3.2.2利用空间向量证明平行、
空间向量与平行关系-
(3)①∵u＝(1,1，－1)，a＝(－3,4,1)， ∴u·a＝－3＋4－1＝0， ∴u⊥a， ∴l⊂α 或 l∥α. ②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－6,9)， ∴u＝－13a， ∴u∥a，∴l⊥α.
第三章 空间向量与立体几何
已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－ 2,0)，试求平面α的一个法向量．
第三章 空间向量与立体几何
(2)∵C→1B1＝(2,0,0)， 设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量． 由 n2⊥FC1，n2⊥C→1B1， 得nn22··CF→→C1B11＝＝22yx22＋＝z02＝0 ，得xz22＝＝－0 2y2 ， 令 z2＝2 得 y2＝－1， 所以 n2＝(0，－1,2)，因为 n1＝n2， 所以平面 ADE∥平面 B1C1F.
第三章 空间向量与立体几何
(2)①∵u＝(－1,1，－2)，v＝3，2，－12， ∴u·v＝－3＋2＋1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.5 分 ②∵u＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)， ∴u＝－32v，∴u∥v，∴α∥β.6 分 ③∵u＝(4,2，－3)，v＝(1,4，－2)， ∴u 与 v 不共线也不垂直， ∴α、β 相交但不垂直.8 分
第三章 空间向量与立体几何
1.(1)设 a、b 分别是不重合的直线 l1、l2 的方向向量，判断 l1、 l2 的位置关系．
①a＝(2,3，－1)，b＝(－4，－6,2)． ②a＝(3,0，－1)，b＝(0,5,0)． (2)设 u、v 分别是平面 α、β 的法向量，判断 α、β 的位置关系． ①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12. ②u＝(0,2,0)，v＝(0，－1,0)．
第三章 空间向量与立体几何
322利用空间向量证明平行
3.证明线面垂直: 直线l, 平面α, 要让l ⊥α,只要在l 上取一个非零 向量p,在α内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证明 p⊥a且p⊥b,也就是a·p=0且b·p=0.
4.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、 线线垂直.
4.证明面面平行的方法 (1)转化为__线__线__平__行__、__线__面__平__行__处理; (2)证明这两个平面的法向量是 _共__线__向_量____.
5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量 __互__相__垂__直__.
6.证明线面垂直的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是 __共__线_向__量___; (2)证明直线与平面内的_两__条_不__共__线__向. 量互相垂直
3.2.2 利用空间向量证明平行、 垂直关系
自 学 导 引 (学生用书P80) 会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行 ,垂
直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤 .
课 前 热 身 (学生用书P80)
1.空间中的平行关系主要有____线__线__平_行_、____线_面__平__行_、 __面_面__平__行___,空间中的垂直关系主要有__线__线_垂__直___、 __线__面__垂__直__、___面__面__垂_直__.
? EF / / AB1, 即EF ? AB1,同理EF ? B1C. 又AB1 ? B1C ? B1, ? EF ? 平面B1AC.
方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标 系,
则A ?2,0,0 ?,C ?0, 2,0 ?, B1 ?2, 2, 2?, E ?2, 2,1?, F?1,1,2?.
3.2.2空间向量与平行.垂直关系
法二 (坐标法) 设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴， OO1 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系．由已知得
A(－12，0，0)，B(12，0，0)，C(0， 23，0)，N(0， 23，14)，B1(12，0， 1)， ∵M 为 BC 中点，∴M(14， 43，0)．
题型二 证明线线垂直
【例2】 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱长
都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧
棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.求证：AB1⊥ MN. [思路探索] 解答本题可先选基向量，证明A→B1·M→N＝0 或先 建系，再证明A→B1·M→N＝0.
解 法一 (基向量法)
(3)若直线 l 的方向向量是 u，平面α的法向量是 v，则有 l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0；l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv(k∈R)．
空间垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b ＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a_⊥__b__⇔ a_·_b_＝__0__⇔ _a_1_b_1＋__a_2b2＋a3b3＝0 (2)线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2， b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔ __u_＝__k_v．
(3)面面垂直
设平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝ (a2，b2，c2)，则α⊥β⇔__u_⊥__v_⇔ ___u_·_v＝__0_ ⇔ _a_1_a_2_＋__b_1b_2_＋__c_1_c_2＝__0___ ．
试一试：若平面α与β的法向量分别是a＝(4，0，－2)，
高中数学§3.2立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系
§3.2立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系课时目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系．1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线________或______的向量，一条直线的方向向量有________个．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的____________a，则向量a叫做平面α的__________．3．空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则l∥m ⇔______________⇔__________⇔________________________.(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔________⇔__________⇔________________________.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔__________⇔__________⇔________________________.一、选择题1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是()A．(0，－3,1) B．(2,0,1)C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,1,3) D．(3,2,1)3．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为() A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)4．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为() A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17)C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定6．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是()A ．xOyB ．xOzC ．yOzD ．xOy 或yOz二、填空题7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________________________．8．已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，且l ∥α，则m ＝________. 9.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、P 、Q 分别为棱AB 、CD 、BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥面DCC 1D 1； ④A 1M ∥面D 1PQB 1.以上结论中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题10．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2，0)，试求平面α的一个法向量． 11.如图所示，在空间图形P —ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，且PB ＝4PM ，∠PBC ＝30°，求证：CM ∥平面P AD .【能力提升】12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.13.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝AC＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．平行关系的常用证法（1）证明线线平行只需要证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明AB ∥CD只需证AB →＝λCD →.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外．证面面平行可转化证两面的法向量平行．(2)证明线面平行问题或面面平行问题时也可利用立体几何中的定理转化为线线平行问题，再利用向量进行证明．§3.2 立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系知识梳理1．平行 重合 无数 2．方向向量 法向量3．(1)a∥b a ＝λb a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(a 2b 2c 2≠0)(2)a∥u a·u ＝0 a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0(3)u∥v u ＝k v a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(a 2b 2c 2≠0)作业设计1．D [只要是与向量n 共线且非零的向量都可以作为平面α的法向量．故选D.]2．A [∵AB →＝(2,4,6)，而与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量，故选A.]3．C [显然a 与b 不平行，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧a·n ＝0，b·n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0. 令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1，∴n ＝(－2,1,1)．]4．B [设B (x ，y ，z )，AB →＝(x －2，y ＋1，z －7) ＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x －2＝8λ，y ＋1＝9λ，z －7＝－12λ， 又(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －7)2＝342， 得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17，即B (18,17，－17)．]5．B [可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量AB →和MN →的关系判断．]6．C [AB →＝(0,5，－3)，AB 与平面yOz 平行．]7.⎝⎛⎭⎫33，33，33或⎝⎛⎭⎫－33，－33，－338．－8解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8. 9．①③④解析 ∵A 1M →＝AM →－AA 1→＝D P →－DD 1→＝D 1P →， ∴A 1M ∥D 1P .∵D 1P ⊂面D 1PQB 1，∴A 1M ∥面D 1PQB 1. 又D 1P ⊂面DCC 1D 1，∴A 1M ∥面DCC 1D 1. ∵B 1Q 为平面DCC 1D 1的斜线，∴B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行． 10．解 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)， 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )．依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝0. 令y ＝1，则x ＝2.∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．11．证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz . 方法一∵∠PBC ＝30°，PC ＝2， ∴BC ＝23，PB ＝4.于是D (1,0,0)，C (0,0,0)，A (4,23，0)，P (0,0,2)． ∵PB ＝4PM ，∴PM ＝1，M ⎝⎛⎭⎫0，32，32.∴CM →＝⎝⎛⎭⎫0，32，32，DP →＝(－1,0,2)，DA →＝(3，23，0)．设CM →＝x DP →＋y DA →，其中x ，y ∈R .则⎝⎛⎭⎫0，32，32＝x (－1,0,2)＋y (3,23，0)．∴⎩⎨⎧－x ＋3y ＝023y ＝322x ＝32，解得x ＝34，y ＝14.∴CM →＝34DP →＋14DA →，∴CM →，DP →，DA →共面．∵CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .方法二 由方法一可得CM →＝⎝⎛⎭⎫0，32，32，DP →＝(－1,0,2)，DA →＝(3,23，0)．设平面P AD的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有，即⎩⎨⎧－x ＋2z ＝03x ＋23y ＝0.令x ＝1，解得z ＝12，y ＝－32.故n ＝⎝⎛⎭⎫1，－32，12.又∵CM →·n ＝⎝⎛⎭⎫0，32，32·⎝⎛⎭⎫1，－32，12＝0.∴CM →⊥n ，又CM ⊄平面P AD . ∴CM ∥平面P AD .12．证明 方法一 ∵B 1C →＝A 1D →，B 1∉A 1D ，∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1.方法二 ∵B 1C →＝B 1C 1→＋B 1B →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →＝OC 1→＋OD →. ∴B 1C →，OC 1→，OD →共面．又B 1C ⊄平面ODC 1，∴B 1C ∥平面ODC 1. 方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B 1(1,1,1)，C (0,1,0)， O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0,1,1)， B 1C →＝(－1,0，－1)，OD →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－1，OC 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则得⎩⎨⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0， ①－12x 0＋12y 0＝0， ②令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)． 又B 1C →·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴B 1C →⊥n ，且B 1C ⊄平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1.13．解 方法一 当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC . ∵BF →＝BC →＋12CP →＝AD →＋12(CD →＋DP →)＝AD →＋12(AD →－AC →)＋32(AE →－AD →)＝32AE →－12AC →. ∴BF →、AE →、AC →共面． 又BF ⊄平面AEC ， ∴BF ∥平面AEC . 方法二如图，以A 为坐标原点，直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直于平面P AD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系．由题意，知相关各点的坐标分别为A (0,0,0)，B ⎝⎛⎭⎫32a ，－12a ，0，C ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，0，D (0，a,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，23a ，13a . 所以AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23a ，13a ，AC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，0， AP →＝(0,0，a )，PC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，－a ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－32a ，12a ，a .设点F 是棱PC 上的点，PF →＝λPC →＝⎝⎛⎭⎫32aλ，12aλ，－aλ，其中0<λ<1， 则BF →＝BP →＋PF →＝⎝⎛⎭⎫32a λ－1，12a 1＋λ，a 1－λ，令BF →＝λ1AC →＋λ2AE →即⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝λ1，1＋λ＝λ1＋43λ2，1－λ＝13λ2.解得λ＝12，λ1＝－12，λ2＝32，即λ＝12时，BF →＝－12AC →＋32AE →，即F 是PC 的中点时，BF →、AC →、AE →共面．又BF ⊄平面AEC ，所以当F 是棱PC 的中点时，BF∥平面AEC.。
利用空间向量证明平行、垂直问题PPT精品课件
②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－
3 5
v，
∴u∥v，∴α∥β.
③∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
∴u与v不共线，也不垂直，
∴α与β相交但不垂直．
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝－6＋8－2＝0，
∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.
②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－
贝 多 芬
你知道托尔斯泰哪些 文学代表作？
它们在俄国历史上起 过什么作用？
托尔斯泰晚年为什么 选择“平民化”的道
“我要扼住命运的咽喉，它决不能使我 完全屈服”
——贝多芬
1.当时贝多芬遇到了怎样的厄 运？
2.他是怎样“扼住命运的咽 喉”？
《吃土豆的人》
哪一首乐曲标志着贝多芬在艺术 上和思想上的成熟？
b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，
∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，
∴a与b不共线，也不垂直，∴l1与l2相交或异面．
(2)①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12 ，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
A．(2,3,1)
B．(1，－1,2)
C．(1,2,1)
D．(1,0,3)
解析：A→D＝xA→B＋yA→C＝(x＋y，x＋2y，x－y)， 对四个选项逐个检验，只有当(x＋y，x＋2y，x－y)＝
(1,0,3)时有解xy＝ ＝2－1 . 答案：D
1．注意用向量中的有关公式及变形，借助建立直角坐 标系将复杂的几何问题化为简单的代数问题．
3-2-2 向量法在空间平行关系中的应用
CC1 的中点，求证：四边形 B1EDF 是平行四边形．
第三章
3.2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
[分析]
→ 欲证四边形 B1EDF 是平行四边形，只须证B1E＝
→ → → FD(或B1F＝ED)，利用长方体中棱的平行关系和中点 E、F 可 用加减运算法则证明．
[证明]
以 D 为原点，DA、DC、DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴
建立直角坐标系如图． 1 设正方体棱长为 1，则 B(1,1,0)，M(1,1， )，C(0,1,0)， 2 A1(1,0,1)， ∵N 是 A1C 中点，
1 1 1 → → 1 1 1 → ∴N2，2，2，DB＝(1,1,0)，NM＝2，2，0＝2DB，
λv1＋μv2 对 β 内任一向量 a，有 a＝____________.· 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
重点难点展示
第三章
3.2
第2课时
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重点：用直线的方向向量与平面的法向量来表示空间中的 平行关系；共面向量定理与线面平行的联系． 难点：如何实现线面位置关系与向量运算的联系．
∴四边形 B1EDF 是平行四边形．
第三章
3.2
第2课时
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正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， M、 分别是棱 BB1 和对 点 N 角线 CA1 的中点，求证：MN∥BD.
第三章
3.2
第2课时
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利用空间向量证明平行
利用空间向量证明平行平行是向量的重要性质之一，通过利用空间向量可以证明向量之间的平行关系。
在三维空间中，我们可以用向量表示空间中的点和线，向量的方向和长度性质可以用来描述空间中的各种几何关系，包括平行。
首先，让我们定义两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的起点都在原点$O$。
假设这两个向量平行，我们可以利用以下空间向量的性质进行证明。
根据向量的叉乘公式，我们可以得到以下等式：$(a_2b_3-a_3b_2)\vec{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\vec{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\vec{k}=0$由于向量$\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$是线性无关的，所以上述等式成立的充分必要条件是：$a_2b_3-a_3b_2=0$$a_3b_1-a_1b_3=0$$a_1b_2-a_2b_1=0$以上等式即为判断向量$\vec{a}$和$\vec{b}$平行的条件式。
如果这三个条件式都成立，那么我们可以断定$\vec{a}$和$\vec{b}$平行。
在利用空间向量证明平行时，还需要注意以下几点：1.向量的起点需要相同，因为平行关系是两个向量共线的特殊情况，共享起点是判断平行性的前提条件。
2.以上证明的方法适用于三维空间，对于二维空间中的向量，只需要考虑平面内的坐标，即去掉$z$轴的分量即可。
证明的方法和步骤类似。
3.利用向量的坐标分量进行证明时，要注意考虑向量的方向。
如果两个向量的方向相反，那么它们的叉积为零，同样能够证明它们是平行的。
总之，通过利用空间向量的共线性和叉乘公式，我们可以证明两个向量是否平行。
这是一种简单但有效的方法，在几何学和向量分析中得到了广泛应用。
3.2.2 利用向量证明空间中的垂直关系
垂直关系
一、基础知识
1、立体几何中如何证明两条直线垂直？
①利用定义：证明两直线所成角为 900； ②利用线面垂直的性质来证明线线垂直.
线面垂直的性质:如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线 垂直该平面内的任一直线.
αA
l B
Q C
lα AB α
l
BB1，CD 的中点，求证：D1F⊥平面 ADE.
【解析】如图,以 O 为原点建立空间直角
z
D1
C1 坐标系.设棱长为 2，由题意可得
A1
D(0,0,0),D1(0,0,2),F(0,1,0),A(2,0,0),
B1
E(2,2,1)
D xA
E C
y
D1F (0,1,2),DE (2,2,1),DA (2,0,0)
C.l1⊥l2
D.不能确定
2.设平面α的法向量为a (1,2,2) ，平面β的法向量为
b (2,4,k)，若α⊥β，则 k=( B )
A.2
B.-5
C.4
D.-2
3.已知平面α内的两个向量a (2,2,1),b (2,0,0)，则平面的一个
法向量是( A )
A.(0,1,2) B.(1,0,2) C.(1, 2, 1) D.(0,0, 2)
(1)l⊥m
(2)l//m
答案： (1)α β
(2)α //β
设两个平面α,β的法向量分别为a ,b ,则
α β ab ab0
二、自我检测
C 1、直线 l1,l2 的方向向量分别为a (1,2,2),b (2,3,2) ，则( )
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1 1 M N (0, , ) 2 2 设 平 面 A 1B D 的 法 向 量 为 n x , y , z 则 n A1 D 0 且 A1 B 0 y z 0 得 取 x 1, 则 y 1, z 1 x z 0 n 1,1,1 .
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题型一 证明线面平行 例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的 中点,求证:MN∥平面A1BD. 分析:分析1,如下图,易知MN∥DA1 因此得方法1.
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证明 :
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1 1 M N C 1 N C 1 M C 1 B 1 C 1C 2 2 1 1 ( D 1 A1 D 1 D ) D A1 , 2 2 M N / / D A1 . M N 平 面 A 1B D , M N 平 面 A 1B D .
CE⊥面ABB1A1.
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另取AB1中点M,得MD∥CE. ∴MD⊥面ABB1A1. 又∵MD⊂面AB1D,
∴面AB1D⊥面ABB1A1.
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方 法 2 : 取 A B , A C , A A1为 空 间 基 底 , 另 取 A B 1中 点 M , A B 中 点 E , 则 由 题 意 可 得 CE DM , 1 D M C E ( C A C B ). 2 1 D M A A1 ( C A C B ) A A1 2 1 1 ( C A A A1 C B A A1 ) 0, D M A B ( C A C B ) A B 2 2 1 ( C A A B C B A B ) 0, 2 D M A B , D M A A1 , DM AB 即 且 AB AA1 A D M A A1 D M 平 面 A B B 1A 1. 又 D M 面 A B 1D , 面 A B 1D 面 A B B 1A 1 .
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1 1 MN n 0 0 2 2 M N n , 又 M N 平 面 A 1B D . M N 平 面 A 1B D .
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变式训练1:ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为3,底面边 长为2,E是棱BC的中点,求证:BD1∥平面C1DE.
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题型三 证明面与面垂直 例3:三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧
棱CC1的中点.
求证:平面AB1D⊥平面ABB1A1. 分析:转化为线线垂直、线面垂直或者利用法向量垂直.
第32页 共 ∵三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱, ∴CE⊥AB且AA1⊥CE,得
则FG∥A1D1,EG∥A1B.
∵A1D1⊥平面A1B.∴FG⊥平面A1B. ∴AB1⊂平面A1B,∴FG⊥AB1, ∴A1B⊥AB1,∴EG⊥AB1.∴EF⊥AB1. 同理EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1, ∴EF⊥平面B1AC.
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方 法 2 : 设 A B a , A D c , A A1 b , 1 则 E F E B1 B1 F ( B B1 B1 D 1 ) 2 1 1 ( A A1 B D ) ( a b c ), 2 2 A B1 A B A A1 a b . 1 E F A B1 ( a b c ) ( a b ) 2 1 2 1
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A C (1,1, 0 ), C D ( 1,1, 0 ), A P 0, 0,1 , C D A C 1 1 1 1 0, C D A C , 同 理 C D A P 0, C D A P , C D 平 面 P A C.
3.2.2 利用空间向量证明平行、
垂直关系
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自 学 导 引 (学生用书P80) 会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行,垂 直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤.
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课前热身
(学生用书P80)
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线线平行 线面平行 1.空间中的平行关系主要有__________、__________、 面面平行 线线垂直 __________,空间中的垂直关系主要有__________、 线面垂直 面面垂直 __________、__________. 2.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是 共线向量 __________即可.
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题型二 证明线面垂直 例2:如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是
BB1、D1B1的中点.
求证:EF⊥平面B1AC.
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分析:转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向 量平行.
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证明:方法1:设A1B1的中点为G, 连结EG,FG,A1B.
方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标 系,
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则 A 2, 0, 0 , C 0, 2, 0 , B 1 2, 2, 2 , E 2, 2,1 , F 1,1, 2 . E F (1,1, 2 ) ( 2, 2,1) ( 1, 1,1). A B1 ( 2, 2, 2 ) ( 2, 0, 0 ) (0, 2, 2 ). A C (0, 2, 0 ) ( 2, 0, 0 ) ( 2, 2, 0 ). 而 E F A B1 ( 1, 1,1) (0, 2, 2 ) 1 0 1 2 1 2 0 . E F A C 1, 1,1 2, 2, 0 2 2 0 0, E F A B 1 , E F A C.又 A B 1 A C A , E F 平 面 B 1 A C.
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规律技巧:(1)方法1是传统的几何法证明,利用线面垂直的性 质及判定,需添加辅助线. 方法2选基底,将相关向量用基底表示出来,然后利用向量的计
算来证明.
方法3建立空间直角坐标系,利用向量,且将向量的运算转化为 实数(坐标)的运算,以达到证明的目的. (2)几何的综合推理有时技巧性较强,而向量代数运算属程序 化操作,规律性较强,但有时运算量大,两种处理方法各有优
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分析:由判定定理,只要证明CD垂直于面PAC中的两条相交直 线即可,或者用向量法证明CD的方向向量与平面PAC的法 向量平行.
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证明:方法1:如下图,分别以AB、AD、AP所在直线为x,y,z轴 建立空间直角坐标系, 则C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1),
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证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1为坐标轴建系如右图, 则B(2,2,0),D1(0,0,3), E(1,2,0),C1(0,2,3),
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B D 1 ( 2, 2, 3), D E (1, 2, 0 ), E C 1 ( 1, 0, 3). 设 B D1 D E E C 1 , 即 2, 2, 3 1, 2, 0 1, 0, 3 , 得 2, 2 2, 解 得 1, 1. 3 3, B D 1与 D E , E C 1 共 面 , 又 B D 1 面 C 1 D E , B D 1 面 C 1 D E .
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7.证明面面垂直的方法 线面垂直 线线垂直 (1)转化为__________、__________; 互相垂直 (2)证明两个平面的法向量__________.
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名师讲解
(学生用书P80)
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1.利用空间向量证明线与面平行:只要在平面α内找到一条直 线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证 明a=λb即可. 2.利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各 取一个向量a、b,只要证明a⊥b,即a·b=0即可.
b
2
a c a c b
2 2
2 E F / / A B1 , 又 A B 1 B 1C B 1 , E F 平 面 B 1A C .
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b
a
2
0 0 0.
即 E F A B 1 , 同 理 E F B 1C .
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分 析 2 : 建 立 直 角 坐 标 系,证 明MN 与 平 面 A 1B D 的 法 向 量 垂 直 .
证 明 : 如 上 图 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A x yz. 设 棱 长 为 1, 则 可 求 得 A 1 0, 0,1 , B 1, 0, 0 , D 0,1, 0 , M (1,1, 1 2 ), N (1, 1 2 ,1).
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4.证明面面平行的方法 线线平行 线面平行 (1)转化为__________、__________处理; 共线向量 (2)证明这两个平面的法向量是__________.
5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量 互相垂直 __________.
6.证明线面垂直的方法 共线向量 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是__________; 两条不共线向量互相垂直 (2)证明直线与平面内的__________.