ch2动力学(下)动量和角动量2012例题
角动量例题
“角动量守恒”及其应用在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，我们常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。
“角动量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一，应用该定律来处理力学问题在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现。
从反馈情况来看，能否灵活应用“角动量守恒”成为解题的“瓶颈”。
帮助学生认清该定律的内容及其规律并能够适当地变式处理此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。
下面就“角动量守恒”及其应用作一些简单探讨。
1 角动量守恒定律1．1质点对参考点的角动量守恒定律如图1所示，质点m 的动量为P ，相对于参考点O 的角动量为L ，其值αsin p r L ⋅=，其中α是质点的动量与质点相对参考点0的位置矢量r 的夹角。
其角动量的变化量L ∆等于外力的冲量矩t M ∆⋅（M 为外力对参考点O 的力矩），即t M L ∆⋅=∆。
若M=0，得L ∆=0，即质点对参考点O 的角动量守恒。
1．2质点系对参考点的角动量守恒定律由n 个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量t M i ∆⋅∑，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即t M L i ∆⋅=∆∑。
同样当0=∑i M 时，质点系对该参考点的角动量守恒。
如果n 个质点组成的质点系，处于非惯性系中，只要把质点系的质心取作参考点，上述结论仍成立。
1．3角动量守恒的判断当外力对参考点的力矩为零，即0=∑i M 时，质点或质点系对该参考点的角动量守恒。
有四种情况可判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。
②所有外力通过参考点。
③每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。
甚至某一方向上的外力矩为零，则在这一方向上满足角动量守恒。
④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响，角动量近似守恒。
2 角动量守恒定律的应用 例题1 （第23届物理竞赛复赛第2题）如图2所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。
第三章 动量与角动量
在光滑桌面上运动，速度分别为
v1
10i ,
v2
3.0i
5.0
j
（SI制）碰撞后合为一体，求碰撞后的速度？
解：方法一，根据动量守恒定律
m1v1 m2v2 (m1 m2 )v
解得：
v
7i
25
j
7
方法二，利用动量守恒分量式：
(m1 m2 )vx m1v1x m2v2x vx 7m / s
例 题 12
12、一子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 F 400 4105 t
3
（SI），子弹从枪口射出时的速率为300m/s。假设子弹离
开枪口时合力刚好为零，则
（1）子弹走完枪筒全长所用的时间；
（2）子弹在枪筒中所受力的冲量； （3）子弹的质量 m ；
解：（1）根据题意，子弹离开枪口时合力为零，
f mg
f t(N)
30N L L L 0 t 4 30 ft 70 10tL 4 t 7
0
Ft ft f
t(s) 47
当 t 4s 时 Ftt mv4 mv0 v4 8m / s
(2)当 t 6s 时
6
4 Ftdt mv6 mv4 v6 v4 8m / s
人造卫星的角动量守恒。
A1 : L1 mv1(R l1)
l2
l1 m
A2 : L2 mv2 (R l2 )
A2
A1
mv1(R l1) mv2 (R l2 )
v2 6.30km/s
v2
v1
R l1 R l2
o
B
牛顿力学中的动量与角动量练习题及
牛顿力学中的动量与角动量练习题及解答方法牛顿力学中的动量与角动量练习题及解答方法牛顿力学是经典力学的一个重要分支，涵盖了力、质量、加速度等概念，并且提出了许多基础性的定律和原理。
其中，动量和角动量是牛顿力学中的两个重要物理量，它们在解决实际问题中起到了关键的作用。
本文将介绍一些与动量和角动量相关的练习题，并提供相应的解答方法。
1. 动量动量是物体在运动过程中所具有的一种量度，可以用来描述物体的运动状态。
动量的计算公式为：p = m * v其中，p表示物体的动量，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
例题1：一个质量为2kg的小球以4m/s的速度沿直线运动，求它的动量。
解答：根据动量的计算公式，我们可以得到：p = m * vp = 2kg * 4m/sp = 8kg·m/s所以，该小球的动量为8kg·m/s。
例题2：一辆汽车质量为1000kg，以20m/s的速度向东北方向行驶，求它的动量。
解答：首先，我们需要将汽车的速度分解为东西方向和南北方向的分速度。
根据三角函数的知识，可以得到汽车在东西方向上的速度为v_x = v * c osθ，其中θ为汽车速度与东方向之间的夹角。
v_x = 20m/s * cos45°v_x ≈ 14.1m/s汽车在南北方向上的速度为v_y = v * sinθ。
v_y = 20m/s * sin45°v_y ≈ 14.1m/s因此，汽车的动量为：p = m * vp = 1000kg * 20m/sp = 20000kg·m/s所以，该汽车的动量为20000kg·m/s。
2. 角动量角动量是描述物体旋转运动状态的物理量，它是由物体的质量、角速度以及旋转轴的位置决定的。
角动量的计算公式为：L = I * ω其中，L表示物体的角动量，I表示物体的转动惯量，ω表示物体的角速度。
例题3：一个半径为0.1m的圆盘质量为2kg，在不受外力作用下以10rad/s的角速度绕垂直于盘面的固定轴旋转，求圆盘的角动量。
动量与角动量momentumandangularmomentum课件
注意: 1.动量定理和动量守恒定律 一般用于研究冲击问题。因为冲力很 难测量,但是碰撞前后的动量极易测量,故可由动量增量求冲量,并 估计平均冲力。
2.实际问题中,有限大小的力与冲力同时作用时,由于冲力非常
大作用时间非常短,故有限大小的力可以忽略不计。
动量与角动量
14
momentumandangularmomentum课
4
momentumandangularmomentum课
例3.3：一辆煤车以 v=3m/s的速率从煤 斗下面通过,每秒钟落入车 厢的煤 为 △m=500 kg。如果车厢的速率保持不变,应用多大的牵 引力拉车厢?
解:
(1)研究对象： t 时刻车中煤 的总质量m和 t+dt 时刻 落入车厢的煤 的质量dm
质点的角动量方向:
角动量方向垂直于r 与 p 组成的平面,其指向可用右手螺旋法则确定。
动量与角动量
28
momentumandangularmomentum课
问题:
L
1、质量为m的质点以匀速率v做半径为R的 圆周运动,其角动量为多少?
Or
v
m
2、质量为m的汽车,以速率v沿直线运动,求 它对O点的角动量为多少?对 P点的角动量 为多少?
动量与角动量
21
momentumandangularmomentum课
§3.5 质心
对于分立体系：
直角坐标系下：
Y mN
m1 rN
c ri
rc
r2 r1
O
mi
m2 X
Z动量与Biblioteka 动量22momentumandangularmomentum课
对于连续体：
直角坐标系下：
大学物理 动量和角动量习题思考题及答案
)s 习题44-1．如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。
在质点旋转一周的过程中，试求：（1）质点所受合外力的冲量I v；（2）质点所受张力T 的冲量T I v。
解：（1）设周期为τ，因质点转动一周的过程中，速度没有变化，12v v =v v ，由I mv =∆v v，∴旋转一周的冲量0I =v；（2）如图该质点受的外力有重力和拉力，且cos T mg θ=，∴张力T 旋转一周的冲量：2cos T I T j mg j πθτω=⋅=⋅v v v所以拉力产生的冲量为2mgπω，方向竖直向上。
4-2．一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度4/v m s =。
已知其中一力F v方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。
求：（1）力F v在1s 到3s 间所做的功；（2）其他力在1s 到3s 间所做的功。
解：（1）半椭圆面积⋅====⋅=⎰⎰⎰⎰v t F v t Fv x F x F A d d d d ρϖJ 6.12540201214==⨯⨯⨯=ππ（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F v做的功为时，其他的力 的功为-。
4-3．质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为cos sin r a t i b t j ωω=+v v v，求：（1）质点在任一时刻的动量；（2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。
解：（1）根据动量的定义：P mv =v v，而d r v dt==v v sin cos a t i b t j ωωωω-+v v ， ∴()(sin cos )P t m a t i b t j ωωω=--v v v ；（2）由2()(0)0I mv P P m b j m b j πωωω=∆=-=-=v v v v v v ，所以冲量为零。
ch2动力学(下)动量和角动量2012例题
快速拉动物体下方的细线时,上方的细线不会断， 原因如下：画出快速拉动下方细线时重物的受力图 . F是上方线对物体的作用力, f是下方线对物体的作 用力.根据动量定理，则有 (Mg f F)t (Mv)
v 或 F Mg (f M ) t
由于是快速拉动，因而意味着 Δt 很小，而 M 较大，结果， 在拉动中 M v 可以较大，以致使
解: (2)杆做匀减速转动 0 t
0 t
由转动定律得
0 0 l t 3g
1 mgl 3g M 4 1 I l 2 ml 12
[例5]计算质量为m，半径 为R的匀质球体绕其轴线 的转动惯量．
[例5]计算质量为m，半径 为R的匀质球体绕其轴线 的转动惯量．
[例3]如图所示，长为 l ，质量为m的均匀细杆两端各牢 固地连结一个质量为m的小球。整个可绕O点并垂直于杆 长的水平轴无摩擦地转动，当系统在水平位置时，试求 (1)系统所受的合外力矩； (2)系统对O轴的转动惯量； (3)系统的角加速度。
如图所示，长为 l ，质量为m的均匀细杆 两端各牢固地连结一个质量为m的小球。 整个可绕O点并垂直于杆长的水平轴无摩 擦地转动，当系统在水平位置时，试求 (1)系统所受的合外力矩； (2)系统对O轴的转动惯量； (3)系统的角加速度。
(Mg F N)t (Mv)
v 或 N Mg (F M ) t
t
• 注意到砧子质量M较大，而作用时间Δt 较短，故 v v 较大，以致会使 M FM 0
t
结果 N=Mg , 故打击时，人体受力不变，因而不 会受到伤害.
在锤击时间内，砧子运动是一 个向下加速运动的过程，锤子 结束后,砧子运动是一个减速运 动过程，此过程中F=0，由动量 定理知
03第三章 动量与角动量作业答案
第三次作业（第三章动量与角动量）一、选择题［A］1.（基础训练2）一质量为m0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m的木块轻轻放于斜面上，如图3-11(A) 保持静止．(B) 向右加速运动．(C) 向右匀速运动．(D) 向左加速运动．【提示】设m0相对于地面以V运动。
依题意，m静止于斜面上，跟着m0一起运动。
根据水平方向动量守恒，得：m V mV+=所以0V=，斜面保持静止。
［C］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m，速率为v，圆半径为R，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为(A) 2m v．(B) 22)/()2(vv Rmgmπ+(C) v/Rmgπ(D) 0．【提示】22TGTI mgdt mg==⨯⎰，而vRTπ2=［C ］3．（自测提高1）质量为m的质点，以不变速率v沿图3-16正三角形ABC的水平光滑轨道运动。
质点越过A点的冲量的大小为(A) m v．(B) ．(C) ．(D) 2m v．【提示】根据动量定理2121ttI fdt mv mv==-⎰，如图。
得：21I mv mv∴=-=[ B] 4.（自测提高2）质量为20 g的子弹，以400 m/s的速率沿图3-17所示的方向射入一原来静止的质量为980 g的摆球中，摆线长度不可伸缩。
子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为(A) 2 m/s．(B) 4 m/s．(C) 7 m/s ．(D) 8 m/s．【提示】相对于摆线顶部所在点，系统的角动量守恒：2sin30()mv l M m lV︒=+其中m为子弹质量，M为摆球质量，l为摆线长度。
解得：V=4 m/s（解法二：系统水平方向动量守恒：2sin30()mv M m V︒=+)图3-11图3-17二、填空题1、（基础训练7）设作用在质量为1 kg 的物体上的力F ＝6t ＋3（SI ）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0 s 的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小Ｉ＝18N s ⋅．【提示】2222(63)(33)18I Fdt t dt t t N s ==+=+=⋅⎰⎰2．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船。
动量与角动量经典例题
乘积， 即 F ma c ， 其质心加速度：a c
m a
i
i
M
。 定理只给出质心运动情况，
并不涉及质点间的相对运动及它们绕质心的运动。 3．碰撞问题 ⑴弹性碰撞：碰撞时无机械能损失．
m110 m220 m11 m22 1 1 1 1 2 2 2 m110 m220 m112 m22 2 2 2 2 （m m2）10 2m220 由①②可得： 1 1 ， m1 m2
人体重心上升的总高度： H h1 h2 令 tanφ=μ，则
02 (sin cos ) 2
2g
s0
对 0 、s0 一定时，当 即 arctan
2
时 H 最大．
1
时，人体的重心总升高最大．
类型二、动量守恒定律的问题最基本的特征就是和外力为零或某一方向上和 外力为零，当物体系内质点数量比较多时利用质心守恒是解决此类问题的重 要手段之一，解答过程，会比较简单。 例 2．如图 5—4 所示，在光滑的水平地面上静止放有一块质量 m3=2 kg，长 度 L=0. 6 m 的木板，板的左右两端分别放置质量 m1=2 kg，m2=4 kg 的两物 块， 并分别以初速度 1 =0.4 m/s, 2 =0.2 m/s 时相向运动．M1 , m2 和 m3 间 的滑动摩擦因数均为μ=0.22.试求： （1）m2 在木块上的最大位移； （2）m1 在木块上的最大位移； （3）m3 的最大位移． 分析和解：物体 1、2 可能会相碰，可能不会相碰，要予以讨论。讨论后利 用动量守恒（和质心守恒）解答本题，会比较简单。 （1）假设物块 1 、2 在木板上不会相碰，当 2 3 时，2 相对于 3 有最大位 移，则 2 a2t a3t 同
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解:(1)取m1、m2和滑轮为研究对象 对m1 m1g - T1=m1a
对m2
对滑轮 和
T2 – μm2g = m2a
T1 r - T2r = Jβ α=rβ
(2)若m2与桌面为光滑接 触，求系统的加速度a及 绳子中的张力。
μ=0
[例3]如图所示，长为 l ，质量为m的均匀细杆两端各牢 固地连结一个质量为m的小球。整个可绕O点并垂直于杆 长的水平轴无摩擦地转动，当系统在水平位置时，试求 (1)系统所受的合外力矩； (2)系统对O轴的转动惯量； (3)系统的角加速度。
v 或 N Mg M ) t
因为人体松软，Δt较大，而Δv很小，故
结果是 N = Mg
v M 0 t
白俄罗斯 士兵表演 “胸口碎大 石”
类似的情形还有：如图,用一根 细线悬挂一重物体A，物体下拴 一根相同的细线,快速拉动物体 下方的细线时,上方的细线会不 会断?
快速拉动物体下方的细线时,上方的细线不会断， 原因如下：画出快速拉动下方细线时重物的受力图 . F是上方线对物体的作用力, f是下方线对物体的作 用力.根据动量定理，则有 (Mg f F)t (Mv)
[例3]如图所示，长为 l ，质量为m的均匀细杆两端各牢 固地连结一个质量为m的小球。整个可绕O点并垂直于杆 长的水平轴无摩擦地转动，当系统在水平位置时，试求 (1)系统所受的合外力矩； (2)系统对O轴的转动惯量； (3)系统的角加速度。
如图所示，长为 l ，质量为m的均匀细杆 两端各牢固地连结一个质量为m的小球。 整个可绕O点并垂直于杆长的水平轴无摩 擦地转动，当系统在水平位置时，试求 (1)系统所受的合外力矩； (2)系统对O轴的转动惯量； (3)系统的角加速度。
[解]由转动惯量的定义，用积分 法求解．如图所示，体密度为ρ 的球体中一薄片圆盘的转动惯量
薄片圆盘的转动惯量
1 2 I mr 2
I 1 mR 2 2
1 2 1 2 2 dI r dm r (r dz) 2 2 1 1 4 4 4 r dz (R cos )d(R sin ) 2 2
[分析] 以上是直观的想像，道理不 充分，似这类问题，应当选用正确 的物理规律求证，方可下结论.
[正确解法] 图为铁锤打时，砧子 的受力图. F是锤的打击力. 设 砧子质量为M，N是人对砧子的作 用力. 另设作用时间为Δt，则 由动量定理得
( F N)t (Mv)
v 或 N Mg (F M ) t
M 2 dM 2g
l 2 0 l 2 0
1 l 2 l rdr 2g ( ( ) ) g ( ) 2 2 4
2
m l2 1 g ( )( ) mgl l 4 4
如图所示，一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为μ的水平桌 面上，设开始时杆以角速度ω。绕过中心O且垂直于桌面的轴转动(1)试求 作用在杆上的摩擦力矩；(2)经过多长时间杆才停止转动?
解: (2)杆做匀减速转动 0 t
0 t
由转动定律得
0 0 l t 3g
1 mgl 3g M 4 1 I l 2 ml 12
[例5]计算质量为m，半径 为R的匀质球体绕其轴线 的转动惯量．
[例5]计算质量为m，半径 为R的匀质球体绕其轴线 的转动惯量．
t
• 注意到砧子质量M较大，而作用时间Δt 较短，故 v v 较大，以致会使 M FM 0
t
结果 N=Mg , 故打击时，人体受力不变，因而不 会受到伤害.
在锤击时间内，砧子运动是一 个向下加速运动的过程，锤子 结束后,砧子运动是一个减速运 动过程，此过程中F=0，由动量 定理知
(Mg N)t (Mv)
如图所示，一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为μ的水平桌 面上，设开始时杆以角速度ω。绕过中心O且垂直于桌面的轴转动(1)试求 作用在杆上的摩擦力矩；(2)经过多长时间杆才停止转动?
解:(1)设杆的线密度λ=m/l ，在杆上距轴为r处，取一小 段dr，其质量dm=λdr，这一 小段dr所受摩擦力矩 dM = μdmgr = μgrλdr 整个杆所受摩擦力矩
v 或 F Mg (f M ) t
由于是快速拉动，因而意味着 Δt 很小，而 M 较大，结果， 在拉动中 M v 可以较大，以致使
t
v f M 0 t
因此，F = Mg 即在快速向下拉下方线时，上 方线的受力几乎不变，故不会断开。
[例2]如图所示，两物体的质量分别为，m1和 m2，滑轮的转动惯量为J，半径为r。 (1)若m2与桌面的摩擦系数为μ，求系统的加 速度a及绳子中的张力(绳子与滑轮间无相对滑 动)； (2)若m2与桌面为光滑接触，求系统的加速度a 及绳子中的张力。
[例1] 如图，一人平躺在桌子上，在其身上 平放一铁砧子，若另一人用铁锤猛击铁砧子 ，桌子上的人是否危险，为什么?
[例1] 如图，一人平躺在桌子上，在其身上 平放一铁砧子，若另一人用铁锤猛击铁砧子 ，桌子上的人是否危险，为什么?
解:有危险,因为铁砧子被击 打时,作用在人身上的力除了 铁砧子的作用力外，还有锤 的打击力也会通过砧子作用 到人身上，人要承受到更大 的压迫力。
I
2 2
1 m 2 5 2 2 R (1 sin ) d(sin ) mR 2 2 4 R 3 5 3
(2)系统对O轴的转动惯量
如图所示，长为 l ，质量为m的均匀细杆 两端各牢固地连结一个质量为m的小球。 整个可绕O点并垂直于杆长的水平轴无摩 擦地转动，当系统在水平位置时，试求 (1)系统所受的合外力矩； (2)系统对O轴的转动惯量； (3)系统的角加速度。
[例4]如图所示，一均匀细杆长为l，质量为 m，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设 开始时杆以角速度ω。绕过中心O且垂直于 桌面的轴转动 (1)试求作用在杆上的摩擦力矩； (2)经过多长时间杆才停止转动?