切比雪夫Ⅰ型滤波器和切比雪夫Ⅱ型滤波器的对比

设计流程图如下：
设计思想：
首先设计一个源信号和一个混合信号，通过其频谱对比得出最大和最小通
带，最大和最小阻带;然后再根据得到的参数来设计切比雪夫滤波器，最后通过
切比雪夫Ⅰ型滤波器和切比雪夫Ⅱ型滤波器的对比来得出那种效果好。
切比雪夫滤波器设计原理：

设计一个源信号
设计一个混合信号
将两个信号转换成频谱图
将两个频谱图进行对比
分析设计带阻滤波器

对得出的波形进行分析
设计切比雪I型带阻滤波器 设计切比雪Ⅱ型带阻滤波器

得出结论
切比雪夫滤波器的振幅具有等波纹特性，它有两种形式：1)振幅特性在通
带内是等波纹的、在阻带内是单调的切比雪夫I 型滤波器；2)振幅特性在通带
内是单调的、在阻带内是等波纹的切比雪夫II型滤波器，采用何种形式的切比
雪夫滤波器取决于实际用途.
切比雪夫滤波器的设计方法就是将逼近精确度均匀分布在整个通带内，或
者均匀分布在整个阻带内，或者均匀分布在两者之内，这样就可以使滤波器阶
数大大降低。
切比雪夫I型滤波器平方幅度响应函数表示为:
2
)(jG
=[1+2C2N()]2/1

其中 <1(正数)，它与通带波纹有关,越大，波纹也越大；CN() 是切比
雪夫多项式，它被定义为：
CN()=cos(Narccos()),≤1, CN()=cosh(Narcosh()),>1.
而切比雪夫II型滤波器平方幅度响应函数表示为：
)(jG
2={1+2{ C2N()/[2N(/c)]2}}1
其中 <1(正数)，表示波纹变化情况；c为截止频率；N为滤波器的阶次,也
是 CN(N/) 的阶次。

源信号编码及其图形：
t=-1:0.01:1
y=(cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*40*t));
N=length(y);
fx=fft(y);
df=100/N;
n=0:N/2;
f=n*df;
subplot(2,1,1);
plot(f,abs(fx(n+1))*2/N); grid;
title('源波形频谱')
图（一）
混合信号编码及其图形：
t=-1:0.01:1;
X=(cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*40*t));
N=length(X);
fx=fft(X);
df=100/N;
n=0:N/2;
f=n*df;
subplot(2,1,2);
plot(f,abs(fx(n+1))*2/N); grid;
title('混合波形频谱')

图（二）
从图（一）和图（二）对比可以得出：为了能达到和满足我们的要求，我们取以
下的参数，最大通带wp2:0.5，最小通带wp1:0.05，最大阻带ws2:0.3，最小阻带
ws1:0.1。
切比雪夫Ⅰ型滤波器设计如下：
ws1=0.1*pi;ws2=0.3*pi; %滤波器的阻带截止频率
wp1=0.05*pi;wp2=0.5*pi; %滤波器的通带截止频率
Rp=1;As=20; %滤波器的通阻带衰减指标
%转换为模拟滤波器的技术指标
T=0.01;Fs=1/T;
Omgp1=(2/T)*tan(wp1/2);Omgp2=(2/T)*tan(wp2/2);
Omgp=[Omgp1,Omgp2];
Omgs1=(2/T)*tan(ws1/2);Omgs2=(2/T)*tan(ws2/2);
Omgs=[Omgs1,Omgs2];
bw=Omgp2-Omgp1;w0=sqrt(Omgp1*Omgp2); %模拟通带带宽和中心频率
ripple=10^(-Rp/20); %滤波器的通带衰减对应的幅度值
Attn=10^(-As/20); %滤波器的阻带衰减对应的幅度值
%模拟原型滤波器计算
[n,Omgn]=cheb1ord(Omgp,Omgs,Rp,As,'s') %计算阶数n和截止频率
[z0,p0,k0]=cheb1ap(n,Rp); %设计归一化的模拟滤波器原型
ba1=k0*real(poly(z0)); %求原型滤波器的系数b
aa1=real(poly(p0)); %求原型滤波器的系数a
[ba,aa]=lp2bs(ba1,aa1,w0,bw);
%用双线性变换法计算数字滤波器系数
[bd,ad]=bilinear(ba,aa,Fs)
%求数字系统的频率特性
[H,w]=freqz(bd,ad);
dbH=20*log10((abs(H)+eps)/max(abs(H)));
subplot(2,2,1);plot(w/pi,abs(H));
ylabel('|H|');xlabel('频率(\pi)');title('幅度响应');axis([0,1,0,1.1]);
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,0.2,0.3,0.7,0.8]);
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[0,Attn,ripple,1]);grid
图（三）
n =3

Omgn =16.1402 200.0000
bd =0.1698 -0.8703 1.9961 -2.5870 1.9961 -0.8703 0.1698
ad =1.0000 -2.5450 2.5332 -1.7356 0.9605 -0.0469 -0.1619
分析：由图（三）运行结果可知，最大通带0.5，最小通带0.05，最大阻带0.3，
最小阻带0.1;切比雪夫Ⅰ型滤波器的设计的个性技术指标精确度是均匀分布的。
而其幅度特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调下降的。虽然达到了所设计
滤波器的要求，滤除了我们不需要的波形，但是存在一些问题，如误差等。
切比雪夫Ⅱ型滤波器设计如下：
ws1=0.1*pi;ws2=0.3*pi; %滤波器的阻带截止频率
wp1=0.05*pi;wp2=0.5*pi; %滤波器的通带截止频率
Rp=1;As=20; %滤波器的通阻带衰减指标
%转换为模拟滤波器的技术指标
T=0.01;Fs=1/T;
Omgp1=(2/T)*tan(wp1/2);Omgp2=(2/T)*tan(wp2/2);
Omgp=[Omgp1,Omgp2];
Omgs1=(2/T)*tan(ws1/2);Omgs2=(2/T)*tan(ws2/2);
Omgs=[Omgs1,Omgs2];
bw=Omgp2-Omgp1;w0=sqrt(Omgp1*Omgp2); %模拟通带带宽和中心频率
ripple=10^(-Rp/20); %滤波器的通带衰减对应的幅度值
Attn=10^(-As/20); %滤波器的阻带衰减对应的幅度值
%模拟原型滤波器计算
[n,Omgn]=cheb2ord(Omgp,Omgs,Rp,As,'s')
[z0,p0,k0]=cheb2ap(n,As); %设计归一化的cheb2型模拟滤波器原型
ba1=k0*real(poly(z0)); %求原型滤波器的系数b
aa1=real(poly(p0)); %求原型滤波器的系数a
[ba,aa]=lp2bs(ba1,aa1,w0,bw); %变换为模拟带通滤波器
%用双线性变换法计算数字滤波器系数
[bd,ad]=bilinear(ba,aa,Fs)
%求数字系统的频率特性
[H,w]=freqz(bd,ad);
dbH=20*log10((abs(H)+eps)/max(abs(H)));
subplot(2,2,1);plot(w/pi,abs(H));
ylabel('|H|');xlabel('频率(\pi)');title('幅度响应');axis([0,1,0,1.1]);
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,0.2,0.3,0.7,0.8]);
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[0,Attn,ripple,1]);grid

图（四）
n =3
Omgn =25.7347 125.4348
bd =0.2179 -0.8532 1.5781 -1.8819 1.5781 -0.8532 0.2179
ad =1.0000 -2.2979 1.7456 -0.9183 0.8465 -0.3721 -0.0002
分析：由图（四）的运行结果可知，最大通带0.5，最小通带0.05，最大阻带0.3，
最小阻带0.1;所设计的切比雪夫Ⅱ型滤波器的各项技术指标精确度是均匀分布
的。而其幅度特性在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的。虽然也达到了所设
计滤波器的要求，滤除了我们不需要的并行，但是也还是存在误差，这是可以理
解的。
由图（三）和图（四）的运行结果对比来看，切比雪夫Ⅰ型滤波器在阻带跟通带
过渡时要比切比雪夫Ⅱ型滤波器过渡时平稳许多，所以切比雪夫Ⅰ型滤波器要比
切比雪夫Ⅱ型滤波器所做出来的效果要好。
在实际的生活用途中，我们要根据我们的不同需求和要工作的不同场合，来选择
切比雪夫Ⅰ型滤波器或者切比雪夫Ⅱ型滤波器，这样才能达到我们的要求，来满
足我们的各项需要。