超静定梁结构非线性大变形问题的优化算法与应用

收稿日期： 2014 － 03 － 01 基金项目： 国家科技支撑计划项目 （ 2011BAJ02B05 － 05 ） ； 辽宁省自然科学基金项目 （ 201102181 ） 博士后， 主要从事非线性结构动力学与控制等方面研究 ． 作者简介： 侯祥林（ 1962 —） ， 男， 教授，
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沈阳建筑大学学报（ 自然科学版）
Optimization Algorithm for Solving Nonlinear Large Deformation Problem of Indeterminate Beam
HOU Xianglin， WANG Jiele ， LI Qi， SUN Hong
（ School of Traffic and M echanical Engineering ， Shenyang Jianzhu University ， Shenyang ， China， 110168 ）
个 子 段 为 研 究 对 象，其 左 端 点 坐 标 为 Yk － 1 ） ， Yk ） ， Sk － 1 （ Xk － 1 ， 右端点坐标为 S k （ X k ， Y k － 1 ） 为原点建立 以子段左端点 S k － 1 （ X k － 1 ， 其位置以变形曲线切线和 局部坐标系 o'x k y k ， 则变形梁的第 法线方向为新的 x k 轴和 y k 轴， k 子段， 可看成左端为固定端的悬臂梁小变形 问题， 故可通过各子段的静力学平衡方程来构 造未知量约束力和各未知坐标的函数关系． 略去剪力和轴力作用， 将子段按纯弯曲梁 处理， 若使右端点弯矩为子段梁弯矩， 其大小为 M k = F A （ X － X k － 1 ） － F（ X k － 1 － X ） ． （ 2 ） 由式 ρk = EI / Mk 可得 设子段弯曲为圆弧，
大变形条件下的结构约束力， 解决实际工程中的具体问题． 方法 以超静定悬臂梁力 学模型为研究对象， 建立变形平衡条件下的坐标位置方程 ． 将梁变形后的节点未知坐 标和未知的多余约束力作为设计变量 ， 局部变形分析， 构建满足坐标关系函数方程的 Power目标函数， 建立求解超静定梁大变形问题的优化求解方法 ． 结果 运用 FortranStation 软件编写优化求解通用计算程序， 超静 分别求得在 P y = 20 和 P y = 40 条件下， 定梁结构的位移和转角变形量． 将计算算例优化结果与 ANSYS 有限元计算结果进行 分析对比， 得出最大位移的相对误差在 5% 以下， 最大转角的相对误差在 7. 5% 以下， 验证了算法的有效性和精确性． 结论 针对梁的超静定大变形问题提出的优化求解算 法， 有效地解决超静定大变形梁等工程结构的约束力求解 ， 为实际工程中具体问题提 供了新算法． 关键词： 超静定梁； 非线性大变形； 优化算法； 程序设计 中图分类号： TU322 文献标志码： A
Fig. 2
1. 2
建立超静定悬臂梁各微段在整体坐标 系下坐标函数关系 S k 点的位置由 S k － 1 点 在整体坐标系下，
* *

位置和第 k 微段的转角与位移描述， 第k子
图1 Fig. 1 超静定悬臂梁大变形前后的平衡状态图 Equilibrium diagram of hyperstatic cantilever beam w ith large deformations
第 30 卷
and the relative error of the maximum rotation less than 7. 5% ， w hich verify the validity and accuracy of the proposed algorithm． The optimization algorithm of indeterminate beam large deformation provides a basis for the actual project specific issues． Key words： statically indeterminate beam ； geometric nonlinear large deformation； optimization algorithm ； program design 随着新型材料的发展， 工程结构形式由 原来的刚性结构逐渐转变为柔性结构， 同时 也向着高耸、 轻型、 大跨度发展． 柔性结构具 有不可忽略的几何非线性， 在力学模型上表 现为结构的刚度小， 柔性大， 需要将结构转化 成非线性系统计算． 对柔性结构大变形问题， 以小变形为基础的计算方法不再适用， 解析 解的表达也很困难， 故工程实际中大多采用 数值方法来求解
［9 ］
1
超静定悬臂梁的力学模型
另一 超静定悬臂梁结构， 一端为固定端、
端为链杆约束， 设梁结构上某一点受集中力 作用， 梁的弯曲刚度为 EI， 且该结构是一个 具有一次超静定的大变形问题（ 见图 1 ） ． 当梁变形前， 梁结构的平衡位置为虚线 OA ， 将整个梁分 N 个子段， 每个子段长度为 Δs = l / N， 第 k 个子段右端点坐标为 S k （ X k ， Y k = 0 ． 受载荷产生变形后的平 Yk ） ， X k = k Δs ， 衡位置为实线 OA'． 设平衡状态下整体坐标 系为 OXY， 每个子段右端点在整体坐标系中
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． Y · J · Hu
［6 ］
采用弧坐
标公式， 建立了满足连续条件和初始位移下 的大变形梁的非线性力学模型， 应用微分求 积单元法 （ DQEM ） 分析与多变量的不连续 条件得到一组 DQEM 离 散 代 数 方 程 组． 李 彬
［7 ］
． 由于工程实际中超静定梁结构的大
变形问题更为常见， 研究这类问题的一般求 解算法与分析程序更有实际应用价值， 因此 笔者以具有一端固定、 一端为链杆约束的超 静定梁结构为研究对象， 通过以分段小变形 叠加的思想来展开非线性大变形问题的优化 算法研究， 并结合 ANSYS 有限元软件作分 析对比， 验证笔者提出的算法的合理有效性 ．
A 支座将向 轴力， 变形前后梁总长保持不变，
第5 期
侯祥林等： 超静定梁结构非线性大变形问题的优化算法与应用
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左移动一段距离， 各点新位置将是未知约束 超静定梁末端点未知 力 F A 及其横坐标 X ， 横坐标 X
* j * n * kd
Δyk ） 表达式 第 k 子段的转角（ θk ） 和位移（ Δxk ， Δθ k = ΔS ， ρk Δx = ρ sinΔθ ， k k k Δy k = ρ k （ 1 － cosΔθ k ） ．
（ 1）
* * X* X* X0 ， X1 …， X* 式中： f（ F A ， kd ， N ， k － 1 ） 为未知
约束力及各离散点未知横坐标的函数表示 ．
图2
第 k 子段在局部坐标系下变形分析图 Defomation analysis of k section local coordinate system
采用绝对坐标法并结合有限元思想建
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立大变形梁的离散动力学方程， 并通过能量 法验证了该算法的有效性． 蔡袁强 在研究 强夯过程的动力学响应中采用拉格朗日坐标 描述建立大变形梁几何非线性的有限元模 型， 通过改进边界条件， 液化单元网格， 获得 了稳定的计算结果． 针对一般超静定梁结构问题可采用结构 力学中力法原理转化为静定结构， 建立力法 方程 δ if X j + Δ if = 0 ， 确定未知约束力， 通过建 立梁的挠度方程或应用单位载荷法等方法求 解任意位置点的位移， 其计算条件是横向位 置坐标点不变
Δx k ， Δy k ， 则 Sk 段的转角与位移分别为 Δθ k ， 点的转角和坐标由递推关系式可得 ：
1. 1
各子段在局部坐标系下变形与在整体 坐标系的关系表达 图 2 为某一子段的变形分析图． 取第 k
{
θk = θk － 1 + Δθk ，
* + Δxk cosθk － 1 － Δyk inθk － 1 ， （ 4 ） X* k = Xk － 1 * Y* k = Yk － 1 + Δx k sinθk － 1 + Δy k cosθk － 1 ．
［1 － 5 ］
是从初始位置出发， 采用逐步递增载荷方式， 并在每个载荷步中通过牛顿 － 拉斐逊法迭代 逼近平衡状态
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．
笔者抛开逐步 针对静定梁大变形问题， 加载平衡思想， 以梁变形后平衡状态为条件， 将梁分为有限个子段， 每个子段端点坐标是 未知量， 可将内力构造为未知坐标的函数， 进 行子段变形计算， 根据坐标与受载变形的协 调关系构造求解未知坐标的目标函数， 建立 计算求解梁大变形问题的直接最优化方法， 已经 良 好 地 解 决 了 静 定 结 构 的 大 变 形 问 题
2014年9月 第 30 卷 第 5 期
沈阳建筑大学学报（ 自然科学版） Journal of Shenyang Jianzhu University （ Natural Science）
Sep． 2014 Vol ． 30 ， No ． 5
文章编号： 2095 － 1922 （ 2014 ） 05 － 0909 － 08
doi： 10． 11717 / j． issn： 2095 － 1922． 2014． 05． 19
超静定梁结构非线性大变形 问题的优化算法与应用
侯祥林， 王洁乐， 李 琦， 孙 红
（ 沈阳建筑大学交通与机械工程学院 ， 辽宁 沈阳 110168 ）
摘
要： 目的 研究建立超静定梁结构非线性大变形问题的优化算法， 分析超静定梁
* k = 0， 1， …， N． 若略去 Y* 的坐标为 S k （ X k ， k ） ，
． 而当梁存在大变形几何非