切线长典型例题

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初中数学-两圆公切线和弦切角典型例题

例如图，半径分别为3、1的⊙O 1与⊙O 2外切，一直线分别切它们于A 、B ，又交O 1O 2于C ．求：①切线AB 长；②∠C 的度数．分析：首先想到切线性质，故连结O 1A 、O 2B ，得直角梯形AO 1O 2B ．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．解：（1）连结O 1A 、O 2B ，作O 2D ∥BA 交O 1A 于D ．则得Rt △O 2DO 1和矩形ADO 2B ． ∵ AD=O 2B=1， O 1A=3 ∴O 1D=3-1=2 ∵O 1O 2=3+1=4，AB= O 2D=3224D O O O 2221221 ．（2）由（1）知O 1D=2，O 1O 2=4，∴∠C=∠DO 2O 1=30°说明：（1）求外公切线长，应用切线性质、构造三角形；（2）添加辅助线的方法．例如图，⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4、5，O 1O 2=15，内公切线AB 交O 1O 2于C ．求：①AB 长；②sin ∠ACO 1的值．解：（1）连结O 1A 、O 2B ，作O 1D ∥AB 交O 2B 延长线于D ，则得Rt △O 1DO 2，AO 1DB 是矩形， ∵O 1D=4，O 2B=5，∴O 2D=5+4=9 ∴AB= O 1D=12915D O O O 2222221 ．（2）由（1）可知，sin ∠ACO 1= sin ∠O 2O 1D=43129 ．说明：（1）求内公切线长；（2）构造三角形、矩形，应用勾股定理、三角函数；（3）此题还可以通过△AO 1C ∽△BO 2C ，求出O 1A 、O 2B ，在求得．例（福州市，2002）已知：半径不等的⊙O 1与⊙O 2相切于点P ，直线AB 、CD 都经过切点P ，并且AB 分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、B 两点，CD 分别交⊙O 1、⊙O 2于C 、D 两点(点A 、B 、C 、D 、P 互不重合)，连结AC 和BD ．（1）请根据题意画出图形；（2）根据你所画的图形，写出一个与题设有关的正确结论，并证明这个结论(结论中不能出现题设以外的其他字母)．解：（1）如图所示．（2）第一个结论：AC ∥BD ．证明：过P 作两圆的公切线MN ， ∴∠MPA=∠C ，∠NPB=∠D ． ∵∠MPA=∠NPB ，∴∠C=∠D ， ∴AC ∥BD ．第二个结论：△APC ∽△BPD ．证明：过P 作两圆的公切线MN ，∴∠MPA=∠C ，∠NPB=∠D ．∵∠MPA=∠NPB ，∴∠C=∠D ，又∠APC=∠BPD ，∴△APC ∽△BPD ．第三个结论：O 1、P 、O 2三点共线（或连心线O 1O 2必过切点P ）．证明：∵①圆是轴对称图形，②相切的两个圆也组成轴对称图形，③连心线O 1O 2是两个圆的对称轴，∴O 1、P 、O 2三点共线（或连心线O 1O 2必过切点P ）P说明：①此题题型新颖，属于开放性题目，它源于教材P145练习第2题；②主要应用分类思想，作圆的公切线辅助线．例已知：如图，⊙O 1与⊙O 2内切于点P ，过点P 的直线交⊙O 1于点D ，交⊙O 2于点E ；DA 与⊙O 2相切，切点为C ．（1）求证：PC 平分∠APD ；（2）若PE=3，PA=6，求PC 的长．证明：（1）过P 作两圆的公切线PT ， ∴∠TPC=∠4，∠3=∠D ． ∵∠4=∠D+∠5，∴∠2+∠3=∠D+∠5，∴∠2=∠5 又DA 与⊙O 2相切于点C ， ∴∠5=∠1，∴∠1=∠2，即PC 平分∠APD ．（2）∵DA 与⊙O 2相切于点C ，∴∠PCA=∠4．由（1）知∠1=∠2，∴△PCA ∽△PEC ． ∴PCPA PE PC ，即PE PA PC 2 ．∵PE=3，PA=6，∴18PC 2 ，∴23PC ．说明：①此题主要应用：切线的性质、弦切角、相似形以及作辅助线的方法；②此题得出∠1=∠2，在中考中是热点题目．典型例题五例已知半径分别为R 和r （r R ）的两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，则r R :等于（）A ．12B ．12C ．2)12(D ．2解：连结2221O O B O A O 、、（如图），则2221,,O O AB B O AB A O 过点P 且平分APC ，过点2O 作A O E O 12 ，则AB E O //2.45121PA O E O O ，∴E O O 21 是等腰直角三角形.,)12()12().(2,,,245121121121r R r R r R r R E O r R O O E O O O PA O E O O2)12(1212 r R ，故选C. 说明：本题涉及的知识点较多，要认真审题，理清思路，解决问题.典型例题六例如图，⊙1O 与⊙2O 内切于点A ，并且⊙1O 的半径是⊙2O 的直径，B O 1为⊙1O 的半径交⊙2O 于点C ，AD 是公切线， 501AC O ，则 BAD （）A ．50°B ．40°C ．25°D ．20°解：∵A O 1是⊙2O 的直径，901ACO ，又∵ 501AC O ，∴ 401O .又∵DA 是两圆的公切线，DAB 和DAC 分别是⊙1O 、⊙2O 的弦切角， .204021211 O BAD 故选D.说明：利用学过的知识解决两圆位置关系问题是解决本题的关键，要学以致用，温故而知新.典型例题七例两圆的一条外公切线与连心线成30°的角，它们的圆心距是10cm ，则外公切线长为________.解：如图连结A O 1、B O 2，过点A 作21//O O AC ，则10,3021 O O AC BAC cm ，在Rt ABC 中，35231030cosAC AB （cm ），故应填35cm. 说明：公切线、两圆的半径之差（或和）和圆心距构成直角三角形，是解决这部分题的关键.典型例题八例已知：如图，设⊙1O 、⊙2O 外切于A ，外公切线BC 分别切两圆于B 、C 交21O O 于P ，若⊙1O 半径为r 3，⊙2O 半径为r .。

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.（特殊情况）用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

初中：切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(基础)

切线长定理及三角形的内切圆一知识讲解〈基础）【学习目标】l.了解切线长定义：理解三角形的内切圆及内心的定义：2.掌握切线长定理：利用切线长定理解决相关的计算和证明．【要点梳理】要点一、切线长定理1.切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长．要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称．切线是直线，而非线段．2.切线长定理z从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等．要点二、三角形的内切圆1.三角形的内切圆z与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形．三角形的内心到三角形的三边距离相等．2.三角形的内心z三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点．要点诠释z(1）任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形：(2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积户即S=;Pr (S 7'J 三角形的面积P为三角形的周长r为内切圆阳）(3）三角形的外心与内心的区别：名称｜确定方法｜图形｜性质外心（三角形｜三角形三边中垂线的外接圆的圆｜交点心）AB(1)OA=OB=OC: (2）外心不一定在三角形内部内心（三角形三角形三条角平分线内切圆的圆的交点心）【典型例题】类型一、切线长定理B c(1)到三角形三边距离相等：(2) O A、OB、oc分别平分L'.'.BAC、ζABC、丘ACB:(3）内心在三角形内部．。

1.(2叫湛江校级脚己知PA,PB :5t别切。

于A、B E为劣弧础上一点过E,#,1¥Ji;JJ�交PA于C、交PB于D.(1）若PA吨，求6PCD的周长．(2）若ζP=50°求ζDOC.p【答案与解析】解：(1）连接OE,..PA、PB与圆0相切，:.PA=PB=6,同理可得：AC=CE,BD=DE,6PCD的周长＝PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12: (2）γPA PB与圆O相切，二ζOAP＝ζOBP=90。

切线长定理—知识讲解(提高)

切线长定理—知识讲解（提高）责编：康红梅【学习目标】1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点二、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 这个三角形叫作圆的外切三角形.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、切线长定理1.（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF ．（1）求证：EF是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，∠EAC=60°，求AD 的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO ， ∵F 为BC 的中点，AO=CO ， ∴OF∥AB，∵AC 是⊙O 的直径， ∴CE⊥AE， ∵OF∥AB， ∴OF⊥CE，∴OF 所在直线垂直平分CE ， ∴FC=FE，OE=OC ，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE， ∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°， ∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°， ∴FE 为⊙O 的切线；（2）如图2，∵⊙O 的半径为3， ∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE ， ∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD 中，∠COD=60°，OC=3， ∴CD=，∵在Rt△ACD 中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】连接OD．∵ OA=OD，∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．因此∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【变式】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=x，⑴如图⑴当x取何值时，⊙O与AM相切；⑵如图⑵当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM与⊙O相切于点B，并连接OB，则OB⊥AB；在△AOB中，∠A=30°，则AO=2OB=4，所以AD=AO-OD，即AD=2．x=AD=2.（2）过O点作OG⊥AM于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=图（2）∴∴OA=∴x=AD= 23.（2016•东西湖区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）A．9 B．10 C．3D．2【思路点拨】作DH⊥BC于H，如图，利用平行线的性质得AB⊥AD，AB⊥BC，则根据切线的判定得到AD和BC为⊙O切线，根据切线长定理得DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，利用四边形ABHD 为矩形得BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中根据勾股定理得（x ﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=，即CB=CE=，然后由等线段代换得到△MCN的周长=CE+CB=9．【答案与解析】解：作DH⊥BC于H，如图，∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∵AB为直径，∴AD和BC为⊙O 切线，∵CD和MN为⊙O 切线，∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，∵四边形ABHD为矩形，∴BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=，∴CB=CE=，∴△MCN的周长=CN+CM+MN=CN+CM+NF+MF=CN+CM+NF+MB=CE+CB=9．故选A．【总结升华】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．也考查了勾股定理．类型二、三角形的内切圆4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．。

九年级数学-切线长定理—知识讲解-提高

切线长定理—知识讲解（提高）审稿：【学习目标】1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.要点二、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、切线长定理1.如图，等腰三角形ABC中，6AC BC==，8AB=．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF AC⊥，垂足为F，交CB的延长线于点E．求证：直线EF是⊙O的切线.【答案与解析】如图，连结OD、CD，则90BDC∠=︒．∴CD AB⊥．∵ AC BC=，∴AD BD=．∴D是AB的中点．∵O是BC的中点，∴DO AC∥．∵EF AC⊥于F．∴EF DO⊥．∴EF是⊙O的切线．【总结升华】连半径，证垂直.举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】连接OD．∵ OA=OD，∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．因此∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【高清ID号：356967 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】【变式】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=x，⑴如图⑴当x取何值时，⊙O与AM相切；⑵如图⑵当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM与⊙O相切于点B，并连接OB，则OB⊥AB；在△AOB中，∠A=30°，则AO=2OB=4，所以AD=AO-OD，即AD=2．x=AD=2.（2）过O点作OG⊥AM于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=，，∵∠A=30°∴OA=图（2）∴x=AD= 2类型二、三角形的内切圆3.如图，点I 为△ABC 的内心，点O 为△ABC 的外心，∠O ＝140°，则∠I 为（）（A ）140° （B ）125° （C ）130° （D ）110°【答案】B ．【解析】因点O 为△ABC 的外心，则∠BOC 、∠A 分别是BC 所对的圆心角、圆周角，所以∠O ＝2∠A ，故∠A ＝21×140°＝70°．又因为I 为△ABC 的内心，所以∠I ＝90°＋21∠A ＝90°＋21×70°＝125°．【总结升华】本题考查圆心角与圆周角的关系，内心、外心的概念．注意三角形的内心与两顶点组成的角与另一角的关系式．类型三、与相切有关的计算与证明【高清ID 号： 356967 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题4】4. 如图，已知直径与等边△ABC 的高相等的圆O 分别与边AB 、BC 相切于点D 、E ，边AC 过圆心O与圆O 相交于点F 、G. (1) 求证：DE ∥AC.(2) 若△ABC 的边长为a ，求△ECG 的面积.【答案与解析】（1）∵△ABC 是等边三角形,∴∠B=∠A=60°∵AB 、BC 是圆O 的切线，D 、E 是切点，∴BD=BE.∴∠BDE=60°=∠A, ∴DE//AC.（2）分别连接OD 、OE ，作EH ⊥AC 于点H ．∵AB 、BC 是圆O 的切线，D 、E 是切点，O 是圆心， ∴∠ADO=∠OEC=90°，OD=OE ，AD=EC.∴△ADO ≌△CEO,有AO=OC=12a . ∵圆O 直径等于△ABC 的高,∴半径 ,∴CG=OC+OG=2a ． ∵EH ⊥OC ，∠C ＝60°,可推知EH =8a . ∴【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查到切线的性质，全等三角形的判断，等边三角形的性质等，是一道很不错的题．。

初中数学-切线长定理典型例题

例如图，△ABC 内接于大⊙O ，∠B ＝∠C ，小⊙O 与AB 相切于点D ．求证：AC 是小圆的切线．分析 AC 与小⊙O 的公共点没有确定，故应过O 作AC 的垂线段OE ．再证明OE 等于小圆半径，用“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”来判定AC 是小圆的切线．证明连结OD ，作OE ⊥AC 于E ． ∵∠B ＝∠C ，∴AB=AC ．又AB 与⊙O 小相切于D ，∴OD ⊥AB ． ∵OE ⊥AC ，∴OD=OE ．即小⊙O 的圆心O 到AC 的距离等于半径，所以AC 是小圆的切线．说明：（1）本题为证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径．）之一；（2）本题为基本题型，但应用到切线的性质和判定；（3）本题为教材110页例4的变形题．例（大连市，l 999）阅读：“如图△ABC 内接于⊙O ，∠CAE=∠B ．求证：AE 与⊙O 相切于点A ．证明：作直径AF ，连结FC ，则∠ACF ＝90°．∴ ∠AFC+∠CAF ＝90°． ∵∠B ＝∠AFC ． ∴ ∠B+∠CAF ＝90°．又∵ ∠CAE=∠B ，∴ ∠CAE+∠CAF ＝90°．即AE 与⊙O 相切于点A ．问题：通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用)．问题：通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用)．如图，已知△ABC 内接于⊙O ．P 是CB 延长线上一点，连结AP ．且PA 2＝PB ·PC ．求证：PA 是⊙O 的切线．证明：∵PA 2＝PB ·PC ，∴PAPB PC PA ．又∵ ∠P=∠P ，∴△PAB ∽△PCA ． ∠PAB=∠C ．由阅读题的结论可知，PA 是⊙O 的切线．说明：（1）此题的阅读材料来源于教材第117页B 组第1题；（2）应用“连半径证垂直”证明切线．例（西宁，1999）已知：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，以AB 为直径的⊙O 交斜边AB 于E ，OD ∥AB ．求证：（1）ED 是⊙O 的切线；（2）2 DE 2＝BE ·OD证明：（1）连结OE 、CE ，则CE ⊥AB ．在Rt △ABC 中，∵OA=OC ，OD ∥AB ，∴D 为BC 的中点，∴DE=CD ，又∵OC=OE ，OD=OD ，∴△COD ≌△EOD ，∴∠OED=∠OCD=90°，∴ED 是⊙O 的切线．（2）在Rt △ABC 中，CE ⊥AB ，∴△CBE ∽△ABC ，∴CB 2＝BE ·AB ， ∵OD 为△ABC 的中位线，∴AB=2OD ，BC=2ED ，∴（2ED ）2＝BE ·2OD 即2 DE 2＝BE ·OD 说明：此题为综合题，主要应用切线的性质定理、判定定理、射影定理、中位线定理等知识．C典型例题四例（北京市西城区试题，2002）已知：AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长线上的一个动点，过点P 作⊙O 的切线，设切点为C.（1）当点P 在AB 延长线上的位置如图1所示时，连结AC ，作APC 的平分线，交AC 于点D ，请你测量出CDP 的度数；（2）当点P 在AB 延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC ，请你分别在这两个图中用尺规作APC 的平分线（不写做法，保留作图痕迹），设此角平分线交AC 于点D ，然后在这两个图中分别测量出CDP 的度数；猜想：CDP 的度数是否随点P 在AB 延长线上的位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明.解：（1）测量结果： 45CDP . （2）作图略.图2中的测量结果： 45CDP . 图3中的测量结果： 45CDP .猜想： 45CDP 为确定的值，CDP 的度数不随点P 在AB 延长线上的位置的变化而变化.证法一：连结BC .∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ 90ACB .∵ PC 切⊙O 于点C ， ∴ A 1.∵ PD 平分APC ，.454,3,21432 CDP A CDP∴ 猜想正确. 证法二：连结OC .∵ PC 切⊙O 于点C ，.901. CPO OC PC∵ PD 平分APC ，.45)1(212.121,31.3,.212CPO A CDP A A A OC OA CPO∴ 猜想正确.典型例题五例（北京市崇文区，2002）已知：ABC ≌C B A ，3,5,90 AC AB B C A ACB ，对应边AC 与C A 重合，如图（1）.若将C B A沿CB 边按箭头所示方向平移，如图（2），使边AB 、B A 相交于点D ，边C A 交AB 于点E ，边AC 交B A 于点F ，以C C 为直径在五边形CF C DE 内作半圆O ，设C B 的长为x ，半圆O 的面积为y .1．求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； 2．连结EF ，求EF 与半圆O 相切时的x 的值.解：1．∵ ABC ≌C B A ，3,5,90 AC AB B C A ACB ，,4,.4x C B BC C C x C B BC28)24(2122 x x x y .以C C 为直径在五边形内作半圆，依题意，在运动过程中C A 、AC 与⊙O 始终相切，故只需考虑AB 与⊙O相切的特殊位置，以确定x 的最小值.当C B A 沿CB 边按箭头所示方向平移时， ∵ ABC ≌C B A ， ∴ B B ， ∴ B DB 是等腰三角形.又∵ ,,C O OC C B BC∴ .O B BO∴ O 是B B 的中点.∴ O 到BD 、D B 的距离相等.∴ AB 与⊙O 相切时，B A 必与⊙O 相切. 设切点分别为G 、H ，连结OG ，则有,,90B B BCA BGO ∴ BOG ∽BAC ..5244324,xx BA BO AC OG解之得.1 x当1 x 或4 x 时，不合题意，∴ 自变量x 的取值范围是41 x . 2．在C BE 和FC B 中，,90,,CF B E C B C B C B B B ∴ C BE ≌FC B .,90,//.C FC FC C E FC C E∴ 四边形CF C E 为矩形. 当EF 与⊙O 相切时，C C C E21. ).4(2143,43,43tan x x x C E BC AC C B C E B解之得.58 x典型例题六例已知如图，在ABC 中，AC AB ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作⊙O 的切线交AC 于E ，求证：AC DE .分析：因为DE 是⊙O 的切线，D 是切点，所以连OD ，得DE OD ，因此本题的关键在于证明OD AC //. 证明连结AD 、OD AB 为⊙O 的直径，AC AB ， BC AD .D 是BC 中点，O 是AB 的中点， OD 为BAC 的中位线， AC OD // DE 是切线，D 为切点，OD 是⊙O 的半径 DE OD AC DE说明：连结OD 构成了“切线的性质定理”的基本图形，连结AD 构成了圆周角推论的基本图形.典型例题七例如图，已知⊙O 中，AB 为直径，过B 点作⊙O 的切线，连线CO ，若OC AD //交⊙O 于D .求证：CD 是⊙O 的切线.分析：要证AD 是⊙O 的切线，只须证AD 垂直于过切点D 的半径，由此应想到连结OD .证明连结OD OC AD // ，A COB 及ODA COD OD OA ，OAD ODA COD COBCO 为公共边，OB ODCOB ≌COD .即ODC B BC 是切线，AB 是直径， 90B ， 90ODC ， CD 是⊙C 的切线.说明：辅助线OD 构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理.典型例题八例如图，以ABC Rt 的一条直角边AB 为直径作圆斜边BC 于E ，F 是AC 的中点，求证：EF 是圆的切线.分析：连OE ，因为EF 过半径OE 的外端，要证EF 是切线，只需证 90OEF . 思路1 连OF ，证OAF ≌OEF ，则有 90OAF OEF思路2 连AE ，则 90AEC ，证 90OAE FAE OEA FEA 证明1 如图，连OF 、OE ，的中位线是中点为中点为ABC OF AB O AC FB BC OF 1//，32 又B OE OB 3，即21 ，OE OA ，OF OF 所以OAF ≌OEF有 90OAF OEF 即EF OE ， EF 过半径OE 的外端，所以EF 是⊙O 的切线.证明2 如图，连结AE 、OE AB 是⊙O 直径 90AEBFA FE AC F AEC中点为9042314321OE OAEF OE 90 FE 过半径OE 的外端所以EF 是⊙O 的切线说明：这里的辅助线OE ，仍然想着构造“切线判定定理”的基本图形的作用.典型例题九例如图，已知弦AB 等于半径，连结OB 并延长使.（1）求证AC 是⊙O 的切线；（2）请你在⊙O 上选取一点D ，使得（自己完成作图，并给出证明过程）证明：（1）即是⊙O 的切线.（2）①作BO 延长线交⊙O 于D ，连接AD ，，所以D 点为所求.②如图，在圆上取一点使得，连结，所以点也为所求.说明：证明一条直线是圆的切线，通常选择：（1）到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；（2）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.而涉及切线问题时，应灵活运用切线的性质，通常连结切点和圆心.题目的第（2）问是分类讨论问题，当题目中的图形未给定时，作图时，应将所有符合条件的图形作出，再分别解答.典型例题十例已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且CB CA OB OA ,.求证：直线AB 是⊙O 的切线.证明连结OC .∵CB CA OB OA ,，∴OC 是等腰三角形OAB 底边AB 上的中线. ∴.OC AB ∴AB 是⊙O 的切线.说明：本题考查切线的判定，解题关键是作出辅助线，易错点是把求证的结论“AB 是⊙O 的切线”.作为条件使用，造成推理过程中的逻辑混乱.典型例题十一例如图，AB 是⊙O 直径，弦AB CD //，连AD ，并延长交⊙O 过点B 的切线于E ，作AC EG 于G .求证：.CG AC证明连结BC 交AE 于F 点...21,32.31,//BF AF CD ABBE 为⊙O 切线，...54,21.9051,9042.EF AF EF BF BE ABAB 为直径，∴.AC BC..//,CG AC BC EG AC EG说明：本题主要考查切线的性质，解题关键是作辅助线.典型例题十二例如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD 交⊙O 于点E ，AC AB AD ,5,4 平分BDA .（1）求证：CD AD .（2）求AC .证明（1）连OC .CD 切⊙O 于C ，∴.CD OC..//.32,21.31,CD AD AD OC OC OA解（2）连BC .AB 是⊙O 的直径，∴ 90ACB .ABC ADC ,21,90 ∽.ACD∴.AD AC AC AB 即.52.45 AC ACAC 说明：在题目条件中若有切线，常常要作出过切点的半径.利用三角形相似的知识求出线段的长.典型例题十三例（北京朝阳区试题，2002）已知：在内角不确定的ABC 中，AC AB ，点E 、F 分别在AB 、AC 上，BC EF //，平行移动EF ，如果梯形EBCF 有内切圆，当21 AB AE 时，322sin B ；当31 AB AE 时，23sin B （提示：43223 ）；当41 AB AE ，54sin B . （1）请你根据以上所反映的规律，填空：当51AB AE 时，B sin 的值等于_________；（2）当nAB AE 1时（n 是大于1的自然数），请用含n 的代数式表示 B sin ___________，并画出图形、写出已知、求证和证明过程。

第21讲切线长定理(基础)(解析版)-2021-2022学年九年级数学上册课堂讲义(人教版)

学科教师辅导教案切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径长为6 cm，PO＝10 cm，求△PDE的周长．【答案与解析】连结OA ，则OA ⊥AP ．在Rt △POA 中，PA ＝＝＝8（cm ）．由切线长定理，得EA ＝EC ，CD ＝BD ，PA ＝PB ， ∴ △PDE 的周长为PE ＋DE ＋PD ＝PE ＋EC ＋DC ＋PD ，＝PE ＋EA ＋PD ＋DB ＝PA ＋PB ＝16（cm ）．【总结升华】本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理．注意：在有关圆的切线长的计算中，往往利用切线长定理进行线段的转换．2．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于D ，E 为BC 中点.求证：DE 是⊙O 切线.【答案与解析】连结OD 、CD ，AC 是直径，∴OA=OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC ，∠ADC=90°，∴△CDB 是直角三角形.∵E 是BC 的中点，∴DE=EB=EC ，∴∠ECD=∠EDC ，∠ECD+∠OCD=90°， ∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD ⊥ED ， ∴DE 是⊙O 切线.【总结升华】自然连接OD ，可证OD ⊥DE.2. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，求证：DC 是⊙O 的切线．22OA OP -22610-【答案与解析】连接OD ．∵ OA=OD ，∴∠1=∠2．∵ AD ∥OC ， ∴∠1=∠3，∠2=∠4．因此 ∠3=∠4．又∵ OB=OD ，OC=OC ，∴ △OBC ≌△ODC ． ∴∠OBC=∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC=90°， ∴∠ODC=90°， ∴ DC 是⊙O 的切线．【总结升华】因为AB 是直径，BC 切⊙O 于B ，所以BC ⊥AB ．要证明DC 是⊙O 的切线，而DC 和⊙O 有公共点D ，所以可连接OD ，只要证明DC ⊥OD ．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC 和△OBC 的内角，所以只要证△ODC ≌△OBC ．这是不难证明的．举一反三：【变式】已知：如图，⊙O 为的外接圆，为⊙O 的直径，作射线，使得平分，过点作于点.求证：为⊙O 的切线.【答案】连接.∵ ，∴ .∵ ，∴ . ∴ . ∴ ∥.∵ ,∴ .∴ . ∵ 是⊙O 半径，∴ 为⊙O 的切线.ABC ∆BC BF BA CBF ∠A AD BF ⊥D DA OFD CBA3421OFD CBAAO AO BO =23∠=∠BA CBF ∠平分12∠=∠31∠=∠DB AO AD DB ⊥90BDA ∠=︒90DAO ∠=︒AO DA类型二、三角形的内切圆3．已知：如图，△ABC 的三边BC=a ，CA=b ，AB=c ，它的内切圆O 的半径长为r ．求△ABC 的面积S ．【答案与解析】设内切圆与三角形的三边AB 、AC 、BC 分别交于D 、E 、F ，连接OE 、 OF 、OD 、AO 、BO 、CO.∴△ABC=△AO B +△AO C +△BO C=r(a+b+c). 【总结升华】考虑把△ABC 的面积分割成3个以圆的半径为高的三角形面积的和，从而求出△ABC 的面积. 举一反三：【变式】已知如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC 的内切圆⊙O 的半径r.【答案】连结OA 、OB 、OC ，∵△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5. 则S △AOB +S △COB +S △AOC =S △ABC ，即类型三、与相切有关的计算与证明4．如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E .（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长.1211115+4+3=34=12222r r r r ⨯⨯⨯⨯⨯，G FEDCBA相切在圆上，是平行四边形，相切，∴相切，，∴ ，∴.O AG 3=∠A 90AED =︒DG A 5GC CD ==DC 4∠BC ∠26∠10A.（a ＋b ＋c ）r B.2（a ＋b ＋c ） C.（a ＋b ＋c ）r D.（a ＋b ＋c ）r3. 在平面直角坐标系xOy 中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆（）A ．与x 轴相交，与y 轴相切B ．与x 轴相离，与y 轴相交C ．与x 轴相切，与y 轴相交D ．与x 轴相切，与y 轴相离4. 如图所示，⊙O 的外切梯形ABCD 中，如果AD ∥BC ，那么∠DOC 的度数为( ) A.70° B.90° C.60° D.45°第4题图第5题图5．如图，是的切线，切点为A ，PA =2,∠APO =30°，则的半径为（）A.1B. C.2 D.46．已知如图所示，等边△ABC 的边长为2cm ，下列以A 为圆心的各圆中，半径是3cm 的圆是( )二、填空题7．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为点D 、E 、F ，若∠DEF=52o，则∠A 的度为________．第7题图第8题图第9题图8．如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________． 9．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC 为____________度．2131PA O ⊙3O ⊙310．如图，、分别切⊙于点、，点是⊙上一点，且，则____度．第10题图第11题图11．如图，PA 与⊙O 相切，切点为A ，PO 交⊙O 于点C ，点B 是优弧CBA 上一点，若∠ABC=32°，则∠P 的度数为 .12．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是________．三、解答题13. 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ．求证：DE 为⊙O 的切线.14．已知：如图，点是⊙的直径延长线上一点，点在⊙上，且求证：是⊙的切线；PA PB O A B E O60=∠AEB =∠P OEDCBAD O CA B O .OA AB AD ==BD O FE DCBAOO（第12题图）15. 已知：如图，PA ，PB ，DC 分别切⊙O 于A ，B ，E 点．(1)若∠P=40°，求∠COD ；(2)若PA=10cm ，求△PCD 的周长．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C.【解析】经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.【答案】A.【解析】连结内心与三个顶点，则△ABC 的面积等于三个三角形的面积之和，所以△ABC 的面积为a ·r ＋b ·r ＋c ·r ＝（a ＋b ＋c ）r ． 212121213.【答案】C ；【解析】求圆心到坐标轴的距离d 与圆的半径r 比较即可.4.【答案】B ；【解析】由AD ∥BC ，得∠ADC+∠BCD=180°，又AD 、DC 、BC 与⊙O 相切，所以∠ODC=∠ADC ，∠OCD=∠BCD ，所以∠ODC+∠OCD=×180°=90°，所以∠DOC=90°.故选B.5.【答案】C ；【解析】连结OA ，则∠OAP=90°，设OA=x,则OP=2x,由勾股定理可求x=2,故选C.6.【答案】C ；【解析】易求等边△ABC 的高为3cm 等于圆的半径，所以圆A 与BC 相切，故选C. 二、填空题 7．【答案】76°；【解析】连接ID,IF ∵∠DEF=52°， ∴∠DIF=104°，∵D 、F 是切点， ∴DI ⊥AB,IF ⊥AC ， ∴∠ADI=∠AFI=90°， ∴∠A=1800-1040=76°.8.【答案】52；【解析】提示：AB+CD=AD+BC. 9.【答案】115°；【解析】∵∠A=500∴∠ABC+∠ACB=130°，∵OB,OC 分别平分∠ABC,∠ACB ， ∴∠OBC+∠OCB=65°，∴∠BOC=1800-650=115°.10．【答案】60°；【解析】连结OA 、OB ，则∠AOB=120°，在四边形OAPB 中，∠P=360°-90°-90°-120°=60°. 11．【答案】26°；【解析】连结OA ，则∠AOC=64°，∠P=90°-64°=26°. 12．【答案】6m ．【解析】在直角△ABC 中，BC =8m ，AC =6m ．则AB ===10．21212122BC AC +2286+∵中心O 到三条支路的距离相等，设距离是r ． △ABC 的面积=△AOB 的面积+△BOC 的面积+△AOC 的面积即：AC •BC =AB •r+BC •r+AC •r 即：6×8=10r+8r+6r ∴r==2．故O 到三条支路的管道总长是2×3=6m．三、解答题13.【答案与解析】如图，连接OD ． ∵ D 为AC 中点， O 为AB 中点，∴ OD 为△ABC 的中位线． ∴OD∥BC． ∵ DE⊥BC， ∴∠DEC=90°. ∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE 于点D. ∴ DE 为⊙O 的切线． 14.【答案与解析】连接.∵，∴.∴是等边三角形. ∴.∵，∴. ∴. ∴ .又∵点在⊙上， ∴是⊙的切线 . 15. 【答案与解析】（1）∵PA，PB,DC 分别切圆O 于A,B,E 点∴OC 与OD 就是△PCD 的两个外角的平分线∴∠COD=90°-∠P=90°-20°=70° （2）∵PA 与PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于E ，∴PA=PA=10cm ，CA=CE ，DE=DB ，∴△PCD 的周长=PD+DE+EC+PC=PD+DB+CA+PC=PA+PB=20cm ．故答案为20 cm ．切线长定理—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题 1.给出下列说法：121212124824OB ,OA AB OA OB ==OA AB OB ==ABO ∆160BAO ∠=∠=︒AB AD =230D ∠=∠=︒1290∠+∠=︒DB BO ⊥B O DB O 12231FE DCBA4O①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A ．21 B ．20 C ．19 D ．18第2题图第3题图第4题图3. 如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠PAB 相等的角(不包括∠PAB 本身)有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与各边相切于点D 、E 、F ，则点O 是△DEF 的 ( ) A ．三条中线的交点 B ．三条高的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点5．△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（） A ．120° B ．125° C ．135° D ．150°6．一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60 ，则OP =( ) A ．50 cm B ．25cmC ．cmD ．50cm二、填空题7．如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切于点C ，若∠P ＝20°，则∠A ＝___________°．333503第7题图第8题图8．如图，巳知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D ．若CD=，则线段BC 的长度等于．9．如图，直径分别为CD 、CE 的两个半圆相切于点C ，大半圆M 的弦AB 与小半圆N 相切于点F ，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为x 、y ，线段ED 的长为z ，则z （x+y ）= .10．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖.如图 (1)中的三角形被一个圆所覆盖，图 (2)中的四边形被两个圆所覆盖.回答下列问题：(1)边长为1 cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm; (2)边长为1 cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm;(3)边长为2 cm ，1 cm 的矩形被两个半径都为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm ，这两个圆的圆心距是________ cm.11．如图①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC ）纸片放置成轴对称图形，∠ACB =90°,CD ⊥AB ,垂足为D ，半圆（量角器）的圆心与点D 重合，量得CE ＝5cm ，将量角器沿DC 方向平移2cm ，半圆（量角器）恰与△ABC 的边AC 、BC 相切，如图②，则AB 的长为 cm.（精确到0.1cm ）POCBACD CE图① （第11题）图②12．已知：如图，三个半圆以此相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上并与直线y ＝x 相切，设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3的半径分别是r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ .三、解答题13. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O ，交AB 于D ，E 为BC 中点.求证：DE 是⊙O 切线.14. 如图（1）所示，已知AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 分别为切点，∠BAC ＝30°． (1)求∠P 的大小；(2)若AB ＝2，求PA 的长(结果保留根号)．图（1）15.阅读材料：如图（一），△ABC 的周长为l ，内切圆O 的半径为r ，连接OA 、OB 、OC ，△ABC 被划分为三个小三角形，用S △ABC 表示△ABC 的面积．33∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA.又∵S△OAB= AB•r，S△OBC= BC•r，S△OCA= CA•r∴S△ABC= AB•r+ BC•r+ CA•r= •l•r（可作为三角形内切圆半径公式）（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（二））且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、a n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．【答案与解析】一、选择题 1．【答案】B ；【解析】②④错误. 2．【答案】D ；【解析】∵AD=AF,BD=BE,CE=CF ， ∴周长=8，故选D. 3.【答案】C ；【解析】∠PAB=∠PBA=∠POA=∠ACB ，有3个. 4.【答案】D ；【解析】点O 是△DEF 的外接圆的圆心（即外心），是三条边的垂直平分线的交点，故选D. 5．【答案】C ； 6．【答案】A ；【解析】∠MPN=60°，可得∠OPM=30°，可得OP=2OM=50. 二、填空题7．【答案】∠A ＝35°；【解析】由PC 与⊙O 相切于点C ，得∠PCO ＝90°，而∠P ＝20°，所以∠POC ＝70°；因为OA ＝OC ，所以∠A ＝∠ACO ；又∠A ＋∠ACO ＝∠POC ＝70°，故∠A ＝35°．8．【答案】1；【解析】连结OD ，∵CD 与⊙O 相切，切点为D ，∴∠ODC=90°，设⊙O 的半径为r,则OC=2r ，在Rt △ODC 中，有勾股定理得r=1，BC=r=1. 9．【答案】8π；【解析】过M 作MG⊥AB 于G ，连MB ，NF ，如图，而AB=4， ∴BG=AG=2，∴MB 2﹣MG 2=22=4，又∵大半圆M 的弦与小半圆N 相切于点F ， ∴NF⊥AB， ∵AB∥CD， ∴MG=NF，设⊙M，⊙N 的半径分别为R ，r ， ∴z（x+y ）=（CD ﹣CE ）（π•R+π•r），=（2R ﹣2r ）（R+r ）•π，=（R 2﹣r 2）•2π， = 4•2π， =8π．故答案为：8π． 10．【答案】 (1)； (2)； (3)； 1．【解析】图形被圆覆盖，圆一定大于图形的外接圆，它的最小半径就是外接圆半径.（1）正方形的外接圆半径，是对角线的一半，因此r 的最小值是cm. 21218⨯+⨯=22332222（2）等边三角形的外接圆半径是其高的，故r 的最小值是 cm.（3）r 的最小值是cm ，圆心距是1 cm. 11．【答案】24.5；【解析】如图，设图②中半圆的圆心为O ，与BC 的切点为M ，连接OM ，则OM⊥MC， ∴∠OMC=90°，依题意知道∠DCB=45°，设AB 为2x ，∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴CD=BD=x，而CE=5cm ，又将量角器沿DC 方向平移2cm ， ∴半圆的半径为x ﹣5，OC=x ﹣2，∴CM=OM= x ﹣5，在Rt △CMO 中， ∴AB=2x=2×≈24.5（cm ）． 12.【答案】9．【解析】由三个半圆依次与直线y ＝x 相切并且圆心都在x 轴上，∴y ＝x 倾斜角是30°， ∴得OO =2r ，OO 2=2r ，003=2r ，r 1＝1，∴r 3=9．故答案为9．三、解答题13. 【答案与解析】连接OD ，CD ∵AC 是⊙O 直径 ∴CD ⊥AB ∵E 为BC 中点 ∴ED=EC∴∠EDC=∠ECD又∵OD=OC∴∠ODC=∠OCD∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD ∴∠ODE=∠OCE=90° ∴DE 是⊙O 的切线.14. 【答案与解析】(1)PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴ PA ⊥AB ．图（2）∴ ∠BAP ＝90°∴ ∠BAC ＝30°． ∴ ∠CAP ＝90°-∠BAC ＝60°．又∵ PA 、PC 切⊙O 于点A 、C ，∴ PA ＝PC ，∴ △PAC 为等边三角形， ∴ ∠P ＝60°．32332228,+（x-5）=x-2,x=32(8)+3233331123(2)连接BC ，如图（2），则∠ACB ＝90°．在Rt △ACB 中，AB ＝2，∠BAC ＝30°，∴ BC ＝1．由勾股定理又求得AC ＝，由(1)知PA ＝PC ＝．15. 【答案与解析】（1）以5，12，13为边长的三角形为直角三角形，易求，得；（2）连接OA ，OB ，OC ，OD ，并设内接圆半径为r ，如图，可得S 四边形ABCD =S △OAB +S △OBC +S △OCD +S △ODA =a •r+b •r+c •r+d •r=（a+b+c+d ）•r ． ∴；（3）猜想： .3311512=++22⨯⨯（51213）r。

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基础型
【典型例题】
类型一、切线长定理
1．如图，PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，⊙O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．
2．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于D ，E 为BC 中点. 求证：DE 是⊙O 切线.
举一反三：
【变式】已知：如图，⊙O 为的外接圆，为⊙O 的直径，作射线，使得平分，过点作于点.求证：为⊙O 的切线.
类型二、三角形的内切圆
ABC ∆BC BF BA CBF ∠A AD BF ⊥D DA
F
C
3．已知：如图，△ABC 的三边BC=a ，CA=b ，AB=c ，它的内切圆O 的半径长为r ．求
△ABC 的面积S ．
【变式】已知如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC 的内切圆⊙O 的半径r.
类型三、与相切有关的计算与证明
4．如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E .
（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长.
G F E
D
C B
A。