《概率论与数理统计》复习答案

概率论复习一、单项选择题1. 袋中有50个乒乓球,其中20个黄球,30个白球,现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球,则第二人取到黄球的概率是( B ).A.51B.52 C.53 D.54 2. 设B A ,为随机事件,且5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,=)(A B P 8.0.则=)(B A P U ( C ).A.0.5B.0.6C.0.7D.0.83. 设随机变量X 的分布函数为)(x F X ,则35-=X Y 的分布函数)(y F Y 为( C ). A.)35(-y F XB.3)(5-y F XC.⎪⎭⎫⎝⎛+53y F XD.3)(51+y F X 4. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为则==}{Y X P ( A ).A.3.0B.5.0C.7.0D.8.05. 设随机变量X 与Y 相互独立,且2)(=X D ,1)(=Y D ,则=+-)32(Y X D ( D ).A.0B.1C.4D. 66. 设),(~2σμN X ,2,σμ未知,取样本n X X X ,,,21 ,记2,n S X 分别为样本均值和样本方差.检验:2:,2:10<≥σσH H ,应取检验统计量=2χ( C ).A.8)1(2S n -B.2)1(2S n -C.4)1(2S n -D.6)1(2S n -7. 在10个乒乓球中,有8个白球,2个黄球,从中任意抽取3个的必然事件是( B ).A. 三个都是白球B. 至少有一个白球C. 至少有一个黄球D. 三个都是黄球 8. 设B A ,为随机事件,且B A ⊂,则下列式子正确的是( A ).A.)()(A P B A P =UB.)()(A P AB P =C.)()(B P A B P =D.)()()(A P B P A B P -=-9. 设随机变量)4 ,1(~N X ,已知标准正态分布函数值8413.0)1(=Φ,为使8413.0}{<<a X P ,则常数<a ( C ).A.0B.1C.2D.3 10. 设随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=∞+),(x F ( B ).A.0B.)(x F XC.)(y F YD.111. 二维随机变量),(Y X 的分布律为设)1,0,(},{====j i j Y i X P P ij ,则下列各式中错误．．的是( D ). A.0100P P < B.1110P P < C.1100P P < D.0110P P < 12. 设)5(~P X ,)5.0,16(~B Y ,则=--)22(Y X E ( A ).A.0B.0.1C.2.0D. 1 13. 在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是( C ).A.在0H 不成立的条件下,经检验0H 被拒绝的概率B.在0H 不成立的条件下,经检验0H 被接受的概率C.在0H 成立的条件下,经检验0H 被拒绝的概率D.在0H 成立的条件下,经检验0H 被接受的概率14. 设X 和Y 是方差存在的随机变量，若E (XY )=E (X )E (Y ),则( B ) A 、D (XY )=D (X ) D (Y ) B 、 D (X+Y )=D (X ) + D (Y ) C 、 X 和Y 相互独立 D 、 X 和Y 相互不独立 15. 若X ～()t n 那么21X ～（ B ） A 、(1,)F n ； B 、(,1)F n ； C 、2()n χ； D 、()t n16. 设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ 是来自X 的样本，2σ的无偏估计量是（ B ）A 、()211n i i X X n =-∑；B 、()2111n i i X X n =--∑； C 、211n i i X n =∑； D 、2X 17、设随机变量X 的概率密度为2(1)2()x f x --=，则 （ B ） A 、X 服从指数分布 B 、1EX = C 、0=DX D 、(0)0.5P X ≤= 18、设X 服从()2N σ0，，则服从自由度为()1n -的t 分布的随机变量是（ B ） A 、nX S B 、、2nX S D 19、设总体()2,~σμNX ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 取自总体X 的一个样本，则下列选项中不是统计量的是 （ B ） A 、31（123X X X ++） B 、)(12322212X X X ++σC 、12X μ+D 、123max{,,}X X X20、设随机变量()1,0~N ξ分布，则(0)P ξ≤等于 （ C ） A 、0 B 、0.8413 C 、0.5 D 、无法判断21、已知随机变量()p n B ,~ξ，且3,2E D ξξ==，则,n p 的值分别为 （ D ） A 、112,4n p ==B 、312,4n p ==C 、29,3n p ==D 、19,3n p == 22. 设321,,X X X 是来自总体X 的样本，EX=μ，则（ D ）是参数μ的最有效估计。

（A ）3211213161ˆX X X ++=μ（B ）3212525251ˆX X X ++=μ（C ）3213214141ˆX X X ++=μ（D ）3214313131ˆX X X ++=μ 23. 已知随机变量ξ服从二项分布，且，，44.14.2==E ξξD 则二项分布的参数p n ，的值为（ B ） A 、6.04==p n ， B 、4.06==p n ， C 、3.08==p n ， D 、1.024==p n ，二．填空1.设34{0,0},{0}{0}77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 572.已知P (A )=0.4,P (B )=0.3,()0.6,()P A B P AB = 则＝ 0.3 ；3.~(),(1)(2),(0)X P X P X P X πλ=====且则 2e - ；4.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中的概率为0.4,则2EX = 18.4 ； 5.设随机变量X 和Y 的方差分别为25和36，若相关系数为0.4，则D(X －Y )＝ 37 ；6.若X 和Y 相互独立,且X ~N (1,4),Y ~N (0,3),则23X Y -~_ N(2,43)__；7. 用（,X Y ）的联合分布函数(,)F x y 表示{,}P a X b Y c ≤≤<= (,)(,){,}{,F b c F a c P aX b Y cP X a Y c --<≤=+=< ；8. 已知随机变量X 的均值12μ=，标准差3σ=，试用切比雪夫不等式估计：{}618P X <<34≥ ； 9.设2~(,)X N μσ，12,,,n X X X 是样本，2σ的矩估计量是 211()ni i X X n =-∑ ；10. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本，令221234()(),Y X X X X =++- 则当C = 18时CY ～2(2)χ11、“A 、B 、C 三个事件中至少发生了两个”，可以表示为 AB BC AC ++ 。

12、随机变量ξ的分布函数()F x 是事件 {}x ξ≤ 的概率。

13、某校一次英语测验，及格率80%，则一个班（50人）中，不及格的人数X ～ (50,0.2)B 分布，EX =10DX = 8 。

14、设12n X X X ，，，为总体X 的一个样本，若11ni i X X n ==∑且EX μ=，2DX σ=，则EX =___μ_，DX = ___2nσ___。

15、设随机变量X 的数学期望为EX u =、方差2DX σ=，则由切比雪夫不等式有{}2P X u σ-≥__14≤__。

16、“A 、B 、C 三个事件中恰好有一个发生”，可以表示为 ABC ABC ABC ++ 。

17、设X 服从参数为λ的泊松分布，且()()21===X P X P ，则λ=___2__。

18.设X 的期望和方差分别为μ和2σ，则由切比雪夫不等式可估计)2(σμ<-X P 34≥。

19.设n x x x ,,,21 是取自总体),(~2σμN X 的一个样本，∑=--=ni i X X n S 122)(11为样本方差，则~)1(22σS n - 2(1)n χ-20. 已知()A P =0.4,()B P =0.3，则当A 、B 互不相容时，()B A P = 0.7,，()AB P = 0 。

当A 、B 相互独立时，()B A P = 0.58 ，()AB P = 0.12 。

三、计算题1.设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===,求)(B A P U 与()P B A -.解：)()()()(AB P B P A P B A P -+=U7.04.01.1)|()(1.1=-=-=A B P A P ,()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.2.有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份, 求先抽到的一份是女生表的概率p .解：记i H ={报名表是第i 个地区考生}(3,2,1=i ),j A ={第j 次抽到的报名表是男生}(2,1=j ),由题意知31)(=i H P (3,2,1=i ),103)(11=H A P , 157)(21=H A P ,255)(31=H A P ,由全概率公式,知90295115710331)()()(3111=⎪⎭⎫ ⎝⎛++===∑=i i i H A P H P A P p .3.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=,3,1,31,8.0,11,4.0,1,0)(x x x x x F 试求:(1)X 的分布律;(2)}1|2{≠<X X P .解：(1)X 的所有可能取值为3 ,1 ,1-,}1{-=X P =1)(-F )01(---F =4.004.0=-, }1{=X P =)1(F )01(--F =4.04.08.0=-,}3{=X P =)3(F )03(--F =2.08.01=-,从而X 的分布律为(2)3)1()1(}1|2{=≠-==≠<X P X P X X P .4.一大批种子,良种占%20,从中任选5000粒.试计算其良种率与%20之差小于%1的概率.9616.0)77.1(=Φ.解：设X 表示在任选5000粒种子中良种粒数,则)(~p n B X ，,其中5000=n ,2.0=p ,则 800)1()(1000)(=-===p np X D np X E ，, 由棣莫夫-拉普拉斯中心极限定理得,良种率与%20之差小于%1的概率为)501000()01.02.05000(<-=<-X P XP 9616.0)77.1()80050()800508001000(=Φ=Φ≈<-=X P .5.假设甲、乙两厂生产同样的灯泡,且其寿命),(~211σμN X ,),(~222σμN Y .已知它们寿命的标准差分别为84小时和96小时,现从两厂生产的灯泡中各取60只,测得平均寿命甲厂为1295小时,乙厂为1230小时,能否认为两厂生产的灯泡寿命无显著差异(0.05α=)?975.0)96.1(=Φ． 解：建立假设210:μμ=H ,211:μμ≠H .在0H 为真时,统计量~(0, 1)X YU N =.对于给定的显著性水平0.05α=,查标准正态分布表,可得 1.960.0252==u u α,从而拒绝域为1.96||>u .又由1295=x ,1230=y ,841=σ,962=σ,0621==n n ,得|| 3.95 1.96u ==>,故应拒绝0H ,即认为此制造厂家的说法不可靠.6.设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为证明:X 和Y 相互独立.证： 由联合分布律可求得X 和Y 的边缘分布律分别为和直接验证可知对任何3,2,1,=j i ,有},{j iy Y x X P ==}{i x X P ==}{j y Y P =成立,所以X 和Y 相互独立.7.设随机变量X 的分布律为求:(1)常数a ;(2)}21{≤X P ;(3)}231{≤≤X P ;(4)分布函数)(x F .解：(1) 由12131=++a ,得61=a ;(2) 31}0{}21{===≤X P X P ;(3) 61}1{}231{====≤≤a X P X P ;(4) 由于X 的所有可能取值为2,1,0故应分情况讨论:当0<x 时,}{)(x X P x F ≤=0=; 当10<≤x 时,}{)(x X P x F ≤=}0{==X P 31=; 当21<≤x 时,}{)(x X P x F ≤=}1{}0{=+==X P X P 21=; 当2≥x 时,}{)(x X P x F ≤=}1{}0{=+==X P X P 1}2{==+X P .从而=)(x F ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<.212121103100x x x x ，，，，，，， 8.某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为(%)X :3.25,3.27, 3.24,3.26,3.24，假设镍含量的测定值服从正态分布,问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(01.0=α)? 6041.4)4(005.0=t解：检验假设 25.3:00==μμH ,25.3:01=≠μμH .当0H 成立时,统计量~(1)X T t n =-.又05.0=α时,查表得6041.4)4(005.0=t .于是0H 的拒绝域为),6041.4()6041.4,(+∞--∞= W .经计算252.3=x ,00017.02=s ,且5=n .于是W nsx t ∉=-=-=345.05/00017.025.3252.30μ,所以接受0H ,即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25.9.设有三只外形完全相同的盒子，甲盒中有14个黑球，6个白球，乙盒中有5个黑球，25个白球，丙盒中有8个黑球42个白球，现在从三个盒子中 任取一盒，再从中任取一球；问（1）求取到黑球的概率；（2）若取到的是黑球，它恰好是从乙盒来的概率是多少？解：设B 表示黑球，i A 表示从第i 个盒子取球（i=1,2,3）则1231231714()()(),(|),(|),(|)310625P A P A P A P B A P B A P B A ======显然，123,,A A A 构成样本空间的一个划分，1）112212()()(|)()(|)()(|)171114770.342231036325225P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯==（2）222()(|)1/18(|)0.1623()77225P A P B A P A B P B ===10.设随机变量X的密度函数为11()0,else x f x -<<=⎩求 :(1)常数A; (2) 1{||};2P X < (3)分布函数F (x )；（4）(),()E X D X ；解：（1）1101()2sin |f x dx Aarc x A π+∞-∞-====⎰⎰1A π⇒=(2) 1121211()()23P X f x dx -<===⎰⎰(3)0,111()sin ,1121,1x F x arc x x x π≤-⎧⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎩（4）()0EX xf x dx +∞-∞==⎰()2221()2DX EX EX x f x dx +∞-∞=-==⎰11.某电站供应10000户居民用电，假设用电高峰时，每户用电的概率为0.9， 若每户用电0.2千瓦，问电站至少应具有多大的发电量，才能以95%的概率保证居民用电。