复数专题训练四精选练习及答案

复数专题训练（四）
班级 ________ 姓名__________ 记分___________
28、（本小题满分12分）(续前)
复数z 1、z 2满足|z 1|=|z 2|=1，z 1、z 2在复平面内的对应点分别为Z 1、Z 2，O 为原点． （1） 若z 2-z 1=-1，求arg
12z z ； (2) 设argz 1=α，argz 2=β，若ΔOZ 1Z 2的重心对应复数31+15
1
i ，求tg(α+β)的值．
29、（本小题满分12分）
设z 为复数，D 为满足条件||z|-1|+|z|-1=0的点Z 所构成图形的边界．
（1） 若复数ω=
21
z+1-2i(z ∈D)，求ω对应点的轨迹方程； （2） 若满足条件|z+21|=|z-2
3
i|所构成的图形D /与D 有两个公共点A 、B ，OA 、OB 的倾
斜角分别为α、β（O 为原点），求cos(α+β)的值．
30、（本小题满分14分）
设无穷数列{z n }满足z 1=-1+i ，z n 在复平面上的对应点为Z n (n=1，2，…)，将向量n OZ 沿逆时针方向旋转
4
π
，且使模扩大到原来的2倍就得到向量1n OZ +． (1). 求这个数列的通项公式； (2). 已知数列的第n 项为-32，求n ； (3) .将数列{z n }中的实数项的倒数按原顺序排成一个新数列{b n }，并设S n =b 1+b 2+…+b n ，求∞
→n lim S n ．
参考答案： DCCBA AADCC BDBDD
16、10, 0 17、{-2,0,2} 18、82，
π4
19、(1)Z 为实数(2)0或1或-
i 2
321± 20、
3
2π
; 21、2±
;
22、(1) –1; (2) 300o
; (3) -2 3 I; (4)__________ 23、以( －1 , 0 ) 为圆心, 2为半径的圆 .
24、解析：设Z 1=cos α＋isin α,Z 2=-4(cos β＋isin β)
∵Z 1－Z 2=1－2i 3,∴⎩⎨
⎧-=-=-)
2(32sin 4sin )
1(1cos 4cos ΛΛΛβαβα
(1)2
＋(2)2
得
1＋16－8cos(α－β)=13,∴cos(α－β)=
2
1
,sin(α－β)=23±
∴21Z Z =21Z Z =[cos(α－β)＋isin(α－β)]=8
381)3321(41±=±i i
25、．解：由|z 1|=1，则1
z =
1z 1，|z 2|=4，则2z =2
z 16
，∴|z 1-z 2|2
=|z 1|2
+|z 2|2
-1z z 2-z 12z =|1-23i|2
=13，∴1z z 2+z 12z =4，即
12z z +162
1z z
=4，∴16（
21z z ）2-421z z +1=0，∴21z z =8i 31±，ω=2
21z z 3z 4-=21（1±3i ）-3=-25±2
3
i ．
26、解：（1）设x 0为原方程一实根，则x 02
-2(1+i)x 0+
2
1ab-(a-b)i=0，所以⎪⎩⎪⎨⎧
-==+-,
a b x 2,
0ab 21x 2x 0020消去x 0得(a+2)2
+(b-2)2
=8，所以-22-2≤a≤22-2，2-22≤b≤2+22．
（2）设a+2=22cosθ，b-2=22sinθ，则x 0=2a b -=2sin(θ-4
π
)+2∈[0，4]，所以此方程实根的最大值为4，最小值为0．
27、解：设z 的辐角主值为θ，则2z 、3z 的辐角的主值均为θ．∵|z|=2，∴|2z|=4，|3z|=6，
∴S 3
AOP ∆=
2
1
|OA|·|OP 3|·|sinθ|=3|sinθ|，S
1
AOP ∆=
2
1
|OA|·|OP 1|·|sinθ|=|sinθ|，∴S 21AP P ∆+S 32AP P ∆= S 3
AOP ∆-
S 1AOP ∆=2|sinθ|=2，∴|sinθ|=1，即θ=2π或θ=2
3π
，故z=2i 或z=-2i ．
28、．解：（1）因为|z 1|=|z 2|=1，所以
|z ||z |12=1，设12z z =cosθ+isinθ，θ=arg 1
2z z ，代入z 2-z 1=-1，得(cosθ+isinθ)z 1-z 1=-1，所以z 1(cosθ+isinθ-1)=-1，所以|(cosθ-1)+isinθ|=1，即
θ+-θ2
2
sin
)1(cos =1，θ-cos 22=1，cosθ=21，所以arg 12z z =θ=3π或3
5π
． （2）设z 1=c osα+isinα，z 2=cosβ+isinβ，则3
cos cos β+α=
31，且3
sin sin β+α=151
，即⎪⎩
⎪
⎨⎧=β+α-=β+α,51sin sin ,
1cos cos 解得tg 2β+α=51，所以tg(α+β)=125．
29、解：由已知，曲线D 为|z|=1．
（1） 由ω=
21z+1-2i 得：|ω-1+2i|=21|z|=21，所求轨迹方程为(x-1)2+(y+2)2=41． （2） 由|z+21|=|z-23i|及|z|=1，得（z+21）（z +21）=（z-23i ）(z +2
3
i)，且z z =1，
化简得(3i-1)z 2
+4z-1-3i=0，所以z A ·z B =-i 31i 31+-+=-54+5
3i ，又由于z A =cos α+isin α，
z B =cos β+isin β，所以z A ·z B =cos(α+β)+isin(α+β)，所以cos(α+β)=-5
4
．
30、解：（1）由题设知z n+1=2(cos 4π+isin 4
π
)z n =(1+i)z n ，所以|z n |是以-1+i 为首项，公
比为1+i 的等比数列，所以z n =(-1+i)(1+i)n-1
=i(1+i)n
． （2）因为z n = i(1+i)n
=i(
2)n =(cos
4n π+isin 4n π)，要z n ∈R ，则cos 4
n π
=0， 4n π=kπ+2
π
，n=4k+2(k=0，1，2，…)，所以{z n }的实数项为z 2，z 6，z 10，…，z 4k+2，…，所以
n 1n b b +=-41，所以{b n }是首项为-21，公比q=-4
1
的等比数列，所以∞→n lim S n =
41121
+-
=-
5
2．。