用向量法证明空间中的平行关系-学易试题君之每日一题君2019学年上学期高二数学(理)人教版(选修2-1)
用向量方法证明空间中的平行与垂直
用向量方法证明空间中的平行与垂直部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑用向量方法证明空间中的平行与垂直1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是( C >A．若a∥n，则a∥α B．若a·n＝0，则a⊥αC．若a∥n，则a⊥α D．若a·n＝0，则a∥α解读：由方向向量和平面法向量的定义可知应选 C.对于选项D，直线a⊂平面α也满足a·n＝0.2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论：①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β；③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β.其中正确的是( A >A．①③ B．①④C．②③ D．②④3.(原创>已知A(3，－2,1>，B(4，－5,3>，则与向量错误!平行的一个向量的坐标是( C >b5E2RGbCAPA．(错误!，1,1> B． (－1，－3,2>C．(－错误!，错误!，－1> D．(错误!，－3，－2错误!>p1EanqFDPw解读：错误!＝(1，－3,2>＝－2(－错误!，错误!，－1>，DXDiTa9E3d所以与向量错误!平行的一个向量的坐标是(－错误!，错误!，－1>，故选C.RTCrpUDGiT4.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2>，l2的方向向量为b＝(－2,3，m>，若l1⊥l2，则m等于 2 .5PCzVD7HxA5.设平面α的法向量为(1,2，－2>，平面β的法向量为(－2，－4，k>，若α∥β，则k＝ 4 .解读：因为α∥β，所以(－2，－4，k>＝λ(1,2，－ 2>，所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.6.已知错误!＝(1,5，－2>，错误!＝(3,1，z>．若错误!⊥错误!，错误!＝(x－1，y，－3>，且BP⊥平面ABC，则实数x＝错误!，y＝－错误!，z＝ 4 .jLBHrnAILg解读：由已知错误!，xHAQX74J0X解得x＝错误!，y＝－错误!，z＝4.7.(原创>若a＝(2,1，－错误!>，b＝(－1,5，错误!>，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为2错误!.LDAYtRyKfE 解读：因为a·b＝(2,1，－错误!>·(－1,5，错误!>＝0，所以a⊥b，又|a|＝2错误!，|b|＝错误!，所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为|a|·|b|＝2错误!×错误!＝2错误!.8.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC ＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE.Zzz6ZB2Ltk证明：如图，连接OP，因为PA＝PC，AB＝BC，所以PO⊥AC，BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，所以可以以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.dvzfvkwMI1则O(0,0,0>，A(0，－8,0>，B(8,0,0>，C(0,8,0>，F(4, 0,3>．由题意，得P(0,0,6>，E(0，－4,3>，G(0,4,0>．rqyn14ZNXI 因为错误!＝(8,0,0>，错误!＝(0，－4,3>，EmxvxOtOco设平面BOE的一个法向量为n＝(x，y，z>，则错误!，即错误!，SixE2yXPq5取y＝3，则z＝4，所以n＝(0,3,4>．由错误!＝(－4,4，－3>，得n·错误!＝0.6ewMyirQFL又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.9.如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．kavU42VRUs(1>求证：PB∥平面EFH；(2>求证：PD⊥平面AHF.证明：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，所以A(0,0,0>，B(2,0,0>，C(2,2,0>，D(0,2,0>，P(0,0,2>，E(0,0,1>，F(0,1,1>，H(1，0,0>．y6v3ALoS89(1>因为错误!＝(2,0，－2>，错误!＝(1,0，－1>，M2ub6vSTnP所以错误!＝2错误!，因为PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，所以PB∥平面EFH.(2>因为错误!＝(0,2，－2>，错误!＝(1,0,0>，错误!＝(0,1,1>，0YujCfmUCw 所以错误!·错误!＝0×0＋2×1＋(－2>×1＝0，eUts8ZQVRd 错误!·错误!＝0×1＋2×0＋(－2>×0＝0，sQsAEJkW5T所以PD⊥AF，PD⊥AH，又因为AF∩AH＝A，所以PD⊥平面AHF.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
空间向量中证明线线平行的公式
空间向量中证明线线平行的公式
在空间向量中，我们经常需要判断两条线是否平行。
判断两条
线是否平行的一种方法是使用向量的方法。
下面我们将介绍如何使
用向量来证明两条线是否平行的公式。
假设有两条线，分别用参数方程表示为:
L1: r1 = a + λv.
L2: r2 = b + μw.
其中a和b是两条线上的已知点，v和w是两条线的方向向量，λ和μ是参数。
要证明L1和L2平行，我们可以使用以下方法：
1. 首先，我们可以计算两条线的方向向量v和w。
2. 然后，我们可以计算v和w的向量积（叉乘）v × w。
3. 最后，我们可以判断v × w是否为零向量。
如果v × w为零向量，那么根据向量积的性质，我们可以得出结论，两条线平行。
证明过程如下：
v × w = 0。
⇒ |v × w| = 0。
⇒ |v| |w| sinθ = 0。
其中θ为v和w之间的夹角。
根据向量积的性质，v × w = 0 当且仅当v与w共线或其中一个为零向量。
因此，如果v × w = 0，则L1和L2平行。
通过这种方法，我们可以使用向量来证明两条线是否平行的公式。
这种方法简单直观，适用于空间向量中线线平行的判断。
希望这篇文章能对你有所帮助。
用向量方法证明平行与垂培训资料
总结词
向量线性组合定理
详细描述
如果两个平面上的任意两个向量都可以由另一个平面上的某个向量线性组合得到，则这两 个平面一定平行。
证明过程
设两个平面上的任意两个向量$vec{a}$和$vec{b}$可以由另一个平面上的某个向量$vec{c}$ 线性组合得到，即$vec{a} = k_1vec{c}$和$vec{b} = k_2vec{c}$，则根据向量线性组合的性 质，这两个平面一定平行。
03
向量的向量积
向量向量积的定义
总结词
向量积是由两个向量生成的第三个向量，其大小等于两个原向量构成的平行四边形的面 积，方向与原向量构成的平面垂直。
详细描述
向量积的定义基于几何概念，它表示两个向量通过点乘和叉乘运算生成第三个向量。这 个新向量的模等于原向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形所在的
垂直证明
证明两向量垂直，即证明两向量之间 的夹角为90度。
通过向量的点积性质，可以证明两向 量的点积为0，即 $overset{longrightarrow}{AB} cdot overset{longrightarrow}{CD} = 0$。
空间向量的平行判定
空间向量的平行判定以空间向量的平行判定为题，首先需要了解什么是空间向量。
空间向量是指具有大小和方向的量，用来表示空间中的位移、速度、力、加速度等物理量。
在三维空间中，空间向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在空间向量中，有一个重要的概念是平行向量。
平行向量是指具有相同或相反方向的向量，即它们的方向相同或相反，但大小可以不同。
判断空间向量是否平行的方法有多种，下面将介绍两种常见的方法。
方法一：向量共线法两个非零向量a和b平行的充要条件是它们的比值为常数，即a=k*b，k为常数。
根据向量的线性运算，可以得到以下结论：1. 如果两个向量a和b平行，则它们的数量积等于它们的模的乘积，即a·b=|a|*|b|。
2. 如果两个向量a和b不平行，则它们的数量积小于它们的模的乘积，即a·b<|a|*|b|。
方法二：向量叉乘法两个向量a和b平行的充要条件是它们的叉乘等于零向量，即a×b=0。
根据向量的叉乘运算，可以得到以下结论：1. 如果两个向量a和b平行，则它们的叉乘等于零向量，即a×b=0。
2. 如果两个向量a和b不平行，则它们的叉乘不等于零向量，即a×b≠0。
根据以上两种方法可以得出结论：两个向量a和b平行的充要条件是它们的数量积等于它们的模的乘积，即a·b=|a|*|b|，同时它们的叉乘等于零向量，即a×b=0。
除了以上两种方法，还可以通过向量的坐标表示进行判断。
假设向量a的坐标表示为(a1, a2, a3)，向量b的坐标表示为(b1, b2, b3)，则向量a和b平行的充要条件是它们的坐标比例相同，即a1/b1=a2/b2=a3/b3。
在实际应用中，判断空间向量的平行性是非常重要的。
例如，在工程学中，判断力的平行性可以用于判断结构的平衡性；在物理学中，判断速度的平行性可以用于判断物体的运动轨迹等。
利用空间向量证明平行
利用空间向量证明平行平行是向量的重要性质之一，通过利用空间向量可以证明向量之间的平行关系。
在三维空间中，我们可以用向量表示空间中的点和线，向量的方向和长度性质可以用来描述空间中的各种几何关系，包括平行。
首先，让我们定义两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的起点都在原点$O$。
假设这两个向量平行，我们可以利用以下空间向量的性质进行证明。
根据向量的叉乘公式，我们可以得到以下等式：$(a_2b_3-a_3b_2)\vec{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\vec{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\vec{k}=0$由于向量$\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$是线性无关的，所以上述等式成立的充分必要条件是：$a_2b_3-a_3b_2=0$$a_3b_1-a_1b_3=0$$a_1b_2-a_2b_1=0$以上等式即为判断向量$\vec{a}$和$\vec{b}$平行的条件式。
如果这三个条件式都成立，那么我们可以断定$\vec{a}$和$\vec{b}$平行。
在利用空间向量证明平行时，还需要注意以下几点：1.向量的起点需要相同，因为平行关系是两个向量共线的特殊情况，共享起点是判断平行性的前提条件。
2.以上证明的方法适用于三维空间，对于二维空间中的向量，只需要考虑平面内的坐标，即去掉$z$轴的分量即可。
证明的方法和步骤类似。
3.利用向量的坐标分量进行证明时，要注意考虑向量的方向。
如果两个向量的方向相反，那么它们的叉积为零，同样能够证明它们是平行的。
总之，通过利用空间向量的共线性和叉乘公式，我们可以证明两个向量是否平行。
这是一种简单但有效的方法，在几何学和向量分析中得到了广泛应用。
用向量的方法证明平行与垂直关系
用向量的方法证明平行与垂直关系平行与垂直是向量的重要性质，可以用向量的方法进行证明。
接下来，我将介绍如何用向量的方法证明平行和垂直关系，以及一些相关的性质和定理。
1.平行性质的证明：两个向量a和b平行的定义是它们的方向相同或相反，并且它们的长度可以不相等。
下面是两个向量平行的证明方法：方法一：向量比例法如果向量a和b平行，那么可以找到一个非零实数k，使得a=k*b。
可以通过比较向量的坐标分量来找到这个常数k。
如果两个向量平行，它们的对应坐标分量之间的比值应该相等。
举例来说，如果有向量a=(1,2,3)和向量b=(2,4,6)，我们可以通过将它们的相同位置的坐标分量相除来证明它们平行，如下所示：1/2=2/4=3/6=1/2这表明向量a和b的对应坐标分量比值相等，因此它们是平行的。
方法二：向量点乘法如果两个向量a和b平行，那么它们的点乘等于它们的长度之积。
即a·b=，a，*，b，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。
假设有向量a=(x1, y1, z1)和向量b=(x2, y2, z2)，那么它们的点乘为a·b = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2、另一方面，它们的长度之积为，a，*，b， = sqrt(x1^2 + y1^2 + z1^2) * sqrt(x2^2 + y2^2 + z2^2)。
如果将这两个等式相等，即a·b = ，a，*，b，那么可以得出向量a和b平行。
2.垂直性质的证明：两个向量a和b垂直的定义是它们的点乘为零，即a·b=0。
下面是两个向量垂直的证明方法：方法一：向量内积法两个向量a和b的点乘为a·b=x1*x2+y1*y2+z1*z2、如果a·b=0，那么可以证明向量a和b垂直。
举例来说，如果有向量a=(1,2,3)和向量b=(2,-1,-2)，我们可以计算它们的点乘为：a·b=1*2+2*(-1)+3*(-2)=0因此，向量a和b垂直。
19版：立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直（步步高）
§8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直最新考纲考情考向分析1.理解直线的方向向量及平面的法向量．2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.利用空间向量证明空间中的位置关系是近几年高考重点考查的内容，涉及直线的方向向量，平面的法向量及空间直线、平面之间位置关系的向量表示等内容．以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证题的形式出现.1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( × ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( √ ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( × )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( × ) 题组二 教材改编2．[P104T2]设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________． 答案 α⊥β α∥β解析 当v ＝(3，－2,2)时， u ·v ＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0⇒α⊥β. 当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2u ⇒α∥β.3．[P111T3]如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________．答案 垂直解析 以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为1，则A (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫0，1，12， O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，N ⎝⎛⎭⎫12，0，1，AM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12·⎝⎛⎭⎫0，－12，1＝0， ∴ON 与AM 垂直． 题组三 易错自纠4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A ．(－1,1,1) B ．(1，－1,1) C.⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33 D.⎝⎛⎭⎫33，33，－33 答案 C解析 设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，∴x ＝y ＝z .故选C.5．直线l 的方向向量a ＝(1，－3,5)，平面α的法向量n ＝(－1,3，－5)，则有( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l 与α斜交 D ．l ⊂α或l ∥α答案 B解析 由a ＝－n 知，n ∥a ，则有l ⊥α，故选B.6．已知平面α，β的法向量分别为n 1＝(2,3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不对 答案 C解析 ∵n 1≠λn 2，且n 1·n 2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β既不平行，也不垂直.题型一 利用空间向量证明平行问题典例 如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ，∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2，0,0)，C (2,2,0)， D (0,2,0)，P (0，0,2)，E (0,0,1)， F (0,1,1)，G (1，2,0)．∴PB →＝(2,0，－2)，FE →＝(0，－1,0)，FG →＝(1,1，－1)， 设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2，∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面． ∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . 引申探究若本例中条件不变，证明平面EFG ∥平面PBC . 证明 ∵EF →＝(0,1,0)，BC →＝(0,2,0)， ∴BC →＝2EF →，∴BC ∥EF .又∵EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ， 同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC . 又EF ∩GF ＝F ，EF ，GF ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面PBC .思维升华 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算． 跟踪训练 如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC . 证明：PQ ∥平面BCD .证明 方法一 如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在直线分别为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知，A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0)． 设点C 的坐标为(x 0，y 0，0)． 因为AQ →＝3QC →，所以Q ⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1)． 又P 为BM 的中点，故P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， 所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，0.又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1)，故PQ →·a ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .方法二 在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OF ，同方法一建立空间直角坐标系，写出点A ，B ，C 的坐标，设点C 坐标为(x 0，y 0，0)． 因为CF →＝14CD →，设点F 的坐标为(x ，y ，0)，则(x －x 0，y －y 0，0)＝14(－x 0，2－y 0，0)，所以⎩⎨⎧x ＝34x 0，y ＝24＋34y 0，所以OF →＝⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，0.又由方法一知PQ →＝⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，0，所以OF →＝PQ →，所以PQ ∥OF .又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ， 所以PQ ∥平面BCD .题型二 利用空间向量证明垂直问题命题点1 证线面垂直典例 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明 方法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a·c ＝0，b·c ＝2，以它们为空间的一个基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝⎛⎭⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证． 方法二 取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形， 所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 且平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB ，OO 1，OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)， A (0,0，3)，B 1(1,2,0)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1,2，3)，BD →＝(－2,1,0)． 因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1,2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1,2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ， 故AB 1⊥平面A 1BD . 命题点2 证面面垂直典例 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面PDC .证明 (1)如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF . 因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， PO ⊂平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .又O ，F 分别为AD ，BD 的中点，所以OF ∥AB . 又ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD . 因为P A ＝PD ＝22AD ，所以P A ⊥PD ，OP ＝OA ＝a 2. 以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－a2，0，0， P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a2，a ，0.因为E 为PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a 4. 易知平面P AD 的一个法向量为OF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0， 因为EF →＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4， 且OF →·EF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a4，0，－a 4＝0， 又因为EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD . (2)因为P A →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2，CD →＝(0，－a,0)， 所以P A →·CD →＝⎝⎛⎭⎫a2，0，－a 2·(0，－a,0)＝0， 所以P A →⊥CD →，所以P A ⊥CD .又P A ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PDC ， 所以P A ⊥平面PDC .又P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PDC . 思维升华 证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可． 跟踪训练 如图所示，已知四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，∵平面PBC ⊥底面ABCD ，△PBC 为等边三角形， 平面PBC ∩底面ABCD ＝BC ，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝3，∴A (1，－2,0)，B (1,0,0)，D (－1，－1,0)，P (0,0，3)， ∴BD →＝(－2，－1,0)，P A →＝(1，－2，－3)． ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD →， ∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝⎛⎭⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，PB →＝(1,0，－3)，∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB .∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ，P A ，PB ⊂平面P AB ， ∴DM ⊥平面P AB . ∵DM ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面P AB .题型三 利用空间向量解决探索性问题典例 (2018·桂林模拟)如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由．(1)证明 设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3， ∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21， ∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,2，3)． 由于BD →＝(－23，0,0)，AA 1→＝(0,1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1.(2)解 假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1， 设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0,1，3)． 从而有P (0,1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ)． 设平面DA 1C 1的法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1—→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1—→＝(0,2,0)，DA 1→＝(3，0，3)，则⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1,0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1，则n 3⊥BP →， 即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1， 即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .思维升华 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．跟踪训练 (2016·北京)如图，在四棱锥P ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面P AB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由． (1)证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AB ⊥平面P AD .∵PD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PD .又P A ⊥PD ，P A ∩AB ＝A ，且P A ，PB ⊂平面P AB ，∴PD ⊥平面P AB .(2)解 取AD 的中点O ，连接CO ，PO .∵P A ＝PD ，∴PO ⊥AD .又∵PO ⊂平面P AD ，平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PO ⊥平面ABCD ，∵CO ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥CO ，又∵AC ＝CD ，∴CO ⊥AD .以O 为原点，OC ，OA ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 易知P (0,0,1)，B (1,1,0)，D (0，－1,0)，C (2,0,0)，则PB →＝(1,1，－1)，PD →＝(0，－1，－1)，PC →＝(2,0，－1)，CD →＝(－2，－1,0)．设n ＝(x 0，y 0，1)为平面PCD 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PD →＝0，n ·PC →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ －y 0－1＝0，2x 0－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－1，x 0＝12. 即n ＝⎝⎛⎭⎫12，－1，1.设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，PB →〉|＝|n ·PB →||n ||PB →|＝⎪⎪⎪⎪12－1－114＋1＋1×3＝33. (3)解 设M 是棱P A 上一点，则存在λ∈[0,1]使得AM →＝λAP →，因此点M (0,1－λ，λ)，BM →＝(－1，－λ，λ)，∵BM ⊄平面PCD ，∴BM ∥平面PCD ，当且仅当BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·⎝⎛⎭⎫12，－1，1＝0，解得λ＝14，∴在棱P A 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14.利用向量法解决立体几何问题典例 (12分)如图1所示，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B ，如图2所示．(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E －DF －C 的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？证明你的结论．思想方法指导 对于较复杂的立体几何问题可采用向量法(1)用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．(2)两种思路：①选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．②建立空间直角坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．规范解答解 (1)AB ∥平面DEF ，理由如下：在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 中点，得EF ∥AB .又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF .[1分](2)以D 为原点，分别以DB ，DC ，DA 所在直线为x 轴，y 轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，[3分]易知平面CDF 的法向量为DA →＝(0,0,2)，设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧DF →·n ＝0，DE →·n ＝0，即⎩⎨⎧ x ＋3y＝0，3y ＋z ＝0，取n ＝(3，－3，3)，则cos 〈DA →，n 〉＝DA →·n |DA →||n |＝217，∴二面角E －DF －C 的余弦值为217.[6分](3)设P (x ，y,0)，则AP →·DE →＝3y －2＝0，∴y ＝233.又BP →＝(x －2，y,0)，PC →＝(－x,23－y,0)，∵BP →∥PC →，∴(x －2)(23－y )＝－xy ，∴3x ＋y ＝2 3.[9分]把y ＝233代入上式得x ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，233，0，∴BP →＝13BC →，∴点P 在线段BC 上．∴在线段BC 上存在点P ⎝⎛⎭⎫43，233，0，使AP ⊥DE .[12分]。
3.2 第1课时 利用向量证明空间中的平行关系
于是������������ =
1 2
,0,
1 2
, ������������1=(1,0,1),������������=(1,1,0).
设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),
则
������·������������1 = 0, 得 ������·������������ = 0,
������ + ������ = 0, ������ + ������ = 0.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1如图所示,已知四边形ABCD是直角梯 形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,12试建立适当
的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量; (2)求平面SAB的一个法向量; (3)求平面SCD的一个法向量.
解以点 A 为原点,AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D
明������������与平面 A1BD 中的������������1是共线向量;思路三:可通过平面 A1BD 的法向量来证明.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
证明方法一:∵������������
=
������1������
−
������1������
=
1 2
������������
−
1 2
������1������
12,0,0 ,S(0,0,1).
(1)∵SA⊥平面 ABCD, ∴������������=(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量.
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（2）平面QMN∥平面PAD.
1．【解析】方法一：以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
则P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),
=(-3,2,1), =(-3,2,1),
∴ ,
所以 ， ， ,
所以 .学=科网
因为平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),
所以 ·m=0,即 ⊥m.
因为MN不在平面，所以MN∥平面PAD．
12月18日用向量法证明空间中的平行关系
高考频度：★★★★☆难易程度：★★★☆☆
如图所示，正方体 的棱长为 ， 、 分别为 和 上的点， ．
证明：直线 平面 ．学-科网
【参考答案】证明见试题解析．
【试题解析】分别以 、 、 所在直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
∵ ，∴ ， ，
∴ ．
又 ， ，∴ ，
∴ ，∴ ⊥ ．
∵ 是平面 的法向量，且 平面 ，
∴直线 平面 ．
【名师点睛】（1）证明线线平行，即证明两条直线的方向向量平行．
（2）用空间向量法证明线面平行有以下三种方法：
①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；
∴ ∥ ,即PQ∥RS.
方法二： + - + ,
+ + - ,
∴ ,
∴ ∥ ,即RS∥PQ.
2．【解析】（1）如图，以A为原点,以AB,AD,AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系,
设B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),则C(b,d,0),
因为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中 点,
③根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 ，即 ；
④解方程组，取其中的一个解，即得一个法向量（通常把x，y，z中的一个赋值为1或－1）．
1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.证明：PQ∥RS.
2．如图所示,ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点.
③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
（3）利用空间向量法证明面面平行有以下两种方法：
①将面面平行转化为相应的线面平行、线线平行来证明；
②求出两平面的法向量，通过证明两平面的法向量平行来证明．
（4）求平面法向量的步骤如下：
①设平面的法向量为 ．
②找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标 ， ；