1＋3 i ，所以z z z －－1＝－1＋3i （－1＋3i ）（－1－3i ）－1 ＝－1＋3i 1＋3－1 ＝－13 ＋33i.故选C. 8．[2023·全国甲卷(文)]5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝( ) A ．－1 B ．1C ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由题意知，5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ） ＝5（1－i ）22－i2 ＝5（1－i ）5 ＝1－i ，故选C. 9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．|z |＝cos θC ．z ·z － ＝1D ．z ＋1z为实数 答案：CD解析：复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)， 复数z 在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A 不正确； |z |＝cos 2θ＋sin 2θ ＝1，所以B 不正确；z ·z － ＝(cos θ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以C 正确；z ＋1z ＝cos θ＋isin θ＋1cos θ＋isin θ＝cos θ＋isin θ＋cos θ－isin θ＝2cos θ为实数，所以D 正确.二、填空题10．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________． 答案：－7解析：a ＋b i i ＝i （a ＋b i ）i 2 ＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.11．i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i＝________． 答案：4－i解析：6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝6－12i ＋7i ＋145 ＝20－5i 5＝4－i. 12．设复数z 1，z 2 满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3 ＋i ，则|z 1－z 2|＝________． 答案：23解析：设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，又z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ＝3 ＋i ，∴a ＋c ＝3 ，b ＋d ＝1，则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝4，∴8＋2ac ＋2bd ＝4，即2ac ＋2bd ＝－4，∴|z 1－z 2|＝（a －c ）2＋（b －d ）2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－（2ac ＋2bd ） ＝8－（－4） ＝23 .[能力提升] 13．(多选)[2024·九省联考]已知复数z ，w 均不为0，则( )A ．z 2＝|z |2B ．z z － ＝z 2|z |2C ．z －w ＝z － －w －D ．⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w 答案：BCD解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，w ＝c ＋d i(c ，d ∈R )；对A ：z 2＝(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝(a 2＋b 2 )2＝a 2＋b 2，故A 错误；对B: z z － ＝z 2z －·z ，又z － ·z ＝||z 2，即有z z － ＝z 2|z |2 ，故B 正确； 对C ：z －w ＝a ＋b i －c －d i ＝a －c ＋(b －d )i ，则z －w ＝a －c －(b －d )i ，z － ＝a －b i ，w －＝c －d i ，则z － －w － ＝a －b i －c ＋d i ＝a －c －(b －d )i ，即有z －w ＝z － －w － ，故C 正确； 对D ：⎪⎪⎪⎪z w ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b i c ＋d i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ） ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋bd －（ad －bc ）i c 2＋d 2 ＝（ac ＋bd c 2＋d 2）2＋（ad －bc c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＋a 2d 2－2abcd ＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2c 2＋d 2 ，||z ||w ＝a 2＋b 2c 2＋d2 ＝a 2＋b 2×c 2＋d 2c 2＋d 2 ＝（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）c 2＋d 2 ＝a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2c 2＋d 2 ，故⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w ，故D 正确．故选BCD. 14．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2答案：A解析：由z ＝1－2i 可知z － ＝1＋2i.由z ＋a z － ＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝0，2a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.故选A. 15．[2023·全国甲卷(理)]设a ∈R ，(a ＋i)(1－a i)＝2，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：C解析：∵(a ＋i)(1－a i)＝a ＋i －a 2i －a i 2＝2a ＋(1－a 2)i ＝2，∴2a ＝2且1－a 2＝0，解得a ＝1，故选C.16．已知z (1＋i)＝1＋a i ，i 为虚数单位，若z 为纯虚数，则实数a ＝________． 答案：－1解析：方法一 因为z (1＋i)＝1＋a i ，所以z ＝1＋a i 1＋i ＝（1＋a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋a ）＋（a －1）i 2，因为z 为纯虚数， 所以1＋a 2 ＝0且a －12≠0，解得a ＝－1. 方法二 因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，则z (1＋i)＝1＋a i ，即b i(1＋i)＝1＋a i ，所以－b ＋b i＝1＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝1b ＝a ，解得a ＝b ＝－1.。
备战2020年高考高三一轮单元训练金卷+数学+第13单元++算法、推理证明与复数+A卷++Word版含答案
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第13单元 算法、推理证明与复数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复平面内，复数z i i 为虚数单位)，则复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．定义x x f sin )(0=，()()10cos f x f x x '==，()()1n n f x f x +'=，则=)(2017x f （ ）A ．x sinB ．x cosC ．x sin -D ．x cos -4．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知复数512z =+i ，则复数z z -2的虚部为（ ） A ．-i B ．1- C ．2-i D ．2-6．对任意非零实数a ，b ，若a b ⊗的运算原理如右图程序框图所示，则(32)4⊗⊗的值是（ ）A ．0B ．12C ．32D ．97．关于复数()211z +=-i i ，下列说法中正确的是（ ）A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 的共轭复数1z =-iC ．若复数()1z z b b =+∈R 为纯虚数，则1b =D ．设a ，b 为复数z 的实部和虚部，则点(),a b 在以原点为圆心，半径为1的圆上8．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）A ．21B ．1-C ．2D ．19．已知222433+=⨯，333988+=⨯，444161515+=⨯，……，观察以上等式，若999k m n+=⨯(m ，n ，k 均为实数)，则m n k +-=（ ）A ．76B ．77C ．78D ．7910．阅读如图所示的程序框图，若输入919a =，则输出的k 值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．1211．网络工作者经常用网络蛇形图来解释网络的运作模式，如图所示，数字1出现在第一行;数字2，3出现在第二行;数字6，5，4(从左至右)出现在第三行;数字7，8，9，10出现在第四行;以此类推，则按网络运作顺序第63行从左到右的第2个数字(如第2行第1个数字为2，第3行第1个数字为4，…，)是（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．201712．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}()n a n *∈N 的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则=++201720162015a a a （ ）A ．1008B ．1009C ．2017D ．2018第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若复数z 与2(2)4z -+i 都是纯虚数，则=-+22z z ________． 14．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是______．15．我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示的()()()()1234为刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是有相同的小正方形构成，小正方形越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图案包含)(n f 个小正方形，则)(n f 的表达式为 ．16．在计算“)1(3221-++⨯+⨯n n ”时，某位数学教师采用了以下方法： 构造等式：)]1()1()2)(1([31)1(+--++=+k k k k k k k k ，以此类推得：)210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯，)321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯， )432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯，…，…， )]1()1()2)(1([31)1(+--++=-⨯n n n n n n n n ， 相加得11223(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯++-=++． 类比上述计算方法，可以得到=+++⨯+⨯)2(4231n n ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设复数1z =+i ，若实数a ，b 满足2)2(2z a z b az +=+，其中z 为z 的共轭复数．求实数a ，b 的值．18．（12分）如图，已知单位圆221x y +=与x 轴正半轴交于点P ，当圆上一动点Q 从P 出发沿逆时针旋转一周回到P 点后停止运动．设OQ 扫过的扇形对应的圆心角为xrad ，当02x <<π时，设圆心O 到直线PQ 的距离为y ，y 与x 的函数关系式()y f x =是如图所示的程序框图中的①②两个关系式．（1）写出程序框图中①②处的函数关系式；（2）若输出的y 值为12，求点Q 的坐标．19．（12分）已知函数)()0,1f x a a =>≠且．（1）证明：函数)(x f y =的图象关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； （2）求(2014)(2013)(1)(0)(1)(2014)(2015)f f f f f f f -+-++-+++++．20．（12分）已知数列{}n a 满足:211=a ，111)1(21)1(3++-+=-+n n n n a a a a ，()101n n a a n +<≥，数列{}n b 满足：()2211n n n b a a n +=-≥． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列．21．（12分）下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n 个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为)(n f ．（1）求出(2)f ，(3)f ，(4)f ，(5)f ；（2）找出)(n f 与)1(+n f 的关系，并求出)(n f 的表达式；（3）求证()111125111136(1)3(2)5(3)7()213333n f f f f n n *++++<∈+++++N ．22．（12分）将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知数表中每一行的第一个数1a ，2a ，5a ，…构成一个等差数列，记为{}n b ，且42=b ，105=b ．数表中每一行正中间一个数1a ，3a ，7a ，…构成数列{}n c ，其前n 项和为n S ．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数且113=a ，求数列{}n c 的前n 项和n S ；（3）在满足（2）的条件下，记{}(1),n M n n c n λ*=+≥∈N ，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围．单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ） 第13单元 算法、推理证明与复数 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】∵z ===i ，∴z ，故选C ． 2．【答案】D【解析】由题意得，这种树的从第一年的分枝数分别是1，1，2，3，5，，则112+=，213+=，325+=，即从第三项起每一项都等于前两项的和， 所以第6年树的分枝数是853=+，故选D ． 3．【答案】B【解析】()()10cos f x f x x '==，x x x f x f sin )(cos )()(''12-===，'3()(sin )cos f x x x =-=-，'40()(cos )sin ()f x x x f x =-==，'51()(sin )cos ()f x x x f x ===，同理)()(26x f x f =，)()(37x f x f =，)()(48x f x f =，周期为4， ∴20171()()cos f x f x x ==，故选B ． 4．【答案】A【解析】由所给图形的规律看出，空心的矩形、三角形、圆形都是一个，实心的图形应均为两个，∴空白处应填实心的矩形，故选A ． 5．【答案】D 【解析】55(12)5(12)1212(12)(12)5z --====-++⋅-i i i i i i ， ∴22(12)(12)42z z -=---=--i i i ，∴复数z z -2的虚部为2-，故选D ．6．【答案】C【解析】根据程序框图知221323=+=⊗，∴413(32)42422-⊗⊗=⊗==，故选C ．7．【答案】C【解析】由题意可知()212111z +===-+--i ii ii，若()1z z b b =+∈R 为纯虚数，则1b =， 故选C ． 8．【答案】B【解析】设每次循环所得到的a 的值构成数列{}n a ， 由框图可111n n a a +=-，02a =，112a =，21a =-，32a =，412a =，…， 所以{a n }的取值具有周期性，且周期为T ＝3． 又由框图可知输出的122012-===a a a ，故选B ． 9．【答案】D【解析】观察以上等式，类比出等式2(1)(1)(1)(1)x xx x x x x x +=⨯-+-+， 当9x =时，可得999818080+=⨯，所以80m =，80n =，81k =， 所以80808179m n k +-=+-=．故选D ． 10．【答案】C 【解析】当111119(1)1335171921919S =+++=-=⨯⨯⨯时，10=k ，若199>S ，则输出的k 值是11，故选C ． 11．【答案】B【解析】网络蛇形图中每一行的第一个数1，2，4，7，11，，按原来的顺序构成数列{}n a ，易知n a a n n =-+1，且11=a ， ∴22132121()()()1123(1)2n n n n n a a a a a a a n --+=+-+-++-=+++++-=． ∴第63行的第一个数字为19542263632=+-， 而偶数行的顺序为从左到右，奇数行的顺序为从右到左， ∴第63行从左到右的第2个数字就是从右到左的第62个数字， 这个数为2015611954=+．故选B ． 12．【答案】B【解析】观察点的坐标，写出数列{}n a 的前12项：1，1，1-，2，2，3，2-，4，3，5，3-，6．可提炼出规律，偶数项的值等于其序号的一半，奇数项的值有正负之分， 且n a n =-34，n a n -=-14，n a n =2，∴505350542017==-⨯a a ，504150442015-==-⨯a a ，10082016=a ， ∴2015201620171009a a a ++=，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】i 或-i【解析】由已知可设(),0z b b b =∈≠R i ，则222(2)4(2)44(44)z b b b -+=-+=-+-i i i i ，∴240440b b ⎧-=⎨-≠⎩，∴2b =±，∴2z =-i 或2z =i ，∴当2z =-i 时，2221(1)(1)22221(1)(1)2z z +--+-+⋅-=====---++⋅-i i i i ii i i i i ； 当2z =i 时，()()()222222222z z ++=====---+⋅-i+1i i+1i i i i-1i+1i-1． 14．【答案】5【解析】5=n ，16=n ，1=k ；8=n ，2=k ；4=n ，3=k ；2=n ，4=k ；1=n ，5=k ，输出5．15．【答案】1222+-n n【解析】我们考虑，4)1()2(=-f f ，42)2()3(⨯=-f f ，43)3()4(⨯=-f f ，…， 归纳得出)1(4)()1(-⨯=-+n n f n f ， ∴()(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]f n f f f f f f n f n =++-+-++--21424344(1)14[123(1)]221n n n n =++⨯+⨯++-=+++++-=-+．16．【答案】)72)(1(61++n n n 【解析】构造等式：)]2()2()4)(2([61)2(+--++=+n n n n n n n n ， ∴]31)1(531[6131⨯⨯--⨯⨯=⨯，)420642(6142⨯⨯-⨯⨯=⨯，)531753(6153⨯⨯-⨯⨯=⨯，……，)]1)(1)(3()3)(1)(1[(61)1()1(+---++-=+⨯-n n n n n n n n ，)]2()2()4)(2([61)2(+--++=+⨯n n n n n n n n ，相加得11324(2)[(1)13024(1)(1)(3)(2)(4)]6n n n n n n n n ⨯+⨯+++=--⨯⨯-⨯⨯+-+++++)72)(1(61++=n n n ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．【解析】由1z =+i ，可知i z -=1，代入2)2(2z a z b az +=+得2(1)2(1)[2(1)]a b a ++-=++i i i ，即22(2)(2)44(2)a b a b a a ++-=+-++i i ，∴22(2)424(2)a b a a b a ⎧+=+-⎨-=+⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．18．【答案】（1）①②的式子分别为cos 2xy =，cos 2x y =-；（2）当0x <≤π时，此时点Q 的坐标为12⎛- ⎝⎭；当2x π<<π时，此时点Q的坐标为12⎛- ⎝⎭，． 【解析】（1）当0x <≤π时，cos 2x y =；当2x π<<π时，cos cos 22x x y ⎛⎫=π-=- ⎪⎝⎭；综上可知，函数解析式为()(]()cos ,0,2cos ,,22x x f x x x ⎧∈π⎪⎪=⎨⎪-∈ππ⎪⎩，所以框图中①②处应填充的式子分别为cos 2xy =，cos 2x y =-．（2）若输出的y 值为12，则0x <≤π时，1cos22x =，得23x π=，此时点Q的坐标为12⎛- ⎝⎭； 当2x π<<π时，1cos 22x -=，得43x π=，此时点Q的坐标为12⎛- ⎝⎭，． 19．【答案】（1）见解析；（2）2015-．【解析】（1）函数aa a x f x+-=)(的定义域为R ，在函数)(x f 的图象上任取一点),(00y x ，它关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点为)1,1(00y x ---，则aa a x f y x +-==0)(00，∴00(1)1f x y -====--，∴函数)(x f 图象上任意一点),(00y x 关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点)1,1(00y x ---仍在函数)(x f y =的图象上．即函数)(x f y =的图象关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对称．（2）由（1）得1)1()(00-=-+x f x f ，∴1)2015()2014(-=+-f f ；1)2014()2013(-=+-f f ；1)2013()2012(-=+-f f ；……；1)2()1(-=+-f f ；1)1()0(-=+f f ．∴(2014)(2013)(1)(0)(1)(2014)(2015)2015f f f f f f f -+-++-+++++=-．20．【答案】（1）(1)n n a -=-11243n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）见解析．【解析】（1）由题意可知，)1(321221n n a a -=-+，令21n n a c -=，则2111++-=n n a c ，n n c c 321=+．又431211=-=a c ，则数列{}n c 是首项为431=c ，公比为32的等比数列，即13243n n c -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故1232143n na -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，∴1232143n na -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭．又0211>=a ，01<+n n a a ，故(1)n n a -=-，1122132321211434343n n n n n nb a a --+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅--⋅=⋅⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．（2）反证法：假设数列{}n b 存在三项r b ，s b ，t b ()r s t <<按某种顺序成等差数列， 由于数列{}n b 是首项为41，公比为32的等比数列，于是有r s t b b b >>， 则只能有t r s b b b +=2成立．∴1111212122434343s r t ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅+⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边同乘以r t --1123，化简得s t r s r t r t ----⋅=+32223． 由于t s r <<，∴上式左边为奇数，右边为偶数， 故上式不可能成立，导致矛盾．21．【答案】（1）(2)12f =，(3)27f =，(4)48f =，(5)75f =；（2）36)()1(+=-+n n f n f ，2()3f n n =；（3）见解析．【解析】（1）由题意有：3)1(=f ，12233)1()2(=⨯++=f f ，27433)2()3(=⨯++=f f ， 48633)3()4(=⨯++=f f ，75833)4()5(=⨯++=f f ．（2）由题意及（1）知，36)(233)()1(++=⨯++=+n n f n n f n f ， 即36)()1(+=-+n n f n f ．∴()(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]f n f f f f f f n f n =+-+-++--3(613)(623)[6(1)3]36[123(1)]n n n =+⨯++⨯+++-+=+++++-2(1)3633(1)32n nn n n n n -=+⨯=+-=． （3）∵23)(n n f =，∴2111111(1)(1)1()213n n n n n f n n =<=-+++++， ∴11111111(1)3(2)5(3)7()213333f f f f n n ++++<+++++11111111111111125()()()4934451493149336n n n ++-+-++-=++-<++=++， 所以对于任意n *∈N ，原不等式成立．22．【答案】（1）2n b n =；（2）2282n n n S -+=-；（3）(]4,5． 【解析】（1）设数列{}n b 的公差为d ，则114410b d b d +=⎧⎨+=⎩解得122b d =⎧⎨=⎩，所以n b n 2=．（2）设每一行组成的等比数列的公比为q ，由于前n 行共有2)12(531n n =-++++ 个数，且224133<<，又8410==b a ，所以18331013===q q a a ，解得21=q ．因此121222n n n n c n --⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以12110121232222n n n n n S c c c c ---=++++=++++，0121112122222n n n n nS ---=++++，所以10121111211111122412222222212nn n n n n n n n S -----⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=--，即2228-+-=n nn S ．（3）由（1）知22-=n n n c ，不等式λ≥+n c n )1(，可化为λ≥+-22)1(n n n ．设22)1()(-+=n n n n f ， 计算得4)1(=f ，6)3()2(==f f ，5)4(=f ，415)5(=f ， 因为121(1)(2)(1)(2)(1)(1)()222n n n n n n n n n f n f n ---+++-++-=-=， 所以当3≥n 时，)()1(n f n f <+．因为集合M 的元素的个数为3，所以λ的取值范围是(]4,5．。
2021届金太阳高三新高考(广东卷)联考数学试题(解析版)
设这7天降雨量分别为X],a∙2 tx3tx4tx5tx6, J7
因为1厘米=10毫米,这7天降雨量分别为IOxI, 10‰, IOX3，IOX4，IoX5，IOX6，IO-V7,
平均值为10无二265,
所以标准差变为-X（IOxll-IOx）'xf=10×6」=61.
Y 7ZI=Iy 7/?=i
故选：C
【点睛】
本题考査统讣知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，屈于基础题・
4.若0<方<1,则““>戻”是“u>b”的（）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】
因为OCbVl,所以b-b3=b（l-b2）>0,即b>b∖故">方可推出a > b'，
A. (0, 1)B.(—3,0)<j(1,2)
C.(—3,1)D.(―2,0)<j(1,3)
【答案】B
【解析】化简集合A, B,根据交集运算即可求值.
【详解】
因为A = {x∖x<x2} =(Y,0)u(1,+oc),
B = {x∖x2+X —6 v0} = (-3,2)
所以ACB = (-3,0)u(l,2)∙
而a >b3推不出u >b,（例如“=丄"=丄）42
故“α>Z√”是∏"的必要不充分条件.
故选:A
【点睹】
本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.
5.函数/(X) = x2SinX-XCOSx⅛[-π,π]±的图象大致为()
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[原创精品]
2021届新高三一轮单元金卷 第十三单元复数训练卷 B 卷
学生版
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知为虚数单位，复数，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．设复数（，），则是纯虚数的必要不充分条件是（ ）
A ．且
B ．
且
C ．且
D ． 4．设是原点，向量，对应的复数分别是，
，则向量
对应的复数为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知复数满足
，复数
在复平面内对应的点为
，且
，
在复平面内对应
的点关于实轴对称，则有（ ） A ． B ． C ．
D ．
6．复数，
在复平面内分别对应点，
，
，将点
绕原点
逆时针旋转
得
到点，则（ ） A ． B ．
C ．
D ．
7．已知
（是虚数单位），则复数
的辐角的主值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．若是关于方程的一个复数根，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．关于复数满足
，则在复平面内的对应点可能位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 10．下列各式中正确的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
11．下面是关于复数
的四个命题，其中为真命题的是（ ）
A ．
B ．的共轭复数是
C ．
的虚部是
D ．在复平面内所对应的点位于第三象限
12．对于两个复数
，
，有下列四个结论，其中正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
此
卷
只
装
订
不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若（，，为虚数单位），则．
14．若复数为纯虚数，则．
15．若复数满足，则的最大值为．
16．若复数的共轭复数所表示的点在复平面二、四象限的平分线上，则实数；
．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）计算：
（1）；
（2）．18．（12分）将下列复数代数式化为三角式．
（1）；（2）．
19．（12分）设，为虚数单位．（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若的共轭复数在复平面对应的点在第二象限，求的取值范围；（3）若，求的取值范围．
20．（12分）已知复数满足（为虚数单位），．
（1）求；
（2）若是关于的方程的一个根，求实数的值及方程的另一个根．
21．（12分）已知在复平面内的平行四边形中，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为．
（1）求，，三点对应的复数；
（2）求平行四边形的面积．22．（12分）已知复数满足条件，其中常数为正实数．（1）试证明：；
（2）当时，试确定复数的辐角主值的取值范围．
第13单元复数答案
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】，故选B．
2．【答案】A
【解析】，∴，故选A．
3．【答案】D
【解析】由纯虚数概念可知，且是复数（，）为纯虚数的充要条件，题中要求的是必要不充分条件，故选D．
4．【答案】D
【解析】∵，∴向量对应的复数为，故选D．
5．【答案】A
【解析】由已知可得，则，
∵，所以，故选A．
6．【答案】B
【解析】由题意知，将点绕原点逆时针旋转得到点，即，
∴，故选B．
7．【答案】C
【解析】，
∴复数的辐角的主值为，故选B．
8．【答案】D
【解析】设且，则，∴，∴，
∵，∴，∴，即．
∵，∴，故选D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】BD
【解析】当为奇数时，，，此时在复平面内的对应点位于第二象限；
当为偶数时，，，此时在复平面内的对应点位于第四象限．
综上可知，B，D正确．
10．【答案】BC
【解析】，∴B正确；
，∴C正确．
11．【答案】CD
【解析】，，∴A错误；
，∴B错误；
的虚部是，∴C正确；
在复平面内所对应的点为，该点位于第三象限，∴D正确．
12．【答案】ACD
【解析】，∴A正确；
，∴B错误；
，∴C正确；
，∴D正确．
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】由已知得，
∴，解得，
∴．
14．【答案】
【解析】∵复数为纯虚数，∴，
∴，∴．15．【答案】
【解析】，
当且仅当时等号成立．
16．【答案】，
【解析】，
∴，由已知可得，的实部与虚部互为相反数，∴，解得．
∴，．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）0．
【解析】（1），，
∴．
（2），
∴．
18．【答案】（1）；（1）见解析．
【解析】（1）．
（2），
当时，，，
∴；
当时，，，
．
19．【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）若为纯虚数，则，解得．
（2），由已知可得，解得，
即的取值范围为．
（3），，∴，∴，解得．
又∵，即，∴，
即的取值范围为．
20．【答案】（1）；（2），．
【解析】（1）∵，∴，
∴．
（2）∵是方程的一个根，
∴，即．
∵为实数，∴，解得．
设方程另一根为，
根据韦达定理，可得，∴，即方程另一根为．
21．【答案】（1）见解析；（2）1．
【解析】（1）点对应的复数为，
点对应的复数为，∵四边形为平行四边形，∴，
∴点对应的复数为．
（2）由已知可得，，
∴，∴，
∴平行四边形的面积．
22．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）设，
代入可得，
∴，即．
∵，∴，即，
解得，∴．
（2）当时，由可得，∴，即，
∴当时，可得或，
即复数的辐角主值的取值范围为．。