中科大 系统建模与仿真

系统建模与仿真

第3章连续系统的模型

中国科学技术大学曾凡平

课程复习

2.1 典型的试验信号

–阶跃、速度、加速度、脉冲、指数、正弦和余弦

2.2 拉普拉斯变换

–定义、典型信号的拉氏变换、性质和定理

2.3 拉普拉斯反变换

–反变换的部分分式、留数计算法、Matlab 方法。2.4 微分方程的拉普拉斯变换解法

∑=−−⋅−⋅=n k k k n n

n f s s F s t f L 1)1()()0()()]([

第3章连续系统的模型

•系统的动态特性可以用微分方程描述，微分方程是其他数学模型（传递函数、状态空间表达式）的基础。线性定常集中参数系统的输入x (t ) 与输出y (t ) 之间的关系可以以下的微分方程描述：

()()

()())()()()()()()()(111101111t x b dt

t dx b dt t x d b dt t x d b t y a dt

t dy a dt t y d a dt t y d m m m m m m n n n n n n ++++=++++−−−−−−""N =max(n ,m )称为系统的阶次，对应的系统称为N 阶系统。

第3章连续系统的数学模型3.1 线性系统的微分方程模型

3.2 传递函数

3.3系统的方框图及化简

3.1 线性连续系统的微分方程模型

•用分析法建立系统的微分方程要经过以下步骤：(1) 确定系统的输入和输出变量。

–系统中有很多变量，有些变量是外界施加到系统的，这些变量称为输入（也称为激励）；有些是体现系统状态变化的变量，称为状态变量，系统的输出是状态变量的一部分。(2) 将系统分解为各个环节，依次确定各环节的输入和输出，根据环节所遵循的物理规律列写个环节的微分方程。

(3) 消去中间变量，写出系统的微分方程。

3.1.1 简单系统的微分方程

1. 电路(电子)系统：

•对于电路系统，根据电压平衡和电流平衡列写微分方程。

①任意一个闭合回路的电压之和为0。

②任意一个节点的电流之和为0。

)()()

(/)()

()(122221t u t u dt t du RC dt

dq

i C q t u t u Ri t u =+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=(1)一阶电路系统RC

电路

RL

网络

)

()()

(t u t i R dt t di L =⋅+•取u (t )为输入，i (t )为输出，则得到一阶微分方程。

RC 有源网络：运算放大器的两个输入端之间的电压为

0，输入电流等于0

。电压和电流平衡

)(1)(11t V R

t i =)(1)(0t V R

t i R =dt

t dV C t i C )()(0=0

)()()(1=++t i t i t i C R )(1)(1)(100t V RC

t V RC dt t dV −=+

(2) 二阶电路系统RLC 无源网络)()()()(21t V dt

t di L t i R t V ++⋅

=电压平衡

电容器的电流正比于电压的变化率

dt

t dV C t i )()(2=)()()()(122222

t V t V dt t dV RC dt t V d LC =++)(1)(1)()(122222t V LC t V LC dt t dV L R dt t V d =++

RC 二阶有源网络

)(1

)(1)(111)(1213122132213121

1222

t V C C R R t V C C R R dt t dV C R C R C R dt t V d =+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++

+

2.机械系统：用牛顿运动定律列写方程

(1)机械平移系统

•m : 物体(系统)的质量•b : 阻尼系数

•k : 弹簧的比例系数•F (t ): 外力

•

y (t ): 物体的位移dt

t dy b t y k t F dt t y d m )()()()(2

2

⋅−⋅−=⋅)(1

)()()(2

2

t F m

t y m k dt t dy m b dt t y d =⋅+⋅

+

(2)机械转动系统

•角加速度乘于转动惯量等于合力矩

J:T: T

t b dt

t d J T

dt t d J +−==∑)()()(ωωω

b

为一阶系统

T

t b dt

t d J =+)()(ωω转动惯量(相当于物体的质量)b:阻尼系数T:外加转动力矩(相当于外力) ω(t):角速度

输入量ω(t): 受控量

3.机电系统(带载直流电动机系统)

U(t)：外加电压Ｅa：反电势La：电感Ra：内阻

Ｍ：电机力矩Ｊ：转动惯量ＭＬ：反向力矩(因磨擦导致) Ka ：反电动势系数(与转速成正比) km：力矩系数(正比与电流)

列写带载直流电动机系统的运动方程

a

a a

a a I R dt

dI L E t U ⋅++=)(电压平衡

dt

d J

M M L Ω

=−力矩平衡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛⋅+−=Ω⋅+Ω⋅+Ω⋅⋅L m a L m a a m a m a a

M R R M k L t U k k J R k J L I M

)(,消去电磁时间常数

a

a a R L T /=机电时间常数

e

m a

m k k R J T ⋅⋅=

a

m a a I K M k E =Ω=机与电的联系