材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
qx4
ql 12
x3
C x D 1
1
C 材料力学方程和挠曲线方程
EIq 1 qx3 ql x2 ql3
6
4 24
EIw 1 qx4 ql x3 ql3 x 24 12 24
6 梁的最大挠度：根据对称性
E Iw m a x E Iw |2 l 2 1 4 q 2 l 4 1 q 2 l 2 l 3 q 2 l4 3 2 l 3 5 8 q 4 lE 2 I
第9章 平面弯杆弯 曲 变 形与刚度计算 9.1 挠曲线 挠度和转角 9.2 挠曲线近似微分方程 9.3 积分法求梁的变形 9.4 叠加法求梁的变形 9.5 梁的刚度条件与合理刚度设计 9.6 用变形比较法解简单超静定梁
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
9.1 挠曲线 挠度和转角
1、梁的变形特点
平面假设
1 M z (x)
EI z * 思考：
1、若M常量
2、 若MM（x）
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
9.3 积分法求梁的变形
1、挠曲线方程（弹性曲线）
EIw (x)M (x)
EIw (x)M (x)dxC 1
E Iw (x ) (M (x )d x )d x C 1 x C 2
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
q
小变形（小挠度）
C
挠曲线
P x
w(x)
w(x)
C1
挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线
挠曲线方程
挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移 w w(x)
转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度 qtanqdwx
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
dx
符号给定： 正值的挠度向下，负值的向上；正值的 转角为顺时针转相，负值的位逆时针转向
2、边界条件、连续条件
A w
D w
a
P C
B
L
x
P
L
x
x0,w0 xL,w0 x a , w1 w2
w1 w2
x0,w0
x0,wq0
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
EIw(x)M(x)
* 注意问题
什么时候需要分段积分？
如何确定极值？
L1
A
C
L2
P
B
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
例9.1 求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转
B
2 求出弯矩方程
w m ax
x
Mxql x1qx2
22
3 微分方程的积分
w
FA
ql 2
L
FB
ql 2
4 边界条件、连续条件
EIw (x)M x1qx2qlxEIw(0) 0 D1 0
2 2 EIw(l) 0
EIw
1 6
qx3
ql 4
x2
C1
1 24
ql4
ql 12
l3
C1l
D1
0
EIw
1 24
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
弹性曲线方程 w(x) Px2 (3Lx)
6EI
P L
x
最大挠度及最大转角
w
qmax
q(L)
PL2 2EI
wmax
w(L)
PL3 3EI
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
例9.2 均布荷载下的简支梁，EI已知，求挠度及两端
截面的转角。
q0
解：1 确定反力
A
7 梁两端的转角
EIqA EIq|x0q2l43
EIqB
EIq|xl
1ql3qll2ql3 ql3
6 4 24 材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
24
例9.3 集中力下的简支梁，EI已知，求挠曲线方程
和转角方程，最大挠度及最大转角。
a
解：1 确定反力
2 求出弯矩方程
A
M1 x
FAy x
Fb l
x
x 0,a
F b l 2 b 2 x 6l
6 最大转角
E Iq A
E Iq
|x 0
Fab l
6l
b
E Iq B
E Iq
|x l
Fab 6l
l
a
if a b th en
q m ax
q B
Fab 6 lE I
l
a
if a b th en
q m ax
F l2 16EI
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
角。 弯矩方程
L
P
M (x)P(Lx)
x
微分方程的积分
w
E I w ( x ) M ( x ) P ( L x ) 边界条件、连续条件
EIw1 2P(Lx)2C1 EIw1 6P(Lx)3C1xC2
EIw(0)16PL3C2 0
EIw(0)1 2PL2C10
C1
1 2
P L2
C2
1 6
PL3
C2EIw2(l) 0
连续条件
D1 0
Fbl3 1Fl
6l 6 C2l D2 0
a3
再积分一次：
EIw1 (a)EIw2 (a) C1C2
EIw1
Fb 6l
x3
C1x
D1
EIw2
Fb 6l
x3
1 6
F
x
a3
EIw1(a)EIw2(a) 积分成数为 D1 D2 0
D1D2
C2 x D2
C1
C2
Fb 6l
l2 b2
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
5 梁的转角方程和挠曲线方程
EIw1
Fb 2l
x2
Fb 6l
l2 b2
E Iw2
Fb 2l
x2
1 2
F
x
a 2
F b l 2 b 2 6l
EIw1
Fb 6l
x3
Fb 6l
l2 b2
x
EIw2
Fb 6l
x3
1 6
F
x
a 3
M2
x
Fb l
x
F
x
a
x a,l
3 微分方程的积分
l
FA
Fb l
EIw1(x)M1xFlbx
F D
B
FB
Fa l
EIw2(x)M2
x
FbxF xa l 材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
积分一次：
4 边界条件、连续条件
EIw1 EIw2
Fb 2l
x2
C1
Fbx2 1Fxa2
2l 2
边界条件 EIw1(0) 0
2，意义
工业厂房钢筋混凝土吊梁
[f] L ~ L 500 600
普通机车主轴
[q]0.30
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
3，影响变形的因素
L1时 0,Q的影响M的 只 3% 有 h
由小变形条件 x不 ，计
4，计算变形的方法
积分法、 叠加法、 能量法、
………
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
9.2 挠曲线近似微分方程
6 最大挠度
w h e n w 1 0
F b x 2 F b l 2 b 2 0 2l 6l
x
l2 b2
a l b
a a 2b
3
3
3
if a b then x a
1、挠曲线近似微分方程
1 M z (x)
EI z
M>0
d
2w(x) dx2
0
1(1 ww (x2))32小变形 w(x)
w2 1 w(x)Mz(x)
o
EIz
M<0
d
2w(x) dx2
0
x
w(x) Mz(x) EIz
w ( x )
挠曲线近似微分方程
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
EIw (x)M (x)
材料力学简明教程(景荣春)课后答案第九章
解 设各杆与铅垂线夹角为 θ ，则由平衡的各杆的受力
130
3FN cosθ = F ， FN =
设钢管材料为 Q235，则
F F 2 .5 5 F = ⋅ = = 0.417 F 3 cos θ 3 2 12
= 269 > λp D2 + d 2 30 2 + 22 2 × 10 −3 π 2 EI π 3 E (D 4 − d 4 ) π 3 × 210 × 10 9 × (30 2 − 22 2 )× 10 −12 Fcr = = = = 9.37 kN 2 64 × 2.5 2 (μl )2 64(μl ) Fcr F 1 1 9.37 × 10 3 [F ] = = × = × = 7.49 kN 0.417 0.417 [n]st 0.417 3 i = =
2
127
比值差不多时较有利。 9-8 从稳定性的角度考虑，一般压杆截面的周边取圆形较为合理，但可以是空心或实 心的。如规定压杆横截面面积相同，则： (1) 从强度方面看，它们有无区别？为什么？ (2) 从稳定性方面看，哪一种截面形式较为合理？为什么？ (3) 如果空心圆形截面较合理的话，是否其内、外半径越大越好？ 答 (1) 从强度方面看，它们无区别。因为 σ = F / A 。 (2) 从稳定性方面看，空心截面形式较为合理，因空心截面惯性矩较大。 (3) 如果空心圆形截面较合理的话，其内、外半径不是越大越好，因为在面积一定的情 况下，内、外半径太大了会造成薄壁失稳。 9-9 如何进行压杆的合理设计？ 答 （1） 选择合理的截面形状； （2） 改变压杆的约束条件； （3）合理选择材料。 9-10 满足强度条件的等截面压杆是否满足稳定性条件？满足稳定性条件的压杆是否 满足强度条件？为什么？ 答 （1） 因为强度条件是 σ < [σ ] =
第9章__梁的挠度和刚度计算
第9章__梁的挠度和刚度计算在结构分析中，梁的挠度和刚度是非常重要的参数，它们能够帮助我们了解和评估梁的性能和稳定性。
本章主要介绍了梁的挠度和刚度的计算方法。
首先，我们需要了解梁的挠度是什么。
简单来说，梁的挠度指的是梁在承受荷载时的弯曲和垂直变形程度。
挠度大小反映了梁的柔软性和变形能力，对于结构工程来说，挠度必须在允许范围内，以保证结构的安全和稳定。
梁的挠度计算可以通过简化的工程解析方法或者数值计算方法来进行。
这里主要介绍两种常用的方法。
第一种方法是基于简化的工程解析方法，即梁的挠度计算公式。
根据梁的几何形状和受力情况，可以得到不同类型梁的挠度计算公式。
例如，对于简支梁，其挠度可以用以下公式计算：δ=(5*q*L^4)/(384*E*I)其中，δ是梁的最大挠度，q是梁的单位长度荷载，L是梁的长度，E是梁的弹性模量，I是梁的截面惯性矩。
对于其他类型的梁，如悬臂梁、连续梁等，也有相应的挠度计算公式。
通过这些公式可以得到梁的最大挠度。
第二种方法是使用数值计算方法，主要是有限元法。
有限元法是一种通过将结构分割成若干小单元，然后进行位移解和力学分析的方法。
通过有限元软件，可以模拟梁在荷载作用下的变形情况，并得到挠度的数值解。
此外，在梁的挠度计算中，还需要考虑梁的边界条件。
梁的边界条件决定了梁的约束程度，也会影响梁的挠度大小。
常见的边界条件包括简支、悬臂、固支等。
在梁的刚度计算中，主要考虑的是梁的弯曲刚度和剪切刚度。
弯曲刚度指的是梁在弯曲过程中对外力的抵抗能力，可以用弯矩-曲率关系来表示。
剪切刚度指的是梁在受剪力作用下的变形能力，可以用剪力-变形关系来表示。
梁的弯曲刚度和剪切刚度分别可以通过以下公式计算：弯曲刚度：EI=M/θ剪切刚度：GA=T/ϕ其中，E是梁的弹性模量，I是梁的截面惯性矩，G是梁的剪切模量，A是梁的横截面积，M是梁的弯矩，θ是梁的曲率，T是梁的剪力，ϕ是梁的剪应变。
通过计算弯曲刚度和剪切刚度，我们可以评估梁在荷载作用下的响应和变形情况，进一步判断结构的性能和稳定性。
材料力学梁的挠度和刚度计算课件
桥梁刚度反映了桥梁结构抵抗变形的能力。刚度计算可以帮助工程师了解桥梁在不同载荷作用下的变形情况，从 而优化结构设计，提高桥梁的承载能力和稳定性。
梁的挠度和刚度在房屋建筑中的应用
房屋挠度
在房屋建筑中，挠度对建筑物的安全 性和稳定性具有重要影响。通过计算 和分析挠度，可以确保建筑物在使用 过程中不会发生过大的弯曲和变形， 从而保证居住者的安全。
泊松比与挠度
泊松比是衡量材料横向变形能力的 参数。泊松比越大，梁在受到压力 时横向变形越大，导致挠度增加。
剪切模量与刚度
剪切模量反映了材料抵抗剪切应力 的能力。剪切模量大的材料具有较 大的刚度，能够更好地抵抗变形。
材料的弹性模量对挠度和刚度的影响
01
弹性模量与挠度
弹性模量是衡量材料抵抗弹性变形能力的参数。弹性模量越大，梁在受
03
梁的挠度计算方法
挠度的计算公式
挠度计算公式：$y = frac{Fl^4}{48EI}$
$I$：梁的惯性矩 $E$：材料的弹性模量
$F$：施加在梁上的力 $l$：梁的长度
挠度的计算步骤
确定施加在梁上的力 $F$和梁的长度$l$。
将已知数值代入挠度 计算公式进行计算。
确定材料的弹性模量 $E$和梁的惯性矩$I$ 。
材料的泊松比对挠度和刚度的影响
泊松比与横向变形
泊松比描述了材料在受到压力时横向变形的程度。泊松比 越大，横向变形越明显，这可能对梁的挠度和刚度产生影 响。
泊松比与交叉应力
在分析梁的挠度和刚度时，需要考虑由于泊松比引起的交 叉应力效应。这种效应会影响梁的剪切力和弯矩分布，从 而影响挠度和刚度。
泊松比与材料非线性的考虑
梁的刚度定义
刚度
第9章 钢筋混凝土构件的变形、裂缝及混凝土结构的耐久性习题答案
第9章 钢筋混凝土构件的变形和裂缝9.1选择题1．下面的关于受弯构件截面弯曲刚度的说明错误的是（ D ）。
A ． 截面弯曲刚度随着荷载增大而减小；B ． 截面弯曲刚度随着时间的增加而减小；C ． 截面弯曲刚度随着变形的增加而减小；D ． 截面弯曲刚度不变；2．钢筋混凝土构件变形和裂缝验算中关于荷载、材料强度取值说法正确的是（B ）。
A ． 荷载、材料强度都取设计值；B ． 荷载、材料强度都取标准值；C ． 荷载取设计值，材料强度都取标准值；D ． 荷载取标准值，材料强度都取设计值；3．钢筋混凝土受弯构件挠度计算公式正确的是（ D ）。
A ．sk B l M S f 2=；B ．B l M S f k 2=；C ．sq B l M S f 2=；D ．B l M S f q 2=；4．下面关于短期刚度的影响因素说法错误的是（ B ）。
A ．ρ增加，sB 略有增加；B ．提高混凝土强度等级对于提高s B 的作用不大；C ．截面高度对于提高s B 的作用的作用最大；D ．截面配筋率如果满足承载力要求，基本上也可以满足变形的限值；5．《混凝土结构设计规范》定义的裂缝宽度是指：（ B ）。
A ． 受拉钢筋重心水平处构件底面上混凝土的裂缝宽度；B ． 受拉钢筋重心水平处构件侧表面上混凝土的裂缝宽度；C ． 构件底面上混凝土的裂缝宽度；D ． 构件侧表面上混凝土的裂缝宽度；6．减少钢筋混凝土受弯构件的裂缝宽度，首先应考虑的措施是（ A ）。
A ． 采用直径较细的钢筋；B ． 增加钢筋的面积；C ． 增加截面尺寸；D．提高混凝土强度等级；7．混凝土构件的平均裂缝间距与下列哪个因素无关（ A ）。
A．混凝土强度等级；B．混凝土保护层厚度；C．纵向受拉钢筋直径；D．纵向钢筋配筋率；8．提高受弯构件截面刚度最有效的措施是（ D ）。
A．提高混凝土强度等级；B．增加钢筋的面积；C．改变截面形状；D．增加截面高度；9．关于受弯构件裂缝发展的说法正确的是（ C ）。
《材料力学》第9章 压杆稳定 习题解
第九章压杆稳定习题解之马矢奏春创作[习题9-1]在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆, 按图a所示坐标系及挠度曲线形状, 试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形状时,用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同,式又是否相同.解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关, 与挠曲线的位置无关.因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系, 所以它们的挠曲线微分方程相同, 都是（c）、(d)的坐标系相同, 它们具有相同的挠曲显然, 这微分方程与（a）的微分方程分歧.临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两真个支领情况有关, 与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关.因此, 以上四种情形的临界力具有相同的公式,[习题9-2]图示各杆资料和截面均相同, 试问杆能接受的压力哪根最年夜, 哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？解：由这公式可知,和截面相同的压杆,平方成反比, 其中.（a（b（c（d（e（f故图e, 图f.[习题9-3]图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接, 但第一根杆（图a）的基础放在弹性地基上,刚性地基上.2.螺旋千斤顶（图c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时, 把它看作下端固定（固定于底座解：临界力与压杆两真个支领情况有关.因为(a)的下支座分歧于(b)的下支座, .(b)为一端固, 其临界力为：可是, (a), 它因此, ., 我们无妨设下支座（B）且无侧向位移, 则：解得：用试算法得：因此, 2.这与弹性支座的转动刚度C有关, C越小, .螺旋千斤顶的底座与空中不是刚性连接, 即不是固定的.它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止.当轴向压力不是很年夜, 或空中较滑时, 底座与空中之间有相对滑动, 此时, 不能看作固定端；当轴向压力很年夜, 或空中很粗拙时, 底座与空中之间无相对滑动, 此时, 可以看作是固定端.因此, 校核丝杆稳定性时, 把, 下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适.这种情况.譬因此, , 把它看作下端固定, 而是偏于危险.[习题9-4].[解]：设压杆向右弯曲.压杆处于临界状态时, 两真个竖向反力水平反力为0, 约束反力偶矩两端相等,, 下标end 的意思.若取下截离体为研究对象,逆转.则上述微分方程的通解为：.(a)把A 、B 的值代入（a ）得：因此：[习题9-5]长m 5的10号工字钢, 在温度为C 00时装置在两个固定支座之间, 这时杆不受力.已知钢的线膨胀系数107)(10125--⨯=C l α,GPa E 210=.试问当温度升高至几多度时, 杆将丧失稳定性？解：[习题9-6]两根直径为d 的立柱, 上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接, 如图所示.试根据杆真个约束条件, 分析在总压力F 作用下, 立柱可能发生的几种失稳形态下的挠曲线形状, 分别写出对应的总压力F 之临界值的算式（按细长杆考虑）, 确定最小临界力cr P 的算式.解：在总压力F 作用下, 立柱微弯时可能有下列三种情况： （a ）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：（b ）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳失稳时整体在面内弯曲, 则1, 2两杆组成一组合截面.（c ）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳故面外失稳时cr P 最小：243128l Ed P cr π=.[习题9-7]图示结构ABCD 由三根直径均为d 的圆截面钢杆组成, 在B 点铰支, 而在A 点和C 点固定, D为铰接点, π10=d l .若结构由于杆件在平面ABCD 内弹性失稳而丧失承载能力, 试确定作用于结点D 处的荷载F 的临界值.解：杆DB 为两端铰支, 杆DA 及DC 为一端铰支一端固定, 选取.此结构为超静定结构, 当杆DB 失稳时结构仍能继续承载, 直到杆AD 及DC 也失稳时整个结构才丧失承载能力, 故[习题9-8]图示铰接杆系ABC 由两根具有相同截面和同样资料的细长杆所组成.若由于杆件在平面ABC 内失稳而引起毁坏, 试确定荷载F 为最年夜时的θ角（假设20πθ<<）.解：要使设计合理, 必使AB 杆与BC 杆同时失稳,即：[习题9-9]下端固定、上端铰支、长m l 4=的压杆, 由两根10号槽钢焊接而成, 如图所示, 并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求.已知杆的资料为Q235钢, 强度许用应力MPa 170][=σ, 试求压杆的许可荷载.解：查型钢表得：[习题9-10]如果杆分别由下列资料制成：（1）比例极限MPa P 220=σ, 弹性模量GPa E 190=的钢；（2）MPa P 490=σ, GPa E 215=, 含镍3.5%的镍钢；（3）MPa P 20=σ, GPa E 11=的松木.试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度.解：（1）（2）（3）[习题9-11]两端铰支、强度品级为TC13的木柱, 截面为150mm ×150mm 的正方形, 长度m l 5.3=, 强度许用应力MPa 10][=σ.试求木柱的许可荷载.解：由公式（9-12a ）：[习题9-12]图示结构由钢曲杆AB 和强度品级为TC13的木杆BC 组成.已知结构所有的连接均为铰连接, 在B 点处接受竖直荷载kN F 3.1=, 木材的强度许用应力MPa 10][=σ.试校核BC 杆的稳定性.解：把BC 杆切断, 代之以轴力N,则由公式（9—12b ）得：因为st ][σσ<, 所以压杆BC 稳定.[习题9-13]一支柱由4根mm mm mm 68080⨯⨯的角钢组成（如图）, 并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求.支柱的两端为铰支, 柱长m l 6=, 压力为kN 450.若资料为Q235钢, 强度许用应力MPa 170][=σ,试求支柱横截面边长a 的尺寸.解：（查表：,） , 查表得：Am 4 =mm[习题9-14]某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体, 并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求, 截面形式如图所示, 资料为Q235钢, MPa 170][=σ.若按两端铰支考虑, 试求杆所能接受的许可压力.解：由型钢表查得角钢： 得查表：故[习题9-15]图示结构中, BC 为圆截面杆, 其直径mm d80=；AC 边长mm a 70=的正方形截面杆.已知该结构的约束情况为A 端固定, B 、C 为球形铰.两杆的资料均为Q235钢, 弹性模量GPa E 210=, 可各自自力发生弯曲互不影响.若结构的稳定平安系数5.2=st n , 试求所能接受的许可压力.解：BC 段为两端铰支, 1=μ AB 杆为一端固定, 一端铰支, 7.0=μ故kN F 376][=[习题9-16]图示一简单托架, 其撑杆AB 为圆截面木杆, 强度品级为TC15.若架上受集度为的均布荷载作用, AB 两端为柱形铰, 资料的强度许用应力, 试求撑杆所需的直径d . 解：取m m -以上部份为分离体, 由, 有设, m 则求出的与所设基秘闻符, 故撑杆直径选用m.[习题9-17]图示结构中杆AC 与CD 均由Q235钢制成, C , D 两处均为球铰.已知mm, mm, mm ；,, ；强度平安因数, 稳定平安因数.试确定该结构的许可荷载.解：（1）杆CD 受压力3F F CD = 梁BC 中最年夜弯矩32F M B =（2）梁BC 中（3）杆CD（Q235钢的)100=P λ =（由梁力矩平衡得）故, 由（2）、（3）可知, kN F 5.15][=[习题9-18] 图示结构中, 钢梁AB 及立柱CD 分别由16号工字钢和连成一体的两根mm mm mm 56363⨯⨯角钢组成, 杆CD 符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求.均布荷载集度m kN q /48=.梁及柱的资料均为Q235钢, MPa 170][=σ,GPa E 210=.试验算梁和立柱是否平安.解：（1）求过剩约束力CD F把CD 杆去失落, 代之以约束反力CD F .由变形协调条件可知,查型钢表得：16号工字钢的41130cm I z =, 3141cm W z =mm mm mm 56363⨯⨯L 形角钢的面积：2143.6cm A =, 417.23cm I z =, cm i z 94.1=（2）梁的强度校核)(8165.36kN R B = （↑）AC 段：x x Q 488165.36)(-=；2248165.36)(x x x M -=令 0488165.36)(=-=x x Q , 得：那时m x 767.0=,创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日 CBx0 1 2 3 4 M 0.000 14.119 12.817 -22.367 12.817 14.119 0.000所以符合正应力强度条件, 即平安.（3）立桩的稳定性校核而且所以压杆会失稳.不服安.。
材料力学——第9章(平面弯曲杆件的变形与刚度计算)
a
A
x1
F C
b
Fa l
当 a＞b 时——
6lEI
B
max
x2
Fab( l a ) max B 6lEI 当 a＞b 时——最大挠度发生在AC段
0 x l 2 b2 3 a( a 2b ) 3
xa
最大挠度一定在左侧段
x x
max 1
2 Fb 1 ( x x ) ( l b 2 )3 9 3 EIl
19
Fb l
讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。 左 1 max 1 0 x1 0 右 2 max 2 0 x 2 l 侧 侧 Fab( l b ) Fab( l a ) 段： 1 max A 段： 2 max B 6lEI
§9-1 挠曲线 挠度和转角
§9-2 挠曲线的近似微分方程
§9-3 积分法求梁的变形 §9-4 叠加法求梁的变形 §9-5 梁的刚度条件与合理刚度设计 §9-6 用变形比较法解简单超静定梁
1
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核； ②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。
式中，C1、D1是积分常数，可通过梁的边界条件（支座 的约束条件）确定。
梁上有集中力、集中力偶以及间断性分布荷载作用时，弯 矩方程需分段写出，各梁段的挠曲线近似微分方程也不同。积 分常数还要利用连续性条件，才能求出。 7
二、位移边界条件
A F C B F D
支座位移条件： A 0 B 0 Nhomakorabea
18
⑸跨中点挠度及两端端截面的转角
x L 2
材料力学-第9章 能量法
材料力学里的虚功原理： 变形体受力处于平衡状态时，外力在虚位移上所作的功 （外力虚功）等于内力在虚变形上作的功（内力虚功）
外力q在虚位移 上作功
q
=
应力 在虚应变 上作用 * 若外力虚功不等于内力虚功，则外力作功未完全转化为结构 应变能，受力不平衡
材料力学－第9章 能量法
§9-3 虚功原理、内力虚功
材料力学－第9章 能量法
§9-1 功与应变能的基本概念
轴向拉压
dx
对于拉伸和压缩杆件，微段的应变能为
FN
FN
dVε
1 FN d 2
Vε＝
dx+dδ
l 1 l 1 l 1 F 1 FN d FN dx FN dx FN N dx 0 2 0 2 0 2 0 2 E EA l
材料力学－第9章 能量法
§9-2 互等定理
思考题：
根据功的互等定理和位移互等定理对下列结构完成等式
?=?
材料力学－第9章 能量法
§9-2 互等定理
思考题：
根据功的互等定理和位移互等定理对下列结构完成等式
?=?
材料力学－第9章 能量法
§9-2 互等定理
思考题：
根据功的互等定理和位移互等定理对下列结构完成等式
?=?
材料力学－第9章 能量法
§9-2 互等定理
例题
A
Me
B
l
图示静不定梁，承受弯矩作用。利用功的互等 定理确定B端的支反力。设弯曲刚度EI为常数。
材料力学－第9章 能量法
§9-2 互定理
解：
Me A B FR M e
将支座B解除，代以支反力FR
。
将力偶Me和支反力FR作为一组力， 另外施加力F作为第二组力
材料力学第9章 梁的挠度和刚度计算-挠度例题
6 梁的最大挠度：根据对称性
EIwmax
EIw
|l
2
1 24
q
l
4
2
ql 12
l
3
2
ql 3 24
l 2
5ql 2 384EI
7 梁两端的转角
EIq A
EIq
|x0
ql 3 24
EIqB
EIq
|xl
1 6
ql 3
ql 4
l2
ql 3 24
ql 3 24
例9.3 集中力下的简支梁，EI已知，求挠曲线方程
when w1 0
Fb x2 Fb l2 b2 0 2l 6l
x
l2 b2
al b
a a 2b
3
3
3
if a b then x a
Fb
wmax w1( x ) 9 3EIl
l2 b2 2
if a b then x a
wmax
Fl 3 48EI
例、试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求
F
x
a 3
EIw1(a) EIw2(a)
积分成数为
D1 D2 0
D1 D2
C2 x D2
C1
C2
Fb 6l
l2 b2
5 梁的转角方程和挠曲线方程
EIw1
Fb 2l
x2
Fb 6l
l2 b2
EIw2
Fb 2l
x2
1 2
F
x
a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Fb l2 b2 6l
EIw1
Fb 6l
和转角方程，最大挠度及最大转角。 a
材料力学 第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章 压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定 限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很 大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其 强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态， 临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加 支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程 及荷载值。 用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑： （1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑； （2）假设压杆处在线弹性状态； （3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是， 梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。 （4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。
材料力学-梁的挠度 PPT
最大挠度及最大转角
max(a)
Pa2 2EI
a
P
L
x
fmax f(L)6PE2aI3La
f
[例3] 试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并
求C截面挠度和A截面转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。
解：1．外力分析：求支座约束反力。 研究梁ABC，受力分析如图，列平衡方程：
m F yA R R A B R l B FF 1 .5 0 l0 R R B A 1 .0 5.F 5F
二、结构形式叠加（逐段刚化法）
2.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
支点位移条件：
fA 0 fB 0
连续条件： fC fC
光滑条件： 讨论：
C
C
fD 0 D 0
或写 fC 左成 fC 右
或 写 C 左 成C 右
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。
[例1] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
P L
建立坐标系并写出弯矩方程
x
x
M (x)P(xL)
f
写出微分方程并积分
应用位移边界条件求积分常数
E f I M (x ) P (L x ) EfI1 2P(Lx)2C1
大家有疑问的，可以询问和交
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EfI (x) M (x)
§7-3 积分法计算梁的位移