华东理工大学高数下第12章全部答案
高等数学下册第十二章习题答案详解
高等数学下册第十二章习题答案详解1．写出下列级数的一般项: (1)1111357++++；2242468x x +++⋅⋅⋅⋅；(3)35793579a a a a -+-+.解：(1)121n U n =-；(2)()2!!2n n xU n =；(3)()211121n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和: (1) 23111555+++；(2) 11(1)(2)n n n n ∞=++∑；(3)1n ∞=∑.解：(1) 因为21115551115511511145n n n n S =+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦从而1lim 4n n S →∞=，即级数的和为14． (2)()()()()()()()111111211n u x n x n x n x n x n x n x n =+-+++⎛⎫-=⎪+-++++⎝⎭从而()()()()()()()()()()()()()()11111211212231111111211nS x x x x x x xx x n x nx n x n x x x n x n ⎛-+-=+++++++⎝⎫++-⎪+-++++⎭⎛⎫-=⎪++++⎝⎭因此()1lim 21nn S x x →∞=+，故级数的和为()121x x +(3)因为nU =-从而(11n S n =-+-+-++-+=-=所以lim 1n n S →∞=13．判定下列级数的敛散性:(1)1n ∞=∑；(2)1111166111116(54)(51)n n +++++⋅⋅⋅-+；(3)231232222(1)3333nn n --+-+-+；(4)1155n ++.解：(1) (11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散．(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15．(3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛．(4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散． *4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性:(1)11(1)n n n +∞=-∑；(2)1cos 2n n nx ∞=∑； (3)()0111313233n n n n ∞=+-+++∑.解：(1)当P 为偶数时，()()()()122341111112311111231111112112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n pn n n +++++++++++----=++++++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭<+当P 为奇数时，()()()()1223411111123111112311111112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n n n +++++++++++----=++++++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭<+因而，对于任何自然数P ，都有12111n n n p U U U n n++++++<<+， ∀ε>0，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当n >N 时，对任何自然数P 恒有12n n n p U U U ε++++++<成立，由柯西审敛原理知，级数()111n n n +∞=-∑收敛．(2)对于任意自然数P ，都有()()()1212121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n pn n n pn n n p n p n p n U U U xn p x xn n ++++++++++++++++=+++≤+++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭<于是， ∀ε>0(0<ε<1)，∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当n >N 时，对任意的自然数P 都有12n n n p U U U ε++++++<成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．(3)取P =n ，则()()()()()121111113113123133213223231131132161112n n n pU U U n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫=+-+++-⎪++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭≥++++⋅+≥+>从而取0112ε=，则对任意的n ∈N ，都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++>，由柯西审敛原理知，原级数发散．习题12-21．用比较判别法法判别下列级数的敛散性: (1)1114657(3)(5)n n ++++⋅⋅++； (2)22212131112131nn +++++++++++；(3)π1sin 3n n ∞=∑；(4)n ∞=； (5)11)1(0nn aa ∞=+>∑； (6)11(21)nn ∞=-∑.解：(1)∵ ()()21135n U nn n =<++而211n n ∞=∑收敛，由比较审敛法知1n n U ∞=∑收敛． (2)∵221111n n n U n n n n++=≥=++ 而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知，原级数发散．(3)∵ππsinsin 33lim lim ππ1π33n nn n n n→∞→∞=⋅=而1π3n n ∞=∑收敛，故1πsin 3n n ∞=∑也收敛．(4)∵321n U n=<=而3121n n∞=∑收敛，故1n ∞=收敛．(5)当a >1时，111n n nU a a =<+，而11n n a ∞=∑收敛，故111n n a∞=+∑也收敛． 当a =1时，11lim lim022n n n U →∞→∞==≠，级数发散．当0<a <1时，1lim lim 101n nn n U a →∞→∞==≠+，级数发散．综上所述，当a >1时，原级数收敛，当0<a ≤1时，原级数发散．(6)由021lim ln 2xx x →-=知121lim ln 211nx n→∞-=<而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知()1121n n ∞=-∑发散．2．用比值判别法判别下列级数的敛散性:(1)213n n n ∞=∑；(2)1!31n n n ∞=+∑； (3)232233331222322n n n +++++⋅⋅⋅⋅； (4) 12!n n n n n ∞=⋅∑. 解：(1) 23n n n U =，()2112311lim lim 133n n n n n nU n U n ++→∞→∞+=⋅=<，由比值审敛法知，级数收敛．(2) ()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散．(3) ()()11132lim lim 2313lim 21312n nn n n n n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=> 所以原级数发散．(4) ()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n nn n nn n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛．3．用根值判别法判别下列级数的敛散性:(1)1531nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑； (2)()11ln(1)n n n ∞=+∑； (3)21131n n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑； (4)1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，其中,,,()n n a a n a b a →→∞均为正数.解：(1)55lim1313n n n n →∞==>+，故原级数发散． (2) ()1lim01ln 1n n n →∞==<+，故原级数收敛．(3)121lim 1931nn n n n -→∞⎛⎫==<⎪-⎝⎭， 故原级数收敛．(4) lim limn n nb b a a →∞==， 当b <a 时，b a <1，原级数收敛；当b >a 时，b a >1，原级数发散；当b =a 时，ba=1，无法判定其敛散性．习题12-31．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1) 1+；(2)111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑；(3)2341111111153555333⋅-⋅+⋅-⋅+；(4)112(1)!n n n n ∞+=-⋅∑； (5)11ln (1)n n n n∞-=-⋅∑； (6)()11113∞--=-∑n n n n； *（6）1(1)111(1)23nnn n∞=-++++⋅∑. 解：(1)()11n n U-=-，级数1n n U ∞=∑>0n =，由莱布尼茨判别法级数收敛，又11121nn n Un∞∞===∑∑是P <1的P 级数，所以1nn U∞=∑发散，故原级数条件收敛． (2)()()111ln 1n n U n -=-+，()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数，且()()11ln ln 12n n >++，()1lim0ln 1n n →∞=+，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于()11ln 11n U n n =≥++ 所以，1nn U∞=∑发散，所以原级数条件收敛．(3)()11153n n nU -=-⋅，显然1111115353n n n n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑，而113n n ∞=∑是收敛的等比级数，故1nn U∞=∑收敛，所以原级数绝对收敛．(4)由()121!+=-nn n u n2122=<==⨯⨯，由正项级数的根值判别法知，2!n n 收敛，则级数()1121!∞+=-∑nn n n 收敛，112(1)!n n n n ∞+=-⋅∑绝对收敛. (5)函数()ln =xf x x在[)e,+∞为单调递减函数，则当n 充分大时()ln 1ln 1+>+n n n n ，且ln lim 0→∞=n n n ，由莱布尼兹判别法知交错级数收敛，又ln 1>n n n ，而调和级数11∞=∑n n是发散的，则11ln (1)n n nn∞-=-⋅∑条件收敛. （6）111310333+-+---=-=>n n n n nn n n n u u ，则1+>n n u u ，又1lim 03-→∞=n n n，根据莱布尼兹判别法知()11113∞--=-∑n n n n 收敛，又由比较判别法知1131133-+=<+n n nn n n ，则级数()11113∞--=-∑n n n n 收敛，则级数()11113∞--=-∑n n n n绝对收敛. *(6)由于11111123n nn ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭ 而11n n ∞=∑发散，由此较审敛法知级数 ()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑发散． 记1111123n U nn ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭，则()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +> 又11111lim lim12311d n n n n U n n x n x→∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰ 由1111lim d lim 01t t t t x t x →+∞→+∞==⎰ 知lim 0n n U →∞=，由莱布尼茨判别法，原级数()11111123nn n n ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑收敛，而且是条件收敛． 2．如果级数23111111122!23!2!2nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的和用前n 项的和代替，试估计其误差.()()()()()()()12121211111=1!22!211111!21!21111=11!222111=11!21211!2n n n n n n nn n n n n n n σ++++++⎛⎫⎛⎫++⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪+⎝⎭-=+＜3．若2lim n n n u →∞存在，证明：级数1n n u ∞=∑收敛.221211lim =lim ,.1n n n n n n n u n u nnu ∞→∞→∞=∞=∑∑存在而收敛所以也收敛*4．证明：若21nn u∞=∑收敛，则1nn u n ∞=∑绝对收敛. 222211111110221,2.n n n n n n n n n n n n u u u n n nu u n n u un n∞∞∞===∞∞===≤+∑∑∑∑∑＜而和都收敛，由比较审敛法得知收敛从而收敛，即绝对收敛习题12-41．求下列函数项级数的收敛域： (1)11x n n∞=∑；(2)()1111n xn n ∞+=-∑.2．求下列幂级数的收敛半径及收敛域: (1)2323nx x x nx +++++；(2)1!nnn n x n∞=∑； (3)21121n n x n ∞-=-∑；(4)21(1)2nn x n n∞=-⋅∑. 解：(1)因为11limlim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11nn n ∞=-∑，由lim(1)0nx nn →-≠知级数1(1)n n n ∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n n a n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦所以收敛半径1e R ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e !∞=∑n n n n n，()()()()11111!11!11e e e e +++++++⎛⎫=== ⎪+⎝⎭+n n nnn n n nnn n n n u n n u n n n 11e =⎛⎫+ ⎪⎝⎭nn ， 在→+∞n 的过程中，11+>n nu u ，又0>n u ，则e =x 时，常数项级数为单调递增函数，1e =u ，则lim 0→∞≠n n u ，由级数收敛的必要条件，级数的一般项不趋于零，则该级数必发散，同理在e =-x 时，()1e !∞=-∑nnn n n 变为交错级数，其中!lim e →∞n n n n n依旧不等于0，，则在e =-x 时也发散，则其收敛域为(),e e -．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n→∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)． (4)令t =x -1，则级数变为212nn t n n∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2] 3．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数:(1)11n n nx∞-=∑；(2)2221n n x n ∞+=+∑. ()()()()1112111111111n n n n n n n n nx x x S x nx x x x x x ∞-=∞∞∞-==='''⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝⎭∑∑∑∑解：（）可求得函数在＜时收敛，＜(2)由2422221lim 23n n n x n x n x++→∞+=⋅+知，原级数当|x |<1时收敛，而当|x |=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑，易知级数21021n n x n +∞=+∑收敛域为(-1,1)，记()211021n n x S x n +∞==+∑，则()212011nn S x x x ∞='==-∑， 故()1011d ln 21xx S x x x +'=-⎰ 即()()1111ln 021x S S x x+-=-，()100S =，所以()()()11ln 121x xS xS x x x x+==<-习题12-51．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间: (1)()()ln 2f x x =+； (2)()2cos f x x =； (3)()()()1ln 1f x x x =++； (4)()2x f =(5)()23f x xx =+；(6)()e e)12(x x f x -=-； 解：(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111nnn x x n ∞==+-+∑，(-1<x ≤1)故()()11ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑，(-2≤x ≤2) 因此()()()11ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑，(-2≤x ≤2)(2)()21cos 2cos 2xf x x +==由()()20cos 1!2nnn x x n ∞==-∑，(-∞<x <+∞)得()()()()()220042cos 211!!22n n n nn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑ 所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑，(-∞<x <+∞) (3)f (x ) = (1+x )ln(1+x ) 由()()()1ln 111n nn x x n +∞==+-+∑，(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()1120111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()22f x x ==()()()21!!2111!!2n n n n x n ∞=-=+-∑ (-1≤x ≤1) 故()()()()221!!2111!!2n n n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑()()()()2211!!211!!2n n n n x x n ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1)(5)()()()(220211131313313nn n n nn n x f x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑，x ∈(-∞,+∞)得()01e !n nxn x n ∞-=⋅-=∑，x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()0002101e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑2．将()2132x x f x ++=展开成()4x +的幂级数.()()()()()()20100102101113212111114x+4141343333134713111114414224222212462241323nn nn n nn nn n nn n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∞=∞+=∞=∞+=∞+==-+++++⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭-+=---+⎛+⎫⎛⎫==-=-< ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭-+=--+=-++∑∑∑∑∑解：而＜＜＜＜＜-从而()()()10110421146223nn n n n n n x x x ∞+=∞++=++⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭∑∑＜＜3．将函数()f x 1()x -的幂级数. 解：因为()()()()()211111111!2!!m nm m m m m m n x x x x x n ---+=++++++-<<所以()()[]()()()3221133333331121222222211111!2!!nf x x n x x x n ==+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++++---(-1<x -1<1)即()()()()()()()()()()()()()2323133131313251111111222!23!2!3152111022!nnn nn n f x x x x x n n x x n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--=+++++----⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=+-<<⋅∑4．利用函数的幂级数展开式，求下列各数的近似值： (1) ln3(误差不超过10.000)； (2) cos2︒(误差不超过10.000).解：(1)35211ln 213521n x x x x x x n -+⎛⎫=+++++ ⎪--⎝⎭，x ∈(-1,1) 令131x x +=-，可得()11,12x =∈-， 故()35211111112ln3ln 212325222112n n -+⎡⎤+++++==⎢⎥⋅⋅⋅-⎣⎦- 又()()()()()()()()()()2123212121232521242122112222123222212112222123252111222212112211413221n n n n n n n n n n n r n n n n n n n n n n +++++++++-⎡⎤++=⎢⎥⋅⋅++⎣⎦⎡⎤⋅⋅++=+++⎢⎥⋅⋅+++⎣⎦⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭+=⋅+-=+故5810.000123112r <≈⨯⨯61010.000033132r <≈⨯⨯． 因而取n =6则35111111ln32 1.098623252112⎛⎫=≈++++⎪⋅⋅⋅⎝⎭(2)()()2420ππππ909090cos 2cos 11902!4!!2nn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-+-++-∵24π906102!-⎛⎫ ⎪⎝⎭≈⨯；48π90104!-⎛⎫⎪⎝⎭≈ 故2π90cos 2110.00060.99942!⎛⎫ ⎪⎝⎭≈-≈-≈ 5．将函数()d 0arctan x tF x t t=⎰展开成x 的幂级数. 解：由于()21arctan 121n nn t t n +∞==-+∑所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx nn n n xnnn n t t F t tx t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1）6．求下列级数的和函数： (1) 2121n n x n ∞+=+∑；(2)10(1)!n n nx n ∞-=-∑(提示：应用e x 的幂级数展开式)；解：(1)可求得原级数的收敛半径R =1，且当|x |=1时，原级数发散．记()21021n n x S x n +∞==+∑则()22011n n S x x x∞='==-∑ ()200111d d ln 121xxx S x x x x x +'==--⎰⎰，即()()11ln 021xS S x x+-=-，S (0)=0 所以()11ln 21xS x x+=-，(|x |<1)(2)由()11!lim lim 0!1n n n n n a n n a n +→∞→∞+==-知收敛域为(-∞,+∞)．记()()11!1n n n S x x n ∞-==-∑则()()()111d e !!11nn xx n n x x S x x x x n n -∞∞=====--∑∑⎰，所以()()()e 1e x x S x x x '==+，(-∞<x <+∞)7.试用幂级数解法求下列微分方程的解：222(1)0;(2)0;(3)1;(4)(1);(5)(1)2.y x y y xy y y xy x x y x y x y x x y '''''-=++=''--=-=-'+=-+()()()()()()()()()1220120220120223405121,,11212021=210320435421nn n nn n n n n n n n nnn n n n nnn n n n n n y a x y na xy n n a xn n a x n n a x xa xn n a x a x a a a a a a n n a a ∞∞∞∞--+====∞∞+==∞∞+-==+-'''===-=++++-=++====++=∑∑∑∑∑∑∑∑解：（）设则代入原方程得即比较同次幂系数，得一般地()()()()222001423456785801910111291134243042,3,210,,,0,3445783478,0,894589111234781112,12134589121303478414n n k k k n a a n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k-+++==++===================-即所以有所以()()()14145121481221,2,1,2,4589441134347834781112145458945891213k k a a k k k x x x y C x x x C x +===+⎛⎫=++++⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎛⎫+++++⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭因此是方程的解()()()()()()()()()212120222220210211021100,1,2,10,1,2,2111122222n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n k k y a x a n n xx a nxa x n n a n a x n n a n a n a a n n a a a k k k ∞=∞∞∞--===∞+=++-=-++=++++=⎡⎤⎣⎦++++===-=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑（）设为该方程的解，代入该方程得即故即从而()()()()01212112242000021351111!2111112121213135211111!22!2!211313513521kk k k nnk k a k a a a a k k k k a a a y a x x x n a a x a x x k +-+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=- ⎪⎪ ⎪++-⋅⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡-+++-+⎢⋅⋅⋅⋅⋅-⎣因而()()()()()()22222202135135212011221211111!22!2!2111131351352111313513521121!!n k k x n nn x x x x a n x a x x x k x x x a e a x k y C eC x n ++-+-⎤⎥⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤+-+++-+⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=+-+-+-+⎢⎥+⎣⎦-=+-故原方程的通解为11n n ∞-=∑()()()101110111120210001234567213,=,112120111111,,,,,,23243524611,,3571nn n n n n n n nn n n n nn n n y a a x y na x na xx a a x x a a a x a n a x a a a a a a a a a a a ∞∞-==∞∞-==∞++=-'=+⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭-+--+-++=⎡⎤⎣⎦+++======⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅∑∑∑∑∑（）设方程的解为从而代入方程得即因而()()()()()()023521242000023521222001,352124621113!!5!!21!!24!!2!!111113!!5!!21!!22!!2!!2n n n n n a a n n a a a x x x y a x x x x n n x x x x x x a x a n n --+=⋅-⋅⋅⎡⎤⎡⎤+++=+++++++++++⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++-++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因此()()()()()()()222321200032120212113!!21!!113!!21!!121!!x n x n x n x x a a a e x n x x a e x n x y Ce n ---⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+++++++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤=++-++++⎢⎥-⎣⎦=+-+-故方程的通解为()()()()()()01210210102321102311110,20,3=1,11041,0,,32234521123431n n n n nn n n n n n n n n n n n y a x x na xx a x n a n a x x a a a a a n a n a n a a a a n n n n n a a n n n n n y C ∞=∞∞-==∞+=+-=-=-++-=⎡⎤⎣⎦+==-+--=≥=-==-----==---=∑∑∑∑（4）令是该方程的解，代入该方程得即比较系数得以及故因而()()3412.31n n x x x n n ∞=-++-∑是方程的解()()()()10112011121101102231102315,=,2120,22,3111032,1,311nn n n n n n n n nnn n n n n n n n n n n n y a x y na x na x na xa a x x xna n a a x a a x xa a a a a n a n a n a a a a n a n ∞∞-==∞∞∞-===∞+=++'=+--=-++-+-=-⎡⎤⎣⎦-==-+=-++=≥==-=-=-+∑∑∑∑∑∑（）设方程的解为则代入方程得即比较系数得从而()()()()()()()()()()()1344331234121242114641131141412411.31n n n n n n n n n n n n n a a a n n n n a n n n n n a n n n y C x x x x n n ----∞-=-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--==--- ⎪⎪ ⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=-≥++=-≥-=+-++--∑即因而原方程的通解为8. 试用幂级数解法求下列方程满足所所给定初始条件的解：2222(1)(2)2(1)20,(0)(1)1;(2),(0)0;(3)cos 0,(0),(0)0.x x y x y y y y dyx y y dx d xx t x a x dt '''-+-+====+='+===()()()()12122212121,,12121201.nn n n n n n n n n n n n n n n n n y a x y na xy n n a x xx n n a x x na x a x y x x ∞∞∞--===∞∞∞--==='''===---+-+==-+∑∑∑∑∑∑（）设则代入原方程得比较同次项系数，由初始条件可得方程的解为()1001211125,,00,0..11220nn n n n n n n n n n n y a x y na x y a na x a x xy x x ∞∞-==∞∞-=='====⎛⎫-= ⎪⎝⎭=++∑∑∑∑（2）设则由得代入原方程得比较同次幂系数得方程的解为()()()()21220120123423456246230123232345(3),,10,00,,0232435465102!4!6!23243546nn n n n n n n n dx d x x a t na t n n a t dt dt x a x a a a a a t a t a t a t t t t a a t a t a t a a t a t a t ∞∞∞--======-'====+⋅+⋅+⋅+⋅+⎛⎫+++++-+-+= ⎪⎝⎭++++∑∑∑设则由初始条件所以代入原方程得即4602240012123420310421530264010213024502!2!2!4!203204302!5402!6502!4!,0,220322!434!a t a a a a a a t a t a t a t a a a a a a a aa a aa a a a a a a a a aa a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⋅+=⋅+-=⋅+-=⋅+-+====-=-=-=⋅-+==⋅比较系数得又得到1350024246867824682!0549552!4!2!4!6,0,,656!878!1295512!4!6!8!a a a a a a a a a a a a a t x a t t t t -+==⋅-+--+-+==-===⋅⋅⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭所以习题12-61．设()f x 是周期为π2的周期函数，它在(,ππ-⎤⎦上的表达式为ππ. 32,0,(),0x f x x x -<≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩试问()f x 的傅里叶级数在πx =-处收敛于何值？解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x =-π是它的间断点，在x =-π处，f (x )的傅里叶级数收敛于()()[]()33ππ11π22π222f f -+-+-=+=+ 2．写出函数ππ. 21,0,(),0x f x x x --<≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩的傅里叶级数的和函数.解：f (x )满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f (x )，在间断点x =0，x =±π处，分别收敛于()()00122f f -++=-，()()2πππ122f f -++-=，()()2πππ122f f -+-+--=，综上所述和函数．()221π00π102π1π2x x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=±⎪⎩3. 写出下列以π2为周期的周期函数的傅里叶级数，其中()f x 在),ππ-⎡⎣上的表达式为： (1)π,0π4()π,π04x f x x ⎧≤<⎪=⎨⎪--≤<⎩ ；(2)()2()f x x πx π=-≤<；(3)ππ,π22ππ(),22ππ,π22x f x x x x ⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩ ； (4)()ππcos ()2f x x x=-≤≤. 解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx x n n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑(x ≠n π)(2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，从而f (x )cos nx 为偶函数，f (x )sin nx 为奇函数，于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰，2π20-π12πd π3a x x ==⎰， ()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππnn a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…) 所以，f (x )的傅里叶级数展开式为：()()221π41cos 3nn f x nx n∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞)(3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x ≠(2n +1)π时，由f (x )为奇函数，有a n =0,（n =0,1,2,…）()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n nb f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰ 所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nx n n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z )(4)因为()cos2xf x =作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()ππ-π0π0π1212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x xa nx x nx xn x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π] 4. 将下列函数()f x 展开为傅里叶级数： (1)()πππ(2)4x xf x =-<<-；(2)()π2sin (0)f x xx =≤≤.解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ []()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx xnx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n∞==+-∑ (-π<x <π)(2)所给函数拓广为周期函数时处处连续， 因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰()()()()()()ππ0ππ02222cos d sin cos d ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1n na f x nx x x nx xn x n x x n n n n -===+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰⎰⎰所以()()2124cos2ππ41n nxf x n ∞=-=+-∑ (0≤x ≤2π) 5. 设()π1(0)f x x x =+≤≤，试分别将()f x 展开为正弦级数和余弦级数. 解：将f (x )作奇延拓，则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx x n==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n∞=--+=∑ (0<x <π)若将f (x )作偶延拓，则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑ (0≤x ≤π) 6. 将()211()f x xx =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数211n n∞=∑的和.解：f (x )在(-∞,+∞)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f (x )是偶函数，故b n =0,(n =1,2,…)()()1101d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰()()()1112cos d 22cos d 0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx xn n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩⎰⎰所以()()()221cos 21π542π21n n xf x n ∞=-=--∑，x ∈[-1,1]取x =0得，()2211π821n n ∞==-∑，故 ()()22222111111111π48212n n n n n n n n ∞∞∞∞=====+=+-∑∑∑∑ 所以211π6n n ∞==∑ 7. 将函数()12(0)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数.解：将f (x )作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰ ()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn nn x n xa f x x x xn n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰ 故()()()22121π81cos π221n n x f x n ∞=-=-⋅-∑(0≤x ≤2)8. 设11,02()122,2x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩，()01cos π,2n n a a n x s x x ∞==-∞<∞+<+∑，其中πd 102()cos n a f x n x x =⎰，求()52s -.解：先对f (x )作偶延拓到[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)将f (x )展开成余弦级数而得到 s (x )，延拓后f (x )在52x =-处间断，所以515511122222221131224s f f f f +-+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+= ⎪⎝⎭9.设函数()21(0)f x x x =≤<，而()1sin π,n n n x b s x x ∞==-∞<<+∞∑，其中()πd 1,2,3,102()sin n f x n x xb n ==⎰.求()12s-.解：先对f (x )作奇延拓到,[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)，并将f (x )展开成正弦级数得到s (x )，延拓后f (x )在12x =-处连续，故. 211112224s f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 10. 将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为： (1)()2111 22f x x x ⎛⎫=--≤< ⎪⎝⎭ ；(2) 3. 21,30,()1,0x x f x x +-≤≤⎧=⎨≤<⎩解：（1） f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x )，由于f (x )为偶函数，有b n =0 (n =1,2,3,…)()()112221002112d 41d 6a f x x x x -==-=⎰⎰， ()()()()112221021222cos2n πd 41cos2n πd 11,2,πn n a f x x x x x xn n -+==--==⎰⎰所以()()12211111cos 2π12πn n f x n x n +∞=-=+∑(-∞<x <+∞)(2) ()()303033011d 21d d 133a f x x x x x --⎡⎤==++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰， ()()()()330330221πcos d 331π1π21cos d cos d 3333611,1,2,3,πn nn xa f x xn x n x x x x n n --==++⎡⎤=--=⎣⎦⎰⎰⎰()()()()33033011πsin d 331π1π21sin d sin d 333361,1,2,πn n n xb f x x n x n x x x x n n --+==++=-=⎰⎰⎰而函数f (x )在x =3(2k +1)，k =0,±1,±2,…处间断，故()()()122116π6π11cos 1sin 2π3π3n n n n x n x f x n n ∞+=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ (x≠3(2k +1)，k =0,±1,±2,…)习题十二1. 填空题：(1)级数1211()1n n n ∞=+∑的敛散性是 发散(2)级数1()21nn n n ∞=-∑的敛散性是 收敛 (3)已知幂级数级数级数1(2)04nn n a x x x ∞=+==-∑在处收敛，在处发散，则幂级数1(3)nn n a x ∞=-∑的处收敛域为 (1,5](4) 设函数()1()f x x x ππ=+-<<的傅里叶级数的和函数为(),(5)S x S π则等于 1(5)设函数2()(0)f x x x π=≤≤的正弦函数1sin nn bnx ∞=∑的和函数(),(,2)()S x S x ππ∈=则当x 时， 2(2)x π--2. 选择题：(1) 正项级数1nn a∞=∑收敛的充分条件是（ C ）。
华东理工大学概率论答案-11,12
第十一次作业一．填空题：1．设随机变量(,)X Y 的概率密度为()0,(,)0x y ae x y f x y -+⎧<<+∞=⎨⎩，，其他，则a =1 ，(2,1)P X Y ≤≤ 1231e e e -----+ 。
2．若二维随机变量(,)X Y 的联合分布列为则随机变量(,X Y 的联合分布函数为0,001/6,01,01(,)5/12,01,11/2,1,011,1,1x o r y x y F x y x y x y x y <<⎧⎪≤<≤<⎪⎪=≤<≥⎨⎪≥≤<⎪≥≥⎪⎩ 二. 计算题1. 设二维随机向量(,)ξη仅取(1,1),(2,3),(4,5)三个点，且取它们的概率相同，求(,)ξη的联合分布列。
解：2. 某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10，10件，现在从中随机抽取一件，记11,230i i X i ⎧==⎨⎩抽到等品（，，）其他试求随机变量12X X 和的联合分布。
解：令"1,2,3i A i i ==抽到等品"，,则123,,A A A 两两不相容.123()0.8,()()0.1P A P A P A === 123(0,0)()0.1P X X P A ==== 122(0,1)()0.1P X X P A ==== 121(1,0)()0.8P X X P A ==== 12(1,1)()0P X X P φ====3． 将一硬币抛掷3次，X 表示3次中出现正面的次数，Y 表示3次中出现正面次数与反面次数之差的绝对值，求X 和Y 的联合分布率。
解：当连抛三次出现三次反面时，),(Y X 的取值为)3,0(；出现一次正面两次反面时，),(Y X 的取值为)1,1(； 出现两次正面一次反面时，),(Y X 的取值为)1,2(； 出现三次正面时，),(Y X 的取值为)3,3(。
华东理工大学继续教育学院《高等数学》(下)练习试卷(4)(答案)
华东理工大学继续教育学院成人教育《高等数学》（下）（专升本68学时）练习试卷（4）（答案）一、单项选择题1、设(,)ln 2y f x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则(1,0)x f = 答（ A ）(A) 1 (B) -1(C)(D) 解：（知识点：偏导数的概念、偏导数的计算方法）22312()(,)(1)22x y x y f x y y x x xy x x-=-=++ (1,0)1x f ⇒=， 所以选（A ） 2、下列方程中哪一个是椭球面方程 答（ B ）（A ）2229x y z ++= （B ）2222149y z x ++= （C ）2229x y z +-= （D ）2222149y z x +-= 解：（知识点：二次曲面）2222149y z x ++=可表示为222222123x y z ++=，它是椭球面方程，所以选（B ） 3、设y x xy u +=，则22yu∂∂= 答（ C ）(A) 2()x x y +(B) 222()x x y -+ (C) 232()x x y -+ (D) 2x y y -解：（知识点：二阶偏导数的概念、二阶偏导数的计算方法）222222233(2)2, ()()()()u x y y x u x x x y x y x y y x y x y ∂+-∂-===⋅=-∂++∂++, 所以选（C ）4、如果(,)f x y 在点00(,)x y 的某邻域内连续，则0(,)f x y 答（ A ） （A ）在0x 点连续 （B ）在0x 点可导 （C ）在0x 点可微 （D ）在0x 点有极值 解：（知识点：函数连续、可导、可微、极值的概念）因为(,)f x y 在点00(,)x y 的某邻域内连续 0(,)f x y ⇒在0x 点连续，所以选（A ）5、微分方程 '''28sin 2y y y x +-=的一个特解形式p y = 答（ C ）（A ）cos2p y a x = （B ）(cos2sin2)p y x a x b x =+ （C ）cos2sin 2p y a x b x =+ （D ）sin 2p y b x=解：（知识点：二阶线性常系数非齐次微分方程的特解形式） 特征方程：220λλ+-=，特征根：122,1λλ=-=，根据特解形式可设方程的特解为： c o s 2s i n 2p y a x b x =+， 所以选（C ）二、填空题1、设方程 2sin 0x z y ye z ++= 确定的隐函数(,)z z x y =，则 zx∂=∂ 解：（知识点：多元隐函数的概念、隐函数求导法）将方程两边对x 求偏导得sin 20x z zy ye z x x∂∂++=∂∂， 解得 2sin xz ye x z y∂=-∂+2、函数y = ⎽⎽⎽ ⎽⎽⎽⎽ 。
华东理工大学级(下)高等数学期中考试试卷(学分)解答
华东理工大学级(下)高等数学期中考试试卷(学分)解答————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：华东理工大学2013–2014学年第二学期《高等数学（下）11学分》课程期中考试试卷 2014.4开课学院：理学院， 专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟考生姓名： 学号： 班级 任课教师题序 一二三四五六总分得分 阅卷人注 意：试 卷 共 两 页 六 大 题一．填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分）：1、微分方程222'y x e yx y -=的通解为 。
答：C e xe e xx y +-=22412122、微分方程0''9)4(=+y y 的通解为 。
答：x C x C x C C y 3sin 3cos 4321+++=3、函数 zxy u )(= 对变量x 的偏导数 =x u 。
答：12)(--=z x xy x yz u 4、设 ))arctan(,,(xyz e y xze f u zy+=，其中f 关于所有变量有一阶连续偏导数， 则=∂∂yu。
答：3222211f zy x xz f f xze y u y +++=∂∂ 5、设函数z z x y =(,)由方程 ),(yzxz f z = 所确定，其中f 关于所有变量有一阶连续偏导数，则∂∂zy= 。
答：21222yf f xy y zf ---6、设1)(-=⋅⨯c b a ρρρ，则=+⨯+⋅)]()[(c b b a b ρρρρϖ 。
答： 17、函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(处最大的方向导数等于 。
答：228、微分方程 0'2''=+y xy 的通解=y 。
答： 21C xC y +-= 9、设平面π过直线⎩⎨⎧=+-=++04,05:z x z y x L 则原点到平面π距离d 的范围是 。
高数 下 典型习题及参考答案 第8、9、10、11、12章习题及答案
4 f (x, y)dy
x2
0
0
0
C、
4
y
∫0 dy∫0
f
(x,
y )dx
D、
4
∫0 dy∫0
y
f
(x,
y)dx
2、设 Ω 是由 x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1所围成的区域，则 ∫∫∫ xyzdxdydz =
Ω
3、旋转抛物面 z = x 2 + y 2 在 0 ≤ z ≤ 2 那部分的曲面面积 S=（ ） 2
−a
a2 −x2
0
−a
28、设 D 由 x 轴和 y = sin x, x ∈ [0,π ]所围成，则积分 ∫∫ dσ = D
29、设 Ω :
0
≤
x
≤
1,0
≤
y
≤ 1,0
≤
z
≤
K
，且
∫∫∫
xdxdydz =
1 4
，则
K
=
Ω
二、解答题
( ) ( ) 1、计算三重积分 ∫∫∫ x2 + y 2 dv ，其中Ω是由曲面 2 x2 + y 2 = z 与平面 z = 4所围成的区域。
Ω
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 正确的（
）A、
2π
dθ
a
1
dr
r 3dz
B、
2π
dθ
a
dr
1
r
r2
+
z2
dz
0
0
0
0
0
0
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) C、
2π
高等数学(经济类)课后习题及答案第十二章 微分方程答案
习题12—1（A ）1. 指出下列各微分方程的阶数：（1）y y x 3='； （2）0d 2d )(3=--y x x x y ； （3）y y x y x '='+''+2)2(； （4）22()yy y y ''''''=-；（5）(5)(3)242cos y yy y x ''+-+=； （6）232d d 2d d P P tt t t+=； （7）0222)4(=+'-''+'''-y y y y y；答案：（1）一阶；（2）一阶；（3）二阶；（4）三阶；（5）五阶；（6）二阶；（7）四阶. 2. 验证下列各函数是否为所给微分方程的解. 如果是解，请指出是通解，还是特解？（1）函数3y x =，微分方程y y x 3='；（2）函数sin 3y C x =，微分方程90y y ''+=；（3）由C x y xy =++22确定的函数)(x y y =，微分方程(1)()0y dx x y dy +++=； （4）函数xy λe =（其中λ是给定的实数），微分方程0=+'''y y ．解：（1）因为23y x '=，左式233=xy x x y '==⋅=右式，所以函数3y x =是微分方程y y x 3='解．又因为函数3y x =不包含任意常数，所以是特解．（2）因为9sin39y C x y ''=-=-，即90y y ''+=，所以函数sin 3y C x =是微分方程90y y ''+=解，但是由于sin 3y C x =中只有一个任意常数，又因为微分方程是二阶的，所以sin 3y C x =既不是微分方程90y y ''+=的通解，也不是特解，只是解．（3）等式C x y xy =++22两边同时对x 求导，有d d 10d d y y y x y x x+++=，整理得(1)()0y dx x y dy +++=，所以由C x y xy =++22确定的函数)(x y y =是(1)()0y dx x y dy +++=的解，又C x y xy =++22中含有一个任意常数，而(1)()0y dx x y dy +++=是一阶微分方程，所以Cx y xy =++22是(1)()0y dx x y dy +++=通解．（4）因为x y λe =，则有3e xy λλ'''=，所以33ee (1)e xx x y y λλλλλ'''+=+=+．当1λ=-时，3(1)e 0x y y λλ'''+=+=，则x y λe =是微分方程0=+'''y y 的解，并且是特解；当1λ≠-时，3(1)e0xy y λλ'''+=+≠，则x y λe =不是微分方程0=+'''y y 的解．3. 若函数e xy α=是微分方程0y y ''''-=的解，求的α值．解：由e x y α=得，e x y αα'=，3e xy αα'''=，将它们代入微分方程0y y ''''-=，得32e e (1)=0x x x y y e ααααααα''''-=-=-，所以1α=-，0或1．4．验证下列所给的各函数是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解.（1）函数21y Cx =+，微分方程22xy y '=-，初始条件(1)2y =； （2）函数22x y C +=，微分方程0yy x '+=，初始条件1)1(=y ；（3）函数12()xy C C x e =+，微分方程20y y y '''-+=，初始条件(0)0y =，(0)1y '=.解：（1）因为2y Cx '=，所以222(1)222xy x Cx Cx y '=⋅=+-=-．又2Cx y =中含有一个任意常数，22xy y '=-是一阶微分方程，所以函数21y Cx =+是微分方程22xy y '=-的通解．由(1)2y =，可得1C =，所以微分方程22xy y '=-满足初始条件(1)2y =的特解是2+1y x =．（2）对隐函数22x y C +=的两边求关于x 的导数，得220x yy '+=，即0yy x '+=．又22x y C +=中含有一个任意常数，0yy x '+=是一阶微分方程，所以隐函数22x y C +=是微分方程0yy x '+=的通解．由1)1(=y ，可得2C =，所以微分方程0yy x '+=满足初始条件1)1(=y 的特解是222x y +=．（3）因为212()e x y C C C x '=++，212(2)e xy C C C x ''=++，所以2y y y '''-+21221212(2222)e 0x C C C x C C C x C C x =++---++=．又因为函数12()x y C C x e =+中含有两个独立的任意常数，而20y y y '''-+=是二阶微分方程，所以12()xy C C x e =+是微分方程20y y y '''-+=的通解．由初始条件(0)0y =，(0)1y '=，有12101C C C =⎧⎨+=⎩，，得01=C ，12=C ，所以微分方程20y y y '''-+=满足初始条件(0)0y =，(0)1y '=的特解是e xy x =．习题12—1（B ）1．给定微分方程21y x '=+， （1）求过点(1,3)的积分曲线方程；（2）求出与直线13+=x y 相切的积分曲线方程．解：易验证2y x x C =++是微分方程21y x '=+的通解．（1）由曲线2y x x C =++过点(1,3)，有311C =++，得1C =，所求积分曲线为21y x x =++．（2）若曲线2y x x C =++与直线13+=x y 相切，则有213x +=（斜率相等），得1x =． 当1=x 时，4=y ，所以切点为(1,4)，将其代入2y x x C =++，有411C =++，得2C =，所求曲线为22y x x =++．2．将积分方程2()()sin cos xf t dt xf x x x x π=--⎰（其中)(x f 是连续函数）转化为微分方程，给出初始条件，并求函数)(x f ． 解：将2()()sin cos xf t dt xf x x x x π=--⎰两边同时对x 求导，有()()()sin cos sin f x f x xf x x x x x '=+--+， 即()cos f x x '=，这就是所求的微分方程，容易得到其通解为()cos sin f x xdx x C ==+⎰．将2x π=代入到原方程2()()sin cos x f t dt xf x x x x π=--⎰中，有0()12f π=-，得初始条件为()12f π=，所以有11C =+，得0C =，所求函数为()sin f x x =．习题12—2（A ）1. 求下列可分离变量的微分方程的通解：（1）32yy x '=； （2）e yy x -'=；（3）y '=； （4）2(3)0ydx x x dy +-=．解：（1）分离变量32d 4d y y x x =，两边积分32d 4d y y x x =⎰⎰，整理得通解为24y x C =+．（2）分离变量e d d yy x x =，两边积分e d d y y x x =⎰⎰，整理得通解为21e 2y x C =+，或写作2ln()2x y C =+．（3）分离变量d y y =，两边积分d y y =⎰，整理得通解为1ln y C =，进而原方程通解为：y Ce =（4）分离变量有2d d 3y x y x x =--，整理得d 111()d 33y x y x x=---，两边积分d 111()d 33y x y x x ==---⎰⎰，整理得通解为11ln (ln 3ln )d 3y x x x C =---+，进而原方程通解为：3(3)x y Cx -=．2. 求下列齐次方程的通解：（1）2xy x y '=+； （2）(2)x y y y '-=；（3）22()d d 0x y x xy y -+=； （4）d (1ln)d 0yx y y x x-+=． 解：（1）将方程改写为2y y x '=+，令u xy=，则x u x u x y y d d d d +=='，于是原方程化为d 2d u u xu x +=+，即2d d x u x =，积分得2ln ln u x C =+，即2ln yCx x=，所以原方程通解为2ln y x Cx =．（2）将方程改写为2d d -=y x y x ，令v yx =则y vy v y x d d d d +=，于是原方程化为2d d -=+v y v yv ，即y y v d 2d -=，积分得C y v ln ln 2+-=，即2ln yCy x =，所以原方程通解为2lny Cy x =．（3）将方程改写为d d y y x x x y =-，令u xy=，则x u x u x y d d d d +=，于是原方程化为d 1d u u x u x u +=-，即d d xu u x=-，积分得2ln 22u C x =-+，即222ln y C x x =-，所以原方程通解为2y 2x =2(ln )C x -．（4）将方程改写为(1ln )dy y y dx x x =+，令y u x =，则xu x u x y y d d d d +=='，于是原方程化为(1ln )du u xu u dx +=+，即ln du dxu u x=，积分得1ln ln ln u x C =+，即ln u Cx =（其中1)C C e =±，所以原方程通解为lnyCx x=，或写作e Cx y x =． 3. 求下列一阶线性微分方程的通解：（1）2y xy x '-=； （2）d 2e d x yy x+=； （3）sin cos e x y y x -'+=； （4）2(2cos )d (+1)d 0xy x x x y -+=．解：（1）法一：相应齐次方程为0y xy '-=，即d d y x x y =，积分得211ln 2y x C =+，即22e x y C =（其中1)C C e =±．令22()ex y u x =，代入原方程，有222222ee e2x x x u xu xu x '+-=，即222ex u x -'=，得2222()2ed 2e x x u x x x C --==-+⎰，所以原方程通解为222222(2e )e e 2x x x y C C -=-+=-．法二：()P x x =-、()2Q x x =，方程通解为 ()d ()d [()e d ]e P x xP x x y Q x x C -⎰⎰=+⎰d d (2e d )e x x x xx x C -⎰⎰=+⎰2222(2ed )e x x x x C -=+⎰2222(2e)e x x C -=-+22e 2x C =-．（2）()1P x =、()2e xQ x =，方程通解为 ()d ()d d d [()e d ]e (2e e d )e P x xP x x x xx y Q x x C x C --⎰⎰⎰⎰=+=+⎰⎰22(2e d )e (e )e e e x x x x x x x C C C ---=+=+=+⎰．（3）()cos P x x =、sin ()exQ x -=，方程通解为()d ()d cos d cos d sin [()e d ]e (e e d )e P x xP x x x x x x x y Q x x C x C ---⎰⎰⎰⎰=+=+⎰⎰sin sin (d )e ()e x x x C x C --=+=+⎰．（4）方程化为222cos 11x x y y x x '+=++，则有22()1x P x x =+、2cos ()1xQ x x =+，方程通解为 2222d d ()d ()d 112cos [()e d ]e (e d )e 1xxxx P x xP x xx x x y Q x x C x C x --++⎰⎰⎰⎰=+=++⎰⎰221sin (cos d )+1+1x Cx x C x x +=+=⎰． 4．求下微分方程满足所给初始条件的特解： （1）d 1d 2y x x y -=，(3)1y =； （2）sec y xy x y x '+=，2)1(π=y ； （3）2e xy y x '-=，(0)2y =； （4）ln ln xy x y x '+=，(e)1y =．解：（1）这是可分离变量方程，分离变量为2d (1)d y y x x =-，积分得22(1)2x y C -=-+，即方程通解为22(1)2x y C -+=．由(3)1y =，有3C =，方程特解为22(1)32x y -+=． （2）这是齐次方程secy y y x x '+=，令u xy=，则x u xu x y d d d d +=，于是原方程化为d sec d u u xu u x ++=，即d cos d xu u x=-，积分得1sin ln u x C =-+，即方程的通解为sin eyxx C =（其中1)C C e =±．由2)1(π=y ，可得1C e=，所以方程特解为sin 1e yx x -=．（3）这是一阶线性方程，2()1()e xP x Q x x =-=、，因此，方程通解为d d 2(e e d )e (e d )e [(1)e )]e x xx x x x x y x x C x x C x C -⎰⎰=+=+=-+⎰⎰． 由(0)2y =，有21C =-+，得3=C ，方程特解为xx x y 2e )1(2e 3-+=．（4）原方程可化为11ln y y x x x '+=，这是一阶线性方程，1()ln P x x x =、1()Q x x=，方程通解为11d d 2ln ln 1111[e d ]e (ln )ln 2ln 2ln x x x x x xC y x C x C x x x x-⎰⎰=+=+=+⎰．由(e)1y =，有1121C =+，得12C =，所以方程特解为11(ln )2ln y x x =+．习题12—2（B ）1．求下列伯努利微分方程的通解： （1）yx xy y =-'； （2）2xy y y =-'． 解：（1）1-=n ，令21y y z n==-（21=-n ），则原方程化为x n xz n x z )1()1(d d -=--，即x xz xz22d d =-，该方程通解为 222222d 2d (2e d )e (2e d )e (e )e e 1x x x xx x x x x z x x C x x C C C ---⎰⎰=+=+=-=-⎰⎰．所以，原方程通解为1e 22-=x C y ． （2）2=n ，令yyz n11==-（11-=-n ）， 则原方程化为x n z n x z )1()1(d d -=--，即x z xz-=+d d ，该方程通解为 1e e )e e (e )d e (e )d e (d d +-=+-=-=⎰+⎰-=----⎰⎰x C x C x x C C x x z x x x x x x xx ．所以，原方程通解为1e 1+-=-x C yx ． 2．用适当的变量代换求下列微分方程的通解： （1）22x y x y +=+'； （2）1+-='y x y ；（3）)ln (ln y x y y y x +=+'； （4）xy x y y xy 22tan 2+='．解：（1）令u x y =+2，则x u x x y d d 2d d =+，于是u x u=d d ，分离变量有x uu d d =，积分得C x u +=2，原方程通解为C x x y +=+22． （2）令1x y u -+=，则x u x y d d d d 1=-，于是u x u =-d d 1，即u xu-=1d d ，分离变量得x u u u u d )1(d -=-，或x u u d d )111(2-=-+，积分得x C u u -=-+)1ln (2，所以原方程通解为x C y x y x -=+--++-)11ln 1(2．（3）令u xy =，则x u x y xy d d d d =+，于是u x u x u ln d d =，分离变量得xxu u u d ln d =，积分得Cx u ln ln ln =，即Cx u e =，所以原方程通解为Cxxy e 1=．（4）u x y =2，即xu y =2，则x u x u y y d d 2+='，原方程化为u x xu xu x xu tan d d 2+=+，分离变量有xxu u d d cot =，该方程通解为Cx u ln sin ln =，即Cx u =sin ，所以原方程通解为Cx xy =2sin ．3．求微分方程(0(0)ydx x dy y -=>的通解．解：将方程改写为222)(1d d yxy x y y x x y x ++=++=这是以)(y x x =为未知函数的齐次方程，为此令yv x =，则y v y v y x d d d d +=，于是方程化为21d d v yvy +=，分离变量有yyv v d 1d 2=+，积分得C y v v ln ln )1ln(2+=++，即Cy v v =++21，进而原方程通解为Cx Cy 211+=． 4．求微分方程2d d yx yx y +=的通解． 解：方程改写为y y x y x +=d d ，即y yxy x =-d d ，这是一阶线性微分方程，通解为 2d d )d ()d e(ey Cy y C y y y C x yy yy+=+=⎰+⎰=⎰⎰-．５．设函数)(x f 连续，且不恒为零，若⎰⎰+=120d )(2d )()(t t tf t t f x f x ，求函数)(x f ．解：方程两边同时对x 求导，有)()(x f x f ='，分离变量有x ffd d =，得通解为x C x fe )(=．记a t t tf =⎰12d )(，则a t t f x f x2d )()(0+=⎰，令0=x ，得初始条件a f 2)0(=．用0=x 代入到x C x f e )(=之中，有a C 2=，所以x a x f e 2)(=．由)e 21e (2)d e e(2d e 4d )(102221021221022102t t t t a t t a t t at t tf a -=-===⎰⎰⎰)1e ()e 21e (22210222+=-=a a t ， 得1e 12+=a ，所以1e e 2)(2+=x x f ．６．设连续函数)(x f 满足1)(d )()(12-=+⎰x f t tt f t f x ，求函数)(x f ． 解：方程1)(d )()(12-=+⎰x f t t t f t f x 两边同时对x 求导，有)()()(2x f xx f x f '=+，令)(x f y =，则方程可以改写为y x y y x +=2d d ，即y yxy x =-d d ，这是一阶线性微分方程，通解为 )()d ()d e(ed d y C y y C y y y C x yy yy+=+=⎰+⎰=⎰⎰-．用1=x 代入到方程1)(d )()(12-=+⎰x f t tt f t f x 之中，得初始条件1)1(=f ，于是11+=C ，故0=C ，于是2y x =，即所以函数为x x f =)(（注：根据初始条件1)1(=f ，所以不能取x x f -=)(）．习题12—3（A ）1. 求下列各微分方程的通解：（1）2+1y x ''=； （2）2cos e x y x '''=+； （3）20y xy '''-=； （4）2e xy y '''-=；（5）201y y y'''+=-． 解：（1）2311(1)3y x dx x x C '=+=++⎰， 342112111()d 3122y x x C x x x C x C =++=+++⎰．（2）2211(cos e )d sin e 22x xy x x x C ''=+=++⎰， 2211211(sin e 2)d cos e 224x x y x C x x C x C '=++=-+++⎰， 2121(cos e 2)d 4x y x C x C x =-+++⎰221231sin e 8x x C x C x C =-++++． （3）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，于是d 20d pxp x-=，分离变量为d 2d p x x p =，积分得2ln p x C =+，即213p C x =（其中13)C C e =±，于是原方程降阶为213y C x '=，原方程通解为23121d 3C x C x x C y +==⎰．（4）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，于是2e xp p '-=，这是一阶线性微分方程，其通解为d d 2111(e e d )e (e d )e (e )e x x x x x x xp x C x C C -⎰⎰=+=+=+⎰⎰，于是原方程降阶为21e e x x y C '=+，所以原方程的通解为221121(e e )d e e 2x x xx y C x C C =+=++⎰． （5）方程不显含x ，令()y q y '=，则y qq '''=，于是2d 0d 1q q q y y +=-，即d 0d 1q q y y+=-，这是可分离变量的方程，先分离变量d d 1q y q y=--，再两边积分，并整理可得1(1)q C y =-．所以1d (1)d yC y x=-，解得12e 1C x y C =+，这就是原方程的通解． 2. 求下列各微分方程满足初始条件的特解： （1）311y x '''=+，(1)1y =，(1)1y '=，1(1)2y ''=；（2）2y y x '''-=，(0)1y =，(0)0y '=； （3）2eyy ''=，(0)0y =，(0)1y '=．解：（1）13211(1)d 2y x x C x x ''=+=-++⎰，由1(1)2y ''=，得10C =，所以212y x x''=-+； 222111()d 222y x x x C x x '=-+=++⎰，由(1)1y '=，得02=C ，所以21122y x x '=+； 2331111()d ln 2226y x x x x C x =+=++⎰，由1)1(=y ，得356C =，所以方程满足初始条件的特解为3115ln 266y x x =++． （2）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，原方程化为2p p x '-=，此方程通解为d d 1111(2e d )e (2e d )e (2e 2e )e e 22x xx x x x x x p x x C x x C C x C x ----⎰⎰=+=+=--=--⎰⎰，即1e 22xy C x '=--，由(0)0y '=，得12C =，从而2(e 1)x y x '=--，此方程通解为222(e 1)d 2e 2x x y x x x x C =--=--+⎰，由(0)1y =，得21C =-，所以方程满足初始条件的特解为22e 21x y x x =---．（3）方程不显含x ，令()y q y '=，则y qq '''=，于是2e y qq '=，分离变量有2d e d yq q y =，积分得221e yp C =+，即y '=由1)0(='y ，可知道0>'y ，所以y '=再由(0)0y =，(0)1y '=，得01=C ，所以e y y '=．分离变量有e d d yy x -=，积分得2e y x C --=+，由0)0(=y ，得21C =-，于是e 1y x --=-，化简为ln (1)y x =--，这就是方程满足初始条件的特解．习题12—3（B ）1. 求下列各微分方程的通解： （1）()e n ax b yx =+（a ，b 为常数）； （2）0ln=''-''xy y y x ；（3）2)(y y '=''． 解：（1）由于1e d e axax x a =⎰，11d 1t t x x x t +=+⎰，故原方程的通解为 1121211e [()(1)(1)]axb n n n n n n y b n b n b x C x C x C x C a-+---=+++-++++++．（２）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，于是x p p p x ln='，即xpx p p ln ='，这是齐次方程，令u x p =，则x u x u x p p d d d d +=='，原方程化为u u xux u ln d d =+，分离变量有x x u u u d )1(ln d =-，积分得x C u 1ln )1ln(ln =-，即11e +==x C u xp ，原方程降阶为11e +='x C x y ，原方程通解为⎰⎰+++-==x x C x x y x C x C x C )d e e (1d e 11111112111)1(e 11C C x C x C +-=+． （３）方程既不显含y ，也不显含x ．（方法1）令)(x p y ='，则p y '=''，则2p p ='，分离变量有x ppd d 2=，积分得11C x p -=-，即xC p -=11，原方程降阶为x C y -='11，所以原方程的通解为)ln(d 121x C C x C xy --=-=⎰．（方法2）令()y q y '=，则y qq '''=，于是2d d q qq y =，分离变量有2d d q q q y=，积分得2ln q y C =-，即原方程降阶为2e d d C y xy-=，分离变量为x y y C d d e 2=-，积分得12e C x y C -=--，化简为)ln(12x C C y --=，这就是原方程的通解．2. 求下列各微分方程满足初始条件的特解： （1）2)(1y y '+=''，(0)1y =，(0)0y '=；（2）3()y y y ''''=+，(0)0y =，(0)1y '=；（3）)(22y y y y '-'=''，(0)1y =，(0)2y '=．解：（1）按不显含y 的方程求解，（注：本题按不显含x 方程求解困难）．令)(x p y ='，则p y '=''，于是21p p +='，分离变量有x ppd 1d 2=+，积分得1arctan C x p +=，即1arctan C x y +='，由(0)0y '=，得01=C ，于是x y tan ='，积分得2tan d ln cos y x x C x ==-⎰，由(0)1y =，得12=C ，所以方程满足初始条件的特解为1ln cos y x =-．（2）令()y q y '=，则y qq '''=，得3d d qqq q y=+，因为0q =不满足初始条件(0)1y '=，所以0q ≠，分离变量有2d d 1qy q =+，积分得1arctan q y C =-，即1tan ()y q y C '==-． 由初始条件(0)0y =，(0)1y '=，有11tan (0C =+），得14C π=，故tan ()4y y π'=-． 分离变量d d tan ()4y x y π=-，积分并整理得2sin ()e 4xy C π-=．再由初始条件(0)0y =，得22C =-arcsin 24x y =+π． （3）这是不含x 的二阶可降阶微分方程，令()y q y '=，则y qq '''=，则方程化为22()yqq q q '=-．因为0q =不满足初始条件2)0(='y ，所以0q ≠，分离变量有d d 21q yq y=-，积分得21ln(1)ln q C y -=，解得211y q C y '==+．由初始条件(0)1y =，(0)2y '=，有121+=C ，得11=C ，故12+='y y ，分离变量有x y y d 1d 2=+，积分得1arctan C x y +=，再由初始条件1)0(=y ，得42π=C ，所以原方程满足初始条件的特解为4arctan π+=x y ，即xxx y tan 1tan 1)4tan(-+=+=π．习题12—4（A ）1．指出下列各对函数在其定义区间内的线性相关性：（1）3x 与2x ； （2）e x 与e xx ； （3）e x-与2ex-； （4）x e 与5e x；（5）sin x 与x 2sin ； （6）x x cos sin 与x 2sin ； （7）e sec x x 与e tan xx ； （8）x ln 与ln x μ（0μ>）．解：（1）因为233x xx =不恒为常数，所以3x 与2x 在区间)(∞+-∞，内线性无关． （2）因为e ex x x x =不恒为常数，所以e x与e x x 在区间)(∞+-∞，内线性无关． （3）因为2e e e x xx ---=不恒为常数，所以e x -与2e x -在区间)(∞+-∞，内线性无关． （4）因为5e 5ex x =恒为常数，所以xe 与5e x 在区间)(∞+-∞，内线性相关． （5）因为sin 22cos sin xx x=不恒为常数，所以sin x 与x 2sin 在区间)(∞+-∞，内线性无关． （6）因为sin 22sin cos xx x=恒为常数，所以x x cos sin 与x 2sin 在区间)(∞+-∞，内线性相关．（7）因为e tan sin e sec x x xx x=不恒为常数，所以e sec x x 与e tan x x 在区间)(∞+-∞，内线性无关．（8）因为ln 0ln x xμμ=>恒为常数，所以x ln 与ln x μ在区间)0(∞+，内线性相关． 2．验证函数21e x y =，22e xy x =是微分方程440y y y '''-+=的两个线性无关的解，并写出该方程的通解．解：因为21e xy =，所以22112e =4e x xy y '''=，，因此 222111444e 8e 4e 0xx x y y y '''-+=-+=，所以21e xy =是440y y y '''-+=的解；同理，22e xy x =是440y y y '''-+=的解．又因为2221e exx y x x y ==不恒为常数，所以函数21e x y =，22e x y x =是微分方程440y y y '''-+=的两个线性无关的解．因此二阶线性齐次微分方程440y y y '''-+=通解为2112212()e x y C y C y C C x =+=+．3．通过观察给出微分方程0y y ''+=的两个线性无关的特解，并写出该方程的通解． 解：0y y ''+=是二阶线性齐次微分方程，改写为y y ''=-，二阶导数与自身呈相反数的函数有1sin y x =，2cos y x =，它们是0y y ''+=的两个解，又21cos cot sin y x x y x==不恒为常数，于是1sin y x =，2cos y x =线性无关，所以方程0y y ''+=的通解为12sin cos y C x C x =+．4．写出下列各二阶常系数线性齐次微分方程的通解：（1）320y y y '''-+=； （2）10250y y y '''-+=；（3）2100y y y '''-+=； （4）02d d 22=-x tx．解：（1）特征方程为2320r r -+=，即(1)(2)0r r --=，特征根为11=r 、22r =（不相等实根），所以方程320y y y '''-+=的通解是212e e x x y C C =+．（２）特征方程为210250r r -+=，即2(5)0r -=，特征根为125r r ==（两个相等实根），所以方程10250y y y '''-+=的通解是512()e xy C C x =+．（3）特征方程为22100r r -+=，由二次代数方程求根公式，得特征根为21322b y i a -===±（一对共轭复根），所以方程2100y y y '''-+=的通解是12(cos3sin 3)e xy C x C x =+． （4）特征方程为022=-r ，特征根为21=r 、22-=r （不同实根），所以方程02d d 22=-x tx的通解是ttC C x 2221e e -+=（注意t 是自变量，x 是因变量）．5．求下列各微分方程满足初始条件的特解：（1）22d d 340d d y yy t t+-=，(0)2y =，(0)3y '=-； （2）20y y y '''-+=，(0)1y =，(0)2y '=； （3）450y y y '''-+=，(0)1y =，(0)0y '=．解：（1）特征方程为2340r r +-=，即(1)(4)0r r -+=，特征根为11=r 、24r =-，所以方程22d d 340d d y yy t t +-=的通解是412e e t t y C C -=+，且412e 4e t t dy C C dt-=-． 由初始条件(0)2y =，(0)3y '=-，有1212243C C C C +=⎧⎨-=-⎩，，得1211C C =⎧⎨=⎩，，所以方程满足初始条件(0)2y =，(0)3y '=-的特解是4e e t ty -=+．（2）特征方程为2210r r -+=，即2(1)0r -=，特征根为121r r ==，所以方程20y y y '''-+=的通解是12()e x y C C x =+，且212()e x y C C C x '=++．由初始条件(0)1y =，(0)2y '=，有12112C C C =⎧⎨+=⎩，，得1211C C =⎧⎨=⎩，，所以方程满足初始条件(0)1y =，(0)1y '=-的特解是(1)e x y x =+．（3）特征方程为2450r r -+=，由二次代数方程求根公式，得特征根为2r i ==±，所以方程450y y y '''-+=的通解是212(cos sin )e x y C x C x =+，且21221[(2)cos (2)sin ]e xy C C x C C x '=++-．由初始条件(0)1y =，(0)0y '=，有112120C C C =⎧⎨+=⎩，，得1212C C =⎧⎨=-⎩，，所以方程满足初始条件(0)1y =，(0)0y '=的特解是2(cos 2sin )e xy x x =-． 6．求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程的通解：（1）x y y +=+''1； （2）xy y y -=+'+''e 22； （3）223y y y x x '''+-=+-； （4）xx y y e 4=-''.解：（1）相应齐次方程为0=+''y y ，特征方程012=+r ，特征根为i r i r -==21、，相应齐次方程通解为x C x C Y sin cos 21+=．这里x x f +=1)(，01==λ、n 不是特征根，因此设b ax y +=*，将其代入到原方程之中，有x b ax +=+1，比较系数得11==b a 、，于是原方程的一个特解为x y +=1*．原方程的通解为x x C x C y Y y +++=+=1sin cos 21*．（2）相应齐次方程为02=+'+''y y y ，特征方程0122=++r r ，即0)1(2=+r ，特征根为121-==r r ，相应齐次方程通解为xx C C Y -+=e )(21．这里xx f -=e 2)(，10-==λ、n 是二重特征根，因此设x x ax a x y --=⋅=e e 22*，将其代入到原方程之中，化简有22=a ，得1=a ，于是原方程的一个特解为xx y -=e 2*，原方程的通解为212()exx y C C x x e --=++．（3）相应齐次方程为02=-'+''y y y ，特征方程0122=-+r r ，即0)1)(12(=+-r r ，特征根为2/1121=-=r r 、，相应齐次方程通解为2/21e e x x C C Y +=-．这里2()3f x x x =+-，02==λ、n 不是特征根，因此设c bx ax y ++=2*，代入到原方程之中，有224(2)()3a ax b ax bx c x x ++-++=+-，比较系数有12143a a b a b c -=-⎧⎪-=⎨⎪+-=⎩，，，得112a b c ===、、，于是原方程的一个特解为*22y x x =++．所以，原方程的通解为*/2212e e 2x x y Y y C C x x -=+=++++．（4）相应齐次方程为0=-''y y ，特征方程012=-r ，特征根为1121-==r r 、，相应齐次方程通解为xx C C Y -+=e e 21．这里xx x f e 4)(=，x x P n 4)(=，11==λ、n 是单重特征根，因此设x x bx ax b ax x y e )(e )(2*+=+=，将其代入到原方程之中，化简有x b ax a 4)2(22=++，比较系数得11-==b a 、，于是原方程的一个特解为x x x y e )(2*-=，所以原方程的通解为*y Y y +=x x x x x C C e )(e e 221-++=-．7．求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程满足初始条件的特解： （1）261y y x '''-=-，(0)1y =，(0)3y '=；（2）xy y e 54=+''，(0)0y =，(0)1y '=；解：（1）相应齐次方程为20y y '''-=，特征方程220r r -=，特征根为10r =、22r =，相应齐次方程通解为212e xY C C =+．这里()61f x x =-，1n =、0λ=是单重特征根，因此设*2()y x ax b ax bx =+=+，代入到原方程之中，有42261ax a b x -+-=-，得32a =-，1b =-，于是原方程的一个特解为*232y x x =--． 所以，原方程的通解为*22123e 2x y Y y C C x x =+=+--． 222e 31x y C x '=--，由初始条件(0)1y =，(0)3y '=，有1221213C C C +=⎧⎨-=⎩，，得11C =-、22C =，所以方程261y y x '''-=-满足初始条件(0)1y =，(0)3y '=的特解为2232e 12x y x x =---．（2）相应齐次方程为04=+''y y ，特征方程042=+r ，特征根为i r i r 2221-==、，相应齐次方程通解为x C x C Y 2sin 2cos 21+=．这里x x f e 5)(=，10==λ、n 不是特征根，因此设xa y e *=，代入到原方程之中，有x x x a a e 5e 4e =+，得1=a 于是原方程的一个特解为xy e *=．所以，原方程的通解为xx C x C y Y y e 2sin 2cos 21*++=+=．122sin 22cos 2e x y C x C x '=-++，由初始条件(0)0y =，(0)1y '=，有1210211C C +=⎧⎨+=⎩，，得11C =-、20C =，所以方程xy y e 54=+''满足初始条件(0)0y =，(0)1y '=的特解为e cos x y x =-．8. 求常系数线性非齐次微分方程2e xy +y =x+'''的通解.解：相应齐次方程为0='+''y y ，特征方程02=+r r ，特征根为1021-==r r 、，相应齐次方程通解为x12Y C C e -=+．这里x x x f e 2)(+=，将其分为)()()(21x f x f x f +=，x x f 2)(1=、xx f e )(2=．对x y y 2='+''，这里01==λ、n 是单重特征根，因此设bx ax b ax x y +=+=2*1)(， 代入到x y y 2='+''之中，有x b ax a 2)2(2=++，比较系数得21-==b a 、，于是方程x y y 2='+''的一个特解为x x y 22*1-=；对xy y e ='+''，不难观察得一个特解2/e *2xy =．于是，原方程的一个特解为2/e 22*2*1*xx x y y y +-=+=．所以，原方程的通解为*y Y y +=2/e 2e221x xx x C C +-++=-．.习题12—4（B ）1．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是二阶线性非齐次微分方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的两个解，证明)()(12x x y ϕϕ-=是相应线性齐次微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解． 证：因为)()(12x x y ϕϕ-=，所以212121()()[()()]()[()()]()[()()]y P x y Q x y x x P x x x Q x x x φφφφφφ'''++''''''=-+-+-)]()()()()([)]()()()()([111222x x Q x x P x x x Q x x P x ϕϕϕϕϕϕ+'+''-+'+''= ()()0f x f x =-=．所以)()(12x x y ϕϕ-=是相应线性齐次微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．2．已知函数x x x x y 21e e )(+=，x x x x y -+=e e )(2，xx x x x y -++=e e e )(23都是微分方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的解，写出该方程的通解．解：)()()(x f y x Q y x P y =+'+''是二阶非齐次线性微分方程，由函数xx x x y 21e e )(+=，x x x x y -+=e e )(2，x x x x x y -++=e e e )(23都是它的解，根据上题，则x x y y y y 22313e e =-=--、是相应齐次线性微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个解，而它们之比不恒等于常数，于是它们是线性无关的解，所以0)()(=+'+''y x Q y x P y 的通解为212x xY C e C e -=+，根据二阶非齐次线性微分方程解的结构，得方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的通解是 22112C e e x x x x y Y y C e e x -=+=+++．3．若二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解是2/21e ,e x x y y ==，写出该微分微分方程及其通解．解：由二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解是2/21e ,e x x y y ==，则该二阶常系数线性齐次微分方程的特征根是21121==r r 、，于是特征方程是0)21)(1(=--r r ，即01322=+-r r ，所以微分方程为032=+'-''y y y ，通解为2/21e C e x x C y +=．4．若二阶常系数线性齐次微分方程有一个特解xx y 21e -=，写出该微分微分方程及其通解．解：由二阶常系数线性齐次微分方程有一个特解xx y 21e -=，则该二阶常系数线性齐次微分方程有一个特征根2-=r ，并且是二重根，于是特征方程是0)2(2=+r ，即0442=++r r ， 所以微分方程为044=+'+''y y y ，通解为xx C y 221)e C (-+=．5．求下列各常系数线性非齐次微分方程的通解：（1）x x y y cos 4=+''； （2）xy y -=''+''e ．解： （1）相应齐次方程为0=+''y y ，特征方程为012=+r ，特征根为i r i r -==21、，应齐次方程通解为x C x C Y sin cos 21+=．这里x x x f cos 4)(=，最高多项式次数1=n ，i i =+βα是单重特征根，为此设*22[()cos +()sin ]=()cos +()sin y x ax b x cx d x ax bx x cx dx x =++++，代入到原方程之中，有x x x c b ax x d a cx cos 4sin )224(cos )224(=+--+++，比较系数有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=+=，，，，022*******b c a d a c 得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====，，，，0110d c b a 于是原方程的一个特解为x x x x y sin cos 2*+=． 所以，原方程的通解是x x x x x C x C y sin cos sin cos 221+++=．（2） 相应齐次方程为0=''+'''y y ，特征方程为023=+r r ，特征根为、021==r r ，13-=r 应齐次方程通解为x C x C C Y -++=e 321．对原方程xy y -=''+''e ，这里10-==λ，n 是单重特征根，为此设xax y -=e *，代入到原方程之中，有x x x x a x a ---=-+-e e )2(e)3(，即x x a --=e e ，得1=a ，于是原方程x y y -=''+''e 的一个特解为x x y -=e *．所以，原方程的通解是*y Y y +=xx x C x C C --+++=e e 321．6．求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程满足初始条件的特解： （1）x y y sin =+''，(0)1y =，(0)0y '=；（2）x y y xcos e 5='-''，(0)0y =，(0)2y '=．解：（1）相应齐次方程为0=+''y y ，特征方程为012=+r ，特征根为i r i r -==21、，应齐次方程通解为x C x C Y sin cos 21+=．对原方程x y y sin =+''，这里多项式最高次数i i n =+=βα，0是单重特征根，为此设x bx x ax y sin cos *+=，代入到原方程之中，有x x b x a sin cos 2sin 2=+-，比较系数有0212==-b a 、，得021=-=b a 、，于是原方程的一个特解为x x y cos 2*-=．所以，原方程的通解是x xx C x C y Y y cos 2sin cos 21*-+=+=． x xx C x C y sin 2cos )21(sin 21+-+-='，由初始条件(0)1y =，(0)0y '=，得21121==C C 、，所以方程满足初始条件的特解为x x x y sin 21cos )21(+-=． （2）相应齐次方程为0='-''y y ，特征方程为02=-r r ，特征根为1021==r r 、，应齐次方程通解为xC C Y e 21+=．对原方程x y y xcos e 5='-''，这里多项式最高次数i i n +=+=10βα，不是特征根，为此设*(cos sin )x y e a x b x =+，代入到原方程之中，有]sin )2(cos )2[(e x b a x a b x--+-x x cos e 5=，比较系数有⎩⎨⎧=--=-，，0252b a a b 得⎩⎨⎧=-=，，21b a 于是原方程的一个特解为)cos sin 2(e *x x y x -=，原方程的通解是)cos sin 2(e e 21*x x C C y Y y x x -++=+=．)cos sin 3(e e 2x x C y xx++='，由初始条件(0)0y =，(0)2y '=，有⎩⎨⎧=+=-+，，2101221C C C 得1021==C C 、，所以原方程满足初始条件的特解是x x x y e )cos sin 21(-+=．7．若连续函数()y f x =满足0()e ()()d xxf x t x f t t =+-⎰，求()y f x =的表达式．解：0()e ()d ()d xx xf x tf t t x f t t =+-⎰⎰，0()e ()d xxf x f t t '=-⎰，()e ()x f x f x ''=-，于是函数()y f x =满足微分方程e x f f ''+=，初始条件是(0)(0)1f f '==．e xf f ''+=是二阶常系数线性非齐次微分方程，相应齐次方程是0f f ''+=，特征方程为012=+r ，特征根为i r i r -==21、，应齐次方程通解为12cos sin Y C x C x =+．对原方程e xf f ''+=，这里10==λ，n 不是特征根，为此设*e xf a =，代入到原方程之中，得21=a ，于是原方程的一个特解为*1e 2x f =． 所以，原方程的通解是*121()cos sin e 2xf x Y f C x C x =+=++． 因为121()sin cos e 2xf x C x C x '=-++，由初始条件(0)(0)1f f '==，有12112112C C ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得2121==C C ，所以所求函数是1()(cos sin e )2xf x x x =++．8. 证明：若()f x 满足方程()(1)f x f x '=-，则必满足方程()()0f x f x ''+=，并求方程()(1)f x f x '=-的解．解：先证()f x 必满足方程()()0f x f x ''+=．由于()(1)f x f x '=-，则求导可得()(1)(1)[1(1)]()f x f x f x f x '''=--=---=-， 故证明了()f x 必满足方程()()0f x f x ''+=． 下面求解方程()(1)f x f x '=-．由于方程()()0f x f x ''+=的通解为12()cos sin f x C x C x =+，且()(1)f x f x '=-， 所以1212sin cos cos(1)sin (1)C x C x C x C x -+=-+-，令0x =可得212cos1sin1C C C =+，则112cos1(1sin1)1sin1cos1C C C +==-，从而方程()(1)f x f x '=-的解为11sin1()(cos sin )cos1f x C x x +=+．习题12—5（A ）1. 设在冷库中存储的某种新鲜水果500吨，放置一段时间之后开始腐烂，腐烂率是未腐烂数量的0.001倍，设腐烂的数量为y 吨，则显然它是时间t 的函数，求此函数的表达式． 解：由题意知0.001(500)dyy dt=⨯-， 分离变量得，0.001500dydt y=-，两边积分，并整理得0.001500e t y C -=-（C 为任意常数），再结合(0)0y =，容易求出500C =，所以水果腐烂数量与时间的函数关系式为0.001500(1e )t y -=-．2. 已知某商品的需求量Q （单位：kg ）对价格P （单位：元）的弹性为ln 2EQP EP=-，且当0P =时，需求量600Q =Kg. （1）求该商品对价格的需求函数()Q P ；（2）求当价格1P =元时，市场对该商品的需求量； （3）当+P →∞时，需求量是否趋于稳定？ 解：（1）由已知条件知，ln 2EQ P dQP EP Q dP=⋅=-， 分离变量得ln 2dQdP Q=-， 所以有()2P Q P C -=（C 为任意常数）．再由(0)600Q =得，600C =，所以()6002P Q P -=⨯．（2）由（1）可知，当1P =元时，1(1)6002300Q -=⨯=（kg ）．（3）由()6002PQ P -=⨯可知，当+P →∞时，0Q →，即随着商品价格的无限增大，。
东华理工大学高等数学A练习册答案(下)(学生用)
第7章 微分方程§7.5 可降阶的高阶微分方程一、填空题答：1. 2121ln arctan C x C x x x y +++-= 2.22121C x x e C y x +--= 3．121C xy C e =+二、 y =C 1ln x +C 2 . 三、 22x x y -=.§7.6 高阶线性微分方程一、判断题1．（ √ ）2．（ ╳ ）3．（ √ ） 二、选择题答：1.C 2.C 3.C 4.B§7.7 常系数齐次线性微分方程一、判断题1．（ √ ）2．（ ╳ ）3．（ ╳ ） 二、填空题1、y =C 1e x +C 2e-2x2、 t t e C e C x 252251t +=, 3、 y =e -3x (C 1cos2x +C 2sin2x ).4、 y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x5、y =e 2x sin3x三、选择题答：1.B 2.B 3.A 4.C 5.B四、求下列微分方程(1) y =C 1+C 2e 4x . (2) y =e 2x (C 1cos x +C 2sin x ). (3) y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x . (4))2(21x e y x+=-.§7.8 常系数非齐次线性微分方程一、填空题 答：1、x x xe e C e C y ++=-2211，2、x xe x C x C e y x x 2cos 41)2sin 2cos (21-+=.3、x x x y 2sin 31sin 31cos +-+-= 4、x xx y cos 2sin 21+= 二、选择题答：1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D三、)323(2221x x e e C e C y x x x -++=--- 四、 2527521++-=x x e e y . 第12章 无穷级数§12.1 常数项级数的概念与性质一、判断题答：1. √2. √ 3. ×4. ×5. √ 6. √ 二、填空题答：1. 1/2、3/8 、5/16 2. [（-1）^(n-1)]*[(n+1)/n] 3. [x^(n/2)]*(1/2*n!) 4. 0 三、选择题答：1.C 2.A 3.C 4.C四、判定下列级数的收敛性(1)级数收敛. (2) 该级数发散. (3) 级数发散.§12.2 常数项级数的审敛法一、判断题答：1. √ 2. × 3. √4.√ 5√6. ×7. √8. √9.√ 二、填空题答：1.P>1 2. {}n s 有界 3. 绝对收敛 4. 收敛5.1lim 0n nn u u u +=⎧⎨>⎩三、选择题答：1. D 2.C 3.D 4.A 5.C四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 级数发散. (4) 级数收敛.五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 级数发散. (2) 级数收敛.六、用根值审敛法判定下列级数的收敛性:(1) 级数收敛； (2) 当b <a 时级数收敛, 当b >a 时级数发散. 七、 (1) 此级数是收敛的. 条件收敛的. (2) 级数收敛, 并且绝对收敛.§12.3 幂级数一、判断题答：1. √ 2. √ 3. √ 4. √ 5. × 二、填空题答：1.[-1/2、1/2] 2. [-1，5) 3. (-1,1) ,11ln21xx+- 4. 绝对收敛三、选择题 答：1.D 2.B 3 D四、求下列幂级数的收敛域:(1) 收敛域为(-1, 1). （2） 收敛域为[-1, 1]. 五、利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数: (1) ()S x 21(11)(1)x x =-<<-. (2) ()S x 11ln (11)21x x x+=-<<- . 提示: 由)0()()(0S x S dx x S x-='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(.§12.4 函数展开成幂级数一、判断题答：1. √2. × 3. × 二、填空题 1. 答：1.11ln 2(1)2nn nn x n ∞-=+-∑ ，（-2，2 ] 2. 1111()(4)23nn n n x ∞++=-+∑ ，（-6，-2） 3.)( ])3()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-+∞=∑x x n x n n n n nππ 三、选择题答：1.B 2.C 3.C四、(1) 210sh (21)!n n x x n -∞==-∑, x ∈(-∞, +∞). (2) 212212sin (1)(2)!n n n n x x n -∞=⋅=-∑ x ∈(-∞, +∞). 五、∑=<<--=n n n n x x x 0)60( )33()1(311.§12.5 函数的幂级数展开式的应用一、填空题答：1.3. ； 2、)( !4cos2cos 02+∞<<-∞=∑∞=x x n n x e n n nx π.§12.7 傅立叶级数一、判断题 答：1. × 2. √3.√4.√二、填空题 1.5 2. ,n n a b - 3. nx nx f n sin 1)(1∑∞==(0<x ≤π), 级数在x =0处收敛于0. 三、选择题答：1.A 2.C 3.B 4A 5.B四、∑∞=+--+=121cos 141)1(422cos n n nx n x ππ(-π≤x ≤π). 五、正弦级数为nx n n nx f n n sin ]2)2()1[(4)(1323∑∞=---=ππ(0≤x <π), 级数在x =0处收敛于0.余弦级数为 nx nx f n n cos )1(832)(122∑∞=-+=π(0≤x ≤π).§12.8 一般周期函数的傅里叶级数一、 ∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n x n n x f ππ, x ∈(-∞, +∞).二、正弦级数13218(1)2[(1)1]{}sin2n n n n xn n πππ+∞=---+∑, x ∈[0, 2). 余弦级数:221416(1)cos 32n n n xn ππ∞=-+∑, x ∈[0, 2].第8章 空间解析几何与向量代数§8.1 向量及其线性运算一、判断题。
高等数学科学出版社下册课后答案第十二章 微分方程 习题简答
习题 12.11. (1) 是一阶线性微分方程; (2) 是一阶非线性微分方程; (3) 是二阶非线性微分方程; (4)是二阶非线性微分方程.2. (1) 是; (2)是; (3)不是; (4)不是二阶非线性微分方程.3. 验证略,所求特解为 .s i n422x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=π 4．(1) 2y x y '=+，00x y==(2)xy y '-=以及初值条件23x y ==。
习 题 12-21．( 1) C x y =+-1010； (2)； C x y +=a r c s i n a r c s i n (3) C e e y x =-+)1)(1(； (4) C x y +-=sin 1C x a a y+--=)1ln(1；2.(1) 2)(arctan 21x y =； (2)0)cos 2(cos =-y x ； (3) )4(412--=x y ； (4) y e xcos 221=+；(5) 0322=+-y y x ； (6) )2(ln 222+=x x y ； 3. (物体冷却的数学模型))20(--=T k dtdT. 4. ).310107(265.45335h h gt +-⨯=π5. 6分钟后，车间内2CO 的百分比降低到%.056.0习题12-31． (1) x C x y sin e )(-+=；(2) x x C y 2cos 2cos -=；(3) 1sin esin -+=-t C s t； (4) 2e 2x C y -+=； (5) )2()2(3-+-=x C x y ;（6）)||(ln 12C y yx +=2． (1) 412e e 22++-=x y xx； (2) 11332e 2--=x x x y ； (3) x x y sec =； (4) )cos 1(1x xy --π=； (5) 1e5sin cos =+xx y ； （6）.ln 1ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 3.⎰-=dx dx d e y ϕ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰C dx e dxd x dx dx d ϕϕϕ)(⎰+=-])([)()(C d e x e x x ϕϕϕϕ.1)()(x Ce x ϕϕ-+-= 4. ,62320⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=T t t m F x .0T t ≤≤5 ..224⎪⎭⎫⎝⎛+=C x x y 6. yx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2)(l n 2x a C .1= 习题12-41. (1) Cxy x =-331; (2) x sin y +y cos x =C ; (3) xe y -y 2=C ;(4) .132C yx y =+- (5)不是全微分方程;(6) 不是全微分方程.2. (1) y x +1, x -y =ln(x +y )+C ; (2) 21y , C x y x =+22.(3) 21y , Cxy y x =--3122; (4) 221y x +为, x 2+y 2=Ce 2x ; (5) 21x , x ln x +y 2=Cx ; (6) 2y x , 032=-x y x .3. (1)2212yx e Cy x =; (2) C y y x y x =++||ln 3113322.4. (1)21ln 2x C x y +-=; (2) x C x x y cos 1tan ++=. 习 题12-51、（1）21c x c e y x ++=（2）21212x y x x c e c =--++（3）12ln y C x C =+ （4）12arcsin()xy c e c =+（5）.3231C x x C y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（6）221121()c y c x c -=+ 2、(1).4521cos 412-++=x x e y x (2) .133++=x x y （3）x y 11+= （4）11y x=-(5) ).4tan(π+=x y3、 .212+=x y 4、2)1()(-=x x f5 、.2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-a xa x e e a a x ach y 这曲线叫做悬链线.习题12-61. (1) 线性相关(2) 线性无关(3) 线性无关(4) 线性无关2. 略.3. (1) y x x x x e C e C e xe -+++=2202x x x e C e C xe -++=221，其中.101C C += (2) ;22x x xe e y y y -=-'-''(3) .342x x x xe e e y ++=- 4. .33221x C x C y ++=习题12-71.(1) y ＝C 1e -x＋C 2e-2x；(2)＝C 1e 0x ＋C 2e-2/3x＝C 1＋C 2e-2/3x ；(3) y ＝C 1cos2x ＋C 2sin2x ．（4）x ＝(C 1＋C 2t) e 5t/2；(5) .321x x e C e C y +=-(6）.)(221x e x C C y -+=(7）).2sin 2cos (21x C x C e y x +=-(8))3sin 3cos (212x C x C e y x +=．(9) y ＝C 1cosx ＋C 2sinx ＋C 3e x ＋C 4e -x；（10）).2sin 2cos (4321x C x C e x C C y x +++=（11）w ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x C x C ex 2sin 2cos 212βββ.2sin 2cos 432⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-x C x C ex βββ(12) .sin )(cos )(54321x x C C x x C C C y ++++= (13) x x xxe C e C e C eC y --+++=432221.sin cos 65x C x C ++(14) y ＝C 1＋C 2x ＋(C 3＋C 4x)e x. 2. ϕ(x)＝1/2(cosx ＋sinx ＋e x)．3. ,04852)4(=+'-''+'''-y y y y y .2sin 2cos )(4321x C x C e x C C y x +++=4.略.习题12-81. (1) ;30*x e b y =(2) ;)(210*x e b x b x y -+=(3) .)(21202*x e b x b x b x y -++=(4) *(c o s 2s i n 2).xy x e a xb x =+2.（1）.31*+-=x y （2）*y **21y y +=.3)221(22++-=x e x x x 3. (1) .)121(2221x x x e x x e C e C y -++=(2) y .21s i n c o s 21x e x x C x C +++=(3) y *y Y +=.81)(2321x x e e x C x C C +++=-(4) .cos 2sin cos 21x x x C x C y -+=（5）.2sin 942cos 31sin cos 21x x x x C x C y +-+=4． y ＝－1/16 sin2x ＋1/8 x(1＋sin2x) 5..32cos cos 3sin )(++-=x x x x y 6. .221x x x xe e C e C y ++=7.y .1)(ln ln 321xx x C C -++=8. y .2123321x x C x C C -++= 9. .)1(41)1()1ln(2141x x x y +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=本章复习题A1.（1）二;（2）;（3）ln(ln )xy x x e=+;（4）''2'50y y y -+=；（5）2()x Ax B x e -+. 2. （1） A （2） (A)（3）（C ）（4） (B )（5）（C ） 3. （1）);(12x x e Ce xy +=（2）3221Cy y x += （3）C x xy +=2；（4）x Ce x y tan 1tan -+-=（5）13423++=x Cx y （6）22)1(1-=-x C y （7）31)1(tan x e C y -=- （8）221ln xCx y +-=（9）C x e x x +=+2)1(；（10）C xy x =-4. （1）322142224181C x C x C x e y x +++-=； （2）2212C x C e xe y x x ++-= （3）21|)cos(|ln C C x y ++-= （4）)sin cos (e 212x C x C y x+=x x x2cos e 412-5. （1）)1(ln 222+=x x y （2）)2sin 22(cos x x e y x +=- （3）x x x y 2sin 31sin 31cos +--= （4）2135672--+=-x e e y x x ． 6. 2231()()4f x x x=- 7. 可知当敌舰行245个单位距离时，将被鱼雷击中。