专题10.2双曲线-3年高考2年模拟1年预测(文)(解析版)
专题4.3解三角形-3年高考2年模拟1年预测(文)(解析版)
第四章三角函数专题 2三角恒等变换（文科）【三年高考】1. 【 2017 课标1，文11】△ ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知sin B sin A(sin C cosC ) 0 ，a=2，c=2，则 C=ππππA．B．C． D ．12643【答案】 B2.【 2017 浙江， 13】已知△ ABC， AB=AC=4 ，BC=2．点 D 为 AB 延伸线上一点， BD=2，连接 CD，则△ BDC 的面积是 ______， cos∠ BDC =_______．1510【答案】,【分析】取BC 中点 E， DC 中点 F ，由题意：AE BC , BF CD ，△ABE中，cos ABC BE1cos DBC1115 AB，,sin DBC1，44164S△BCD1BD BC sin DBC15 ．又22cos DBC12sin 2DBF1,sin DBF10，44cos BDC sin DBF10 ，4综上可得，△ BCD 面积为15，cos BDC10 ．243. 【 2017 课标 3，文 15】△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知 C=60 °，b= 6 ，c=3，则 A=_________.【答案】 75°b cb sin C 632，联合 b c，即2可【分析】由题意：sin Csin B sin B c32得B 45，则 A 180 B C75 .4. 【 2017课标 II ，文16】ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ,若2bc cosB a cosC ccos A ,则B【答案】3【分析】由正弦定理可得2sin B cos B sin A cosC sin C cos A sin( A C ) sin B cos B 1πB3 25. 【 2017 天津，文 15】在△ABC中，内角A, B,C所对的边分别为a, b, c .已知a sin A 4bsin B ，ac5( a2b2c2 ) .（ I ）求cos A的值；（ II ）求sin(2 B A)的值 .【分析】（Ⅰ）由 a sin A 4bsin B ，及a b，得 a2b .由ac5( a2b2c2 ) ，sin A sin B2c2a25ac5及余弦定理，得 cos Ab52bc ac. 56． 【 2016 高考新课标 1 文数】 △ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c.已知a5 , c 2 , cos A2）,则 b= （3（A ）2（B ） 3（C ）2（D ）3【答案】 D【分析】由余弦定理得5b 2 4 2 b2 2 ,解得 b3 （ b1 舍去） ,应选 D.337. 【 2016 高考山东文数】△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ，c ，已知22sin A) ,则 A=（）b = c,a = 2b (1- （ A ）3π（ B ） π（ C ） π（ D ）π4346【答案】 C【分析】因为 b = c,所以由余弦定理得：a 2b 2c 2 2bc cos2b 2 2b 2 cos2b 2 1 cos，又因为 a 2 2b 2 1 sin ，所以 cos sin，因为 cos0 ，所以 tan1，因为0,，所以，应选 C.48．【 2016 高考北京文数】在 △ABC 中，A 2， a3c ，则 b =_________.c3【答案】 1sin A asin21【分析】由正弦定理知3 ，所以 sin C3，所以sin Cc3，则 C26B26，所以 bc ，即b1．36c9．【 2016 高考浙江文数】 在 △ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 b+c=2 acosB ．（Ⅰ）证明： A=2B ；（Ⅱ）若 cos B= 2，求 cos C 的值．310.【2015高考广东，文】设 C 的内角，，C 的对边分别为a，b ，c．若 a 2 ，5c 2 33，且 b c ，则 b （）， cos2A ．3B ．2C．2 2D．3【答案】 B【分析】由余弦定理得：a2b2c22bc cos ，所以22b2233，即 b26b 80 ，解得：b 2 或 b 4 ，因为 b c ，2 32 b 22所以 b 2 ，应选B．11.【 2015 高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上，行驶600m 后抵达B处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为 30 ，则此山的高度CD_________m.DCB A【答案】 100 6 .【分析】在ABC 中，CAB 300， ACB750300450，依据正弦定理知，BC AB，sin BAC sin ACB即 BCAB60012 ，所以sin BAC300sin ACB222CD BC tan DBC3100 6 ，故应填300 23100 6 .12.【 2015 高考新课标1，文 17】已知a,b, c分别是ABC 内角 A, B, C 的对边，sin 2 B 2sin Asin C .（I ）若a b，求cos B;（ II ）若B90 ，且 a2,求ABC 的面积.【分析】（ I ）由题设及正弦定理可得b2 = 2ac .又 a = b ，可得 b = 2c , a = 2c,由余弦定理可得cos B = a2 + c2 - b2= 1 .2ac4（ II ）由 (1) 知b2= 2ac .因为B = 90°，由勾股定理得a2 + c2 = b2.故 a2 +c2 = 2ac ，得c = a = 2 .所以 D ABC的面积为 1.【两年模拟】1. 【黑龙江、吉林两省八校2017 届高三上学期期中】在ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为，若ac ab，则角 C 等于（）b a cA ．B ．4C．D．368【答案】 A【分析】a c a b2b22ab cosCa2b2c21，应选b aa c2abCc23A.2.且【河北省保定市，2017 届高三二模】设的内角，则面积的最大值为（，，所对的边分别为），，，A.8B.9C.16D.21【答案】 B【分析】由三角形的面积公式：，当且仅当时等号建立.则面积的最大值为9.本题选择B选项.3. 【 2017 届陕西省渭南市高三二质检】已知ABC 的三边长为a,b,c ，知足直线ax by2c0 与圆x2y2 4 相离，则ABC 是（）A.直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 以上状况都有可能【答案】 C4.【福建省泉州市 2017 届高三二质检】在梯形ABCD中，AB / /CD, AB 1, AC2, BD 2 3,ACD 600则 AD() ,A.2B.7C.19D.13 63【答案】 B【分析】在ABC 中，由余弦定理得：BC 2AB2AC 22AB ACcos60 ，解得BC 3 ，所以AC2AB 2BC2，故 BC AB ，在 RT BCD 中，CD BD2BC 2123 3 ，在ACD 中，由余弦定理AD2AC 2CD 22AC CDcos607，所以AD7．5.【 2017 年高考广西名校第一次摸底考试】在ABC 中，已知 tan A 1, cos B 3 10，210若ABC 最长边为10，则最短边长为（）A．2B．3C．5D．22【答案】 A6. 【 2017 广东佛山二模】某沿海四个城市 A 、 B、C、D的地点如下图，此中ABC60，BCD135，AB80nmile， BC40303nmile ，CD250 6nmile .此刻有一艘轮船从 A 出发以50nmile/h的速度向D直线航行，60min后，轮船因为天气原由收到指令改向城市 C 直线航行，则收到指令时该轮船到城市C 的距离是__________nmile．【答案】 100【分析】在三角形ABC中，AC28024022804030 3cos6007500AC50330 3,所以sin ACB 80sin6004，5035sin ACD sin3πACB23472cos ACD 2 ，42551010AD25022502250325062AD 501473503 36，设10收到指令时该轮船到城市 C 的距离是x，则50 2502 x 250 23502 250 6233 3x100.2 503 502 503 350 37. 【 2017 安徽马鞍山三模】在锐角ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，且 c b sinCsinB a sinA sinB ．若 c2 3 ，则 a 2b 2 的取值范围是 ___．【答案】20,24【分析】依据正弦定理，边角互化后可得c b c b a abc 2 b 2 a 2ab ，a 2b 2c 21 C，又依据正弦定理，cosC2ab，解得 32abc4 ，所以 a 4sinA, b4sin 2A ，所以sinAsin2 sinC33Aa 2b 2 16sin 2 A16sin 2 2A3142 A1 cos2Acos1 316 16316 816 8cos 2 A22cos2Asin2 A223，因为ABC 是锐角三角形，所以 A, , 2 A2 , 4，所以6 233 3cos 2 A1,1 8cos2 A20,24 ，故填： 20,24 .，那么 16 3328. 【贵州省遵义市 2017 届高三上学期第一次联考（期中） 】某中学举行升旗仪式，在坡度为 15°的看台 E 点和看台的坡脚 A 点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和 60°，量的看台坡脚A 点到 E 点在水平线上的射影B 点的距离为 10cm ，则旗杆的高 CD 的长是__________m ．【答案】 10 3 3【分析】由题意得DEA45， ADE30AE sin 45AB所以AD2所以sin 30cos15CD AD sin 60210sin 6010(33)cos(4530 )9. 【安徽师范大学隶属中学2017 届高三上学期期中】已知a,b,c分别是ABC 角 A, B,C 的对边，知足 ac sin A4sin C4c sin A .（Ⅰ）求 a 的值；（Ⅱ）ABC 的外接圆为圆 O （ O 在ABC 内部）,SOBC3, b c 4 ,判断ABC 的3形状 ,并说明原由 .【分析】（I ）由正弦定理可知 , sin Aa,sin C c, 则2R2Rac sin A 4sin C4c sin A a2c4c4ac ,c 0, a2c 4c 4ac a2 4 4a20 ,可得 a 2 .a 2（ II ）记BC中点为D, SOBC1BCOD OD3，故BOC120 ,圆 O 的半径为2323由正弦公式可知 sin A a3,故A60 ,由余弦定理可r,2r23知 , a2b2c22bc cos A ,由上可得 4b2c2bc ,又 b c 4 ,则 b c 2 ,故 ABC 为等边三角形 .10. 【2017河北五邑三模】如图，在ABC 中， B，角A的均分线 AD 交BC于点 D，4设 BAD,sin5. 5（1）求sinC；（2）若BABC·28，求AC的长 .【分析】（1）∵0,， sin51，∴ cos1sin 22，2555则 sin BAC sin22sin cos212 4 ，555∴ cos BAC2cos212413，55∴sinC sin42sin22cos22sin223247 2 422252510．（ 2）由正弦定理，得AB BC，即ABBC，∴ AB72BC，又sinC sin BAC7248105BABC·28 ，∴AB BC228 ，由上两式解得BC 4 2，又由AC BC2sinB sin BAC得 AC BC，∴ AC 5 ．242511. 【 2016 届宁夏石嘴山三中高三下四模】已知ABC 的三内角A, B,C所对边长分别是a, b, c，若 sin B sin A3a c，则角 B 的大小为（）sin C a bA ．B．2 C．633 5D．6【答案】 D【分析】由 sin B sin A3a c 得 b a3a c,即b2a2 c 2 2 3ac ,故sin C a b c a bcos B3， B5，故应选 D.2612. 【 2016 届福建厦门双十中学高三下热身考】在ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a, b, c .若 a cos A b sin A ，且 B，则 sin A sin C 的最大值是（）2A ．2B ．9 C ． 1 78D ．8【答案】 B【分析】a b b, sin B cos AsinA ，因为B，所以sin A cos A sin B22BA ，所以2sin A sin C sin Asin A Bsin A sin2 2Asin A cos2 A ，所以sin A sin C sin A21时，sin A B2sin 2A sin A1 2 sin A1 9，所以 sin A4849 sin A sin C 的最大值是.813. 【 2016届海南省农垦中学高三考前押题】 在 ABC中，A60 BC 10 D是 AB，，边上的一点， CD2 ， BCD 的面积为 1，则 AC 的长为（ ）A. 23B.33 2 3C.D.33【答案】 D14. 【 2016 届广西贵宾高中高三5 月模拟】如图，平面四边形ABCD 中，AB5, AD 2 2, CD3, CBD 300, BCD 1200 ，则 ADC 的面积 S 为_____________ ．【答案】332【分析】在BCD 中，由正弦定理得：BDCDsin3 3 3 ，在sinBCD2 CBD12ABD 中，由余弦定理得：2222 25AD 2 BD 2 AB 232，所以 ADB 450．因cos ADB2 2 2 32AD BD2为CBD300 , BCD 1200 ，所以CDB300 ．因为sin ADCsin 450 30062 ．所以4S1AD CD sin ADC1 2 2 36 42 33 ．故答案为 33 .222215. 【 2016 届宁夏银川二中高三 5 月适应性训练 】设 △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ，设 S 为△ ABC 的面积，知足 S3 ( a 2 c 2 b 2 ) .4（ 1）求 B ；（ 2）若 b3，设 A x ，（ ） ，求函数 yf (x)的分析式和最大值 .y ( 3-1 )a 2c【分析】（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得13 ac sin B42ac cos B ，2tan B3，又 B (0， ) ，所以 B3（ 2）由（ 1）知 B，△ABC 的内角和 A B C ，又A0， C0得0 A2，33由正弦定理，知 absin A3sin x 2sin x ， cb sin C 2sin(2x) ，sin Bsinsin B33所以 y （3-1）a 2c（2 3-1）sin x 4sin(2x) 23sin x 2 3cos x 2 6 sin( x)(0 x 2 )343当 x4 ，即 x时， y 获得最大值 2 6 .24【一年原创真展望】1. 已知锐角 △ ABC 的外接圆半径为3BC ，且 AB3，AC 4，则 BC （）3A ．37B ． 6C ． 5D ．13【答案】 DBC2R ，所以 sin ABC 3．因为 A 为锐角，所以 A【分析】因为3 ，于是sin A2R2BC 232 42 23 4cos13，所以BC13，应选 D ．3【当选原由】 本题主要考察正弦定理与余弦定理，意在考察学生转变能力、 运算求解能力． 本题难度适中，出题比较基础,应选本题 .2. 在 △ ABC 中， a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 的对边，且2ab sin C3( b 2 c 2a 2 ) ．若 a13 ， c 3 ，则 △ ABC 的面积为（ ）A ． 3B ．3 3C ． 23D ． 3 32【答案】 B【当选原由】本题考察余弦定理，三角形的面积公式，正弦定理等基础知识，意在考察学生的剖析问题、解决问题的能力，基本运算能力及推理能力．本题切合高考的要求, 难度适中，应选本题 .3. 在△ABC中，a ，b ，分别为内角A，B，C 的对边，且a23b23c223bcsin A ，c则 C 的值为（）A ．3B ．C．4D．3 6【答案】 B【分析】由余弦定理得a2b2c22bccos A 3b23c223bc sin A，即b2c2bc( 3sin A cos A) ，即b2c22sin( A)，由基本不等式及三角函数的值bc6域可得，b2c22sin( A)2，故 2sin( A) 2 ，且 b c ，得 A，2bc66 6 2即 A3，故 C6．应选 B.【当选原由】本题考察余弦定理，基本不等式，两角差的正弦公式等基础知识，意在考察学生的剖析问题、解决问题的能力，基本运算能力及推理能力．本题难度适中，切合高考小题目综合化的要求 ,应选本题 .4. △ABC中，sin A2sin B cosC0 ，3b c ，则tan A的值是()3B．23C.343A ．3D．33【答案】 A【分析】sin A2sin B cosC0 ，a2b cosC 0 ，a2b a2b2c20 ，2ab2a2b2c20 .因为 tan2 A11，cos2 Acos A b2c2a23b2c26b232A13 2bc4bc 4 3b2，所以 tan，则 tan A．应选233A．【当选原由】本题考察正、余弦定理，解三角形等基础知识，意在考察学生的剖析问题、解决问题的能力，基本运算能力及推理能力．本题难度适中，切合高考题型，应选本题.5．平面四边形ABCD 中， AB 2, BC 4, CD 5, DA 3, 则平面四边形ABCD 面积的最大值为 ________．【答案】230【当选原由】本本小题主要考察余弦定理、三角形面积公式、两角和余弦公式等基础知识，意在考察剖析问题的能力、基本运算能力．本题考察比较综合，难度适中，切合高考题型，应选本题 .。
2021高考-数学押题专练-双曲线(解析版)
押题15双曲线【押题方向】双曲线是高考全国卷每年必考知识点,且均以客观题的形式进行考查,若为基础题,主要考查双曲线的几何性质,考查热点是双曲线的渐近线与离心率,若为较难题,一般常涉及直线与双曲线的位置关系、范围与最值问题,2019年全国Ⅰ卷以选择题形式考查双曲线,难度中等偏易,2020年全国Ⅰ卷以填空题形式考查双曲线,难度中等偏易,预测2021年全国Ⅰ卷以选择题形式考查双曲线的可能性较大,难度依然会保持中等偏易.【模拟专练】1．（2021·山东淄博市·高三二模）已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点，c 是双曲线C 的半焦距，点A 是圆222:O x y c +=上一点，线段2F A 交双曲线C 的右支于点B ，且有2F A a =，223AB AF = ，则双曲线C 的离心率是______．【答案】2【详解】如下图所示：因为2F A a =，223AB AF = ，所以23BA a =，213BF a =，又122F B F B a -=，所以173F B a =，又212190,2F AF F F c ∠== ，所以2222211122F A F B AB F F AF =-=-，即()22222172233a a F A c a ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2223c a =，所以62c e a ==，故答案为：2．2．（2021·山东日照市·高三一模）已知1F ，2F 分别为双曲线C :221412x y -=的左、右焦点，E 为双曲线C 的右顶点，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B ，两点（其中点A 在第一象限），设M ，N 分别为12AF F △，12BF F △的内心，则ME NE -的取值范围是______.【答案】,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【详解】如图：设12AF F △的内切圆与1212,,AF AF F F 分别切于,,H D G ，所以1122||||,||||,||||AH AD HF GF DF GF ===，所以1212||||||||||||AF AF AH HF AD DF -=+--=1212||||||||2HF DF GF GF a -=-=，又12||||2GF GF c +=，所以12||,||GF a c GF c a =+=-，又12||,||EF a c EF c a =+=-，所以G 与E (,0)a 重合，所以M 的横坐标为a ，同理可得N 的横坐标也为a ，设直线AB 的倾斜角为θ.则22EF M πθ-∠=，22EF N θ∠=，()()||||tan tan 22ME NE c a c a πθθ--=---()sin()sin 222cos(cos 222c a πθθπθθ⎛⎫- ⎪=-⋅- ⎪ ⎪-⎝⎭()cos sin 22sin cos 22c a θθθθ⎛⎫ ⎪=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭22cos sin 22()sin cos 22c a θθθθ-=-⋅⋅()2cos sin c a θθ=-，当2πθ=时，||||0ME NE -=，当2πθ≠时，由题知，2a =.4c =.b a=因为,A B 两点在双曲线的右支上，∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan θ<tan θ>，∴13tan 3θ-<<.且10tan θ≠，2433||||(42),00,tan tan 33ME NE θθ⎛⎫⎛⎫-=-⋅=∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上所述，4343||||33ME NE ⎛-∈- ⎝⎭.3．（2021·山东滨州市·高三一模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，以F 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线相切于第一象限内的一点B ．若直线AB 的斜率为12，则双曲线C 的离心率为______．【答案】53【详解】(c,0)F ，(,0)A a -，由题意设(,)b B x x a ，则1b x b a x c a⨯=--，解得2a x c =，即2(,a ab B c c ，所以212AB abc k a a c ==+，2b a c =+，223250c ac a --=，23250e e --=，解得53e =或1e =-（舍去）．4．（2021·山东泰安市·高三一模）过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线C 的准线于点A ，与抛物线C 的一个交点为B，且(AB k BF k =≥ .若l 与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是___________.【答案】1e <≤【详解】依题意可知直线l 的斜率存在且不为0，不妨设直线l 的斜率为正数，如图：过B 作BC 与抛物线的准线垂直，垂足为C ，根据抛物线的定义可知||||BF BC =，因为(2AB k BF k =≥ ，所以||||||AB k BF k BC ==，所以1||||BC k AB =cos ABC =∠，因为2k ≥，所以12(0,2k ∈，所以2cos (0,]2ABC ∠∈，所以[,42ABC ππ∠∈，所以tan [1,)ABC ∠∈+∞，即直线l 的斜率的取值范围为[1,)+∞，又l 与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线b y x a =-垂直，所以1a b ≥，所以双曲线的离心率22221112c a b b e a a a +⎛⎫===+≤+= ⎪⎝⎭，又1e >，所以12e <≤12e <≤5．（2020·山东高三其他模拟）已知双曲线2218:8x y C -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，(0,4)A ，当M AF △的周长最小时，M AF △的面积为_________.【答案】12【详解】如图，设双曲线C 的右焦点为F '.由题意可得22,4040a F F '=-（，）,（，）.因为点M 在右支上，所以22MF MF a '-==，所以2MF MF '=+，则M AF △的周长为8222MA MF AF MA MF AF ''++=+++即当M 在M '处时，M AF △的周长最小，此时直线AF '的方程为4y x =-+.联立224188y x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得10y -=，则1M y '=，故M AF △的面积为111'84112222M FF OA FF y ''-=⨯⨯-=（）.故答案为：12【押题专练】1．已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以1F ，2F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为M ，1210F F =，122MF MF =，则双曲线的标准方程为______．【答案】221520x y -=【详解】由双曲线定义得122MF MF a-=，又122MF MF =，解得：22MF a =，14MF a =，∵M 为以1F ，2F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点，∴12MF MF ⊥∴()()2222410a a +=，解得：25a =，∴22525520b c =-=-=，故双曲线标准方程为：221520x y -=．2．已知双曲线22143x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，P为双曲线上一点，且12PF F S = 12F PF ∠=___________.【答案】23π【详解】依题意2,3,7a b c ===，设12,PF m PF n ==，不妨设m n >，12227F F c ==，设()120,F PF θπ=∈∠，根据双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式得()2224272cos 1sin 32m n m n mn mn θθ⎧-=⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=⎪⎩，()22216282cos sin 23m n m n mn mn θθ⎧-=⎪=+-⎨⎪=⎩，2222216282cos sin 23m n mn m n mn mn θθ⎧+-=⎪=+-⎨⎪=⎩，282162cos 23sin mn mn mn θθ=+-⎧⎪⎨=⎪⎩，()1221cos 23sin mn mn θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，()231221cos sin θθ=⋅⋅-，3sin cos 1θθ+=，12sin 1,sin 662ππθθ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于70,666πππθπθ<<<+<，所以52,663πππθθ+==，所以1223F PF π∠=.3．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>与双曲线22:12y T x -=有相同的焦点，设M 和T 的离心率分别为1e 和2e ，且1232e e =；若斜率为2的直线l 与M 相交于A ，B 两点，则||AB 的最大值为__________．【答案】48517【详解】依题意，知双曲线T 的两焦点坐标为(3,0)，离心率2331e ==；从而知椭圆M 的两焦点1,2(3,0)F ，得半焦距3c =又1232e e =，得132c e a==，即2a =，则1b ==，所以椭圆M 的方程为2214x y +=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，直线l 的方程为2y x m =+；联立方程组22442x y y x m⎧+=⎨=+⎩，消去y 得()221716410x mx m ++-=，()22256171610m m ∆=-⨯->，解得m <<，由韦达定理得121617m x x +=-，2124417m x x -=；由弦长公式得12||AB x =-==故当0m =时，max ||17AB =．4．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点1F 作以焦点2F 为圆心的圆的切线，其中一个切点为M ，12F F M △的面积为2c ，其中c 为半焦距，线段1MF 恰好被双曲线C 的一条渐近线平分，则双曲线C 的离心率为________.【详解】由题意，可得图像如图：∵2//ON MF ，∴1F N ON ⊥，∴1F N b =，∴||ON a =，∴22MF a =，12MF b =，∴12212222MF F S a b ab c =⋅⋅== ，∴()22244a c a c -=，∴42e 4e 40-+=，∴2e 2=，e =5．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>与抛物线()2:20C y px p =>有共同的一焦点，过E 的左焦点且与曲线C 相切的直线恰与E 的一渐近线平行，则E 的离心率为___________.【详解】因为抛物线与双曲线共焦点，所以2p c =，2p c =，抛物线方程为24y cx =，双曲线的左焦点为1F (,0)c -，过1F 与一条渐近线b y x a =平行的直线方程为()b y x c a =+，由24()y cx b y x c a ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得22440by acy bc -+=，所以222216160a c b c ∆=-=，所以a b =，从而c ==，离心率为c e a==6．已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，1F 关于直线l 的对称点1F '在以2F 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上，则双曲线的离心率为________．【答案】2【详解】如图，根据对称性可得12121''OF OF OF F F c ====，所以，△12'OF F 是等边三角形，由此得11''120F OF = ，进而可得渐近线的倾斜角为60，所以tan 60b a==o，从而离心率2e ==.7．已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线C 上一点，且12π2F PF ∠=，12F PF △的面积为2a ，则双曲线C 的渐近线方程为______.【答案】0x y ±=【详解】122PF PF a -= ，222124PF PF c +=，则2222221212122444PF PF PF PF PF PF c a b ⋅=+--=-=，所以，2122PF PF b ⋅=，因为122F PF π∠=，所以，12221212F PF S PF PF b a ===△，可得a b =.因此，双曲线C 的渐近线方程为b y x x a=±=±，即0x y ±=.8．已知抛物线()220y px p =>上一点()5,m 到焦点的距离为6，准线为l ，若l 与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线所围成的三角形面积为C 的离心率为___________.【答案】3【详解】∵抛物线()220y px p =>上一点()5,m 到焦点的距离为6，∴由抛物线定义知12p =，即2p =，其准线方程为:1l x =，而双曲线C 的两条渐近线方程为b y x a =±，则l 与双曲线C 的两条渐近线b y x a =±围成的三角形面积为1212b b a a ⨯⨯⨯=，∴b a =，即b =，∴2228c a a -=，可得229c a=，∴双曲线C 的离心率3e =.9．已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过F 作与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为____________．【答案】12【详解】设(c,0)F ，把x c =代入22221x y a b -=得2222221y c b b a a =-=，2b y a =±，即点22(,),(,)b b Ac B c a a -，22||b AB a=，而以AB 为直径的圆过原点，则有2b c a=，又222b c a =-，222010c ac a e e ∴--=⇒--=，而e>1，解得512e +=.10．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝________.【答案】1【详解】法一:设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，P 为双曲线右支上一点，则1222214,2,4,2PF F S mn m n a m n c ==-=+= 从而c 2＝a 2＋4，又c e a==，从而a ＝1.法二:由题意得，1224tan 45PF F b S ︒== ，得b 2＝4，又c e a==且c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝1.11．已知椭圆22122:1x y C a b +=与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>有相同的焦点12,F F ，且两曲线在第一象限的交点为P ，若212PF F F ⊥，且2a b =，则双曲线2C 的离心率为_________．【答案】233【详解】由已知212PF F F ⊥可得点P x c =，代入22122:1x y C a b+=得出2P b y a =，即2(,)b P c a 将P x c =代入22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>得出2P n y m =，即2(,n P c m．故22b n a m =．122b a b a =∴= 22n b m∴=．又椭圆22122:1x y C a b +=与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>有相同的焦点12,F F ，故442222222241233,n n c m n a b b c e m m m +=-==⋅===，故2242221212()c m n c m ==-．即4224122512033e e e e -+=⇒=⇒=．12．圆2210x y +-+=的圆心到双曲线221916x y -=的渐近线的距离为________.【答案】4105【详解】解：根据题意，圆2210x y +-+=的圆心为，双曲线的221916x y -=的渐近线43y x =±，即430x y ±=，则点到直线430x y -=的距离5d =，即圆心到双曲线的渐近线的距离为5；13．P 是双曲线2211681x y -=上任意一点，1F ，2F 分别是它的左、右焦点，且19PF =，则2PF =___________．【答案】17【详解】根据题意，双曲线2211681x y -=，其中a ＝4，c =，又由P 是双曲线上一点，则有||PF 1|﹣|PF 2||＝2a ＝8，又由|PF 1|＝9，则|PF 2|＝1＜c ﹣a 4-（舍去）或17，故答案为：17．14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>虚轴的一个顶点为D ，直线2x a =与C 交于A ，B 两点，若ABD △的垂心在C 的一条渐近线上，则C 的离心率为___________.【详解】解：设ABD △的垂心为H ，则DH AB ⊥，不妨设(0,)D b ，则(,)H x b ，代入渐近线方程b y x a=，解得x a =，则(,)H a b ，因为直线2x a =与双曲线交于点A ，B ，则A ，B 两点的坐标分别为：(2)A a ，(2,)B a ，因为1AD BH k k ⋅=-，化简可得22a b =，所以双曲线的离心率为c e a ===，．15．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，O 为原点，若2OF OA =，则C 的渐近线方程为___________.【答案】y =【详解】 2OF OA =，2c a ∴=，22224a b c a +== ，则可得b a =所以C 的渐近线方程为y =.故答案为：y =.。
新高考数学一轮复习练习-双曲线(基础)(解析版)
9.4 双曲线（基础）一、单选题1．（2021·全国高三月考（文））双曲线的焦点坐标（ ）A ．B ．C ．D ．、【答案】C【解析】由知，，，且焦点在轴上，所以，所以所以焦点坐标为和.故选：C2．（2021·郸城县第一高级中学高三一模（文））若双曲线：（，）的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．CD【答案】C【解析】由已知得双曲线的一条渐近线的斜率为，则，所以，所以，解得，解得故选：．3．（2021·北京八中）已知直线与坐标轴分别交于A ，两点，若A ，的中点在曲线（，）的渐近线上，则曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为直线与坐标轴分别交于A ，两点，所以，，所以点A 和点B 的中点坐标为，曲线（，）的其中一条渐近线为，22134y x -=()()5,0±(0,()0,5±22134y x -=23a =24b =y 222347c a b =+=+=c =(0,C 22221x y a b -=0a >0b >()2,4m m ()0m ≠C 42C 422m m =2b a =222224b c a a a -==2214-=c a 25e =e =C 240x y +-=B B 2222:1y x C a b -=0a >0b >C 240x y +-=B ()2,0A ()0,4B ()1,22222:1y x C a b-=0a >0b >a y x b =所以有，又，所以，所以，又，所以.故选：C .4．（2021·广东广州·高三月考）双曲线C：的一条渐近线方程为x +2y =0，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】A【解析】双曲线C ：的一条渐近线方程为x +2y =0，即，因此有故选：A5．（2021·黑龙江大庆中学高三月考（文））已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则其顶点到渐近线的距离为（ ）ABCD【答案】B【解析】由双曲线的方程得，双曲线的虚轴长是实轴长的倍，，可得，则双曲线的顶点为，双曲线的渐近线方程为，不妨取渐近线，即，则顶点到渐近线的距离故选：B.6．（2021·河北邯郸·高三开学考试）已知双曲线（，）的离心率为，O 为坐标原点，右焦点为F ，过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，的周长为12，则双曲线的实轴长为（ ）A ．8B ．4C ．D ．2【答案】A【解析】因为双曲线（，）的渐近线方程为，右焦点为，2a b =222c a b =+2222524a c a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭22254c e a ==0e >e =22221x y a b -=22221x y a b-=12y x =-22222221244()542b c a b a b a c a a c e a a =⇒=⇒=⇒=-⇒=⇒==2221y x b-=21a = 2221y x b-=2244b a ∴==2b =()1,0A 2by x x a=±=±2y x =20x y -=d ==22221x y a b-=0a >0b >54OPF △22221x y a b-=0a >0b >b y x a =±(c,0)F不妨令点P位于第一象限，则的长度为点到直线的距离，，又的周长为12，所以得到，因为该双曲线的离心率为，即，得，又，即，解得，即双曲线的实轴长为8.故选：A.7．（2021·全国）惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudio 完成的，建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊，你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下避难”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且，则此双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】双曲线，由题意可得：∴双曲线为，即．故选：A ．8．（2021·全国高三模拟预测（理））将双曲线x 2﹣y 2＝2绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y ，据此类推可求得双曲线y 的焦距为（ ）PF (c,0)F by x a=b a OPF △12a bc ++=5454c a =9124a b +=222c a b =+22916b a =4a =22221y x a b -=0a >0b >(1,2)-2222y x -=22235y x -=2224y x -=223y x -=22221y x a b -=222222222224111332c a b a b a b c c a⎧⎪=+⎧=⎪⎪⎪-=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩2212y x -=2222y x -=1x=31x =-A ．B ．C ．4D ．【答案】D 【解析】双曲线y 的图象可由y 进行形状不变的变换而得，∴双曲线y 的图象与双曲线y 的图象全等，它们的焦距相同，根据题意：“将双曲线x 2﹣y 2＝2绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y”类比可得：将双曲线x 2﹣y 2＝6绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y，而双曲线x 2﹣y 2＝6的a ＝b c ＝∴焦距为2c ＝故选：D ．9．（2021·湖南天心·长郡中学高三月考）已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若，且双曲线C 的离心率为2．则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由双曲线的定义知，，∵，∴，即，∴，31x =-3x =31x =-3x =1x=3x==2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F 2F θ1AB AF =cos θ=14132312122AF AF a -=1AB AF =212AF BF AF -=1222AF AF BF a -==1224BF BF a a =+=在中，由余弦定理知，，∵，故选A ．10．（2021·江西南昌·（文））已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为l 与C 在第一象限交于N 点，若，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】作出双曲线的大致图象，如图所示：由题意可知：，，，由余弦定理可得：即，整理得：，所以，解得或（舍），故选：B二、多选题11．（2021·山东青岛·高三开学考试）已知椭圆过双曲线的焦点，的焦点恰为的顶点，与的交点按逆时针方向分别为，，，，为坐标原点，则（ ）12BF F △2222121212||||||cos 2||||BF F F BF BF F F θ+-=⋅2222244163cos 2222a c a c a a c ac θ+--∴==⋅⋅4312,cos 44c e a θ-==∴==()2222:10,0x y C a b a b -=>>1F 2F 2F 17NF a =213F NF π∠=212725NF NF a a a a =-=-=122F F c =222212112212cos 2NF F F NF F N NF F F F +-=⨯⨯∠()()()22252712252a c a a c+-=⨯⨯2225120c ac a --=225120e e --=4e =32e =-221:14x C y +=22222:1(,0)x y C a b a b -=>1C 2C 1C 2C A B CD OA ．B ．的右焦点到C ．点到的两顶点的距离之和等于D ．四边形【答案】ACD【解析】如下图所示，设双曲线的焦距为，由题意可知：，，所以的离心率为，故A 正确；的右焦点，方程中，所以的渐近线方程为，不妨取渐近线，所以到B 错误；根据椭圆定义可知：，故C 正确；联立，所以，所以D 正确；故选：ACD.12．（2021·福建安溪·高三期中）设，是双曲线：的左､右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.）A ．B2C 1C 2C A 2C 4ABCD 2c 2c =a ==2C c e a ===1C )2C 1,b a ===2C y x =y =)y =214AF AF +=22221413x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩2224717x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22ABCD S ⎛== ⎝四边形1F 2F C 22221(0,0)x y a b a b -=>>O 2F C P 2F P b=C ．双曲线的渐近线方程为D ．点在直线上【答案】ABD【解析】由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为，焦点，，以该渐近线为例，由，故A 正确，，则，则在三角形中，根据余弦定理：，得，则离心率，故B 正确；又，∴渐近线方程为，故C 错误；设，则，又，解得，即点在直线上，故D 正确.故选：ABD .13．（2021·广东盐田·深圳外国语学校高三月考）已知双曲线，（ ）A．B ．若的顶点坐标为，则C ．的焦点坐标为D ．若，则的渐近线方程为【答案】BD【解析】A项：因为方程表示双曲线，所以，解得或，A 错误；B 项：因为的顶点坐标为，所以，解得，B 正确；y =P x=by x a=()1,0F c -()2,0F c 2F b =a =122cos cos OPaF OP POF OF c∠=-∠=-=-1OPF 22222211115cos 22OP OF PF a c a a F OP OP OF ac c+-+-∠===-222c a =e =c e a ==1b a =y x =±()00,P x y 00y x =OP a =0x =P x =22:121x y W m m -=++(2,1)m ∈--W (0,3m =-W ()1,0±0m =W 0x ±=22121x y m m -=++()()210m m ++>1m >-2m <-W (0,21m --=3m =-C 项：当时，，当时，，C 错误；D 项：当时，双曲线的标准方程为，则渐近线方程为，D 正确，故选：BD.14．（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）抛物线与双曲线具有共同的焦点F ，过F 作的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，与交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则有（ ）A ．B ．的渐近线方程为C ．D ．若l 的倾斜角为锐角，则经过O 、F 且与直线l 相切的圆的标准方程为【答案】BCD【解析】双曲线的右焦点为，可得A 错误，双曲线的渐近线方程为，所以B 正确；由点到直线，所以C 正确，设所求圆的方程为，由题意可得，直线的方程为，解得，可得圆的方程为，所以D 正确，故选：BCD15．（2021·湖南长沙·高三模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，若，(点O 为坐1m >-()()22123c m m m =+++=+2m <-()()22123c m m m =-+-+=--0m =W 2212x y -=0x =21:2(0)C y px p =>222:193x y C -=2C 1C p =2C y =3OH =22((1)4x y +-=222:193x y C -=F 2p =p =222:193x y C -=y =F y =3=222()()x a y b r -+-=22222)a b a b r +=+=l y x =-r 1,2a b r ===22((1)4x y +-=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F 2F 12212NF F NF F ∠=∠22ON OF OM +=标原点)，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线CB ．C ．D．【答案】BC【解析】由于，故点M 为的中点，所以，所以，所以，所以，故，所以，所以，所以，故C 的离心率，故A 错误；因为，所以，所以的面积为，故，故B 正确；由于，所以，故C 正确；由于，故D 错误.故选：BC.16．（2021·辽宁铁岭·高三二模）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与C 交于A ，B 两点，若为正三角形，则（ ）A ．B ．C 的焦距为C ．CD ．的面积为【答案】ACD【解析】设，则，离心率C 正确.，选项A 正确.12MF F △212tan MF F ∠12MF a=22ON OF OM +=2NF 1//NF OM 122NF F MOF ∠=∠222MOF MF O ∠=∠12222NOF MOF MF O MF O MNO ∠=∠=∠=∠+∠2MNO MF O ∠=∠OM ⊥2NF 12NF NF ⊥21260MOF NF F ︒∠=∠=tan 60b a ︒==2c a ==1224F F c a ==12|2,||NF a NF ==∣12NF F △2122a ⋅⋅=12MF F △211||tan MN NF M NF ∠==()121tan tan 60MF F NF M ︒∠=-∠=1||MF ==1F 2F 22:1y C x b-=2F x 1ABF V 2b =1ABF V 2AF t =12AF t =e =2b =B 错误.的面积为D 正确.故选：ACD .17．（2021·江苏南通·高三模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，O 为坐标原点，圆，P 是双曲线C 与圆O 的一个交点，且，则下列结论中正确的有（ ）A ．双曲线CB ．点C ．的面积为D ．双曲线C 上任意一点到两条渐近线的距离之积为2【答案】ABD【解析】解：∵双曲线，∴，又圆，∴圆O 的半径为c ，∴为圆O 的直径，∴，故作图如下：对于A ，∵，∴，∴，令，则，12F F ==1ABF V 121221b F F =222:1(0)5x y C a a -=>1F 2F 222:5O x y a +=+21tan 3PF F ∠=1F 21PF F V 222:105()x y C a a -=＞225c a =+222:5O x y a +=+12||F F 122F PF π∠=21tan 3PF F ∠=1212tan 3PF PF F PF ∠==123||PF PF =20||()PF m m =>1||3PF m =∴，∴，又，∴双曲线C 的离心率，故A 正确；对于B ，由于到渐近线的距离，故B 正确；对于C ，由离心率得，，∴，∴，，∴的面积为，故C 错误；对于D ，由得双曲线C的方程为：，故其两条渐近线方程为，设为双曲线C 上任意一点，则，即①，到两条渐近线的距离，，∴，故D 正确；故选：ABD.18．（2021·全国（文））已知双曲线的左､右焦点分别是，，直线l 过交C的右支于A ，B 两点，A 在第一象限，若.且，，成等差数列，则以下正确的是（ ）A ．B ．l 的斜率为3C ．CD ．C 的两条渐近线互相垂直【答案】BC 【解析】如图所示：()22221231||0F F m m m =+=12||2F F c ==12||22m PF PF a -==22c e a ===()1,0F c -y =d =e =2103a =21025533c =+=122||F F c ===2||m PF ==1||3PF m ==21PF F V 152=2103a =2211053x y -=y x =0±=(),M p q 2211053q p -=223211010p q -=(),M p q 1d =2d =22123210255p q d d -====2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F 2F 190ABF ∠=︒1AF AB 1BF 112AF BF =由于，，成等差数列，则， 由双曲线定义可知，，，所以，又，所以，设，所以，又，所以，即，所以，即，则，故A 错误；的斜率为，故B 正确；又在中，，所以，即，所以离心率，故C 正确；因为，故D 错误；故选：BC. 三、填空题19．（2021·上海高三模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，且___________.【答案】或【解析】因为双曲线的渐近线方程为，1AF AB 1BF 112A F AB F B =+122AF AF a -=122BF BF a -=121222AF AF a BF BF a =+=+，22AF F AB B =+4AB a =2AF x =111226AF x a BF AB AF a x =+=-=-，190ABF ∠=︒22211AF AB BF =+()()2222166x a a a x +=+-3x a =1125,3,AF a BF a BF a ===1153AF BF =l 122123tan tan 3BF aAF x BF F BF a∠=∠===12Rt BF F V 2221212BF BF F F +=()()()22232a a c +=22104a c =c e a ==b a ==312b b a a ⎛⎫⨯- =-≠-⎪⎝⎭320x y ±=c =221818x y -=320x y ±=则可设双曲线的方程为，即，因为所以，解得，所以双曲线的方程为或.故答案为：或.20．（2021·上海浦东新·上外浦东附中高三月考）若双曲线的一个焦点为，则实数__________．【答案】3【解析】双曲线的一个焦点为，所以且，所以.故答案为：321．（2021·上海普陀·曹杨二中）若双曲线的右焦点与圆的圆心重合，则___________.【解析】由可得，所以所以双曲线的右焦点坐标为，由可得，所以圆心坐标为，，解得22．（2021·全国高三月考）已知双曲线：，与共渐近线的双曲线过，则的方程是___________.【答案】2249x y λ-=()221049x y λλλ-=≠c =4926λλ+=2λ=±221818x y -=221188y x -=221818x y -=221188y x -=221x y m -=(2,0)F m =221x y m -=(2,0)F 0m >14m +=3m =2221(0)x y a a -=>2240x y x +-=a =2221x y a -=221c a =+c =)2240x y x +-=()2224x y -+=()2,02=a =a =1C 22148x y-=1C 2C ()2,42C 22184y x -=【解析】设双曲线的方程为：，由题得所以双曲线的方程为：即：.故答案为：23．（2021·全国高三专题练习）已知F 1,F 2是双曲线的左右焦点，若直线与双曲线C 交于P ,Q 两点，且四边形F 1PF 2Q 是矩形，则双曲线的离心率为___________【解析】由题意，矩形的对角线长相等，把代入，得 ，∴， 即4a 2b 2=(b 23a 2)c 2，∴4a 2(c 2a 2)=(c24a 2)c 2，可得e 48e 2+4=0，又e ＞1，∴.24．（2021·河北沧州·高三月考）双曲线的左右焦点分别为，，离心率为，过作直线的垂线交双曲线右支于点P ，若，则____________．2C 2248x y λ-=2224,121,48λλ-=∴=-=-2C 221,48x y -=-22184y x -=22184y x -=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>y =1y =22221(0,0)x y a b a b -=>>x y ==2222243a b c b a=-----24e =+1e =+1()222210,0x y a b a b-=>>1F 2F e 1F b y x a =-123F PF π∠=2e =【解析】设作直线的垂线的垂足为，过点作于，，所以，所以，因为，所以，又因为，根据双曲线的定义得，在中，,所以，即四、解答题25．（2021·全国高三专题练习（文））在①，且的左支上的点与右焦点间的距离的最小值为②的焦距为6，③上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解问题．问题：已知双曲线，______，求的方程．1F by x a=-N 2F 21F M F P ⊥M ()()21,0,,0F c F c -1N b F ==12F M b =122F F c =22F M a =123F PF π∠=12222PF PF a a a ⎛=== ⎝+12F PF △22122211221cos 2PF PF P F F F PF F PF +-∠=⋅2212=22c =2e =0m >C 3C C 22:12x y C m m-=C【答案】答案见解析【解析】方案一 选择条件①．因为，所以，，，所以因为的左支上的点到右焦点的距离的最小值为，解得，故的方程为．方案二 选择条件②．因为的焦距为6，所以．若，则，，，所以，解得，则的方程为；若，则，，，所以，解得，则的方程为．综上，的方程为或．方案三 选择条件③．因为上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，所以，即．若，则，所以，解得，则的方程为；若，则，所以，解得，则的方程为．综上，的方程为或．26．（2021·湖南）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）由焦点可知，又一条渐近线方程为0m >2a m=22b m =2223c a b m =+=a =c =C a c +(13=+=3m =C 22136x y -=C 3c =0m >2a m =22b m =2223c a b m =+=3c ==3m =C 22136x y -=0m <22a m =-2b m =-2223c a b m =+=-3c =3m =-C 22163y x -=C 22136x y -=22163y x -=C 24a =2a =0m >2a m =2a ==4m =C 22148x y -=0m <22a m =-2a ==2m =-C 22142-=y x C 22148x y -=22142-=y x 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>)20x y -=C 34πl C ,A B AB l 2214y x -=30x y +-=c =20x y -=所以，由可得 ,解得，，故双曲线的标准方程为（2）设，AB 中点的坐标为则①，②，②①得：，即，又，所以，所以直线的方程为，即27．（2021·福建龙岩·高三三模）已知，曲线由曲线和曲线组成，其中曲线的右焦点为，曲线的左焦点.（1）求的值；（2）若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.【答案】（1）（2.【解析】（1）由题意：，，解得即（2）由（1）知，曲线，点，设直线的方程为：，联立得：，，又，，设，，，2ba=222c a b =+2254a a =+21a =24b =C 2214y x -=1122(,),(,)A x y B x y 0(,4)x 221114y x -=222214y x -=-2222212144y y x x -=-0000444x x k x y ===3tan 14k π==-01x =-l 4(1)y x -=-+30x y +-=0a b >>Γ()22122:10x y C y a b +=≥22222:1(0)x y C y a b -=<1C ()12,0F 2C ()26,0F -,a b l 2F 1C ,A B 1ABF V 4a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩12(2,0),(6,0)F F - 2222364a b a b ⎧+=∴⎨-=⎩222016a b ⎧=⎨=⎩4a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩221:1(0)2016x y C y +=≥2(6,0)F -l 6(0)x my m =->22612016x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()225448640m y my +-+=22(48)464(54)0m m ∴∆=-⨯⨯+>0m >1m ∴>()()1122,,,A x y B x y 1224854m y y m ∴+=+1226454y y m =+，面积令，，，当且仅当，即所以. 28．（2021·全国（文））如图，若是双曲线的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且，试求的面积.【答案】（1）10或22；（2）.【解析】解：（1）是双曲线的两个焦点，则，点M 到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，则由双曲线定义可知，，解得或，即点到另一个焦点的距离为或；（2）P 是双曲线左支上的点，则，则，而，所以，即，12y y ∴=-=1ABF ∴V 212111822S F F y y =-=⨯=0t >221m t ∴=+S ∴==32t =m =1ABF V 12,F F 221916x y -=12|||3|2F PF P =⋅12F PF △1216F PF S =△12,F F 221916x y -=3,4,5a b c ===M m |16|26m a -==10m =22m =M 102221||||26PF PF a -==221221||2||||||36PF PF PF PF -⋅+=12|||3|2F PF P =⋅2212||||36232100PF PF +=+⨯=2221212||||||100PF PF F F +==所以为直角三角形，，所以.29．（2021·全国高三专题练习（理））已知双曲线，且其顶点到其渐.（1）求双曲线的标准方程；（2）直线：与双曲线交于，两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题得顶点到渐近线，即离心率，则可解得，故双曲线方程为；（2）设，联立可得，则，解得，则，解得.30．（2021·新疆（文））已知椭圆且与双曲线有相同的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2.12F PF △1290F PF ∠=︒121211||||321622F PF S PF PF =⋅=⨯=V ()222210,0x y a b a b -=>>l 3y x m =+A B AB =m 22143x y -=6±(),0a b y x a =0bx ay -=c e a ==222+=a b c 2,a b ==22143x y -=()()1122,,,A x y B x y 221433x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩2233244120x mx m +++=()()22244334120m m ∆=-⨯⨯+>233m >2121224412,3333m m x x x x ++=-=AB ==6m =±()2222:10x y C a b a b +=>>2212x y -=C C F F l C ,A B 1613AB =l 2214x y +=30y -+=30y ++=【解析】（1）由题意，双曲线的焦点为，所以依题意知椭圆中解得：所以椭圆的方程为（2）由（1）知椭圆的左焦点为为依题意可设为直线的方程为设将直线的方程代入椭圆方程整理得解得故直线()222c c e b a c a ===-224,1a b ==C 2214x y +=C F ()l x my =()()1122,,,A x y B x y l 2214x y +=()22410m y +--=1212214y y y y m ∴+==-+-1613==m =l 30y -+=30y ++=。
专题13 双曲线-2023年高考数学真题题源解密(新高考)(解析版)
专题13 双曲线目录一览2023真题展现考向一 双曲线的离心率真题考查解读近年真题对比考向一 双曲线的渐近线方程命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一 双曲线的离心率1．（2023•新高考Ⅰ•第16题）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．点A 在C 上，点B 在y 轴上，→F 1A ⊥→F 1B ，→F 2A =−23→F 2B ，则C 的离心率为 ．解：（法一）如图，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），B （0，n ），设A （x ，y ），则→F 2A =(x−c ，y)，→F 2B =(−c ，n)，又→F 2A =−23→F 2B ，则x −c =23c y =−23n，可得A(53c ，−23n)，又→F 1A ⊥→F 1B ，且→F 1A =(83c ，−23n)，→F 1B =(c ，n)，则→F 1A ⋅→F 1B =83c 2−23n 2=0，化简得n 2＝4c 2．又点A 在C 上，则259c 2a 2−49n 2b 2=1，整理可得25c 29a2−4n 29b 2=1，代n 2＝4c 2，可得25c 2a 2−16c 2b 2=9，即25e 2−16e 2e 2−1=9，解得e 2=95或15（舍去），故e（法二）由→F 2A =−23→F 2B ，得|→F 2A ||→F 2B |=23，设|→F 2A |=2t ，|→F 2B |=3t ，由对称性可得|→F 1B |=3t ，则|→AF 1|=2t +2a ，|→AB |=5t ，设∠F 1AF 2＝θ，则sin θ=3t5t =35，所以cos θ=45=t ＝a ，所以|→AF 1|=2t +2a =4a ，|→AF 2|=2a ，在△AF 1F 2 中，由余弦定理可得cos θ45，即5c 2＝9a 2，则e【命题意图】考查双曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与双曲线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【考查要点】双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等．【得分要点】一、双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注：1、集合语言表达式2、对双曲线定义中限制条件的理解(1)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|时，M 的轨迹不存在．(2)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|时，M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线．(3)当||MF 1|－|MF 2||＝0，即|MF 1|＝|MF 2|时，M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于1||MF与2||MF 的大小.①若12||||MF MF >,则12||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点2F 的那一支;②若12||||MF MF <,则21||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点1F 的那一支.二、双曲线的方程及简单几何性质F (－c,0)，F (c,0)F (0，－c )，F (0，c )双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)双曲线的定义：aPF PF 2||||||21=-(2)余弦定理：221||F F ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，重要结论：S △PF 1F 2=2tan2θb 推导过程：由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ得2224||-|||-2||||(1cos 121c PF PF PF PF θ=+（|））2212442||||(1cos )c a PF PF θ=+-2122||||1cos b PF PF θ=-由三角形的面积公式可得S △PF 1F 2=121|PF ||PF |sin 2θ=222222sincos12sin 22sin 21cos 1cos 2sin tan22b b b b θθθθθθθθ⋅⋅===--四、直线与双曲线的位置关系1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax 2＋bx ＋c ＝0的形式，在a ≠0的情况下考察方程的判别式．(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a ＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．2、弦长公式直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则===（k 为直线斜率）3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B两点，则弦长ab AB 22||=.考向一 双曲线的渐近线方程2．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为 ．【解答】解：∵双曲线的方程是，∴双曲线渐近线为y＝又∵离心率为e＝＝2，可得c＝2a∴c2＝4a2，即a2+b2＝4a2，可得b＝a由此可得双曲线渐近线为y＝故答案为：y＝查考近几年真题推测以小题出现，常规题，难度中等．双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，一．双曲线的标准方程（共5小题）1．（2023•郑州模拟）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．x±y＝0B．C．D．2x±y＝0【解答】解：∵双曲线的方程是（a＞0，b＞0），∴双曲线渐近线为y＝±x．又∵离心率为e＝＝2，∴c＝2a，∴b＝＝a，由此可得双曲线渐近线为y＝±x＝±x，即：故答案为：．故选：C．2．（2023•宝山区校级模拟）若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是 ．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程是，则可设双曲线的标准方程为，（λ≠0）；又因为双曲线经过点，代入方程可得，λ＝﹣1；故这条双曲线的方程是；故答案为：．3．（2023•通州区模拟）双曲线的焦点坐标为（ ）A．（±1，0）B．（±，0）C．（±，0）D．（±，0）【解答】解：双曲线，可知a＝，b＝1，c＝，所以双曲线的焦点坐标为（，0）．故选：C．4．（2023•西山区校级模拟）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．2【解答】解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则tan＝，所以该条渐近线方程为y＝x；所以＝，解得a＝；所以c＝＝＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝．故选：A．5．（2023•青羊区校级模拟）已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O及点，则双曲线C的方程为（ ）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程：y＝x，因为A（，）在渐近线上，故＝所以a＝，又A在以OF为直径的圆上，所以OA⊥AF，所以AF2+OA2＝OF2，即（﹣c）2+（）2+（）2+（）2＝c2解得：c＝2，a＝，b＝1，所以双曲线的方程为：﹣y2＝1，故选：C．二．双曲线的性质（共33小题）6．（2023•天山区校级模拟）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△F1AB为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A．2B．C．D．【解答】解：已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△F1AB为等腰直角三角形，此时|AF1|＝|BF1|，且∠AF1B＝90°，因为∠AF1F2＝∠BF1F2＝45°，而|AF2|＝|F1F2|，则，即b2＝2ac，①又b2＝c2﹣a2，②联立①②，解得，因为e＞1，所以．故选：C．7．（2023•朝阳区一模）过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若∠AFO＝2∠AOF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D．或2【解答】解：在Rt△AFO中，因为∠AFO＝2∠AOF，所以∠AOF＝30°，则，所以，故选：B．8．（2023•博白县模拟）已知F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若∠F 1PF2＝60°，＝ac，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．2【解答】解：设PF 1＝m，PF2＝n，则＝＝ac，∴mn＝4ac，由余弦定理可得：|F1F2|2＝4c2＝m2+n2﹣mn＝（m﹣n）2+mn，由双曲线的定义可知m﹣n＝2a，∴4c2＝4a2+4ac，即c2﹣a2＝ac，∴e2﹣e﹣1＝0，解得e＝或e＝（舍）．故选：A．9．（2023•郑州模拟）点（4，0）到双曲线Γ：的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．5【解答】解：由题意可得双曲线的一条渐近线为：ay﹣bx＝0，所以（4，0）到ay﹣bx＝0的距离为，不妨设b＝4m（m＞0），则．故选：C．10．（2023•武鸣区校级二模）双曲线x2﹣＝1的焦点坐标为（ ）A．（±1，0）B．（0，±）C．（±，0）D．（0，±1）【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣＝1，其中a＝1，b＝，其焦点在x轴上，则c＝＝，所以双曲线的焦点坐标为（±，0）；故选：C．11．（2023•河南模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C的一条渐近线上的点，且线段PF1的中点M在另一条渐近线上．若∠PF2F1＝45°，则双曲线C 的离心率为（ ）A．B．C．2D．【解答】解：因为M，O分别是PF1，F1F2的中点，所以MO∥PF2，又∠PF2F1＝45°，所以∠MOF1＝45°，即，所以a＝b，故．故选：A．12．（2023•源汇区校级模拟）已知F1、F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为2c，c＝，则该双曲线的离心率是（ ）A．3B．4C．D．【解答】解：由双曲线的性质可得|PF1|＝2a+|PF2|，所以|PF1|2＝4a2+4a|PF2|+|PF2|2，所以＝|PF2|++4a≥2+4a＝8a，由题意可2c＝8a，即c＝4a，所以双曲线的离心率为e＝＝4．故选：B．13．（2023•四川模拟）已知双曲线C：x2﹣＝1（a＞b＞0）的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C 上，过点B作x轴的垂线BM，交PA于点M．若∠PAB＝∠PBM，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．2D．3【解答】解：设P（m，n），可得m2﹣＝1，双曲线C：x2﹣＝1（a＞b＞0）的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C上，过点B作x轴的垂线BM，交PA于点M．∠PAB＝∠PBM，过P作x轴的垂线，垂足为N，所以△PAN∽△BPN，可得，结合m2﹣＝1，可得b＝1，又a＝1，所以双曲线的离心率为：e＝＝．故选：A．14．（2023•贺兰县校级模拟）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的方程为x2﹣y2＝1，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），∠F1F2P的余弦值大小为（ ）A．B．C．D．【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m﹣n＝2，m2+n2＝，解得m＝+1，n＝﹣1，∴cos∠F1F2P＝＝，故选：D．15．（2023•海淀区校级模拟）若双曲线的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝±x，即ax±2y＝0，由圆（x﹣2）2+y2＝4的方程可得圆心C（2，0），半径r＝2，可得d＝，所以可得弦长2＝2＝，解得a2＝，可得离心率e＝＝＝＝，故选：B．16．（2023•广西模拟）双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y 轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ）A．B．C．2D．【解答】解：由题意知双曲线左顶点为A（﹣a，0），设P（x0，y0），则Q（﹣x0，y0），则有，又，将代入中，得，即a2＝4b2，所以，故，故选：A．17．（2023•未央区模拟）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则＝（ ）A．B．2C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线为y＝，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则|PF2|＝b，则|OP|＝a，cos∠PF2O＝，在△PF1F2中，cos∠PF2O＝＝，得|PF1|2＝4c2﹣3b2＝4（a2+b）2﹣3b2＝4a2+b2，∵e＝，得＝1+＝3，得＝2，则＝＝＝＝＝，故选：A．18．（2023•贵阳模拟）已知双曲线C：mx2﹣ny2＝1（m＞0，n＞0）的离心率为，虚轴长为4，则C 的方程为（ ）A．3x2﹣4y2＝1B．C．D．【解答】解：由双曲线C：mx2﹣ny2＝1（m＞0，n＞0），得，可得a＝，b＝，c＝，∵双曲线的离心率为，虚轴长为4，∴，解得．∴C的方程为．故选：D．19．（2023•郑州模拟）已知双曲线的左焦点为F，过原点O的直线与C交于点A，B，若|OF|＝|OA|，则|AF||BF|＝（ ）A．2B．4C．8D．16【解答】解：双曲线，则a＝2，b＝1，，由|OF|＝|OA|可得AF⊥BF，设A为右支上一点，F2为右焦点，连接AF2、BF2，则四边形AFBF2为矩形，所以|AF2|＝|BF|，设|AF|＝m，|BF|＝n，则m﹣n＝4，m2+n2＝20，所以．故选：A．20．（2023•蕉城区校级二模）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l交双曲线的右支于A、B两点．点M满足，且，者，则双曲线的离心率是（ ）A．B．C．D．【解答】解：如下图所示，取线段BF1的中点E，连接AE，因为，则，因为E为BF1的中点，则AE⊥BF1，且∠ABF1＝∠AF1B，由双曲线的定义可得2a＝|AF1|﹣|AF2|＝|AB|﹣|AF2|＝|BF2|，所以|BF1|＝|BF2|+2a＝4a，则|BE|＝|EF1|＝2a，由余弦定理可得＝＝，所以，因此该双曲线的离心率为．故选：C．21．（2023•凉山州模拟）已知以直线y＝±2x为渐近线的双曲线，经过直线x+y﹣3＝0与直线2x﹣y+6＝0的交点，则双曲线的实轴长为（ ）A．6B．C．D．8【解答】解：由，解得，则双曲线过点（﹣1，4）．若双曲线的焦点在x轴，设为，由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，得，即b＝2a，将（﹣1，4）代入方程，得，有，无解，不符合题意；若双曲线的焦点在y轴，设为，由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，得，即a＝2b，将（﹣1，4）代入方程，得，有，解得，所以双曲线的实轴长为．故选：C．22．（2023•滨海新区校级三模）点F是抛物线x2＝8y的焦点，A为双曲线C：的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（ ）A．2B．4C．8D．16【解答】解：抛物线x2＝8y的焦点为（0，2）．设A为双曲线C：的左顶点（﹣2，0），渐近线方程为y＝±x，因为直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，所以＝，解得b＝4，故选：B．23．（2023•恩施市校级模拟）已知F1，F2分别为双曲线C：的左右焦点，且F1到渐近线的距离为1，过F2的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，且l⊥AF1，则下列说法正确的为（ ）A．△AF1F2的面积为2B．双曲线C的离心率为C．D．【解答】解：设双曲线C的半焦距为c＞0，因为双曲线C的焦点在x轴上，且a＝2，则其中一条渐近线方程为，即bx﹣2y＝0，且F1（﹣c，0），则F1到渐近线的距离为，可得，对于A：因为|AF2|﹣|AF1|＝4且，可得，解得|AF1|⋅|AF2|＝2，所以△AF1F2的面积为，故A错误；对于B：双曲线C的离心率为，故B错误；对于C：因为，可得，所以•＝•＝•（•+）＝2+•＝2＝10﹣4，故C错误；对于D：设|BF 2|＝m，则，因为，即，解得，所以＝+＝，故D正确．故选：D．24．（2023•郑州模拟）已知F1，F2分别是双曲线Γ：的左、右焦点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，BF2平分∠F1BC，则双曲线Γ的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：因为，则CB∥F2A，所以△F1AF2∽△F1BC，设|F1F2|＝2c，则|F2C|＝8c，设|AF1|＝t，则|BF1|＝5t，|AB|＝4t．因为BF2平分∠F1BC，由角平分线定理可知，，所以|BC|＝4|BF1|＝20t，所以，由双曲线定义知|AF2|﹣|AF1|＝2a，即4t﹣t＝2a，，①又由|BF1|﹣|BF2|＝2a得|BF2|＝5t﹣2a＝2t，在△ABF2中，由余弦定理知，在△F1BF2中，由余弦定理知，即，化简得c2＝6t2，把①代入上式得，解得．故选：A．25．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过双曲线C上一点P向y轴作垂线，垂足为Q，若|PQ|＝|F1F2|且PF1与QF2垂直，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线焦距为2c，不妨设点P在第一象限，由题意知PQ∥F1F2，由|PQ|＝|F1F2|且PF1与QF2垂直可知，四边形PQF1F2为菱形，且边长为2c，而△QF1O为直角三角形，|QF1|＝2c，|F1O|＝c，故∠F1QO＝30°，∴∠QF1O＝60°，则∠F1QP＝120°则，|PF2|＝2c，故，即离心率．故选：B．26．（2023•林芝市二模）已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，双曲线C上有两点A，B满足，且，若四边形F1AF2B的周长l与面积S满足，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：不妨设|AF1|＝m，|AF2|＝n（m＞n），由双曲线的定义可知，m﹣n＝2a，则m2+n2﹣2mn＝4a2①，又，所以由余弦定理可得m2+n2+mn＝4c2②，由①②可得，所以．又四边形F1AF2B为平行四边形，故四边形F1AF2B的周长l＝2（m+n），则，面积，因为，所以，整理得2c2＝3a2，故双曲线C的离心率为，故选：A．27．（2023•安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的右支相交于点P，过点O，F2作ON⊥PF1，F2M⊥PF1，垂足分别为N，M，且M为线段PN的中点，|ON|＝a，则双曲线C的离心率为（ ）A．2B．C．D．【解答】解：因为F1，F2为双曲线C的左、右焦点，所以|F1F2|＝2c，因为ON⊥PF1，F2M⊥PF1所以ON∥F2M，又O为线段F1F2的中点，所以N为线段F1M的中点，且，又M为线段PN的中点，所以，在Rt△OF1N中，|ON|＝a，|OF1|＝b，所以，所以|PF1|＝3b，|MP|＝b，因为点P在双曲线的右支上，所以|PF1|﹣|PF2|＝2a，故|PF2|＝3b﹣2a，在Rt△MF2P中，|MF2|＝2a，|MP|＝b，|PF2|＝3b﹣2a，由勾股定理可得：（2a）2+b2＝（3b﹣2a）2，所以8b2＝12ab，即2b＝3a，所以4b2＝9a2，又b2＝c2﹣a2，故4c2＝13a2，所以，故选：D．28．（2023•长沙模拟）已知双曲线4x2﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足•＝0，点N是线段F1F2上一点，满足＝λ．现将△MF1F2沿MN折成直二面角F1﹣MN﹣F2，若使折叠后点F1，F2距离最小，则λ＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：易知双曲线中，，则，又，即，又，∴，如图，设∠NMF2＝θ，F2G⊥MN，F1H⊥MN，则，∴＝4sin2θ+（2cosθ﹣3sinθ）2+9cos2θ＝13（sin2θ+cos2θ）﹣12sinθcosθ＝13﹣6sin2θ，由三角函数知识可知，当时，F1F2取得最小值，此时MN为△MF1F2的角平分线，由角平分线性质可知，此时，则，∴．故选：C．29．（2023•濠江区校级模拟）已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的右焦点为F（c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l：y＝k（x﹣c），联立方程，消去y得：（b2﹣a2k2）x2+2a2k2cx﹣a2（k2c2+b2）＝0，则可得，则，设线段AB的中点M（x0，y0），则，即，且k≠0，线段AB的中垂线的斜率为，则线段AB的中垂线所在直线方程为，令y＝0，则，解得，即，则，由题意可得：，即，整理得，则，注意到双曲线的离心率e＞1，∴双曲线的离心率取值范围是．故选：A．30．（2023•洛阳模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过点F1的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的一条渐近线在第一象限交于点B，且|F1F2|＝2|OB|（O为坐标原点）．下列四个结论正确的是（ ）①；②若，则双曲线C的离心率；③|BF1|﹣|BF2|＞2a；④．A．①②B．①③C．①②④D．①③④【解答】解：如图，∵|F1F2|＝2|OB|，O为F1F2的中点，∴|OF1|＝|OF2|＝|OB|，得BF1⊥BF2，则，即|BF1|＝，故①正确；设∠BOF2＝θ，则tanθ＝，cosθ＝，sinθ＝，作AA1⊥x轴，垂足为A1，BB1⊥x轴，垂足为B1，则|OB1|＝|OB|cosθ＝c•＝a，|BB1|＝|OB|sinθ＝c•＝b，∵，∴＝，得|AA1|＝b，|A1F1|＝（a+c），则A（（a﹣2c），b），∴，得（2c﹣a）＝a，则e＝，故②正确；设直线l与C右支的交点为M，则|MF1|﹣|MF2|＝2a，∵||MB|﹣|MF2||＜|BF2|，∴|MB|﹣|MF2|＞﹣|BF2|，则|MF1|﹣|MF2|＝|BF1|+|MB|﹣|MF2|＞|BF1|﹣|BF2|，则|BF1|﹣|BF2|＜2a，故③错误；设A（x0，y0），则|AF1|＝＝＝＝||，得|AF1|＝﹣（+a），由题意可知，0＜y0＜|BB1|＝b，则a2＜＝a2（1+）＜2a2，则﹣a＜x0＜﹣a，故c﹣a＜|AF1|＝﹣﹣a＜c﹣a，故④正确．故选：C．31．（2023•江西二模）已知双曲线E：，其左右顶点分别为A1，A2，P在双曲线右支上运动，若∠A1PA2的角平分线交x轴于D点，A2关于PD的对称点为A3，若仅存在2个P使直线A3D与E仅有一个交点，则E离心率的范围为（ ）A．B．C．D．（2，+∞）【解答】解：设直线PA1的倾斜角为α，直线PA2的倾斜角为β，由题设可得P不为右顶点．设P（x0，y0），则．双曲线在P（x0，y0）处的切线斜率必存在，设切线方程为y＝k（x﹣x0）+y0，由可得，整理得到：，故，整理得：即，故，故切线方程为：即．因为存在2个P使直线A3D与E仅有一个交点，故由双曲线的对称性不妨设P在第一象限，此时α，β均为锐角且存在唯一的P满足题设条件．故直线PD与渐近线平行或与双曲线相切或．若直线PD与渐近线平行，则，而PD为∠A1PA2的平分线，故其倾斜角γ满足γ﹣α＝β﹣γ，故，故，故，但，故，而，由基本不等式可得，当且仅当tanα＝tanβ即α＝β时等号成立，此时PA1∥PA2，这不可能，故直线PD与渐近线不平行．若直线PD与双曲线相切，且切点为P（x0，y0），双曲线在P的切线方程为：，故且该切线的斜率为，所以直线A3D的斜率为．此时，而，即，故a2＝a2+b2，矛盾．故直线，所以，而直线A3D的倾斜角为α+β，因为直线A3D与双曲线有且只有一个交点，且D在OA2之间，故，由P在第一象限内的唯一性可得存在唯一的α，β，使得，而，故，所以即b2＞3a2，所以，故选：D．32．（2023•江西模拟）双曲线的左焦点为F，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在y轴上，则直线l的斜率为（ ）A．B．C．±1D．【解答】解：由题意可知：F（﹣2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为P，过点A，B，M的圆的圆心坐标为G（0，t），则，由题意知：直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：x＝my﹣2，联立方程组化简整理可得，（m2﹣3）y2﹣4my+1＝0，则m2﹣3≠0，Δ＝16m2﹣4（m2﹣3）＝12m2+12＞0，，故AB的中点P的纵坐标，横坐标，则，由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，所以，化简整理可得：①，则圆心G（0，t）到直线AB的距离，，，即，将①代入可得：，即，整理可得：m4﹣5m2+6＝0，则（m2﹣2）（m2﹣3）＝0，因为m2﹣3≠0，所以m2﹣2＝0，解得，所以．故选：A．33．（多选）（2023•宜章县模拟）已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线C的渐近线在第一象限部分上的一点，线段PF2与双曲线交点为Q，且|F1P|＝|F1F2|＝2|PF2|，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A．|OP|＝2aB．双曲线C的离心率e＝C．|QF1|＝aD．若△QF1F2的内心的横坐标为3，则双曲线C的方程为＝1【解答】解：对于A，如图，过F2作F2H⊥PO，垂足点为H，∵F2（c，0）到直线y＝x的距离d＝＝b，∴|F2H|＝b，又|OF2|＝c，tan∠POF2＝，∴易得|OH|＝a，又|F1F2|＝2|PF2|＝2|OF2|，∴|PF2|＝|OF2|，∴H为PO的中点，∴|OP|＝2|OH|＝2a，故A正确；对于B，设∠POF2＝θ，则tanθ＝，∴cosθ＝，sinθ＝，又由A知|OP|＝2a，∴P（2a cosθ，2a sinθ），即P（，），又F1（﹣c，0），|F1P|＝|F1F2|＝2c，∴＝2c，两边平方化简，可得4a4+c4+4a2c2+4a2b2＝4c4，∴4a4+c4+4a2c2+4a2（c2﹣a2）＝c4，∴8a2＝3c2，∴e2＝＝，∴e＝，故B错误；对于C，设|QF1|＝t，则QF2|＝t﹣2a，又|F1P|＝|F1F2|＝2|PF2|＝2c，∴cos∠QF2F1＝＝，∴在△QF2F1中，由余弦定理，可得＝，∴t＝，又由B知c＝a，∴t＝＝，故C正确；对于D，设△QF1F2的内心为I，且内切圆I与F1F2切于点E，则根据双曲线的定义及内切圆的几何性质，可得|QF1|﹣|QF2|＝|F1E|﹣|F2E|＝2a，又|F1E|+|F2E|＝2c，∴|F1E|＝c+a，|F2E|＝c﹣a，∴切点E为右顶点，又△QF1F2的内心的横坐标为3，∴a＝3，又由B知e＝，∴c＝2，∴b2＝c2﹣a2＝24﹣9＝15，∴双曲线C的方程为＝1，故D正确，故选：ACD．34．（2023•万州区校级模拟）已知F1，F2为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F1作一条渐近线的垂线交双曲线右支于点P，直线PF2与y轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接QF1，如图，若△PQF1内切圆圆心恰好落在以F1F2为直径的圆上，则∠F1PF2＝ ；双曲线的离心率e ＝ ．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），如图可得△QF1F2为等腰三角形，则△PQF1的内切圆圆心I在y轴上，又I恰好落在以F1F2为直径的圆上，可设I（0，c），双曲线的一条渐近线方程设为bx+ay＝0，则直线PF1的方程设为ax﹣by+ac＝0，则I到直线PF1的距离为＝|a﹣b|，由图象可得a＜b，则|a﹣b|＝b﹣a，设Q（0，t），且t＞c，则直线QF2的方程为tx﹣cy+tc＝0，由内心的性质可得I到直线QF2的距离为b﹣a，即有＝b﹣a，化简可得abt2﹣tc3+abc2＝0，由Δ＝c6﹣4a2b2c2＝c2（a2﹣b2）2，解得t＝或＜c（舍去），则Q（0，），直线QF2的斜率为＝﹣，可得直线QF2与渐近线OM：bx+ay＝0平行，可得∠F1PF2＝，由F1到渐近线OM的距离为＝b，|OM|＝＝a，由OM为△PF1F2的中位线，可得|PF2|＝2|OM|＝2a，|PF1|＝2|MF1|＝2b，又|PF1|﹣|PF2|＝2a，则b＝2a，e＝＝＝．故答案为：，．另解：设由F1向渐近线y＝﹣x所作垂线的垂足为M，△PQF1的内心为I，由于|QF1|＝|QF2|，所以内心I在y轴上．又内心I在以线段F1，F2为直径的圆上，所以|OF1|＝|OF2|＝c，连接IF1．IF2，则∠IF1O＝∠IF2O＝45°，设∠QF1I＝∠QF2I＝α，则∠IF1P＝∠QF1I＝α，因此∠PF1F2＝45°﹣α，而∠PF2F1＝∠QF2I+∠IF2O＝45°+α，因此∠PF1F2+∠PF2F1＝45°﹣α+45°+α＝90°，故∠F1PF2＝90°．又F1M⊥OM，所以OM∥PF2，所以M为PF的中点，易求得|OM|＝a，于是|PF2|＝2a．由双曲线定义可得|PF1|＝2a+2a＝4a，在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，于是c2＝5a2，故得双曲线的离心率e＝．故答案为：，．35．（2023•淮北一模）已知双曲线C：过点，则其方程为 ，设F1，F2分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则|ME|﹣|NE|的取值范围是 ．所以双曲线C的方程为．②如图：设△AF1F2的内切圆与AF1，AF2，F1F2分别切于H，D，G，所以|AH|＝|AD|，|HF1|＝|GF1|，|DF2|＝|GF2|，所以|AF1|﹣|AF2|＝|AH|+|HF1|﹣|AD|﹣|DF2|＝|HF1|﹣|DF2|＝|GF1|﹣|GF2|＝2a，又|GF1|+|GF2|＝2c，所以|GF1|＝a+c，|GF2|＝c﹣a，又|EF1|＝a+c，|EF2|＝c﹣a，所以G与E（a，0）重合，所以M的横坐标为a，同理可得N的横坐标也为a，设直线AB的倾斜角为θ．则，，＝＝＝＝，当时，|ME|﹣|NE|＝0，当时，由题知，a＝2．c＝4，．因为A，B两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，∴．且，，综上所述，．故答案为：；．36．（多选）（2023•芜湖模拟）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知O为坐标原点，F1，F2分别是双曲线C：的左右焦点，过F2的直线交双曲线C的右支于M，N两点，且M（x1，y1）在第一象限，△MF1F2，△NF1F2的内心分别为I1，I2，其内切圆半径分别为r1，r2，△MF1N的内心为I．双曲线C在M处的切线方程为，则下列说法正确的有（ ）A．点I1、I2均在直线x＝3上B．直线MI的方程为C．D．【解答】解：由双曲线得a＝3，b＝4，c＝5，设△MF1F2的内切圆I1与MF1，MF2，F1F2分别切于点A，B，H，则|MA|＝|MB|，|F1A|＝|F1H|，|F2B|＝|F2H|，所以|MF1|﹣|MF2|+|F1F2|＝|F1A|+|MA|﹣|F2B|﹣|MB|﹣|F1H+F2H|＝2a+2c＝16，又|OF1|＝5，所以|OH|＝3，即圆I1与x轴的切点是双曲线的右顶点，即I1在直线x＝3上，同理可得圆I2与x轴的切点也是双曲线的右顶点，即I2也在直线x＝3上，故选项A正确；因为△MF1N的内心为I，所以MI平分∠F1MF2，根据双曲线的光学性质，双曲线C在M处的切线就平分∠F1MF2，故直线MI的方程为，故B正确；设△NF1F2的内切圆I2与MN切于点D，连接I1B，I2D，I1F2，I2F2，设∠I2I1F2＝θ，∠I1I2F1＝α，因为IB⊥MN，I2D⊥MN，所以I1B∥I2D，所以2θ+2α＝π，即，所以tanθ•tanα＝1，又|F2H|＝2，所以tan，tan，即tan＝1，所以r1r2＝4，故C不正确；由B可得MI的方程为，①设N（x2，y2），同理可得NI的方程为，②联立①②可得x＝，可设MN的方程为x＝my+5，可得x1＝my1+5，x2＝my2+5，则x＝＝，所以I在直线x＝上，所以I到I1I2的距离为d3＝3﹣＝，F2到I1I2的距离为d4＝5﹣3＝2，所以＝＝．故D正确．故选：ABD．37．（多选）（2023•广东模拟）双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上异于顶点的一点，△PF1F2的内切圆记为圆I，圆I的半径为r，过F1作PI的垂线，交PI的延长线于Q，则（ ）A．动点I的轨迹方程为x＝4（y≠0）B．r的取值范围为（0，3）C．若r＝1，则tan∠F1PF2＝D．动点Q的轨迹方程为x2+y2＝16（x≠4且x＞﹣）【解答】解：设Ⅰ（x，y），设△PF1F2的内切圆分别与边PF1，PF2，F1F2切于A，B，C三点，如图所示，对于A：由题知，a＝4，b＝3，c＝5，F1（﹣5，0），F2（5，0），8＝|PF1|﹣|PF2|＝（|PA|+|F1A|）﹣（PB|+|F2B|）＝|F1A|﹣|F2B|＝|F1C|﹣|F2C|，所以（x+5）﹣（5﹣x）＝8，x＝4，显然y≠0，故A正确；对于B：根据对称性，不妨假设P点在x轴上方，根据A选项可设Ⅰ（4，r），双曲线的一条渐近线为，考虑P点在无穷远时，直线PF1的斜率趋近于，此时PF1的方程为，圆心到直线的距离为＝3，所以r的取值范围为（0，3），故B正确；对于C：r＝1时，|IB|＝|IC|＝1，|F2C|＝1，此时PF2⊥F1F2，所以，，因为|F1F2|＝10，PF2⊥F1F2，所以，故C错误；对于D：分别延长F1Q，PF2交于点M，因为PQ过内切圆圆心I，所以PQ为角平分线，且PQ⊥F1M，所以|PF1|＝|PM|，且Q为F1M的中点，所以|PF1|﹣|PF2|＝|PM|﹣|PF2|＝|MF2|＝8，又因为点O为F1F2的中点，Q为F1M的中点，所以，所以动点Q的轨迹方程为x2+y2＝16，显然x≠4，又考虑P点在无穷远时，此时直线OP趋近于渐近线，直线F1Q为，联立方程组，解得，则，所以点Q的横坐标，动点Q的轨迹方程为，故D正确；故选：ABD．38．（2023•赤峰模拟）初中时代我们就说反比例函数的图像是双曲线，建立适当的平面直角坐标系可以求得这个双曲线的标准方程，比如，把的图象顺时针旋转可以得到双曲线．已知函数，在适当的平面直角坐标系中，其标准方程可能是（ ）A．B．C．D．【解答】解：对函数，其定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称，用﹣x，﹣y替换x，y，方程不变，故其图象关于原点对称．又当x＞0，且x趋近于0时，y趋近于正无穷，当x趋近于正无穷时，趋近于0，此时的图象与y＝无限靠近，故的两条渐近线为y轴与y＝，为使其双曲线的方程为标准方程，故应建立的坐标轴x′，y′必须平分两条渐近线的夹角，又y＝，其斜率为k＝，此时其在原坐标系中其倾斜角为30°，与y轴夹角为60°，故新坐标系中，x′轴与x轴的夹角应为60°，故x′轴所在直线在原坐标系中的方程为y＝x，y′轴与其垂直，在如图所示的新坐标系中，设双曲线的方程为，联立，可得x2＝3，y2＝9，则a2＝x2+y2＝12，又在新坐标系下，双曲线的渐近线x＝0与x轴的夹角为30°，故＝，即，故在新坐标系下双曲线方程为．故选：A．三．直线与双曲线的综合（共22小题）39．（2023•射洪市校级模拟）已知双曲线的右焦点为F，点A（0，m），若直线AF与C 只有一个交点，则m＝（ ）A．±2B．C．D．±4【解答】解：双曲线的右焦点为F（4，0），点A（0，m），双曲线的渐近线方程：y＝x，直线AF与C只有一个交点，可得，解得m＝．故选：B．40．（2023•赤峰三模）2022年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．定义：在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0）F2（a，0）的距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C．已知P（x0，y0）是双纽线C上的一点，下列说法错误的是（ ）A．双纽线C关于原点O成中心对称B．C．双曲线C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个D．|OP|的最大值为【解答】解：对于A，因为定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0），距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C，所以，用（﹣x，﹣y）替换方程中的（x，y），原方程不变，所以双纽线C关于原点O中心对称，所以A正确；对于B，根据三角形的等面积法可知＝，即|y0|＝sin∠F1PF2，所以，所以B正确；对于C，若双纽线C上的点P满足|PF1|＝|PF2|，则点P在y轴上，即x＝0，所以，得y＝0，所以这样的点P只有一个，所以C错误；对于D，因为，所以||2＝（﹣cos∠F1PF2+），由余弦定理得4a2＝﹣cos∠F1PF2+，所以||2＝a2+cos∠F1PF2＝a2+a2cos∠F1PF2≤2a2，所以|PO|的最大值为，所以D正确．故选：C．41．（2023•淮北二模）已知A（﹣2，0），B（2，0），过P（0，﹣1）斜率为k的直线上存在不同的两个点M，N满足：．则k的取值范围是（ ）A．B．C．D．【解答】解：因为，所以M，N是以A（﹣2，0）、B（2，0）为焦点的双曲线的右支上的两点，且c＝2，，所以，∴双曲线方程为，则过P（0，﹣1）斜率为k的直线方程为y＝kx﹣1，由，消去y整理得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6＝0，所以，解得，即k的取值范围为．故选：C．42．（2023•河南模拟）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，B为双曲线E上在第一象限内的点，线段F1B与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且F2M⊥AB，若∠AF1F2＝30°，则双曲线E的离心率为（ ）A．B．2C．D．【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），∠AF1F2＝30°，可得AB的方程为：y＝（x+c），代入双曲线方程化简可得：（3b2﹣a2）x2﹣2a2cx﹣a2c2﹣3a2b2＝0，所以x M＝，y M＝（+c），＝，解得a2＝b2，所以双曲线的离心率为：e＝＝＝．故选：D．43．（2023•天津模拟）双曲线的左右焦点分别是F1，F2，离心率为e，过点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点．若△MF2N是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于（ ）A．B．C．D．【解答】解：设|MF2|＝m，因为△MNF2是以M为直角顶点的等腰直角三角形，所以|MN|＝m，|NF2|＝m，|MF1|＝，|NF1|＝m﹣，由双曲线的定义知，|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF2|﹣|NF1|＝2a，又|MF1|＝m﹣2a，|NF1|＝m﹣2a，，解得m＝2a，则，解得，双曲线的离心率为e，可得e2＝5﹣2．故选：A．44．（2023•让胡路区校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段BF1的中点，且BF1⊥BF2，则C 的离心率为（ ）A．B．2C．D．3【解答】解：由题意可知，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，A为线段BF1的中点，当交点在x轴上方或x轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图．根据双曲线可得，F1（﹣c，0），F2（c，0），两条渐近线方程，∵BF1⊥BF2，O为F1F2的中点，∴BO＝OF1＝OF2＝c，又∵A为线段BF1的中点，∴OA垂直平分BF1，可设直线BF1为①，直线BF2为②，直线BO为③，由②③得，交点坐标，点B还在直线BF1上，∴，可得b2＝3a2，c2＝a2+b2＝4a2，所以双曲线C的离心率，故选：B．。
新高考数学复习考点知识讲解与专题训练31---双曲线的方程及几何性质(解析版)
新高考数学复习考点知识讲解与专题训练专题31、 双曲线的方程及几何性质一、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M ⎪⎪⎪⎪| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 二 、双曲线的标准方程和几何性质一、常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．2、与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .4、若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .题型一、双曲线的方程与渐近线的方程例1、【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a=±，所以b b a-=-，1b b a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．变式、【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a=±， 不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择C 选项.例2、【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率A．y =B．y =C．2y x =±D．2y x =±【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a-==-=-=，所以b a =因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 变式、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B【解析】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF FO c ==， 故而由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，故渐近线方程为y =， 故选B.题型二、双曲线的离心率例3、【2018年高考全国III 理数】设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为AB ．2CD 【答案】C【解析】由题可知2PF b =，2OF c =，PO a ∴=，在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==， 在12Rt PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即223c a =，e ∴=C ．变式1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．53D ．73【答案】C【解析】取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知1111142HF PF MF ==， O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴又1OH PF ⊥，21MF PF ∴⊥1222F F PF c ∴==,根据双曲线的定义可知122PF a c =+，12a cHF +∴=， 直线1PF 的方程是：()a y x c b=+ ，即0ax by ac -+= ，原点到直线的距离OH a ==，1OHF ∴∆中，2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理为：223250c ac a --= ， 即23250e e --= ，解得：53e = ，或1e =-（舍）故选：C变式2、【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 .【答案】2【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =,因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．变式3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2 【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120FB F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，∴21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60ba=︒=，∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 题型三、双曲线的综合问题例4、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>， ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±， 直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴其焦距为28c ===，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8.故选：B ．变式1、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______.【答案】6【解析】2214y x -=1222A A a ∴==，1224B B b ==，12A A ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PFB B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：6变式2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8【答案】A【解析】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．1、【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c =，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 2、【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(0)，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，，(0 D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =， 所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．3、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的，则其渐近线方程为（ ）A ．230x y ±=B ．320x y ±=C ．20x y ±=D ．230x y ±=【答案】C【解析】由题,离心率c e a ===,解得12b a =,因为焦点在x 轴上,则渐近线方程为12y x =±,即20x y ±=故选：C4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．【答案】A【解析】由2,,a b c ====,2P PO PF x =∴=， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在by x a=上，则P P b y x a =⋅==1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 5、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得M ，3(,2N ，所以||3MN ==，故选B ．6、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D ．【答案】D【解析】如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+，所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+，当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =.因此，该双曲线的离心率为e == 故选：D.7、【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，所以，双曲线C=.故答案为：()3,08、【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =，因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.9、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】32【解析】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ==，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：3221/ 21。
【2014版】3年高考2年模拟1年原创精品资料：专题06 投资理财的选择(解析版)
专题06 投资理财的选择一、考点解读1、高考考点投资与融资(1)商业银行利息、利率与本金储蓄存款中国商业银行体系商业银行的业务(2)投资投资收益与投资风险股票债券商业保险(3) 融资2 2013版最新教材修改变动3 考生记忆手册（可单独打印）3年高考2年模拟1年原创精品高考系列专题06 投资理财的选择（记忆手册）六、投资理财的选择（一）储蓄存款和商业银行1、储蓄存款（1）储蓄存款能获取利息。
存款利息的计算公式：存款利息=本金×利息率×存款期限。
（2）储蓄种类：活期储蓄和定期储蓄。
（3）特点：收益一般低于债券和股票；比较安全、风险较低；但也存在通货膨胀情况下存款贬值及定期存款提前支取而损失利息的风险。
2、我国的商业银行（1）商业银行是指经营吸收公众存款、发放贷款、办理结算等业务，并以利润为主要经营目标的金融机构。
我国的商业银行以国家控股银行为主体，是我国金融体系中最重要的组成部分。
（2）中央银行和商业银行的区别（课本上没有，可作为知识扩充）（3）商业银行的主要业务：①存款业务。
是商业银行的基础业务。
②贷款业务。
是我国商业银行利润的主要来源。
③结算业务。
是商业银行为社会经济活动中发生的货币收支提供手段与工具的服务。
此外还提供债券买卖及兑付、代理买卖外汇、代理保险、提供保管箱等服务。
（二）股票、债券与保险3、股票（1）股票是股份有限公司在筹集资本时向出资人出具的股份凭证。
股票代表其持有者（即股东）对股份公司的所有权。
（2）股东的权利：参加股东大会、投票表决、参与公司的重大决策、收取股息或分享红利等。
（3）股票投资的收入包括：股息或红利收入、股票价格上升带来的差价。
股票是一种高风险的投资方式。
（4）股票市场的作用：股票市场的建立和发展，对促进资金融通、提高资金使用效率、促进企业改革和发展具有重要作用。
4、债券（1）债券是一种债务证书，即筹资者给投资者的债务凭证，承诺在一定时期支付约定的利息，并到期偿还本金。
《3年高考2年模拟》高考数学(山西专用,理)训练：9.6双曲线(含答案解析)
第六节双曲线A组基础题组1.(2013课标全国Ⅰ,4,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x2.(2014课标Ⅰ,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B.3 C.m D.3m3.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是()A. B. C. D.4.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.5.(2015天津,6,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=16.(2015四川,5,5分)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=.7.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值是.8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离心率e的最大值为.9.已知双曲线的中心在原点,左,右焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0;(3)在(2)的条件下,求△F1MF2的面积.10.(2014福建,19,13分)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求双曲线E的离心率;(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程.B组提升题组11.(2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.312.(2013山东,11,5分)抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=()A. B. C. D .13.(2015重庆,10,5分)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-,0)∪(0,)D.(-∞,-)∪(,+∞)14.已知F1,F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q,且△F1PQ为正三角形,则双曲线的渐近线方程为.15.设A,B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标.答案全解全析A组基础题组1.C∵===,∴C的渐近线方程为y=±x.故选C.2.A由题意知,双曲线的标准方程为-=1,其中a2=3m,b2=3,故c==,不妨设F为双曲线的右焦点,故F(,0).其中一条渐近线的方程为y=x,即x-y=0,由点到直线的距离公式可得d==,故选A.3.A若·=0,则点M在以原点为圆心,半焦距c=为半径的圆上,则解得=.可知:·<0⇒点M在圆x2+y2=3的内部⇒<⇒y0∈.故选A.4.B|PF2|=|F1F2|=2c,所以由双曲线的定义知|PF1|=2a+2c,因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,所以(a+c)2+(2a)2=(2c)2,即3c2-2ac-5a2=0,两边同除以a2,得3e2-2e-5=0,解得e=或e=-1(舍去).5.D因为点(2,)在渐近线y=x上,所以=,又因为抛物线的准线为x=-,所以c=,故a2+b2=7,解得a=2,b=.故双曲线的方程为-=1.选D.6.答案4解析双曲线x2-=1的右焦点为F(2,0),其渐近线方程为x±y=0.不妨设A(2,2),B(2,-2),所以|AB|=4.7.答案-解析双曲线方程为y2-=1,其中a2=1,b2=-,又b=2a,∴m=-.8.答案|-|PF2|=2a,解析由双曲线定义知|PF又已知|PF1|=4|PF2|,所以|PF1|=a,|PF2|=a,在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2==-e2,要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值,∵cos∠F1PF2≥-1,∴cos∠F1PF2=-e2≥-1,解得e≤,即e的最大值为.9.解析(1)∵e=,∴可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).∵双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6,∴双曲线的方程为x2-y2=6.(2)证法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),∴=,=,∴·==-.∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3,故·=-1,∴MF1⊥MF2,即·=0.证法二:由证法一知=(-3-2,-m),=(2-3,-m),∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2,∵点M在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,∴·=0.(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,由(2)知m=±.∴△F1MF2的高h=|m|=,∴=6.10.解析(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a, 从而双曲线E的离心率e==.(2)由(1)知,双曲线E的方程为-=1.设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a,又因为△OAB的面积为8,所以|OC|·|AB|=8,因此a·4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为-=1.B组提升题组11.B设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设m>n>0,于是∴m·n=··⇒m=3n.∴a=n,b=n⇒c=n,∴e=,选B.12.D设抛物线C1的焦点为F,则F.设双曲线C2的右焦点为F1,则F1(2,0).直线FF1的方程为y=-x+,设M,因为M在直线FF1上,∴=-x0+.①∵y=x2,∴y'=x,∴C1在M点处的切线斜率为x0,又-y2=1的渐近线方程为y=±x,故由题意得x0=,②将①、②联立可得p=,故选D.13.A由题意知F(c,0),A(a,0),不妨令B点在第一象限,则B,C,k AB=,∵CD⊥AB,∴k CD=,∴直线CD的方程为y+=(x-c).由双曲线的对称性,知点D在x轴上,得x D=+c,点D到直线BC的距离为c-x D,∴<a+=a+c,b4<a2(c-a)·(c+a)=a2·b2,b2<a2,<1,又该双曲线的渐近线的斜率为或-,∴双曲线渐近线斜率的取值范围是(-1,0)∪(0,1).选A. 14.答案y=±x(c,0)(c>0),P(c,y0),解析解法一:设F代入双曲线方程得y0=±,∵PQ⊥x轴,∴|PQ|=.在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,∴|F1F2|=|PF2|,即2c=·.又∵c2=a2+b2,∴b2=2a2或2a2=-3b2(舍去),∵a>0,b>0,∴=.故所求双曲线的渐近线方程为y=±x.解法二:∵在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,∴|PF1|=2|PF2|.由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=2a,由已知易得|F1F2|=|PF2|,∴2c=2a,∴c2=3a2=a2+b2,∴2a2=b2,∵a>0,b>0,∴=,故所求双曲线的渐近线方程为y=±x.15.解析(1)由题意知a=2,∴一条渐近线方程为y=x,即bx-2y=0,∴=,∴b2=3,∴双曲线的方程为-=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),∵+=t,∴x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0,则x1+x2=16,y1+y2=12,∵点D在双曲线的右支上,∴解得∴t=4,点D的坐标为(4,3).。
高中试卷-专题12 双曲线(含答案)
专题12 双曲线一、单选题1．（2019·浙江省高三期中）双曲线的焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由可得，焦点在轴上，所以，因此所以焦点坐标为；故选B2．（2020·安徽省高三三模（文））已知双曲线的离心率为2，则实数的值为( )A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】C 【解析】因为双曲线的离心率为2，解得.故选：C.3．（2019·重庆巴蜀中学高二期中（理））下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】C. ，渐近线为：；D. ，渐近线为：；故选：.222=2x y -(1,0)±((0,1)±(0,2222x y -=22a 2,1b ==x 222a 3c b =+=c =()2214x y m-=m 2214x y m -=2=12m =32y x =±22132x y -=22132y x -=22194x y -=22194y x -=22194x y -=23y x =±22194y x -=32y x =±D4．（2020·安徽省高三三模（理））已知双曲线离心率为3，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为，所以，由双曲线的几何性质可得渐近线方程为：，故选：C5．（2019·安徽省高二期末（理））已知双曲线的焦距为线方程为，则焦点到渐近线的距离为（ ）A ．1BC ．2D．【答案】A 【解析】由题知：，.到直线的距离.故选：A6．（2020·四川省成都外国语学校高二开学考试（理））已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线分别与两条渐近线交于、两点，若，，则（）A．B ．C ．1D ．【答案】C()2222:10,0x y C a b a b-=>>y x =±y =y =±y x =3c e a ===b a =y =±2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12y x =±2c =c =F 2F 20x y -=1d 22:13y C x -=1F 2F 1F l A B 120F B F B ×=uuu r uuur 1F A AB l =uuu r uuu rl =321234【解析】由，可知，则，因为双曲线的渐近线为，所以，，故为正三角形，且，所以为的中位线，为线段的中点，即，故.故选：C.7．（2020·天津高三一模）已知双曲线，则双曲线的离心率为（ ）A ．BCD【答案】A 【解析】将双曲线的标准方程表示为，，因此，该双曲线的离心率为.故选：A.120F B F B ×=uuu r uuur 12F B F B ^2BO OF c ==22:13y C x -=y =2120AOF °Ð=260BOF °Ð=2BOF V 2//AO BF AO 12BF F △A 1F B 1F A AB =uuu r uuu r1l =()22104x y m m-=>0y ±=2()222210,0x y a b a b-=>>0y ±=2e ==8．（2020·江西省靖安中学高二月考（理））已知双曲线中心为原点，焦点在轴上，过点，且渐近线方程为，则该双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】渐近线方程为,设双曲线方程为,将的坐标代入方程得,,求得则该双曲线的方程为.故选:C.9．（2019·天津高三三模（文））双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为的焦距等于（ ）．A ．2B ．C ．4D ．=【答案】C【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．10．（2020·安徽省高三月考（文））已知双曲线，则它的一条渐近线被圆截得的线段长为（ ）A ．B ．CD ．【答案】Dx 2)2y x ±＝2212y x -=2242x y -=2214y x -=2221x y -=Q 20x y ±＝224x y l -=0l ¹2)P 222l -=4l ＝2214y x -=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C 22221(0,0)x y a b a b -=>>2260x y x +-=323【解析】由题意可得e ，即c a ，即有b a ，设双曲线的一条渐近线方程为yx ，即为y ＝x ，圆的圆心为（3，0），半径r ＝3，即有圆心到渐近线的距离为d ，可得截得的弦长为．故选：D．二、多选题11．（2020·山东省胶州市第一中学高三一模）已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C 的方程为的是( )A ．离心率为B ．双曲线过点C ．渐近线方程为D ．实轴长为4【答案】ABC 【解析】由题意，可得：焦点在轴上，且；A 选项，若离心率为，则，所以，此时双曲线的方程为：，故A 正确；B 选项，若双曲线过点，则，解得：；此时双曲线的方程为：，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为：，ca=====ba=2260x y x +-=====22221(0,0)x y a b a b -=>>1(5,0)F -2(5,0)F 221169x y -=5495,4æöç÷èø340±=x y x 5c =544a =2229b c a =-=221169x y -=95,4æöç÷èø22222812516125a b a b c ìïï-=íï+==ïî22169a b ì=í=î221169x y -=340±=x y 22(0)169x y m m -=>所以，解得：，所以此时双曲线的方程为：，故C 正确；D 选项，若实轴长为4，则，所以，此时双曲线的方程为：，故D 错误；故选：ABC.12．（2020·湖南省衡阳市一中高二期末）已知双曲线，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若 ，则有（ ）A ．渐近线方程为B ．C ．D ．渐近线方程为【答案】AC 【解析】双曲线C：1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A （a ，0），以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M、N 两点．若∠MAN＝60°，可得A 到渐近线bx +ay ＝0的距离为：b cos30°，，即e．且，故渐近线方程为渐近线方程为故选：AC ．13．（2020·高密市第一中学高三月考）已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（ ）A ．点的横坐标为B ．的周长为216925c m m =+=1m =221169x y -=2a =22221b c a =-=224121x y -=2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>A A b A A C M N 60MAN Ð=°y x =e =e =y =2222x y a b-===a c ==b a ==y x =P E 221169x y -=1F 2F E 12PF F D P 20312PF F D 803C ．小于D ．的内切圆半径为【答案】ABC 【解析】设的内心为，连接，双曲线：中的，，，不妨设，，，由的面积为20，可得，即，由，可得，故A 符合题意；由，且，，可得，，则，则，故C 符合题意；由，则的周长为，故B 符合题意；12F PF Ð3p12PF F D 3412F PF D I 22IP IF IF 、、E 221169x y -=4a =3b =5c =()P m n ，0m >0n >12PF F D 1215202F F n cn n ===4n =2161169m -=203m =2043P æöç÷èø，()150F -，()250F ，11235PF k =2125PF k =(121212360535tan 012123191535F PF -==δ+´123F PF p<Ð12371350333PF PF +=+=+=12PF F D 50801033+=设的内切圆半径为，可得，可得，解得，故D 不符合题意．故选：ABC ．三、填空题14．（2018·民勤县第一中学高二期末（文））双曲线的渐近线方程为 【答案】【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为15．（2020·天水市第一中学高二月考（文））以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．【答案】【解析】由双曲线的相关性质可知，双曲线的焦点为，顶点为，所以椭圆的顶点为，焦点为，因为，所以椭圆的方程为，故答案为。
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第十章 圆锥曲线 专题2 双曲线（文科）【三年高考】1.【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3||=PF ，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ． 2. 【2017天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=【答案】D【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：22202tan 60c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==，双曲线方程为：2213y x -=，本题选择D 选项. 3 . 【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】y x =4．【2017江苏，8】 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .【答案】【解析】右准线方程为x ==，渐近线为y =，则P，Q，1(F，2F，则S ==. 5．【2016高考北京文数】已知双曲线22221x y a b-= （0a >，0b >）的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a =_______；b =_____________.【答案】1,2a b ==.【解析】依题意有2c b a⎧=⎪⎨=-⎪⎩,结合222c a b =+,解得1,2a b ==.6．【2016高考天津文数】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（ ）（A ）1422=-y x （B ）1422=-y x （C ）15320322=-y x （D ）12035322=-y x【答案】A【解析】由题意得2212,11241b x yc a b a ==⇒==⇒-=，选A.7．【2016高考山东文数】已知双曲线E ：22x a –22y b=1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______． 【答案】2【解析】依题意，不妨设6,4AB AD ==，作出图象如下图所示：则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a ==8．【2016高考浙江文数】设双曲线x 2–23y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．【答案】．【解析】由已知1,2a b c ===，则2ce a==，设(,)P x y 是双曲线上任一点，由对称性不妨设P 在右支上，则12x <<，121PF x =+，221PF x =-，12F PF ∠为锐角，则2221212PF PF F F +>，即222(21)(21)4x x ++->，解得x >，2x <<，124PF PF x +=∈．9. 【2015高考山东，文15】过双曲线C ：221a a-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .【答案】2+10. 【2015高考新课标1，文16】已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．【答案】【解析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，1||2||PF a PF =+，∴△APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+12||a PF ++|AF|=|PA|+1||PF +|AF|+2a ，由于2||a AF +是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA|+1||PF 最小，即P 、A 、1F 共线，∵(A ，1F （－3,0），∴直线1AF 的方程为13x =-，即3x =-代入2218y x -=整理得2960y +-=，解得y =或y =-(舍)，所以P 点的纵坐标为，∴11APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-=116622⨯⨯-⨯⨯=11. 【2015高考重庆，文9】设双曲线221(a 0,b 0)a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）(A) 12±(B) ± (C) 1± (D)【答案】C【两年模拟】1. 【2017届安徽省宣城市高三第二次调研】已知双曲线22221x y a b-=两渐近线的夹角θ满足4sin 5θ=，焦点到渐进线的距离1d =，则该双曲线的焦距为（ ）A.B.C. D.【答案】C2. 【2017届四川省资阳市高三一模】已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E的离心率的取值范围是 （ ）A. ()1,2B. ⎛ ⎝C. ⎫+∞⎪⎪⎭D. ()2,+∞ 【答案】B【解析】由题意得， ()(),0,2,0A a F a ，设00,b P x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，由AP FP ⊥，得2220020320c AP PF x ax a a⋅=⇒-+= ,因为在E 的渐近线上存在点P ，则0∆≥，即222222299420988c a a a c e e a -⨯⨯≥⇒≥⇒≤⇒≤E 为双曲线，则1e <≤，故选B. 3.【黑龙江省大庆2017届高三考前模拟】设F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使()220OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且(124PF PF a +=+，则该双曲线的离心率为( )A.1+ B.C. D.【答案】A【解析】由()220OP OF F P +⋅=，得(2OP OF +)·(OP －2OF )＝0，即|OP |2－|2OF |2＝0，所以|OP |＝|2OF |＝c ，所以△PF 1F 2中，边F 1F 2上的中线等于|F 1F 2|的一半，则PF 1⊥PF 2.即|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，又|1PF ||2PF |，解得|PF 1|，|PF 2|＝c ，又|PF 1|－|PF 2|c－c ＝2a.所以e ＋1.故选A.4. 【天津市十二重点中学2017届高三第二次联考】已知双曲线22221x y a b-=圆心在x 轴的正半轴上的圆M 与双曲线的渐近线相切，且圆M 的半径为2，则以圆M 的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（ ）A. 2y =B. 2y =C. 2y =D. 2y =【答案】B【解析】设双曲线渐近线的方程为by x a=，圆心坐标为(),0c ，因为圆与直线相切由点到2= ，即2b = = ，可得1,2pa c p =∴=∴==，所以抛物线的方程为2y = ，故选B. 5. 【天津市河西区2017届高三二模】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ： 2221x y -=，过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积（ ）A.B. C. D. 【答案】C，则直线方程为y x =-，另一条渐近线方程为y =，联立可得交点坐标为12M ⎫-⎪⎪⎭，故三角形的面积为12S =，应选答案C 。
6. 【2017届广西南宁市高三一模】设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ）A.B. C. 52D. 5 【答案】B【解析】若1:3:4AF AB =，则可设13,4AF m AB m ==，因为2F 是AB 的一个四等分点；若214BF AB =,则22,3BF m AF m ==,但此时12330AF AF m m -=-=，再由双曲线的定义，得122AF AF a -=，得到0a =，这与0a >矛盾；若214AF AB =,则22,3AF m BF m ==，由双曲线的定义，得12112122532{{AF AF m a BF am aBF BF BF m a -====-=-=⇒，则此时满足22211AF AB BF +=,所以1ABF ∆ 是直角三角形，且190BAF ∠=︒ ,所以由勾股定理，得()()222222121232AF AF F F a a c +=⇒+=，得e =,故选B. 7. 【河北省武邑2017届高三四模】已知点2,F P 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与右支上的一点， O 为坐标原点，若2222,OM OP OF OF F M =+=，且222·2c OF F M =，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. 32C. D.【答案】D【解析】解：由题意可知：222222,OF F M OF F M cos OF F M ⋅=⨯〈〉2222,2c c cos OF F M =〈〉=，2221,,602cos OF F M OF P ∴〈〉=∠=，由22OM OP OF =+可知，点M 为线段2PF 的中点，由几何关系可得点P 的坐标为()2P c ，点在双曲线上，则： 2222431c c a b-= ，结合222b c a =- 整理得：222442480,4810c a c a e e -+=∴-+= ,由1e > 可得：2e e =∴=.本题选择D 选项. 8. 【山西省三区八校2017届高三二模】双曲线（，）的右焦点为，直线与双曲线相交于、两点，若，则双曲线的渐进线方程为__________．【答案】【解析】由题意可知：双曲线（，）焦点在x 轴上,右焦点F (c ,0)，则,整理得：,即，∴A 与B 关于原点对称,设，,∵，∴，即,整理得：，∴,即，∴，∵>0,b>0，∴，∴，故b =2a ，双曲线的渐近线方程，故答案为.9. 【河北省衡水中学2017届高三二摸】已知点12,F F 分别是双曲线222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点， O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足12212,tan 4F F OP PF F =∠≥，则双曲线C 的焦点的取值范围为__________．【答案】⎛ ⎝ 【解析】由122F F OP =可得12PF F 为直角三角形，∠12F PF =90°，可得21tan 4PF F ∠≥即124PF PF ≥， 222121212,2PF PF F F PF PF a +=-=又，得223PF a ≤即()2222224PFaPF c ++=化为()22222223PF ac a a a ⎛⎫+=-≤+ ⎪⎝⎭可得： c ≤又由双曲线中c>a=1,所以双曲线C 的焦点的取值范围为⎛ ⎝10.【福建省莆田2017届高三二模】已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF FN =，则双曲线的离心率__________．【答案】e =【解析】如图所示渐近线OM 的方程为0,bx ay += 右焦点为(),0F c ，因此FM b == ，过点F 向ON 作垂线，垂足为P ，则FP FM b ==.又因为2MF FN =，所以2FN b =，在直角三角形FPN 中， 1sin 22PF b FNP FNb ∠===，所以6FNP π∠=，故在三角形OMN 中， 3MON π∠=，所以6FON π∠=,所以b a =即,2.a c b ===所以双曲线的离心率为c e a ===11.【2016年江西省九江市三模】过双曲线),0,0(1:222222b a c b a b y a x C +=>>=-的左焦点F 作圆⊙4222c y x =+的切线，且点为E ，延长PE 交双曲线C 右支于点P ，若E 为PF 的中点，，则双曲线C 的离心率为（ ) A ．12+ B ．212+ C ．13+ D ．213+ 【答案】C【解析】如图所示，设双曲线C 的右焦点为F '，依题意可得F P EO '∥，PF EO ⊥，则,3,c PF c F P =='∴c c a -=32，即13132+=-=e .12. 【2016届云南省玉溪一中高三下第八次月考】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意双曲线的左顶点为(),0a -，抛物线的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，又双曲线的渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，所以()224212ppa b a ⎧-=-⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⨯-⎪⎩，解得4,2,1p a b ===，c =，所以双曲线的焦距为2c =.故选A.13. 【2016年河南省商丘市高三三模】 已知抛物线x y 82=与双曲线1222=-y ax 的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若5=MF ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．035=±y x B ．053=±y x C ．054=±y x D ．045=±y x 【答案】A【解析】依题意,抛物线焦点()2,0F ,设()00,M x y ,因为5MF =,所以0025,3x x +==,所以(3,M ±,代入2221x y a -=得2299241,25a a -==,所以令2220x y a -=,得双曲线的渐近线为xy a=±,即035=±y x . 14. 【2017届广州省惠州市高三第一次调研】双曲线M ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴的两个端点为A 、B ，点P 为双曲线M 上除A 、B 外的一个动点，若动点Q 满足,QA PA QB PB ⊥⊥,则动点Q 的轨迹为（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 【答案】C15. 【2016届河南省禹州市名校高三三模】已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上的一点，点12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，，若M 为12PF F ∆的内心，且1212PMF PMF MF F S S S λ∆∆∆=+，则λ的值为 ．【解析】设内切圆半径为R ，由题意知1212PMF PMF MF F S S S λ∆∆∆-=，即121122PF R PF R ⋅⋅-⋅⋅ 1212F F R λ=⋅⋅，即11122,22c a R c R e a λ⋅⋅=⋅⋅==.又因为221b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以21178,λλ=+==【一年预测】1. 已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点5(3,)2P 为双曲线上一点，若△12PF F 的内切圆半径为1，则该双曲线的方程为（ ）A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22143x y -=D ．22134x y -=【答案】A【解析】设1(,0)F c -，2(,0)F c （0c >），则121215||22PF F P S F F y c =⋅=△，又1212121211(||||||)(||||)22PF F S PF PF F F r PF PF c =++=++△，所以1215(||||)22PF PF c c ++=，即12||||3PF PF c +=.由双曲线的定义，得12||||2PF PF a -=，所以13||2PF c a =+，23||2PF c a =-.又2221253||(3)()42PF c c a =++=+①，2222253||(3)()42PF c c a =-+=-②，两式相减，得222233(3)(3)()()22c c c a c a +--=+--，整理，得2a =，代入①，得3c =，则b =故所求双曲线的方程为22145x y -=，选A.【入选理由】本题主要考查双曲线的方程和几何性质、三角形的面积公式等基础知识，意在考查学生的数据分析能力以及运算求解能力.本题双曲线的定义，与三角形的面积公式结合，有一定的新意，故选此题.2. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，A B 、分别为双曲线的左、右顶点，过2F 作直线x c =，在直线x c =上存在点(,)M c m ，使得60AMB ∠=，则双曲线C 的离心率e 的最大值为（ ）A ．3B ．2CD201816yxOM(c,m)BA【答案】D【解析】由题意得2tanc aAMFm+∠=，2tanc aBMFm-∠=，由两角差的正切公式可得，22222tan tan()11c a c a am m mAMB AMF BMFc a c a bm m m+--∠=∠-∠==+-+⋅+22ab≤（当且仅当22m b=时取等号），从而可得a³,两边平方得223a b³，又因为222a b c+=，∴2243a c³，∴243e£，∴双曲线C的离心率eD.【入选理由】本题考查双曲线的性质，两角差的正切公式等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题是双曲线的性质与两角差的正切公式，解题方法比较巧,故选此题.3. 已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别为1F，2F，且焦点与椭圆221362x y+=的焦点相同，离心率为e=，若双曲线的左支上有一点M到右焦点2F的距离为18，N为2MF的中点，O为坐标原点，则NO等于（）A．23B．1C．2D．4【答案】D【解析】由题意可得22234,ca b c ea+====5,3a b==，故双曲线的方程为221259x y-=.如图，由双曲线的定义可知12218108MF MF a=-=-=，由三角形中位线知识可知1142NO MF ==，故选D.【入选理由】本题考查椭圆的方程及简单的几何性质，双曲线的性质等基础知识，意在考查分析问题与解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.4. 已知双曲线的标准方程1322=-y x ，直线)0,0(:≠≠+=m k m kx y l 与双曲线交于不同的两点D C ,，若D C ,两点在以点)1,0(-A 为圆心的同一个圆上，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1{0}4m m -<< B. {4}m m > C. {04}m m << D. 1{04m m -<<，或4}m >【答案】D【解析】联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1322y x mkx y ，得0)1(36)13(222=+++-m kmx x k ，首先应有2222310(6)4(31)3(1)0k km k m ∆⎧-≠⎨=--⨯+>⎩，即⎩⎨⎧>+-≠-013013222k m k （※），设点),(),,(2211y x D y x C ，线段CD 的中点为),(00y x M ，由根与系数的关系得136221--=+k km x x ，所以13320--=k km x ，13200--=+=k mm kx y ，所以点)13,133(22----k m k km M ，所以直线AM 的斜率为222131313331AM mk m k k km km k -+---==---， 由题意应有直线l 与直线AM 垂直，所以1-=⋅k k AM，即13132-=⋅---k kmm k ，化简得1432+=m k ，因为032>k ，所以014>+m ，解得41->m ．将1432+=m k 代入（※）式得⎩⎨⎧>++-≠-+01)14(01142m m m ，解得0<m 或4>m ．故m 的取值范围是1{04m m -<<，或4}m >．故选D.【入选理由】本题考查直线与双曲线的位置关系等基础知识，意在考查学生的分析问题、解决问题的能力，基本运算能力及推理能力．本题直线与双曲线的位置与圆的性质结合出题，构思比较新颖，故选此题.5. 如图，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左、右顶点分别为A 、B ，M 在双曲线上，且1MF x ⊥轴，直线MA ，MB 与y 轴分别交于P ，Q 两点，若||2||OP OQ =+，则双曲线的渐近线被圆M ：22(1)4x y -+=所截弦长为AD【答案】D【解析】由已知(,0)A a -，(,0)B a ，1(,0)F c -，2(,)b M c a-.由1BOQ BF M △∽△可得，11||||||||OQ OB MF BF =，即2||OQ a b a c a =+，解得2||b OQ a c =+.由1AOP AF M △∽△可得，11||||||||OP OA MF AF =，即2||OP a b c a a=-，解得2||b OP c a =-.由已知||12||1OP c a e OQ c a e ++===+--.解得e =所以c =，故b =.该双曲线的渐近线方程为y =.而圆M 的圆心为(1,0)M ，半径2r =，由圆与双曲线的对称性可知，两渐近线被圆所截弦长相等，而圆心M 到渐近线y =的距离d ==.所以渐近线被圆所截弦长为==. 【入选理由】本题考查双曲线的定义、方程与几何性质以及直线和圆的位置关系等，意在考查基本的逻辑推理与运算能力、数形结合的数学思想等.试题形式新颖，故选此题.。