概率论与数理统计习题

一 、名词解释1、样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合，称为E 的样本空间。

2、随机事件：试验E 的样本空间S 的子集，称为E 的随机事件。

3、必然事件：在每次试验中总是发生的事件。

4、不可能事件：在每次试验中都不会发生的事件。

5、概率加法定理：P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6、概率乘法定理：P(AB)=P(A)P(B │A)7、随机事件的相互独立性:若P(AB)=P(A)P(B)则事件A,B 是相互独立的。

8、实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中几乎是不会发生的。

9、条件概率：设A ，B 是两个事件，且P(A)>0，称P(B │A)=()()AP AB P 为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。

10、全概率公式：P(A)= ())/(1B B i A P n i i P ∑=11、贝叶斯公式：P(Bi │A)=()()∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ni j A P j P i A P i P B B B B 112、随机变量：设E 是随机试验，它的样本空间是S=﹛e ﹜。

如果对于每一个e ∈S,有一个实数X(e)与之对应，就得到一个定义的S 上的单值实值函数X=X(e),称为随机变量。

13、分布函数：设X 是一个随机变量，χ是任意实数，函数F(χ)=P(X ≤χ)称为X 的分布函数。

14、随机变量的相互独立性：设(χ,у)是二维随机变量 ，如果对于任意实数χ,у，有F(χ,у)=F x (χ)·F y (у)或 f (χ,у)= f x (χ)·f y (у)成立。

则称为X 与Y 相互独立。

15、方差：E ﹛〔X-E(χ)〕2〕16、数学期望：E(χ)= ()dx x xf ⎰∞-+∞(或)= i p i i x ∑+∞=117、简单随机样本：设X 是具有分布函数F 的随机变量，若χ1 , χ2 … , χn 是具有同一分布函数F 的相互独立的随机变量，则称χ1 , χ2 … , χn 为从总体X 得到的容量为n 的简单随机样本。

18、统计量：设χ1 , χ2 … , χn 是来自总体X 的一个样本，g(χ1 , χ2 … , χn )是χ1 , χ2 … , χn 的函数，若g 是连续函数，且g 中不含任何未知参数，则称g(χ1 , χ2 … , χn )是一统计量。

19、χ2(n)分布：设χ1 , χ2 … , χn 是来自总体N(0,1)的样本，则称统计量χ2=nx x x 2......2212++ , 服从自由度为n 的χ2分布，记为χ2～χ2 (n). 20、无偏估计量：若估计量θ=θ(χ1 , χ2 … , χn )的数学期望E(θ)存在，且对任意θ ∈ (H)有E(θ)=θ,则称θ是θ的无偏估计量。

二、填空：1、随机事件A 与B 恰有一个发生的事件A B ∪ A B 。

2、随机事件A 与B 都不发生的事件是A B3、将一枚硬币掷两次，观察两次出现正反面的情况，则样本空间S= （正正）（正反）（反正）（反反） 。

4、设随机事件A 与B 互不相容，且P(A)=0.5，P(B)=31,则 P(A ∪ B)=65P (AB)=0。

5、随机事件A 与B 相互独立，且P(A)=31,P(B)=51，则P （A ∪ B ）=157。

6、盒子中有4个新乒乓球，2个旧乒乓球，甲从中任取一个用后放回（此球下次算旧球），乙再从中取一个，那么乙取到新球的概率是95。

48、若X 的分布函数是F(x)=P(X ≤ x) , x ∈ (-∝,+∝) 则当x 1 ≤ x 2 时，P （x 1<X ≤x 2 ）= F(x 2)-F(x 1) 。

9、若X ～N （μ,ζ2）, 则(X —μ)/ζ～N(0，1)。

10、若X ～N(0,1),其分布函数为φ(x)=P (X ≤x), x ∈(-∝,+∝)则Φ(0)=0.5 。

11、设X ～b(3 , 0.2) , 则P （x=0）=0.512 。

12、设（x, y )为二维随机变量，则其联合分布函数 F （x , y ) = P (X ≤x , Y ≤y) , x , y 为任意实数。

13、设X 的分布律为则E （X ）=0.8, D(X) = 0.76 。

14、若X ～N(μ,ζ2 ), 则E(X)=μ D(X)=σ2 15、设X 在(0,5)上服从均匀分布，则E(X) = 2.5 , D(X)=1225—1分布,分布律为E (X) = p D(X)= p (1-p) 。

17、设x,y 是任意两个随机变量,则E( x+y ) = E (x) + E (y) 。

18、设x 1, x 2 … , x n 是来自总体X 的简单随机样本，则∑==n i n x x 111，()21112∑=--=N I X IN X S 。

19、设总体X ～N （0，1），x 1, x 2 … , x n 是来自总体X 的样本，则82.........2212x x x ++服从的分布是x 2(8) 。

20、设随机测得某化工产品得率的5个样本观察值为82，79，80，78，81，则样本平均值X =80 。

21、设总体X ～N （μ, ζ2 ）, x 1, x 2 … , x n 是来自总体X 的样本,则ζ2已知时,μ的1-α置信区间为2ασz nx -，2ασz n+22、假设检验可能犯的两类错误是弃真错误和纳伪的错误。

23、设总体X ～N （μ, ζ2 ）,对假设H o ：ζ2=02σ ，H 1：ζ2≠θσ2做假设检验时，所使用的统计量是()σ221S n - , 它所服从的分布是x 2(n-1) 。

24、设f (x,y), f x (x), f y (y)分别是随机变量（x,y ）的联合概率密度和两个边缘概率密度，则当x 与y 相互独立时，f (x,y) = f x (x)· f y (y) 对任意实数 x , y 都成立。

25、设X ～N(0,1),则E(X)= 0,D(X) = 1 。

26、公式P(A ∪B)= P(A)+P(B)- P(AB)称为概率的加法定理。

27、在每次试验中都不会发生的事件称为不可能事件。

28、设X 为随机变量，则分布函数为F （x ） = P ｛ X ≤x ｝,x 为任意实数。

29、设随机事件A 与B 相互独立,且P(A)=0.5 P(B)=1/5 ，则P(AB)= 0.6 .30、设X 是具有分布函数F 的随机变量，若x 1, x 2 … , x n 具有同一分布函数的相互独立的随机变量，则称x 1, x 2 … , x n 为从总体X 得到的容量为n 的简单随机样本.31、若随机变量X 为正态分析,X ～N(μ,ζ2)，则 σμ-X ～N(0,1）32、设随机事件A 与B 有P(AB)=P(A)P(B)时，则称A 与B 是相互独立的。

33、随机试验E 的样本空间S 的子集，称为E 的随机事件。

35、设（X ，Y ）为二维随机变量，则其联合分布函数F(x,y)= P ｛ X ≤x , Y ≤y ) , x , y 为任意实数 。

36、设随机变量X 在(0,5)上服从均匀分布，则D （X ）= 1225。

37、设随机变量X ～N(0,1)(标准正态分布),则其概率密度函数φ(x) =2212ze-π.38、设x 1, x 2 … , x n 是来自总体X 的样本 ，则样本平均值X=∑=ni nx 111 .39、“概率很上的事件在一次试验中几乎不会发生的"这一论断称为实际推断原理。

40、公式P(A ∩B)=P(A)P(B │A) , P(A) > 0 ,称为概率的乘法定理。

41、设X 1，X 2是任意两个随机变量，则E （X 1±X 2）=E(X 1)±E （X 2） 42、随机试验E 的所有可能结果组成的集合，称为E 的样本空间。

43、已知X ～b （n ,p ）,则p(X=k)=k n p k n k C p --)1(, k=0,1,2,……,n 。

44、随机事件A 与B 至少一个发生的事件是A ∪B 。

45、假设检验可能犯的两类错误是取伪错误和弃真错误。

46、设总体X ～N （μ, ζ2 ），则样本平均值X 服从的分布是N （μ, Nσ2)47、在每次试验中总是发生的事件称为必然事件 。

48、设X 与Y 是两个随机变量，则E （aX+bY ） = aE(X)+bE(Y) (a,b 为常数)。

49、设总体X ～N(μ, ζ2 )， x 1, x 2 … , x n 是X 的样本，S 2是样本方差，则()σ221S n - 服从的分布是 x 2(n-1). 50、随机事件A 与B 至少一个发生的概率为P （A ∪B ） 。

51、随机事件A 与B 都发生的事件为AB 。

52、设随机变量X 的分布函数为F(x)，则当x 1 ≤ x 2 时，P （x 1<X ≤x 2 ）= F(x 2)-F(x 1) 53、已知X ～N(μ,ζ2)即X 服从参数μ, ζ2的正态分布，则E （X ）= μ，=c54、设A ，B 是两个事件，且P （A ）> 0，则P(B │A) = )()(A P AB P 称为事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。

55、若估计量θ =θ（x 1, x 2 … , x n ）的数学期望存在,且对任意θ∈H 有E(θ)=θ，则称θ是θ的无偏估计量 。

56、随机试验E 的所有可能结果组成的集合，称为E 的样本空间。

57、设x 1, x 2 … , x n 是总体X 的一个样本，g(x 1, x 2 … , x n )是x 1, x 2 … , x n 的函数，若g 是连续函数，且g 中不含任何未知参数 ，则称g(x 1, x 2 … , x n )是一个统计量。

58、设A 与A 互为对立事件，则A A =φ 。

59、若二维随机变量（X 、y ）在平面区域D 中的密度为P （x,y ）=()⎪⎩⎪⎨⎧∈其他,0,,1D Y X A，其中A 为D 的面积，则称（X 、y ）在区域D 上服从（均匀分布）.60、某种动物由出生活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，问现年20岁的这种动物活到25岁的概率时（1/2）。

61、设、A 、B 、是随机事件，当A 〈B 时，P （B-A ）=P （B ）-P （A ）62、设A 、B 、C 是三个随机事件，用A 、B 、C 表示三个事件都不发生（A B C ）。

63、设1X ,2X ,……n X 是来自总体Z 的一个样本，则样本K 阶原点矩是（∑=ni i K n11）。