数列求和及求通项方法总结 (1)

数列求和及求通项
一、数列求和的常用方法
1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和
2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和，均可用错位相减法 例：已知数列1
3
1
2--=
n n n a ，求前n 项和n S 3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项
①形如)(1k n n a n +=
，可裂项成)1
1(1k
n n k a n +-=，列出前n 项求和消去一些项
②形如k
n n a n ++=1，可裂项成)(1
n k n k
a n -+=
，列出前n 项求和消去一些项 例：已知数列1)2()
1)(1(1
1=≥+-=
a n n n a n ，，求前n 项和n S
4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。

例：已知数列122-+=n a n
n ，求前n 项和n S
5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）
一、数列求通项公式的常见方法有：
1、关系法
2、累加法
3、累乘法
4、待定系数法
5、逐差法
6、对数变换法
7、倒数变换法 8、换元法 9、数学归纳法
累加法和累乘法最基本求通项公式的方法
求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累加法或累乘法求出通项公式。

二、方法剖析
1、关系法：适用于)(n f s n =型
求解过程：⎩⎨
⎧≥-===-)
2()
1(111n s s n s a a n n n
例：已知数列{}n a 的前n 项和为12
++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式
2、累加法：适用于)(1n f a a n n +=+——广义上的等差数列
求解过程：若)(1n f a a n n +=+
则)1(12f a a =- )2(23f a a =-
所有等式两边分别相加得：∑-==-1
1
1)(n k n k f a a 则∑-=+=1
1
1)(n k n
k f a a
例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥++=-n n a a n n ，{}
的通项公式，求n a a 11= 3、累乘法：适用于n n a n f a )(1=+——广义上的等比数列
求解过程：若n n a n f a )(1=+，则
)(1
n f a a n
n =+ ......
累加
则
)1()......2()1(1
2312
-===-n f a a f a a f a a n n ， 所有等式两边分别相乘得：
∏-==1
11)(n k n k f a a 则∏-==1
1
1)(n k n k f a a 例：已知数列{}n a 满足递推式)2(21≥=-n a a n n
n ，其中{}
的通项公式，求n a a 31= 4、待定系数法：适用于)(1n f pa a n n +=+
①形如)1,0,;,(1≠≠+=+p b p b p b pa a n n 为常数型（还可用逐差法）
求解过程：构造数列)(1k a p k a n n +=++，展开得k pk pa a n n -+=+1，因为系数相等，所以解方程b k pk =-得1-=
p b k ，所以有：)1
(11-+=-+
+p b
a p p
b a n n ，这样就构造出了一个以11-+
p b a 为首项，公比为p 的等比数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-+1p b a n 。

从而求得{}n a 的通项公式为1
)1(11---+
=-p b p p b a a n n 例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中{}
的通项公式求n a a ,21= ②形如)1,0,;,,(1≠≠++=+p b p c b p c bn pa a n n 为常数型
③形如)1,0,;,,,(2
1≠≠+++=+p b p d c b p d cn bn pa a n n 为常数型
④形如)1,;0,,;,,,(1≠≠+⋅+=+q p q p m d q p m d q m pa a n
n n 为常数型
⑤形如)1,;0,;,(12≠≠+=++q p q p q p qa pa a n n n 为常数型 5、逐差法：
形如)1,0,,,(1≠≠+=+p b p b p b pa a n n 为常数，可以把n 换成1-n 有b pa a n n +=-1，两
式相减得)(11-+-=-n n n n a a p a a ，这样就构造出了一个以12a a -为首项，公比为p 的等比数列{}n n a a -+1，再运用累加法求出{}n a 的通项公式
例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中{}
的通项公式求n a a ,21= 6、对数变换法：适用于)1(1≠=+q pa a q
n n 型
求解过程：①当1=p 时，)1(1≠=+q a a q
n n ，等式两边取对数有：)ln()ln(1q
n n a a =+，根据对数的运算法则有：)ln()ln(1n n a q a =+，这样就构造了一个以)ln(1a 为首项，公比为q 的等比数列{})ln(n a 。

从而求得{}n a 的通项公式为1
1
-=n q n a a
例：已知数列{}n a 满足递推式2
1n n a a =+，21=a ，求数列{}n a 的通项公式
②当1≠p 时，)1(1≠=+q pa a q
n n ，等式两边取对数有：)ln()ln(1q
n n pa a =+，根据对数的运算法则有：)ln(ln )ln(1n n a q p a +=+，再运用待定系数法求出通项。

例：已知数列{}n a 满足递推式3
12n n a a =+，21=a ，求数列{}n a 的通项公式
7、倒数变换法：适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例：已知数列{}n a 满足递推式4
21+=
+n n
n a a a ，21=a ，求数列{}n a 的通项公式 8、换元法：适用于含根式的递推公式 例：已知数列{}n a 满足递推式n n n a a a ++=
+12
1
1，21=a ，求数列{}n a 的通项公式 9、数学归纳法：通过首项和递推关系求出数列的前n 项，猜出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明
例：已知数列{}n a 满足递推式9
8
)32()12()1(812
1=++++=+a n n n a a n n ，，求数列{}n a 的通项公式
综合练习：
1、已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中154=a
（1）求1a ，2a ，3a ； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
变式：①若)2(21≥+=-n n a a n n ？ ②若)2(22
1≥+=-n n a a n n ？
③若)2(23221≥+⋅+=-n a a n n n ？思考：若)2(23
1≥+=-n n a a n n ？
2、设在数列{}n a 中，21=a ，n
n n a a a 22
21+=+，求数列{}n a 的通项公式；
3、数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a =1，)(21*
+∈=N n S a n n
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T ；
4、已知
n S 是数列
{}
n a 的前
n 项和，2
3
1=
a ，22=a ，),2(012311*-+∈≥=++-N n n S S S n n n 。

（1）求证{}1-n a 时等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
5、已知11=a ，)2(1
11
≥+=
--n na a a n n n ，求{}n a 的通项公式及前n 项和n S
6、已知数列{}n a 满足31=a ，()21211≥-=--n a a a n n n （1）求2a ，3a ，4a ； （2）求数列{}n a 的通项公式；。