第一章 习题答案科学教育出版社 高数答案(惠院)

第一章 函数、极限、连续习题1-11．求下列函数的自然定义域：(1)321x y x=+-(2) 1arctany x=(3) 1arccosx y -=；(4) 313 , 1x y x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩. 解：(1)解不等式组23010x x +≥⎧⎨-≠⎩得函数定义域为[3,1)(1,1)(1,)---+∞ ; (2)解不等式组230x x ⎧-≥⎨≠⎩得函数定义域为[ ;(3)解不等式组2111560x x x -⎧-≤≤⎪⎨⎪-->⎩得函数定义域为[5,2)(3,6]-- ; (4)解不等式10x ->得函数定义域为[1,)+∞.2．已知函数()f x 定义域为[0,1]，求(cos ),()() (0)f f x f x c f x c c ++->的定义域．解：因为()f x 定义域为[0,1]1时，得函数f 的定义域为[1,1]-； 当0cos 1x ≤≤时，得函数(cos )f x 定义域为[2π-,2π]22k k ππ+；当0101x c x c ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩时，得函数()()f x c f x c ++-定义域为：（1）若12c <，[],1x c c ∈-；（2）若12c =，12x =；（3）若12c >，x ∈∅．3．设21()1,||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭0,a >求函数值(2),(1)f a f ． 解：因为21()1||a x f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，则 2211(2)142a f a a a a -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，20 ,>1,11(1)1 2 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭． 4. 证明下列不等式:(1) 对任何x R ∈有 |1||2|1x x -+-≥;(2) 对任何n Z +∈有 111(1)(1)1n n n n++>++;(3) 对任何n Z +∈及实数1a >有 111n a a n --≤.证明：（1）由三角不等式得|1||2||1(2)|1x x x x -+-≥---= （2）要证111(1)(1)1n n n n++>++，即要证111n +>+111(1)(1)(1)11111n n n n n +++++++<=+++ 得证。

（3）令11nh a =-，则0h >，由Bernouli 不等式，有1(1)11(1)nna h nh n a =+≥+=+-所以111na a n--≤。

5. 试将下列直角坐标方程化为极坐标方程，而把极坐标方程化为直角坐标方程:(1) 4ρ=; (2) 22125x y -=; (3) 28x y =; (4) 4πθ=.解：(1) 2216x y +=；(2) 22(57sin )10ρθ-=；(3) 28sin cos 0ρθθ-=；(4) (0)y x x =≥6．判断下列各组函数中的()f x 与()g x 是否为同一函数？说明理由！(1)))()ln,()lnf x xg x x ==- ；(2) 22()1,()sec tan f x g x x x ==-； (3) 2()2lg ,()lg f x x g x x == ;(4) 32()1,()x x f x x g x x+=+= ； 解：(1) 是； (2) 是； (3) 不是，因为定义域不同；(4) 不是，因为定义域不同．7．试确定下列函数的单调区间：(1) 3ln()y x x =+-； (2) 1xy x-=-； (3) 1sin y x =-.解：(1) 函数的定义域为(,0)-∞，此时，函数13y x=单调递减，2ln()y x =-也是单调递减，则12y y y =+在(,0)-∞内也是递减的．(2)(1)111111x x y x x x ---===+---，当(,1)x ∈-∞时，函数11y x =-单调递增，则21111y y x ==-是单调递减的，故原函数1xy x-=-是单调递减的． (3) 函数的定义域为(,)-∞+∞，在(2,2)22k k ππππ-+函数是单调递增的，在3(2,2)22k k ππππ++函数是单调递增的. 8. 判定下列函数的奇偶性： (1)22cos 1y x x =+-； (2) 1tan y=；(3) 2x xe e y -+=； (4) y =.解：(1)因为2()2cos 1()f x x x f x -=+-=，所以是偶函数．(2) 因为1()tan ()f x f x x -=-=-，所以是奇函数．(3)因为()()xxe e fx f x -+-==，所以是偶函数．(4) 因为1()lg(lg(f x x x --===-+，所以是非奇非偶函数．9．设()f x 是定义在[,]l l -上的任意函数，证明：(1) ()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数； (2) ()f x 可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令()()(),()()()g x f x f x h x f x f x =+-=--，则()()()(),()()()()g x f x f x g x h x f x f x h x -=-+=-=--=-，所以()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数．（2）任意函数()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+，由（1）可知()()2f x f x +-是偶函数，()()2f x f x --是奇函数，所以命题得证．10．证明：函数在区间I 上有界的充分必要条件是函数在I 上既有上界又有下界. 证明：（必要性）若函数()f x 在区间I 上有界，则存在正数M ，使得x I ∈，都有()f x M ≤成立，显然()M f x M -≤≤，即证得函数()f x 在区间I 上既有上界又有下界 （充分性）设函数()f x 在区间I 上既有上界2M ，又有下界1M ，即有12()()f x M f x M ≥≤且，取12max{,}M M M =，则有()f x M ≤，即函数()f x 在区间I 上有界．11．判断下列函数是否是周期函数？若是，指出其最小正周期： (1) |cos |y x =； (2) 2cot y x x = (3) 22sin πy x =-；(4) 2sin y x =.解：(1)周期函数，周期为π； (2)不是周期函数；(3)周期函数，周期为2π；(4)周期函数，周期为π．12．求下列函数的反函数：(1) 221xx y =-； (2)(ln y x =．解：(1) 依题意，21x y y =-，则2log 1yx y =-，所以反函数为12()log ,(,0)(1,)1xf x x x -=∈-∞⋃+∞-．(2) 依题意， 2y y e e x --=，所以反函数为1(), 2x x e e f x x R ---=∈13．设 1 | 1 ,()0 |1, ()1 |1,x x |<f x x |=g x e x |>⎧⎪==⎨⎪-⎩，求(())f g x 与(())g f x ，并作出函数图形．解： 1 0 ,[()]0 0, 1 0,x <g f x x =x >⎧⎪=⎨⎪-⎩1e | 1 ,[()] 1 |1, |1,x |<f g x x |=e x |>-⎧⎪=⎨⎪⎩图略。

14．试判断下列函数由哪些基本初等函数复合而成：(1) 20(1)x y e +=； (2) 24(arcsin )y x =； (3) 2cos 3x y =；(4) ln(1y =+．解：(1) 由20,,1uy e u v v x ===+复合而成；(2) 由42,arcsin ,y u u v v x ===复合而成； (3) 由23,,cos u y u v v x ===复合而成； (4)由2ln ,11y u u v x ===+复合而成；15．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r ，高为H ．当倒进溶液后液面的高度为h 时，溶液的体积为V ．试把h 表示为V 的函数，并指出其定义区间．解：依题意有2πV r h =，则22,[0,π]πVh V r H r=∈．16．收音机每台售价为90元，成本为60元．厂方为了鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1元，但最低价为每台75元．(1) 将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数； (2) 将厂方所获的利润L 表示成订购量x 的函数； (3) 某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？ 解：依题意有(1) 90, 100190, 10011575, 115x p x x x ≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩；(2) 30, 100(130), 10011515, 115x x L x x x x x ≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩；(3) 15000L =元习题1-21．设23(1,2,3,)31n n x n n -==+ ， (1) 求1201000222||,||,||333x x x ---的值；(2) 求N ，使当n N >时，不等式62||103n x --≤成立；(3) 对实数0ε>，求N ，使当n N >时，不等式2||3n x ε-≤成立．解：(1) 121211||||,34312a -=--= 10237211||||,3613183a -=-=100021997211||||3300139003a -=-=． （2） 要使 42||10,3n a --< 即 41113310<（n+1），则只要12222,n > 取N ＝12222,=故当n>12222时，不等式42||103n a --<成立．（3）要使2||3n a ε-<成立，113,9n εε-> 取1139N εε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么当n N >时， 2||3n a ε-<成立.2．当1x →时，223y x =+→．问δ等于多少，使当|1|x δ-<时，|3|0.01y -<？解：令 1|1|2x -<，则35|1|22x <+<，要使225|3||23||1||1||1||1|0.012y x x x x x -=+-=-=-+<-<，只要|1|0.004x -<，所以取0.004δ=，使当 |1|x δ-< 时，|4|0.01y -<成立．3．当x →∞时，222122x y x -=→+．问X 等于多少，使当||x X >时，|2|0.001y -<？解：要使222215|2||2|2|3|x y x x --=-=+-<0.001, 只要2|3|5000x ->, 即235000x ->. 因此,只要||x >,所以取X =．4．根据极限的定义证明：(1) lim 0n an →∞=（a 为常数）； (2) 1n →∞=； (3) 1lim(31)2x x →-=；(4) 224lim 42x x x →--=-+； (5) 35lim 31x x x →∞+=-.解： (1) 0ε∀>，若0a =，则任取正整数N ，当n N >, 总有0|0|0nε-=<；若0a ≠，要使|||0|a a n n ε-=<，只需||a n ε>，所以对0ε∀>，存在正整数||[]1a N ε=+，当n N >, 总有|0|a n ε-<，综上可得lim 0n an →∞=；(2) 0ε∀>,要使21|1|n ε=≤<, 即n >,只要取N =,所以,对任意的ε>0,存在N =, 当n N >, 总有|1|ε<, 则1n →∞=； (3) 0ε∀>,要使|312|3|1|x x ε--=-<，只要|1|3x ε-<。