湘教九年级上册 课件 1.3 一元二次方程的应用(2)
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初中数学湘教版九年级上册一元二次方程应用 课件PPT
初中数学湘教版九年级上册 《一元二次方程应用》 类型：获奖课件PPT
2.5 一元二次方程的应用
教学目标
知识与技能 1、会用列一元二次方程的方法解决有关增长率和利润问题； 2、以一元二次方程解决的实际问题为载体，初步掌握数学建模的基本 方法； 3、通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，体验数学建模的过程， 学会发现、提出日常生活、生产中可以利用一元二次方程来解决的 实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程。
5
当堂小结、课后练习
复习旧知、兴趣引入
解一元二次方程的方法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；
动脑筋
小明在生活中遇到这样的一个问题，聪明的你能帮他解决吗？
复习旧知、兴趣引入
金银花是隆回县的特产，但合理使用量十分有限，隆回县准备引进适 用的新技术来提高金银花的合理使用率，若2016年的使用率为40%，计 划到2018年的使用率达到90%，那么这两年金银花使用率的年平均增长 率是多少？（假定每年产生的金银花总量不变）
1、审题:审清题意:已知什么,求什么?已知,未知之间有什么关系; 2、设未知数:设未知数,语句要完整,有单位的要注明单位; 3、找等量关系:找出相等关系 4、列方程:列代数式,根据等量关系式列方程; 5、解方程:解所列的方程; 6、检验:是否是所列方程的解;是否符合题意; 7、作答:答案也必需是完整的语句,注明单位.
自主学习、夯实基础
基础巩固、练习
1、七江镇2015年水稻亩产为7200kg，2016年亩产增加了 10%，则2016年亩产表示为 7200(1+10%) kg。
2、某品牌手机每部进价a元，售价b元，利润为 b—a 元；若 降价x元后则每部利润为 b—a—x 元。
2.5 一元二次方程的应用
教学目标
知识与技能 1、会用列一元二次方程的方法解决有关增长率和利润问题； 2、以一元二次方程解决的实际问题为载体，初步掌握数学建模的基本 方法； 3、通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，体验数学建模的过程， 学会发现、提出日常生活、生产中可以利用一元二次方程来解决的 实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程。
5
当堂小结、课后练习
复习旧知、兴趣引入
解一元二次方程的方法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；
动脑筋
小明在生活中遇到这样的一个问题，聪明的你能帮他解决吗？
复习旧知、兴趣引入
金银花是隆回县的特产，但合理使用量十分有限，隆回县准备引进适 用的新技术来提高金银花的合理使用率，若2016年的使用率为40%，计 划到2018年的使用率达到90%，那么这两年金银花使用率的年平均增长 率是多少？（假定每年产生的金银花总量不变）
1、审题:审清题意:已知什么,求什么?已知,未知之间有什么关系; 2、设未知数:设未知数,语句要完整,有单位的要注明单位; 3、找等量关系:找出相等关系 4、列方程:列代数式,根据等量关系式列方程; 5、解方程:解所列的方程; 6、检验:是否是所列方程的解;是否符合题意; 7、作答:答案也必需是完整的语句,注明单位.
自主学习、夯实基础
基础巩固、练习
1、七江镇2015年水稻亩产为7200kg，2016年亩产增加了 10%，则2016年亩产表示为 7200(1+10%) kg。
2、某品牌手机每部进价a元，售价b元，利润为 b—a 元；若 降价x元后则每部利润为 b—a—x 元。
湘教版数学九年级上册一元二次方程根的判别式课件
b2－4ac.
知2－讲
知识点
2 一元二次方程根的类别
综上所知，我们不难发现一元二次方程a x2＋b x＋c＝0
( a ≠ 0 ) 的根的情况可由 =b2－4ac 来判断：
当＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1＝
, x2＝
.
2a
2a
当＝0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
b
x1＝x2＝
.
2a
当＜0时，原方程没有实数根.
知2－讲
例1
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) 3x2＋4x －3 = 0；
(2) 4x2 = 12x －9；
(3) 7y = 5 ( y2＋1 ).
解： (1) 因为=b2－4ac = 42 －4×3×(－3)
因为=b2－4ac = (－7) 2 －4×5×5
=49－100 =－51 ＜0，
所以，原方程没有实数根.
知2－讲
总 结
利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法：
先将一元二次方程化成一般情势 ax2＋bx＋c ＝0，
当方程中的a，b，c 是常数时，直接求出 = b2－4ac
的值， 确定方程根的情况；当方程中的a，b，c 含有
母，则应注意检验二次项系数是否为零.
3. 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、
有两个不等的实根、有两个相等的实根）.
知3－讲
例2 【中考·凉山】关于 x 的一元二次方程 ( m－2 )x2＋
2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( D )
A．m ≤3
B．m ＜3
知2－讲
知识点
2 一元二次方程根的类别
综上所知，我们不难发现一元二次方程a x2＋b x＋c＝0
( a ≠ 0 ) 的根的情况可由 =b2－4ac 来判断：
当＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1＝
, x2＝
.
2a
2a
当＝0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
b
x1＝x2＝
.
2a
当＜0时，原方程没有实数根.
知2－讲
例1
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) 3x2＋4x －3 = 0；
(2) 4x2 = 12x －9；
(3) 7y = 5 ( y2＋1 ).
解： (1) 因为=b2－4ac = 42 －4×3×(－3)
因为=b2－4ac = (－7) 2 －4×5×5
=49－100 =－51 ＜0，
所以，原方程没有实数根.
知2－讲
总 结
利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法：
先将一元二次方程化成一般情势 ax2＋bx＋c ＝0，
当方程中的a，b，c 是常数时，直接求出 = b2－4ac
的值， 确定方程根的情况；当方程中的a，b，c 含有
母，则应注意检验二次项系数是否为零.
3. 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、
有两个不等的实根、有两个相等的实根）.
知3－讲
例2 【中考·凉山】关于 x 的一元二次方程 ( m－2 )x2＋
2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( D )
A．m ≤3
B．m ＜3
新湘教版九年级上册课件 2.5一元二次方程的应用(2) (共15张PPT)
4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平 均每天能售出8台，为了配合“家电下乡”政策的 实施，决定采取适当的降价措施，调查表明：这 种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4 台，商场要想在销售中每天盈利4800元，同时又 要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ 解：设每台冰箱应降价x元， x 每件冰箱的利润是：(2400-2000-x)元，卖(8+ ×4)件， 50 x 列方程得：(2400-2000-x)(8+ ×4）=4800 50 即：x2-300x+20000=0， 解得：x1=200，x2=100； 要使百姓得到实惠，只能取x=200， 答：每台冰箱应降价200元．
答：该单位这次共有30名员工去张家界旅游。
1、某种商品，平均每天可销售20件，每件盈利 44元；若每件降价1元，则每天可多售5件。如果 每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 解：设每件降价x元， 那么降价后每件盈利(44-x)元，每天销售的数 量为(20+5x)件； 可列方程为：(44-x)(20+5x)=1600．
2、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件， 每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库 存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每 件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． 求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应 降价多少元？ 解：设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，据题意得: w=(40-x)(20+2x)=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+1250 （1）当w=1200时，-2x2+60x+800=1200， 解之得： x1=10，x2=20． 根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．
湘教版数学九年级上册课件：一元二次方程在面积问题和数字问题中的应用
2.［说一说］菱形的面积与它的两条对角线长具有怎 样的关系？
［点评］菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的 一半.
［引导］这节课我们将运用一元二次方程来解决一个 与菱形有关的问题.
建立一元二次方程模型解决实际问题 ［出示课件］一种铁栅栏护窗的正面是高为120 cm、宽为 100 cm的矩形，在中间有一个由4根铁条组成的菱形，如图13-1所示，菱形的水平方向的对角线比竖直方向的对角线长20 cm，并且菱形的面积是护窗正面矩形面积的 1 ，
第二章 一元二次方程
2.5 一元二次方程的应用
第2课时 一元二次方程在面积问题和数字问题中的应用
应用一元二次方程解决实际问题. 从实际问题中建立一元二次方程的模型.
一、创设情境，导入新课
1.［议一议］列方程解应用题的一步骤是什么？ ［点评2］列方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程， （5）检验，（6）作答.
1 x(x+20)=120×100× 1 ，解方程后即可知菱形的两条对角线的
2
5
长度.
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
5
（1）求菱形的两条对角线的长度； （2）求组成菱形的每一根铁条的长度.图1-3-1
［提示］（1）菱形的面积是护窗正面矩形面积的15，即菱
形的面积=120×100× 1 ,且菱形的面积等于它的两条对角线的长
5
的乘积的一半，若设菱形的竖直方向的对角线长为x cm，则它的
湘教版九年级上册数学教学课件 第2章一元二次方程 一元二次方程
练一练：下列方程中是一元二次方程的是（C ）
A.2x+1=0 B.y2+x=1 C.x2-1=0
D. 1 +x2=1 x
课程讲授
1 一元二次方程的定义及一般形式
问题2：根据一元二次方程的定义，试着归纳这个方程
的一般形式。
确保方程为一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 （a≠0）
方程的二次项是_a_x_2_，二次项系数是__a__
课程讲授
1 一元二次方程的定义及一般形式
例 下列方程： ①1－x2＝0； ②2(x2－1)＝3y； ③2x2－3x－1＝0； 其中是一元二次方程的是 ①③ .
提示：一元二次方程必须同时满足以下3个条件：①整式方程； ②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.
课程讲授
1 一元二次方程的定义及一般形式
第2章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.一元二次方程的定义及一般形式
2.建立一元二次方程模型
新知导入
试一试：在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）
与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高是2m，那
解 x(x-1)=420化为一般形式为x2-x-420=0，其中二次项系 数为1，一次项系数为-1，常数项为-420.
课堂小结
一元二次 方程
定义
等号两边都是整式，只含有一个未 知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
一般形式
ax2+bx+ c= 0（a≠0）
建立一元二 次方程模型
A.2x+1=0 B.y2+x=1 C.x2-1=0
D. 1 +x2=1 x
课程讲授
1 一元二次方程的定义及一般形式
问题2：根据一元二次方程的定义，试着归纳这个方程
的一般形式。
确保方程为一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 （a≠0）
方程的二次项是_a_x_2_，二次项系数是__a__
课程讲授
1 一元二次方程的定义及一般形式
例 下列方程： ①1－x2＝0； ②2(x2－1)＝3y； ③2x2－3x－1＝0； 其中是一元二次方程的是 ①③ .
提示：一元二次方程必须同时满足以下3个条件：①整式方程； ②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.
课程讲授
1 一元二次方程的定义及一般形式
第2章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.一元二次方程的定义及一般形式
2.建立一元二次方程模型
新知导入
试一试：在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）
与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高是2m，那
解 x(x-1)=420化为一般形式为x2-x-420=0，其中二次项系 数为1，一次项系数为-1，常数项为-420.
课堂小结
一元二次 方程
定义
等号两边都是整式，只含有一个未 知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
一般形式
ax2+bx+ c= 0（a≠0）
建立一元二 次方程模型
湘教版九年级数学上册 第2章 一元二次方程2.2.1 配方法解一元二次方程教学课件(共31张)
解得 x1=－1, x2=－9
新知探究
3.配方法解一元二次方程(二次项系数不为1)
对于二次项系数不为1 的我们又该怎么处理呢？
观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：
① x2 + 6x + 8 = 0 ; ② 3x2 +8x－3 = 0.
方程①我们很容易用配方法来解 x2 + 6x + 8 .
解：移项，得
解：对原式配方，得
1
[(a b) 2 (a c) 2 (b c) 2 ] 0
2
由代数式的性质可知
(a b) 2 0,(a c) 2 0,(b c) 2 0
a b c
所以，△ABC为等边三角形.
05
课堂小结
课堂小结
用配方法解一元二次方程：
移项
把常数项移到方程的右边
个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
新知探究
配方法的应用
一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出，
它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：
h=15t - 5t2.
小球何时能达到10m高？
解：将 h = 10代入方程 15t - 5t2 =10.
解：移项，得 3x 6 x 4
2
4
二次项系数化为1，得 x 2 x
3
配方，得
2
145
64
1
即 ( x 1)
3
2
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都
不成立，所以原方程无实数根．
新知探究
3.配方法解一元二次方程(二次项系数不为1)
2.5一元二次方程的应用+课件-2024-2025学年湘教版数学九年级上册
期该校平均每天作业时长每期的下降率为 ，则可列方程为（ B ）
A．120(1 − 2 ) = 60 B．120(1 − )2 = 60
C．60(1 + 2 ) = 120 D．60(1 + )2 = 120
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：
则每天可多售出10件，如果每天要盈利1 080元，则每件应降价多少元？
20 − 40 + 10 = 1080
设每件应降价x元，则依题意可列方程为______________________．
3.某县地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”
的赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元，
新知导入
等量关系：今年的利用率×(1+年平均增长率)2=后年的利用率
如果设这两年秸秆利用率的年平均增长率为x，那么明年的秸秆利
用率为多少，后年的秸秆利用率为多少？
明年的秸秆利用率为40%(1+x)
后年的秸秆利用率为40%(1+x)2
你能列出方程吗？
40%(1+x)2=90%
新知导入
解：设这两年秸秆利用率的年平均增长率为x，那么明年的秸
A．1000(1＋x)2＝3990
B．1000＋1000(1＋x)＋1000(1＋x)2＝3990
C．1000(1＋2x)＝3990
D．1000＋1000(1＋x)＋1000(1＋2x)＝3990
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，如果每件降价1元，
售价为x元，则可卖出(350-10x)件， 但物价局限定每件商品的
A．120(1 − 2 ) = 60 B．120(1 − )2 = 60
C．60(1 + 2 ) = 120 D．60(1 + )2 = 120
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：
则每天可多售出10件，如果每天要盈利1 080元，则每件应降价多少元？
20 − 40 + 10 = 1080
设每件应降价x元，则依题意可列方程为______________________．
3.某县地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”
的赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元，
新知导入
等量关系：今年的利用率×(1+年平均增长率)2=后年的利用率
如果设这两年秸秆利用率的年平均增长率为x，那么明年的秸秆利
用率为多少，后年的秸秆利用率为多少？
明年的秸秆利用率为40%(1+x)
后年的秸秆利用率为40%(1+x)2
你能列出方程吗？
40%(1+x)2=90%
新知导入
解：设这两年秸秆利用率的年平均增长率为x，那么明年的秸
A．1000(1＋x)2＝3990
B．1000＋1000(1＋x)＋1000(1＋x)2＝3990
C．1000(1＋2x)＝3990
D．1000＋1000(1＋x)＋1000(1＋2x)＝3990
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，如果每件降价1元，
售价为x元，则可卖出(350-10x)件， 但物价局限定每件商品的
湘教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共14张PPT)
解：设路宽为x m，则耕地的长应该为(30－x)m，宽应该为(20－ x)m，根据面积公式，得(30－x)(20－x)＝500.整理，得x2－50x＋ 100＝0
12．下列方程为一元二次方程的是( A )
A．x2－5x＝2
B．y2－2x＋1＝0
C．x2＋3x＝0
D．x2－2＝(x＋1)2
13．(2014·昆明)某果园 2011 年水果产量为 100 吨，2013 年水果
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
9．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言作为纪
念，全班学生共写了 1560 份留言．如果全班有 x 名学生，根据题意，
列出方程为( C ) A.x（x－2 1）＝1560 C．x(x－1)＝1560
B.x（x＋2 1）＝1560 D．x(x＋1)＝1560
10．现有一块长 80 cm、宽 60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪
18．已知关于 x 的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0，当 m_≠_±__2___时， 它是一元二次方程；当 m__＝__－__2___时，它是一元一次方程. 19．把下列方程化成一般形式，并分别指出它们的二次系数、一次项 系数和常数项： (1)－x2＋3x＝5； (2)( 3－2x)( 3＋2x)＝(x＋2)2. 解：(1)化为一般形式为x2－3x＋5＝0，二次项系数为1，一次项 系数为－3，常数项为5 (2)化为一般形式为5x2＋4x＋1＝0，二次项系数为5，一次项系 数为4，常数项为1
12．下列方程为一元二次方程的是( A )
A．x2－5x＝2
B．y2－2x＋1＝0
C．x2＋3x＝0
D．x2－2＝(x＋1)2
13．(2014·昆明)某果园 2011 年水果产量为 100 吨，2013 年水果
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
9．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言作为纪
念，全班学生共写了 1560 份留言．如果全班有 x 名学生，根据题意，
列出方程为( C ) A.x（x－2 1）＝1560 C．x(x－1)＝1560
B.x（x＋2 1）＝1560 D．x(x＋1)＝1560
10．现有一块长 80 cm、宽 60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪
18．已知关于 x 的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0，当 m_≠_±__2___时， 它是一元二次方程；当 m__＝__－__2___时，它是一元一次方程. 19．把下列方程化成一般形式，并分别指出它们的二次系数、一次项 系数和常数项： (1)－x2＋3x＝5； (2)( 3－2x)( 3＋2x)＝(x＋2)2. 解：(1)化为一般形式为x2－3x＋5＝0，二次项系数为1，一次项 系数为－3，常数项为5 (2)化为一般形式为5x2＋4x＋1＝0，二次项系数为5，一次项系 数为4，常数项为1