2009级高数(下)试题及答案
下册东北大学高数期末考试试题
2008~2009学年第二学期试题一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则[ ] (A)(0,0)3dzdx dy =-；(B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-；(C)曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3)；(D) 曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1)2. 设10 (1,2,)n u n n≤<=L ，则下列级数中必收敛的是[ ](A)1n n u ∞=∑； (B)1(1)nnn u∞=-∑； (C)1n ∞= (D)21(1)nnn u∞=-∑.3. 如果81lim1=+∞→nn n a a ，则幂级数∑∞=03n n n x a [ ](A) (B)(C) (D) .4. 设Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域，则222x y z dv Ω++⎰⎰⎰= [ ] .(A) 545a π； (B) 44a π； (C) 543a π； (D) 525a π.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 .2. 函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的全微分为 .3. 已知曲线L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则曲线积分()Lx y ds +⎰= .4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22z x y =+所围立体的体积为 .5. 设∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分，则曲面积分()234x y z dS ∑++⎰⎰= . 6. 设()f x 是周期为4的周期函数，它在[2,2)-上的表达式为0, 20()3, 022x f x x -≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，()f x 的Fourier 级数的和函数为()s x ，则(4)s = .三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1. 求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且与平面0x y z ++=垂直的平面方程.2. 设z = f (e x sin y , x 2 + y 2), 其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.3. 设(,,)F x y z 具有连续偏导数，且对任意实数t 有(,,)F tx ty tz (,,)k t F x y z =(k 为自然数)，试证:曲面(,,)0F x y z =上任意一点的切平面相交于一定点(设在任意点处2220x y z F F F ++≠).4. 计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y x =，2y x =所围成的闭区域.5. 将函数()arctan f x x =展开成关于x 的幂级数，并求展开式成立的区间. 四、 (8分) 设曲线积分[]⎰-+BA x dy x f ydx x f e )()(与路径无关，且21)0(=f ，求)(x f ，并求当A ，B 分别为（0，0），（1，1）时的曲线积分值.五、(8分) 计算积分222(I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是抛物面22z x y =+被平面4z =截下的有限部分的下侧.六、(8分) 3．(10分)平面通过球面x 2 + y 2 +z 2 = 4(x 2y 2z )的中心, 且垂直于直线L : 00x y z =⎧⎨+=⎩, 求平面与球面的交线在xOy 平面上的投影, 并求投影与(1,4, 1)点的最短和最长距离.七、(6分) )判断级数111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的敛散性.解答一、1. 【解】应选择C.),(),,(0000y x f y x f y x 存在只是全微分存在的必要条件，故A 是错误的。
2009级高等数学（下）考试试题及参考答案_A_
扬州大学2009级《高等数学I （2）》统考试题(A)卷班级班级 学号学号 姓名姓名 得分得分一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1．设函数),(y x f 在),(00y x 处不连续，则【处不连续，则【 】(A)),(y x f 在),(00y x 处必不可微处必不可微 (B)),(lim ),(),(00y x f y x y x ®必不存在必不存在 (C)),(0y x f 必不存在必不存在 (D)),(0y x f x¢与),(00y x f y¢必不存在必不存在2．设函数),(y x f z =在点)0 ,0(处具有偏导数，且3)0 ,0(=¢xf ，1)0 ,0(=¢yf ，则【则【 】(Ａ) yx z d d 3d )0,0(+=(Ｂ) 曲面),(y x f z =在点))0 ,0(,0,0(f 的法向量为)1 ,1 ,3( (Ｃ) 曲线îíì==0),(y y x f z 在点))0 ,0(,0 ,0(f 的切向量为)3 ,0 ,1( (Ｄ) 曲线îíì==0),(y y x f z 在点))0 ,0(,0 ,0(f 的切向量为)1 ,0 ,3( 3．设L 是2y x =上从)0,0(O 到)1,1(A 的一段弧，则22d d Lxy x x y +=ò【 】(Ａ) 2 (Ｂ) 1- (Ｃ) 0 (Ｄ) 1 4．设函数),(y x f 连续，且y x y x f xy yx f Ddd ),(),(òò+=，其中D 是由是由 2 ,1 ,0x y x y ===所围成的闭区域，则=),(y x f 【 】(A) 81+xy (B) xy (C) xy 2 (D)1+xy 5．下列级数中，发散的是【．下列级数中，发散的是【 】(Ａ) å¥=+1)11ln(1n nn (Ｂ) å¥=++112 2n nn n n (Ｃ) å¥=12sin n nn (Ｄ) å¥=1!n nn n 6．若幂级数nn n x a )1(1+å¥=的收敛半径为R ，则nn n x a 21å¥=的收敛半径为【的收敛半径为【 】 (Ａ) R (Ｂ) 2R (Ｃ) 1-R (Ｄ) R题号题号 选择题选择题 填空题填空题 13～14 15～16 17～19 20～21 22～23 扣分扣分扣分2-e xy-．．被三坐标面割下的面积为．．处取得极大值．处取得极大值．的收敛区间为．，yxxyz15．计算y x y x Dd d )cos(òò+，其中D 是由直线x y =，0=y 及2p=x 所围成的闭区域．所围成的闭区域．16．计算曲线积分s e Ly xd22ò+，其中L 为圆周222a y x =+， 直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．扣分扣分17. 求半球面223y x z --=与旋转抛物面)(2122y x z +=所围立体的体积．所围立体的体积．18．计算曲面积分S z xòòSd 2，其中S 为球面4222=++z y x被平面1=z 截出的顶部．截出的顶部．19. 计算曲面积分y x z z x z y z y x d )d 3( d d 2 d d 2-++òòS， 其中S 是锥面22y x z +=位于平面1=z 下方部分的下侧．下方部分的下侧．扣分扣分扣分20．求幂级数å¥=----112112)1(n n n n x 的收敛域及和函数，并求å¥=----1113 )12()1(n n n n ．21．将函数2234)(x x x f -+=展开成)2(-x 的幂级数，并指出展开式的成立范围．扣分扣分( -nnz z 6¶¶222000z y x 0z y x 000z y x xyz z y x z y x 222z y x z y x l l l15．原式y x y x D d d )cos(1òò+=y x y x D d d )cos(2òò+-+…………………………………………………………(2(2分) 其中}40 ,2|),{(1pp££-££=y y x y y x D }24 ,2|),{(2pp p££££-=x x y x y x D x y x y yy d )cos(d 240òò-+=p py y x xx xd )cos(d 224òò--+-p p p ……………………………………(4(4分))421()214(pp---=12-=p ……………………………………………………………………………………(6(6分)16．s e Ly x d22ò+s e s e s e L y x L y x Ly x d d d 322222122òòò+++++=………………………………(1(1分)其中其中 )0( 0 :1a x y L ££=，)40( sin ,cos :2p ££==t t a y t a x L ，)220( :3a x x y L ££= 且 1d d 1d 002122-==×=òòò++aax ax L y x e x e x es ea a Lyxae t a e s e 4d d 42220p p=×=òò+1d 2d 22022322-=×=òò++aa x x L y x e x es e…………………………………………………………(5(5分) 故 s e Ly xd22ò+aaa a aae e e ae e 4)1(2141pp+-=-++-= ……………………(6(6分)17．所围立体W 在xOy 面上的投影区域2:2222£+y x Dxy．òòòW =V V d …………………………………………………………………………………………………………………………………………(1(1分)z d d d 222132020òòò-=r r pr r q ………………………………………………………………………………………………(4(4分) r r r r p )d 21-3(22220-=òp )3532(-=……………………………………………………(6(6分)18．原式y x y x y x x xyD d d 42422222----=òòy x x y x d d 23222òò£+=……………………(3(3分)òò×=302220d cos d 2r r q r q pp 29=…………………………………………………………………………(6(6分) 19．设1S 为平面) 1 ( 122£+=y x z 的上侧，W 为S 和1S 所围成的空间闭区域，所围成的空间闭区域，则y x z z x z y z y x d )d 3( dd 2 d d 21-++òòS +S v z d 2òòòW=y x z z zD d d 2 d 1òòò=ò×=102d 2 z z z p 2p= ……………………………………(3(3分)又y x z z x z y z y x d )d 3( d d 2 d d 21-++òòS y x y x d d 2122òò£+-=p 2-=故原式)2(2p p--=p 25=……………………………………………………………………………………………………(6(6分)20．nn n u u1lim+¥®12)1(12)1(lim 12112--+-=--+¥®n x nx n nn n n =2x 当12<x 即1<x 时，幂级数绝对收敛；当12>x 即1>x 时，幂级数发散；时，幂级数发散；所以收敛半径1=R ，收敛区间)1 ,1(-． 当1=x 时，原级数为å¥=---1112)1(n nn ，收敛；，收敛； 当1-=x 时，原级数为å¥=--112)1(n nn ，收敛；，收敛；故原级数的收敛域为]1 ,1[- ……………………………………………………………………………………………………(3(3分)设 å¥=----=112112)1()(n n n n x x S ，)1 ,1(-Îx ， 则 å¥=---=¢1221)1()(n n nxx S 211x +=， x x S a r c t an )(=Þå¥=----=112112)1(n n n n x ，)1 ,1(-Îx ……………………………………(5(5分) 在上式中，令31=x 得 6)31()31(121)1(1211p==---¥=-åS n n n n 故 å¥=----1113 )12()1(n n nn p 63=……………………………………………………………………………………………………(6(6分)3x (32-)p d )(4òxy p 214ò=21tan ò21ò=å--11)1(nn å11n 发散；发散； å-1)1(n 为一交错级数，收敛；为一交错级数，收敛； nn+. 。
高等数学试卷-00023 2009年10月真题及答案
全国2009年10月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1. 向量a ={-1，-3，4}与x 轴正向的夹角α满足（ ）A. 0<1<α<2πB. α=2π C. 2π<α<π D. α=π2. 设函数f (x , y )=x +y, 则点（0，0）是f (x ,y )的（ ）A. 极值点B. 连续点C. 间断点D. 驻点3. 设积分区域D ：x 2+y 2≤1, x ≥0, 则二重积分⎰⎰D ydxdy 的值（ ） A. 小于零B. 等于零C. 大于零D. 不是常数 4. 微分方程xy ′+y =x +3是（ ）A. 可分离变量的微分方程B. 齐次微分方程C. 一阶线性齐次微分方程D. 一阶线性非齐次微分方程 5. 设无穷级数∑∞=1n p n收敛，则在下列数值中p 的取值为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6. 已知向量a ={3，0，-1}和b ={1，-2，1} 则a -3b =___________.7. 设函数z =2x 2+y 2，则全微分dz=___________.8. 设积分区域D 由y =x , x =1及y =0所围成，将二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为直角坐标下的二次积分为___________. 9. 微分方程y ″+3y =6x 的一个特解y *=___________.10. 无穷级数14332232323232+++++n nΛ+…的和为___________. 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11. 求过点（-1，-2，3）并且与直线223-=-=z y x 垂直的平面方程. 12. 求曲线x =t , y =t 2, z =t 3在点（1，1，1）处的切线方程.13. 求函数f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2在点P （1，2，1）处的梯度.14. 设方程e z -x 2y +z =3确定函数z =z (x , y ), 求xz ∂∂. 15. 计算二重积分⎰⎰--Dy x dxdy e 22，其中积分区域D ：x 2+y 2≤2. 16. 计算三重积分⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中积分区域Ω是由x =0, y =0, z =0及x +y +z =1所围成.17. 计算对坐标的曲线积分⎰++C dy x y xdx )(, 其中C 为从点（1，0）到点（2，1）的直线段.18. 计算对面积的曲面积分⎰⎰∑xyzdS ，其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2(a >0). 19. 求微分方程(1+x )dx -(1+y )dy =0的通解.20. 求微分方程y ″+ y ′-12y =0的通解.21. 判断级数∑∞=+⋅13)1(2n n n n 的敛散性. 22. 求幂级数∑∞=12n n n x 的收敛区间. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23. 求函数f (x , y )=x 3+3xy 2-15x -12y 的极值点.24. 求曲面z=22y x +(0≤z ≤1)的面积.25. 将函数f (x )=ln(1+x )展开为x 的幂级数.。
2009级高等数学第二学期期末试卷 A类170学时.
2009级高等数学第二学期期末试卷（A 类，170学时）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 已知 ()()dy y x bx dx y x ay 22+++ 是某函数的全微分，则 （ ） （A ）a b =； （B ）a b =-； （C ）b a 2=； （D ）2b a =。
2. 设S 为球面：2222x y z R ++=的外侧，在下列四组积分中，同一组的两个积分均为零的是： （ ）（A ）⎰⎰S dS x 2，⎰⎰S dydz x 2； （B ）⎰⎰S xdS ，⎰⎰Sxdydz ；（C ）⎰⎰S xdS ，⎰⎰S dydz x 2； （D ）⎰⎰S xydS ，⎰⎰Sydzdx 。
3. 设L 为圆422=+y x ，则()=-⎰ds y x L2232 （ ）（A ）π27； （B ）π27-； （C ）π8； （D ）π8-。
4. 设有无穷级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑，那么 （ ）（A ）当lim 0n n n a b →∞=时，1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑中至少有一收敛； （B ）当lim 1n n n a b →∞=时，1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑中至少有一发散； （C ）当lim 0n n na b →∞=时， 1n n b ∞=∑收敛⇒1n n a ∞=∑收敛； （D ）当lim n n n a b →∞=∞时，1n n b ∞=∑发散⇒1n n a ∞=∑发散。
5. 设幂级数1n n n a x ∞=∑与1n n n b x ∞=∑收敛半径分别为1与2，则幂级数1()n n n n b na x n∞=+∑的收敛半径为 （ ）（A ）1 ； （B ）2； （C ）3； （D ）无法确定。
二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设向量场()()()()k j i xyz cxz z z xy by x axz z y x F 2,,222-+-++++=，其中a 、b 和c 是常数。
武科大-2009级多学时高数期末试题与解答A
武科大-2009级多学时高数（二）期末试题与解答A2009级本科高等数学（二）期末试题与解答 A（本科、理工类多学时）、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1 •偏导数f x （x, y ）和f y （x,y ）在（x °,y 。
）处连续是函数f （x, y ）在该点全微分存在的（A ） A.充分条件； B. 必要条件； C.充要条件； D.无关条件•2.二重积分I 二f （x, y ）d 二，化为极坐标系下的二次积分为 （D ）x 21 O y 2 -2 xA. 2-d 0 f(rcos<\rsin Rdr ;2B. 2-：d of(rcos<\rsinv)rdr ;222x （y - 0），线密度为'（x, y ） = x y ，则其质量为（B ）JI2cos 日C. 心d° J f(rcos^,rsin日)dr2：d 「-—I_22cosVf (r cos 日,rsin 日)rdr . 2 23.现有一半圆弧构件L : x yA.二;B. 2-;C.2 2:x yI4•若曲面- z 2D. 8 .，则 (x^ y 2 z 2)dS =( C )A. pa 4;B.2pa 4;C.4pa ; D. 6pa 4.2 25•已知函数f (x y, xyp x y 则辿4也2辺 B ），则；x: y（）n ±7.幂级数2的收敛半径为R 二收敛于一2A. 2x 2y ;B.2x - 2 ； C .2x-2y ； D. 2x 2.、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）x 3 y 2 z 一与平面x-2 1 6•直线32y 2z Q = Q 的交点为(o, -4,1).8•设f （X ）是周期为JI|x,（0的周期函数，它在区间（0/ ］上定义为f （x ）二H，则 f （x ） 的傅立叶级数在兰x 兰兀）J I9.变换积分次序J 。
2009级高数下期末试卷
2009-2010学年第二学期《高等数学》期末试卷一、填空题（每小题4分，共32分）1. 设()2,1,2-=a ，向量x 与a 平行，且18-=⋅x a ，则=x。
2. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=22222x z y x z 在xOy 平面上的投影曲线为 。
3. 设()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+--=21,21,1ln ,222222y x A y x y x y x f ，要使()y x f ,处处连续，则=A 。
4. 曲线3231,2,t z t y t x ===在点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,2,1处的切线方程是 。
5. 二次积分()dy y x f dx x ⎰⎰-21010,在极坐标系下先对r 积分的二次积分为 。
6. 设∑：2222R z y x =++，则=⎰⎰∑dS z 2 。
7. 设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤=121,0210,x x x x f ，已知()x S 是()x f 的以2为周期的正弦级数展开式的和函数，则 =⎪⎭⎫ ⎝⎛47S 。
8. 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为21C e C y x += ，其中21,C C 为独立的任意常数，则该方程为 。
二、计算题（每小题6分，共30分）1. 设()y x y x f x z -+=,2，其中()v u f ,有连续二阶偏导数，求x z ∂∂和y x z ∂∂∂2。
2. 设Ω是由z y x ≤+22及41≤≤z 所确定的有界闭区域。
试计算⎰⎰⎰Ω=zdv I 。
3. 计算曲线积分⎰+-L xdy ydx ，式中L 是由点()b a A ,沿直线段到()0,0O 再沿直线段至()a b B , （0≠ab ）。
4. 判别级数()∑∞=--1121n nn n 是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？5. 求方程y xy x y '=-22的通解。
三、综合题（满分38分）1. （8分）设()x f 二阶连续可微，且()00=f ，()10=' f ， 试确定()x f ，使方程()[]()[]01=+'-+dy x x f ydx x f 是全微分方程。
2009高等数学下试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008--2009学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
将答案写在横线上） 1．微分方程"2'40y y y ++=的通解为_______________。
（今年不作要求） 2．设y z x =，则dz = 。
3．设L 是圆周221x y +=，L 取逆时针方向,则 2Lydx xdy +=⎰Ñ__________。
4．设0,||3,||1,||2a b c a b c ++====u r, 则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= 。
5. 级数1(1)n n ∞-=-∑是____________级数(填绝对收敛,条件收敛或发散)。
二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
）1．过点(2,3,1)-且垂直于平面2310x y z +++=的直线方程是（ ）A ．231231x y z -++==B ．231231x y z -+-==-- C．231231x y z -+-== D ．231231x y z ---==- 2．设22()z y f xy =+-，其中()f u 是可微函数,则zy ∂=∂ （ ）A ．22'12()yf x y +-B ．22'12()yf x y --C ．2222'1()()x y f x y +--D ．222'1()y f x y -- 3．下列级数中收敛的是（ ）A ．1n ∞=B ．11n nn ∞=+∑C ．112(1)n n ∞=+∑D ．n ∞=4. 设Ｄ：4122≤+≤y x ，f 在D 上连续，则⎰⎰+Dd y x f σ)(22在极坐标系中等于（ ）Ａ. dr r rf ⎰21)(2π Ｂ. dr r rf ⎰212)(2πＣ. ⎰⎰-1222])()([2dr r f r dr r f r π Ｄ. ⎰⎰-1222])()([2dr r rf dr r rf π5. 一曲线过点，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率ln xk y x=-，则此曲线方程为（ ）A. 21ln 22x y e=B. 21ln 21)2x y e =C. 21ln 2122x y x e =+ D. 21ln 2x y e =三．计算题（本大题共6小题，每小题5分， 共30分）1．已知2sin()z y xy x =+，求z x∂∂，2z x y ∂∂∂。
09级高数(下)期末考试题及参考答案
09级高数（下）期末考试题及参考答案一、选择题（每小题2分, 共计12分） 1. 微分方程 是( B )（A ）可分离变量方程 （B ）齐次方程 （C ）一阶线性方程 （D ）伯努利方程2. 函数 的定义域是（ A ）（A ）}1),{(22<+=y x y x D （B ）}1),{(22≥+=y x y x D （C ）}1),{(22=+=y x y x D （D ）}1),{(22≤+=y x y x D 3. 对于函数 , 在点 处下列陈述正确的是( C )（A ）偏导数存在⇒连续 （B ）可微⇔偏导数存在 （C ）可微⇒连续 （D ）可微⇔偏导数连续4. 设 : 则三重积分 等于（ B ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππρϕϕρϕθd d d （B ）⎰⎰⎰ππρϕϕρϕθ202013cos sin d d d（C ）⎰⎰⎰2012sin ππρϕρϕθd d d （D ）⎰⎰⎰ππρϕϕρϕθ2013cos sin d d d5. 设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成, L 取负方向, 函数 在D 上具有一阶连续偏导数, 则 A （A ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Q y P )(（B ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x P y Q )( （C ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy y Q x P )( （D ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy y P x Q )( 二、填空题（每小题2分, 共计12分） 1. 微分方程 的通解为___ ____.2. 设函数 , 则 。
3. 交换积分次序后, ____ ____4. 设平面区域D ： , 则5．设曲线L 是连接 和 的直线段, 则曲线积分 ____ 6. 函数 在 处的泰勒级数为____ _____. 三、求解下列问题（每题7分, 共63分） 1. 求微分方程 的通解 解：令 , 则 , , 分离变量: 两边积分, 得 即 , , 2.设 , 求222y xy x y x x z +++=∂∂，222y xy x y x y z +++=∂∂所以 =∂∂+∂∂y z y x z x 2222y xy x xy x +++2222yxy x y xy ++++2= 3. 设 , 且 具有二阶连续偏导数.求 解： , ,)(2221212112xf f y f xf f yx z++++=∂∂∂2221211)(xyf f f y x f ++++= 4. 求椭球面 在点（1, 1, 1）处的切平面方程和法线方程。
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南昌大学 2009～2010学年第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设()2,3,5a=--，(),1,1b λ=-若a b ⊥，则λ=_____.2. 空间曲线cos xt =，sin y t =，z t =在点,,224π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线方程是_________________. 3. 计算积分220sin yxI dy dx xππ==⎰⎰_______. 4. 设级数1n n a ∞=∑收敛，1n n b ∞=∑发散，则级数()1n n n a b ∞=+∑必是________.5. 函数214y x=+展开成x 的幂级数为__________.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 直线223314x y z -+-==-与平面3x y z ++= 的关系是 （ ）（A ）直线在平面上（B ）直线与平面平行但直线不在平面上 （C ）直线与平面垂直 （D ）直线与平面相交但不垂直2．函数(),z f x y =在点()00,x y 处可微分，则（ ）（A ）(),f x y 在点()00,x y 处具有连续偏导数（B ）(),f x y 在点()00,x y 处不一定连续（C ）()lim ,→→00x x y y f x y 存在（D ）(),f x y 在点()00,x y 的任一邻域内有界3．设ln =yx z，则==01x y dz = （ ）（A ）e （B ）dx dy --（C ）dx dy -+ （D ）x x e ydx e dy ---+4．若级数()13nn n a x ∞=-∑在1x =处收敛，则此级数在4x =处 （ ）（A ）敛散性不确定 （B ）发散（C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5．函数3322339z x y x y x =-++-的极大值点为（ ）（A ）()1,2 （B ）()3,0- （C ）()1,0 （D ）()3,2-三、(本题满分8分) 求通过两点()11,1,1M 和()20,1,1M -且垂直于平面1xy z ++=的平面方程．四、(本题满分8分) 设(),yzxf xy e =，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ∂∂和2z x y∂∂∂．五、(本题满分8分)计算二重积分D⎰⎰，其中D 是由圆周22x y Ry += ()0R >所围成的闭区域．六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分()231L x y ds -+⎰，其中L 是直线2y x =-从点()1,3--到()1,1-的直线段．七、(本题满分9分)计算曲面积分333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑是球面2222xy z R ++=的外侧．八、(本题满分9分) 求微分方程244x y y y e '''-+=的通解．九、(本题满分9分)求幂级数41141n n xn +∞=+∑的收敛域及和函数．十、(本题满分11分) 已知函数(),uu x y =有2222ax y x y bdu dx dy x y x y+-+=-++．（1）求a 、b 的值；（2）计算2222L ax y x y bI dx dy x y x y+-+=-++⎰，其中L 为221xy +=取正向．南昌大学 2009～2010学年第二学期期末考试试卷及答案一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设()2,3,5a=--，(),1,1b λ=-若a b ⊥，则λ=4.2. 空间曲线cos xt =，sin y t =，z t =在点,,224π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线方程是x y z π---3. 计算积分22sin yxIdy dx xππ==⎰⎰1.4. 设级数1n n a ∞=∑收敛，1n n b ∞=∑发散，则级数()1n n n a b ∞=+∑必是发散.5. 函数214y x=+展开成x 的幂级数为()2114n nn n x ∞+=-∑.三、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 直线223314x y z -+-==-与平面3x y z ++= 的关系是 （ A ）（A ）直线在平面上（B ）直线与平面平行但直线不在平面上 （C ）直线与平面垂直 （D ）直线与平面相交但不垂直2．函数(),z f x y =在点()00,x y 处可微分，则（ C ）（A ）(),f x y 在点()00,x y 处具有连续偏导数（B ）(),f x y 在点()00,x y 处不一定连续（C ）()lim ,→→00x x y y f x y 存在（D ）(),f x y 在点()00,x y 的任一邻域内有界3．设ln =yx z，则==01x y dz = （ C ）（A ）e （B ）dx dy --（C ）dxdy -+ （D ）x x e ydx e dy ---+4．若级数()13nn n a x ∞=-∑在1x =处收敛，则此级数在4x =处 （ D ）（A ）敛散性不确定 （B ）发散（C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5．函数3322339zx y x y x =-++-的极大值点为（ D ）（A ）()1,2 （B ）()3,0- （C ）()1,0 （D ）()3,2-三、(本题满分8分) 求通过两点()11,1,1M 和()20,1,1M -且垂直于平面1xy z ++=的平面方程．解: 设已知平面法向量为1n ，则()11,1,1n =，()121,0,2M M =取()1122,1,1nn M M =⨯=--所求平面方程为()()()21110x y z -----=即20xy z --=四、(本题满分8分) 设(),yzxf xy e =，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ∂∂和2z x y∂∂∂．解: 令u xy = yv e =u zf x y f x∂=+∂ ()22y yu v u uu uv z xf e f xf xy xf e f x∂=++++∂五、(本题满分8分)计算二重积分D⎰⎰，其中D 是由圆周22x y Ry += ()0R >所围成的闭区域．解:sin 2002R Dd d πθθρ=⎰⎰⎰⎰()3333320214c o s 339R R d R R πθθπ=--=-⎰ 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分()231L x y ds -+⎰，其中L 是直线2y x =-从点()1,3--到()1,1-的直线段．解: ()()112312321L x y ds x x -⎡-+=--+⎣⎰⎰()1171x d x -=-+=七、(本题满分9分) 计算曲面积分333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑是球面2222x y z R ++=的外侧．解:()3332223x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰245000123sin 5R d d r dr R ππθϕϕπ==⎰⎰⎰八、(本题满分9分) 求微分方程244x y y y e '''-+=的通解．解: 先求440y y y '''-+=的通解特征方程为2440rr -+=，特征根122r r ==，所以对应齐次方程的通解为()212x x Y C C e =+又设非齐次方程的特解为22x y Ax e *=，则12A =，所以特解为2212x y x e *= 所以244x y y y e '''-+=的通解为：()2221212xxy Y y C C x ex e *=+=++ 九、(本题满分9分)求幂级数41141n n x n +∞=+∑的收敛域及和函数．解: （1）()()1limn n n u x u x +→∞=4544145lim41n n n x n x x n ++→∞+=+当41x<时，即11x -<<时原级数绝对收敛当1x =时，级数化为1141n n ∞=+∑，发散当1x =-时，级数化为1141n n ∞=-+∑，发散所以收敛域为()1,1-（2）设41141n n x n +∞=+∑的和函数为()S x ，则()4141444111()41411n n nn n n x x x S x x n n x ++∞∞∞==='⎛⎫''==== ⎪++-⎝⎭∑∑∑又()00S=，所以()44111ln arctan 4121xx x S x dx x x x x+==-++--⎰ ()1,1x ∈-十、(本题满分11分)已知函数(),u u x y =有2222ax y x y bdu dx dy x y x y+-+=-++．（1）求a 、b 的值； （2）计算2222L ax y x y b Idx dy x y x y+-+=-++⎰， 其中L 为221xy +=取正向．解: （1）()222222P x axy y y x y ∂--=∂+，()2222222Q x xy bx y x x y∂-+-=∂+要使P Qy x∂∂=∂∂，所以1a =，0b = （2）2222202L x y x y I dx dy d x y x yπθπ+-=-=-=-++⎰⎰。