2.1.1椭圆的定义与标准方程第一课时

b 2 a 2 c 2 25 16 9
所求方程为
x2 y2 1 25 9
练习.已知方程
x y + =1 4 m
2
2
表示焦点在x轴
(0,4) 上的椭圆，则m的取值范围是
x2 y2 + =1 m -1 3 - m
.
变1：已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值 (1,2) 范围是 .
x2 y2 (1) 1 (4)9 x 2 25y 2 225 0 16 16 x2 y2 (5) 3x 2 2 y 2 1 ( 2) 1 25 16 x2 y2 x2 y2 1 (3) 2 1(6) 2 24 k 16 k m m 1
?
2.1.1 椭圆及其 标准方程
高二数学 选修1-1
第二章
圆锥曲线与方程
“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空
太 阳 系
♦自然界处处存在着椭圆,我们如
何用自己的双手画出椭圆呢?
先 回 忆 如 何 画 圆
♦如何定义椭圆?
圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长
(3)4 x 2 3 y 2 4
解：椭圆方程具有形式 因此 c
a 2 b2 4 1 3
其中
a 2, b 1
两焦点坐标为
( 3,0), ( 3,0)
椭圆上每一点到两焦点的距离之和为
2a 4
练习1.下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a 2 ,b 2 ，写出焦点坐标.
b2 x 2 a 2 y 2 a 2b2
两边除以 a b 得
2 2
x y 2 1(a b 0). 2 a b
2
2
椭圆的标 准方程
刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程， 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？
由椭圆的定义得，限制条件： | PF | | PF2 | 2a 1 由于
Ｐ(x , y)
x F1 0 F2
则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .
P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)
由椭圆的定义得，限制条件： | PF | | PF2 | 2a 1 由于 得方程
| PF1 | ( x c) 2 y 2 , | PF2 | ( x c) 2 y 2
x2 y2 3. 1 9 6 x2 y2 4. 1 7 4
； ；
则a＝ 3 ，b＝ 6
则a ＝
7 ，b＝ 2
．
例1.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两 焦点距离的和。
x2 (1) y 2 1 4 x2 y2 ( 2) 1 4 5 x2 y2 2 1 2 a b
♦再认识！
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
x
F1
焦点坐标 相 同 点 定 义
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
a 4 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2
整理得 (a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
由椭圆定义可知 2a 2c,即a c, 所以
a 2 c 2 0, 设 a 2 c 2 b2 (b 0),
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
（问题：下面怎样化简？）
移项，再平方
( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 a 2 cx a
两边再平方，得
( x c) 2 y 2
x2 y2 2 1(a b 0). 2 a b
♦椭圆的标准方程的特点：
Y
M M F1 (-c,0)
2 2
Y F2(0 , c)
O
O
F2 (c,0) X
2
X
F1(0,-c)
x y 2 1(a b 0) 2 a b
y x 2 1( a b 0) 2 a b
课堂小结：
1、椭圆的定义：我们把平面内与两个定点 F1 , F2 的距
的点的轨迹叫做椭圆。 离之和等于常数 （大于 | F1 F2 | ） 即
| MF1 | | MF2 | 2a（a > c）
这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离
|F1F2|叫做焦距。
2、椭圆的图形与标准方程——定义法、待定系数法 3、数形结合、分类讨论的思想方法
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
♦提出了问题就要试着解决问题. 怎么推导椭圆的标准方程呢？
♦ 求动点轨迹方程的一般步骤：
坐标法
回忆求曲 线方程推 导步骤
1、建立适当的坐标系，用有序实数对 （x,y）表示曲线上任意一点M的坐标; 2、写出适合条件 P（M） ; 3、用坐标表示条件P（M），列出方程 ; 4、化方程为最简形式。
15 ，焦点在y轴上；
3、若椭圆满足: a＝5 , c＝3 ,
求它的标准方程。
例3.如图:求满足下列条件的椭圆方程
| PF | | PF2 | 10, | F1 F2 | 8 1
解：椭圆具有标准方程 因此 c 4, a 5,
x2 y2 2 1 2 a b
其中
2c 8,2a 10
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2
不 同 点
图
形
F1
O
P
x
F2
x
O
F1
焦点坐标 相 同 点 定 义
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
作业：
Ｐ42 Ｐ49 练习题1.2.3.4 习题１ 第2题
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
两个焦点分别是 F1 (-2，0)，2 (2，0)， F
且过点P (3,2 6 ),
法一: c=2
x2 y2 设椭圆标准方程为: 2 2 1 a b
法二: c=2
2a=PF1+PF2
1.求适合下列条件的椭圆方程 1.a＝4，b＝3，焦点在x轴上； 2.b=1，c
的点的集合叫圆.
椭圆的定义
椭圆定义的文字表述： • 平面上到两个定点的 距离的和（2a）等于 定长（大于|F1F2 |） 的点的轨迹叫椭圆。 • 定点F1、F2叫做椭圆 的焦点。 椭圆定义的符号表述：
MF1 MF2 2a 2c
• 两焦点之间的距离叫 做焦距（2c）。
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
得方程
| PF1 | x 2 ( y c) 2 , | PF2 | x 2 ( y c) 2
x 2 ( y c ) 2 x 2 ( y c ) 2 2a
（问题：下面怎样化简？） ( x c) 2 y 2 2a 焦点在 x轴 ( x c) 2 y 2
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O
y
y F2
M xx x
O
M
O 2 F
x F1
x
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)
y
设P (x, y)是椭圆上任意一点，
椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)，
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
口答：
x2 y 2 1. 2 2 1 ， a＝ 5 ，b＝ 3 ； 则 5 3 x2 y2 2. 2 2 1 ， a＝ 6 ，b＝ 4 则 4 6
2
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。反之 求出a.b.c的值可写出椭圆的标准方程。 （4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点就在哪一 个轴上。并且哪个大哪个就是a2