2019年中考突破复习题型专项(八)解直角三角形的实际应用题

题型专项(八) 解直角三角形的实际应用题
类型1 仰角、俯角问题
1．(2019·湘西)测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC 的屋顶有一根旗杆AB ，从地面上D 点处观测旗杆顶点A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 点的仰角为45°.(可用的参考数据：sin 50°≈0.8，tan 50°≈1.2)
(1)若CD ＝20米，求建筑物BC 的高度；
(2)若旗杆的高度AB ＝5米，求建筑物BC 的高度．
解：(1)∵∠BDC ＝45°，
∴DC ＝BC ＝20 m .
答：建筑物BC 的高度为20 m .
(2)设DC ＝BC ＝x m ，根据题意，得
tan 50°＝AC DC ＝5＋x x
＝1.2， 解得x ＝25.
答：建筑物BC 的高度为25 m .
2．(2019·深圳)某兴趣小组借助无人飞机航拍校园，如图，无人飞机从A 处飞行至B 处需8秒，在地面C 处同一方向上分别测得A 处的仰角为75°.B 处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)
解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，过点B 作BH ⊥水平线于点H.
∵∠ACH ＝75°，∠BCH ＝30°，AB ∥CH ，
∴∠ABC ＝30°，∠ACB ＝45°.
∵AB ＝4×8＝32(m )，
∴AD ＝CD ＝AB·sin 30°＝16 m ，
BD ＝AB·cos 30°＝16 3 m .
∴BC ＝CD ＋BD ＝(16＋163)m .
∴BH ＝BC·sin 30°＝(8＋83)m .
答：这架无人飞机的飞行高度是(8＋83)m .
类型2 方位角问题
3．(2019·临沂)一艘轮船位于灯塔P 南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A 处，它向东航行多少海里到达灯塔P 南偏西45°方向上的B 处？(参考数据：3≈1.732，结果精确到0.1)
解：过点A 作AC ⊥PC 于点C ，则∠APC ＝60°，∠BPC ＝45°，AP ＝20，
在Rt △APC 中，
∵sin ∠APC ＝AC AP
， ∴AC ＝20·sin 60°＝10 3.
在△PBC 中，∠BPC ＝45°，
∴△PBC 为等腰直角三角形．
∴BC ＝PC ＝10.
∴AB ＝AC －BC ＝103－10≈7.3(海里)．
答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P 南偏西45°方向上的B 处．
4．(2019·南充)马航MH 370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A ，B 同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P 在救助船A 的北偏东53.50°方向上，在救助船B 的西北方向上，船B 在船A 正东方向140海里处．(参考数据：sin 36.5°≈0.6，cos 36.5°≈0.8，tan 36.5°≈0.75，2≈1.414)
(1)求可疑漂浮物P 到A ，B 两船所在直线的距离；
(2)若救助船A ，救助船B 分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P 处．
解：(1)过点P 作PE ⊥AB 于点E ，由题意知，∠PAE ＝36.5°，∠PBA ＝45°，
设PE 为x 海里，则BE ＝PE ＝x 海里，
∵AB ＝140海里，∴AE ＝(140－x)海里．
在Rt △PAE 中，tan ∠PAE ＝PE AE ，即x 140－x
＝0.75，解得x ＝60. ∴可疑漂浮物P 到A ，B 两船所在直线的距离为60海里．
(2)在Rt △PBE 中，PE ＝60海里，∠PBE ＝45°，
则BP ＝2PE ＝602≈84.8(海里)，
B 船需要的时间为84.830
≈2.83(小时)， 在Rt △PAE 中，sin ∠PAE ＝PE AP
， ∴AP ＝PE÷sin ∠PAE ＝60÷0.6＝100(海里)．
∴A 船需要的时间为100÷40＝2.5(小时)．
∵2.83＞2.5，∴A 船先到达．
5．(2019·达州)如图，在一条笔直的东西向海岸线l 上有一长为1.5 km 的码头MN 和灯塔C ，灯塔C 距码头的东端N 有20 km .一轮船以36 km /h 的速度航行，上午10：00在A 处测得灯塔C 位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B 处测得灯塔C 位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C 相距12 km .
(1)若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？
(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)
解：(1)延长AB 交海岸线l 于点D ，过点B 作BE ⊥海岸线l 于点E ，过点A 作AF ⊥l 于点F.
∵∠BEC ＝∠AFC ＝90°，∠EBC ＝60°，∠CAF ＝30°，
∴∠ECB ＝30°，∠ACF ＝60°.∴∠BCA ＝90°.
∵BC ＝12，AB ＝36×4060
＝24，∴AB ＝2BC. ∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°.
∵∠ABC ＝∠BDC ＋∠BCD ＝60°，
∴∠BDC ＝∠BCD ＝30°.∴BD ＝BC ＝12.
∴t ＝1236＝13
(小时)＝20分钟． ∴轮船照此速度与航向航向，上午11：00到达海岸线．
(2)该轮船能停靠在码头．理由：
∵BD ＝BC ，BE ⊥CD ，∴DE ＝EC.
在Rt △BEC 中，∵BC ＝12，∠BCE ＝30°，
∴BE ＝6，EC ＝63≈10.2.
∴CD ＝20.4.
∵20＜20.4＜21.5，
∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．
类型3 坡度、坡角问题
6．(2019·济宁)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.
(1)求新坡面的陂角α；
(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．
解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，
∴tan α＝tan ∠CAB ＝13＝33
. ∴∠α＝30°.
答：新坡面的坡角α为30°.
(2)文化墙PM 不需要拆除．理由：
过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6，
∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶3，
∴BD ＝CD ＝6，AD ＝6 3.
∴AB ＝AD －BD ＝63－6＜8.
∴文化墙PM 不需要拆除．
7．(2019·天水)如图所示，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60°，沿山坡向上走到P 处再测得C
的仰角为45°，已知OA ＝200米，山坡坡度为13(即tan ∠PAB ＝13
)，且O ，A ，B 在同一条直线上，求电视塔OC 的
高度以及此人所在的位置点P 的垂直高度．(侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号)
解：过点P 作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥CO 于点F ，
在Rt △AOC 中，AO ＝200，∠CAO ＝60°，
∴CO ＝AO·tan 60°＝200 3.
设PE ＝x 米，
∵tan ∠PAB ＝PE AE ＝13
， ∴AE ＝3x.
在Rt △PCF 中，∠CPF ＝45°，CF ＝2003－x ，PF ＝OA ＋AE ＝200＋3x ，
∵PF ＝CF ，
∴200＋3x ＝2003－x.
解得x ＝50(3－1)．
答：电视塔OC 的高度是2003米，所在位置点P 的垂直高度是50(3－1)米．
类型4 与实际生活相关的问题
8．(2019·娄底)芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图)，图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°，拉索CD 与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC 为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH 的长．(结果精确到0.1米，3≈1.732)
解：设DH ＝x 米，
∵∠CDH ＝60°，∠H ＝90°，
∴CH ＝DH·tan 60°＝3x.
∴BH ＝BC ＋CH ＝2＋3x.
∵∠A ＝30°，
∴AH ＝3BH ＝23＋3x.
∵AH ＝AD ＋DH ，
∴23＋3x ＝20＋x.
解得x ＝10－ 3.
∴BH ＝2＋3×(10－3)＝103－1≈16.3(米)．
答：立柱BH 的长约为16.3米．。