2020年河南省洛阳市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷一

数学试卷一、选择题 1.设z C∈，则0z z +=是 z 为纯虚数的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2.已知集合2{|2,R}A x y x x ==-∈,{|13,Z}B x x x =-≤≤∈，则集合A B⋂中元素的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．13.函数ln ()ex xf x =的大致图像是( ) A ．B ．C ．D ．4.已知向量,a b r r 满足1a =r，2b =r ，a b -=r r ，则a r 与b r 的夹角为( )A ．π3 B ．π6 C ．2π3 D ．π45.已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点M 的轨迹方程是( ) A ．212x y =-B ．221x y =-C ．21216x y =- D ．222x y =-6.在ABC △中，π,34ABC AB BC ∠===,则sin BAC ∠=( )A D 7.执行如图所示的程序框图，若将判断框内“100?S >”改为关于n 的不等式“0n n ≥”，且要求输出的结果不变，则正整数0n 的取值为( )A ．4B ．5C ．6D ．78.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，现从中任选两门，其中“礼”和“书”至少有一门被选出来的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.459.在三棱锥P ABC -中,3,8,PA PB BC AC AB BC ====⊥，平面APB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为( )A ．2 B ．2C ．2D ．210.若函数2()cos 2sin cos 2f x x x x x ωωωω=++在区间3π3π[,]22-上单调递增，则正数ω的最大值为( )A ．18 B ．16C ．14 D ． 1311.已知定义在R 的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()f x x =．函数|1|()e (13)x g x x --=-<<，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为( )A ．3B ．4C ．5D ．612.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]126α∈，则该双曲线离心率e 的取值范围为( )A ．1]B ．2C ．2+D ．1]13.已知集合2{|230}A x x x =--≥，{|22}B x x =-≤<，则A B =I ( ) A.[2,1]-- B.[1,2)- C.[1,1]- D.[1,2)14.若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数单位，则z =( ) A.12i + B.12i - C.12i -+ D.12i--15.设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为( ) A.3 B.-3 C.1 D.-116.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(2,3) ，则该双曲线的离心率为( )A.12 B.2 C.7 D.7217.某几何体的三视图如图所示(单位: cm ),则该几何体的体积(单位: 3cm )是( )A. π12+ B.π32+ C.3π12+ D.3π32+ 18.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( ) A.12种B.18种C.24种D.36种19.在如图所示的流程图中，若输入,,a b c 的值分别为2，4，5，则输出的x =( )A.1B.2C.lg 2D.1020.将函数()2sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再将所得图象向左平移π12个单位得到函数()g x 的图象,在()g x 图象的所有对称轴中,离原点最近的对称轴为( ) A.π24x =-B.π4x =C.5π24x =D. 12πx =21.设12,F F 是椭圆:C 2213x y m+=的两个焦点，若C 上存在点P 满足o 12120F PF ∠=，则m 的取值范围是( )A.(0,1][12,)+∞UB.3(0,])2+∞UC.3(0,])4+∞UD.3(0,][12,)4+∞U22.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是( ) A.716 B. 916 C. 34 D. 1423.在三棱柱111C B A ABC -中，1AB AC AA ===2π3BAC ∠=，1AA ⊥平面ABC ，则该三棱柱的外接球的体积为( )A.40πB. C. 40π3D.324.已知函数1()()e xf x x a =-，曲线()y f x =上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是( ) A.21(,0)e -B.2(e ,0)-C.21(,+)e-∞ D.2(e ,)-+∞ 二、填空题 25.若直线52y x =与曲线ln(21)y mx x =-+相切于点(0,0)O ，则m =___________ 26.已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数z ax y=-+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为___________27.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则()cos αβ-=___________28.圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是圆心角大小为180︒的扇形.正四棱柱''''ABCD A B C D -的上底面的顶点',',','A B C D 均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为__________29.若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x +的最小值为___________.30.在ABC △中，M 是BC 的中点，3,8AM BC ==，则AB AC ⋅=u u u r u u u r______.31.已知6(31)()x x a +-的展开式中5x 的系数为3，则实数a =_________.32.在ABC △中,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若1bc =，2cos 0b c A +=，则当角B 取最大值时，ABC △的周长为___________. 三、解答题33.数列{}n a 中，12a =，112pn n n a a ++=（p 为常数） 1.若1a -,212a ，4a 成等差数列，求p 的值。

2.是否存在p ，使得{}n a 为等比数列？并说明理由。

34.如图，在以P的圆锥中，底面圆O 的直径AB 长为2，C 是圆O 所在平面内一点，且AC 是圆O 的切线，连接BC 交圆O 于点D ，连接,PD PC1.求证:平面PAC ⊥平面PBC ；2.若E 是PC 的中点，连接,OE ED ，当二面角B PO D --的大小为120︒时，求平面PAC 与平面DOE 所成锐二面角的余弦值.35.东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：（视样本频率为概率）1.根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望2.以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？36.已知点Q是圆22:(36M x y ++=上的动点,点N ,若线段QN 的垂直平分线交MQ 于点P .1.求动点P 的轨迹E 的方程.2.若A 是轨迹E 的左顶点，过点(3,8)-的直线与轨迹E 交于,B C 两点.求证:直线,AB AC 的斜率之和为定值. 37.已知函数()e x f x ax =-.1.若函数()f x 在1(,2)2x ∈上有2个零点，求实数a 的取值范围.（注3e 19>）2.设()()2gx f x ax =-，若函数()g x 恰有两个不同的极值点12,x x ，证明:12ln(2)2xx a +<. 38.设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合.直线11cos :(1sin x t C t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数)，曲线22:2cos 80C ρρθ--=1.求曲线2C 的直角坐标方程；2.直线1C 与曲线2C 交相交于,A B 两点，求AB 中点M 的轨迹的普通方程. 39.已知函数()25(0)f x x a x a =++->.1.当2a =时，解不等式()5f x ≥；2.当[],22x a a ∈-时，不等式()4f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.40.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*N n ∈,都有111n n a S +++=，211=a . 1.求数列{}n a 的通项公式； 2.令n n a b 2log =，求*12231111...(N )n n n b b b b b b ++++∈. 41.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，o 60ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，E 是BC 的中点，F 是棱PC 上一点.1.求证：平面AEF ⊥平面PAD ；2.若M 是PD 的中点，当AB AP =时，是否存在F ，使直线EM 与平面AEF 的所成的角的正弦值为15？若存在，请求出PF FC的值，若不存在，请说明理由. 42.已知定点(1,0)F 和直线:1l x =-，过定点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M . 1.求动点M 的轨迹C 的方程；2.过焦点F 的直线交C 于,A B 两点，点B 在准线l 上的射影为E ，求AEF △面积的最小值． 43.如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码1—13分别对应2017年1月—2018年1月）根据散点图选择y a =+ln y c d x =+两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为ˆ0.9369y=+ˆ0.95540.0306ln y x =+，并得到以下一些统计量的值：1.请利用相关指数R 判断哪个模型的拟合效果更好；2.某位购房者拟于2018年6月份购买该小区(70160)m m ≤≤平方米的二手房（欲购房者为其家庭首套房）．若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年，请你利用1中拟合效果更好的模型解决以下问题：（i ）估算该购房者应支付的金额．（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到0.001万元/平方米）；（ii ）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积．（精确到1平方米）.附注：根据相关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是房屋的计税价格进行征收．（计税价格=房款）征收方式见下表：参考公式：相关指数22121ˆ()1()niii nii y yR y y ==-=--∑∑.44.已知函数21()ln (2)2f x ax x a x =+-+. 1.若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线经过坐标原点，求实数a 的值； 2.若函数()f x 存在两个极值点12,x x ，且125()()32f x f x a +<--，求实数a 的取值范围. 45.已知直线1cos ,:sin .x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数，α为l 的倾斜角，且()0πα<<与曲线2cos ,:.x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)相交于,A B 两点，点F 的坐标为(1,0)，点E 的坐标为(1,0)-． 1.求曲线C 的普通方程和ABF △的周长；2.若点E 恰为线段AB 的三等分点，求ABF △的面积．46.已知函数()2|||3|f x x a x b =++-．1.当1a =，0b =时， 求不等式()3||1f x x ≥+的解集；2.若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．参考答案1.答案：B 解析：设i z a b =+，则iz a b =-，2z z a+=若0z z +=，则0,ia zb ==，当0b =，则0z =，不是纯虚数若z 为纯虚数，则0,0a b =≠，此时20z z a +==成立所以0z z +=是z 为纯虚数的必要不充分条件2.答案：B解析：由题意，可得集合{|22}A x x =-≤≤,{1,0,1,2,3}B =-,则{1,0,1}A B ⋂=-，故选B3.答案：A 解析：由ln ||()e xx f x =，得(1)0f =，(1)0f -= 又e 11(e),(e)0e ex f f -=>-=> 结合选项中图像，可直接排除B ，C ，D 故选：A 4.答案：A解析：对a b -=rr 两边平方得22||2||||3a a b b -⋅+=r r r ，即14cos ||,43a b ++=r r ，解得1πcos ||,,||,23a b a b ==r r r r .故选A.5.答案：B解析：因为F 是抛物线24x y =的焦点，所以(0,1)F设200(,)4x P x ,(,)M x y ,则0202182x x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去0x ，得3122x y =+，即221x y =-,故选：B. 6.答案：C 解析：∵π4ABC ∠=，3AB BC ==， ∴由余弦定理得：2222cos 2965AC AB BC AB BC ABC =+⋅⋅∠=+-=-，∴AC =sin sin AC BCABC BAC=∠∠得3sin 10BAC ∠==7.答案：C解析：框图首先赋值1,2n s ==执行112,246n s =+==+= 判断框中的条件不满足，执行213,6814n s =+==+= 判断框中的条件不满足，执行314,141630n s =+==+= 判断框中的条件不满足，执行415,303262n s =+==+= 判断框中的条件不满足，执行516,6564126n s =+==+=此时判断框中的条件满足，执行“是”路径，退出循环输出结果s 为126． 若将判断框内“100S >”改为关于n 的不等式“0n n ≥”且要求输出的结果不变， 则条件06n ≥成立，可得正整数0n 的取值为6．故选C8.答案：C解析：从中任选两门有2615C =种选法，其中“礼”和“书”至少有一门被选出来，分两种情况，其一两者有一个被选出来，选法有1248C ⨯=种，两个都被选中有1种选法，共有9种选法，概率为93155= 9.答案：A解析：取AB 中点D ，AC 中点E ，连,PD ED 因为AB BC ⊥，所以E 为ABC △外接圆的圆心因为//OE PD ，OE 不包含于平面PAB ，所以//OE 平面PAB 因为平面PAB ⊥平面PAB ⊥，3PA PB ==，得,PD AB ED AB ⊥⊥ 所以PD ⊥平面ABC ，ED ⊥平面PAB且1AB PD ===所以球心O 到平面PAB 的距离等于d ED ==在PAB △中，3,PA PB AB ===1sin 3PAB ∠=， 所以PAB △得外接圆半径29sin PB r PAB ==∠，即92r =由勾股定理可得球O 的半径R ==,故选：A. 10.答案：B解析：∵2()cos 2sin cos 221f x x x x x x ωωωωω=++=+在区间3π3π[,]22-上单调递增，∴π3π2π3π2ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得1616ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，∴16ω≤， ∴正数ω的最大值是1611.答案：A解析：根据题意，函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-， 则()f x 的图象关于直线1x =对称， 函数|1|()e(13)x g x x --=-<<的图象也关于直线1x =对称，函数()y f x =的图象与函数|1|()e (13)x g x x --=-<<的图象的位置关系如图所示，可知两个图象有3个交点，一个在直线1x =上，另外2个关于直线1x =对称， 则两个函数图象所有交点的横坐标之和为3；故选：A ． 12.答案：A解析：设双曲线的左焦点为'F ，','F A F B ，因为AF BF ⊥，由双曲线的对称性可知，四边形'F AFB 为矩形 设BF m =，则'tan F B FA m α==, 因为ππ[,]126α∈，'F B BF <，点B 在双曲线的左支上 所以tan 2m m a α-=，即2(1tan )a m α=-又在Rt 'F BF △中，222(tan )(2)m m c α+=，即2cos mc α==所以2111cos π2(1tan )cos (1tan )cos sin )4mc c e a a m ααααααα======---+ 因为ππ[,]126α∈，所以ππ5π[,]4312α+∈，且5πππcos cos()1264=+=所以π1cos()]42α+∈所以1]e ∈故选：A. 13.答案：A 解析： 14.答案：B 解析： 15.答案：B 解析： 16.答案：C 解析： 17.答案：A解析：21π11π32113222V ⎛⎫⨯=⨯⨯+⨯⨯=+⎪⎝⎭,选A. 18.答案：D解析：由题意可得,一人完成两项工作,其余两人每人完成一项工作,据此可得,只要把工作分成三份:有24C 种方法,然后进行全排列33A 即可,由乘法原理,不同的安排方式共有2343C A 36⨯=种方法.故选D.19.答案：A 解析： 20.答案：A 解析： 21.答案：D 解析： 22.答案：A 解析： 23.答案：D 解析： 24.答案：A 解析： 25.答案：92解析：由ln(21)y mx x =-+，得2'21y m x =-+ 因为直线52y x =与曲线ln(21)y mx x =-+相切于点(0,0)O所以522m =-，解得92m = 26.答案：2或-1解析：画出不等式组20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩对应的平面区域如图中阴影所示将z ax y=-+转化为y ax z =+，所以目标函数代表直线y ax z=+在y 轴上的截距若目标函数z ax y =-+取得最大值的最优解不唯一则直线y ax z =+应与直线20x y +-=或 220x y -+=平行， 如图中虚线所示又直线20x y +-=和 220x y -+=的斜率分别为-1和2所以2a =或1a =-故答案为：2或-1 27.答案：79-解析：因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,Z k k αβ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 28.解析：设圆锥的母线长为1,圆锥底面周长为2π24ππ1⨯==⨯14=∴∴=设正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面边长为2a ,高为h,则22=得h =正四棱柱体积2244)V a b a ==,设2()4),'()4)f a a f a a ==令'()0f a =得3a =当0'()0,'()033a f a a f a <<>><,故()f a的最大值为(327f =故答案为2729.答案：12解析：30.答案：-7 解析： 31.答案：15-或13解析：32.答案：2 解析：33.答案：1.由1112,2pn n n a a a ++==，得1222p a +=， 22pa =，则21322p p a +=,132p a +=， 131422p p a ++=,242pa =．由1241,,2a a a -成等差数列，得241a a a =-， 即2222pp=-，解得：1p =.2.假设存在p ，使得{}n a 为等比数列，则2213a a a =，即2122222pp p ++=⋅=，则22p p =+，即2p =．此时121122pn n n n a a +++==，23122n n n a a +++=，相除得24n na a += 由此可得21{}n a -是首项为2，公比为4的等比数列2{}n a 是首项为4，公比为4的等比数列，故1212212242,42n n n n n n a a ---=⋅===即12,2nn n na a a +==∴存在实数2p =，使得数列{}n a 为等比数列． 解析：34.答案：1.AB 是圆O 的直径,AC 与圆O 切于点,A AC AB ⊥ PO ⊥底面圆O ，,,PO AC PO AB O AC ⊥⋂=⊥∴平面PAB ，∴AC PB ⊥.又∵在PAB △中，PA PB AB ==，∴PA PB ⊥ ∵PA AC A ⋂=，∴PB ⊥平面PAC ，从而平面PAC ⊥平面PBC . 2.∵,OB PO OD PO ⊥⊥，∴BOD ∠为二面角B PO D --的平面角， ∴120BOD ∠=︒，如图建立空间直角坐标系，易知1OB =，则1(0,1,0),(0,1,0),,0)2A B D --, 111,0),(0,0,1),,)22C P E --， 由1知(0,1,1)m BP ==-u r u u u r为平面PAC 的一个法向量，设平面ODE 的法向量为(,,)n x y z =r，111,),,0)222OE OD =-=-u u u r u u u r ，∵,,n OE n OD ⊥⊥r u u u r r u u u r ， ∴0,0,n OE n OD ⋅=⋅=r u u u r r u u u r，∴11022102y z y -+=-=，即200x y ⎧-+=⎪-=故平面ODE的一个法向量为n =r，∴cos ,||||m n m n m n ⋅==⋅u r ru r r ur r . ∴平面PAC 与平面DOC. 解析：35.答案：1.根据题意可得111(30)5525P ξ==⨯=， 133(31)251025P ξ==⨯⨯=， 12331(32)25510104P ξ==⨯⨯+⨯=，11327(33)2251010525P ξ==⨯⨯+⨯⨯=， 312211(34)210105550P ξ==⨯⨯+⨯=， 212(35)231025P ξ==⨯⨯=， 111(36)1010100P ξ==⨯=， ξ的分布列如下：()3031323334353632.825254255025100E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 2.当购进32份时，利润为2131324(3148)(30416)107.5213.92 4.16125.6252525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=++=， 当购进33份时，利润为59131334(3248)(31416)(30424)10042525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯77.883012.96 3.84124.68=+⨯+=，125.6124.68>可见，当购进32份时，利润更高.解析：36.答案：1.由线段QN 的垂直平分线交MQ 于点P,得||||PN PQ =. 那么||||||||6||PM PN PM PQ MN +=+=>，所以动点P 的轨迹E 是以,N M 为焦点,以6为长轴长的椭圆,即26c a ==,所以23,954c a b ===-=,故动点P 的轨迹E 的方程为22194x y +=. 2.由1知, (3,0)A -,由题意可知直线BC 的斜率存在且不为0, 故可设直线BC 的方程为(0)y kx m k =+≠,1122(,),(,)B x y C x y .由22194y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得222(49)189360k x kmx m +++-=,则222221222122(18)4(49)(936)144(94)184993649km k m k m km x x k m x x k ⎧⎪∆=-+-=-+⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩而1212211212(3)(3)33(3)(3)AB AC y y y x y x k k x x x x ++++=+=++++ 121212122(3)()63()9kx x k m x x mx x x x ++++=+++222222936182(3)(6)4919936183()94949m km k k m m k k m kmk k-⋅++-+++=-+-+++ 83(3)m k =-.由于直线BC 过点(3,8)-,所以38k m -+=. 于是13AB AC k k +=. 故直线,AB AC 的斜率之和为定值13. 解析：37.答案：1.1[,2]2x ∈时，由()0f x =得e xa x =， 令2e e (1)()'()x x x h x h x x x -=⇒= ∴112x ≤<时，'()0h x <，12x <≤时，'()0h x >， ∴()h x 在1[,1]2上是减函数，在(1,2)上是增函数.又1()2h =2e (2)2h =，(1)e h =443e e 16e e(e 16)4e 0444---==>， ∴1(2)()2h h >，∴()h x 的大致图像：利用()y h x =与y a =的图像知a ∈.2.由已知2()e xg x ax ax =--，∴'()e2xg x ax a =--，因为12,x x 是函数()g x 的两个不同极值点（不妨设12x x <），易知0a >（若0a ≤，则函数()f x 没有或只有一个极值点，与已知矛盾）， 且12'()0,'()0g x g x ==.所以1212e20,e 20x x ax a ax a --=--=.两式相减得1212e e 2x x a x x -=-，于是要证明12ln(2)2x x a +<，即证明1212212e e ex x x x x x +-<-，两边同除以2e x ，即证1212212e 1ex x x x x x ---<-，即证1212212()e e 1x x x x x x --->-，即证1212212()ee 10x x x x x x ----+>，令12x x t -=，0t <.即证不等式210t t tee -+>，当0t <时恒成立.设2()e e 1t t h t t =-+，则2222221'()e e e (1)e e e [e 1]222t t t t t tt t t t t t ϕ=+⋅⋅-=+-=---.设2()e 12t t h t =--，则22111'()e (1)222t th t e =-=-，当0t <时,'()0h t <，()h t 单调递减，所以()(0)0h t h >=，即2e(1)02t t-+>，所以'()0t ϕ<， 所以()t ϕ在0t <时是减函数.故()t ϕ在0t =处取得最小值(0)0ϕ=. 所以()0t ϕ>得证.所以12ln(2)2x x a +<. 解析：38.答案：1.由cos ,sin x y ρθρθ==，222x y ρ=+，代入曲线2C 得22280x y x +--=，即22(1)9x y -+= 2.将1C 代入2C 得，2(2sin )80t t α+-=，设直线1C 上的点,,A B M 对应的参数分别为12,,M t t t ， 则12sin 2M t t t α+==-， 所以AB 中点M 的轨迹方程为21sin cos (1sin x y αααα=-⎧⎨=-⎩为参数)， 消去参数α，得M 点的轨迹的普通方程为2211(1)()24x y -+-= 解析：39.答案：1.当2a =时，33,25()|2||25|7,22533,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，由()5f x ≥，得2335x x <-⎧⎨-≥⎩，即2,223x x x <-⎧⎪<-⎨≤-⎪⎩或52275x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-≥⎩，即5222x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤⎩,22x -≤≤或52335x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，即582,833x x x ⎧>⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩综上：2x ≤或 83x ≥，所以不等式()5f x ≥的解集为{|2x x ≤或8}3x ≥.2.()|4|,()|||25||4|f x x f x x a x x ≤+=++-≤+ 因为[,22],22x a a a a ∈-->，所以2a >，又[,22],0,40x a a x a x ∈-+>+>，得|25|4x a x x ++-≤+.不等式恒成立，即|25|4x a-≤-在 [,22]x a a ∈-时恒成立，不等式恒成立必须4,4254a a x a≤-≤-≤-，解得129a x a+≤≤-. 所以21449a a a a≥+⎧⎨-≤-⎩，解得1315a ≤≤，结合24a <≤，所以1325a <≤，即a 的取值范围为13(2,]5解析：40.答案：1.由111n n a S +++=， ①得1n n a S +=(*2,N n n ≥∈«Skip Record If...»). ② ①- ②，得120n n a a +-=«Skip Record If...»，即112n n a a +=(*2,N n n ≥∈«Skip Record If...»).«Skip Record If...» 由22212111,2a S a a a a +=++==«Skip Record If...»，得211122a a ==«Skip Record If...»，112n n a a +∴=(*N n ∈«Skip Record If...»)«Skip Record If...»， ∴数列{}n a 是首项和公比都为12的等比数列，∴1()2n n a =«Skip Record If...»，*N n ∈2.由1()2n n a =«Skip Record If...»，得2log n n b a n ==-«Skip Record If...»， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++«Skip Record If...»， 所以122311b b b b ++…11111(1)()223n n b b ++=-+-+…111()1111n n n n n +-=-=+++ 解析：41.答案：1.连接AC .Q 底面ABCD 为菱形,且o 60ABC ∠=，ABC ∴△为正三角形.E Q 是BC 的中点，AE BC ∴⊥.又//AD BC ，AE AD ∴⊥.PA ⊥Q 平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，PA AE ∴⊥.又PA AD A =I ，AE ∴⊥平面PAD .又AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAD .2.由1得，,,AE AD AP 两两垂直，以A 为原点，分别以,,AE AD AP 所在直线为,,x y z 轴轴轴建立空间直角坐标系， 不妨设=2AB AP =，则AE =(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1)A C D P E M ∴.设2)PF PC λλ==-u u u r u u u r，则AE =u u u r，(0,0,2)2),,22)AF AP PF PC λλλλ=+==+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r. 设n r 是平面AEF 的一个法向量，则0 (22)0n AE n AF x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=++-=⎪⎩r u u u r r u u u r ，取z λ=，得(0,22,)n λλ=-r.设直线EM 与平面AEF 的所成的角为θ，由(EM =u u u u r得1sin |cos ,|||5||||EM n EM n EM n θ⋅=<>===⋅u u u u r ru u u u r r u u u u r r ， 化简得2101340λλ-+=，解得12λ=或45λ=， 故存在点F 满足题意，此时PFFC为1或4. 解析：42.答案：1.由题设点C 到点F 的距离等于它到l 的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线, ∴所求轨迹的方程为24y x =. 2.设AB 的方程为1x ny =+,由241y x x ny ⎧=⎨=+⎩得2440y ny --=. 设11)(,A x y ，22)(,B x y ，则124y y =-．Q 点B 在准线l 上的射影为E ，E ∴点的坐标为2(1,)y -，∴直线EF 的方程为2(1)2y y x =--， 即2220x y y y +-=， 所以点11)(,A x y 到直线EF的距离为d =124y y =-Q ，2114y x =，21212|2|y y y y d +-∴===.又||EF =AEF ∴△的面积为121111114||||||22222S EF d y y y y =⋅⋅==-=+≥,当且仅当12y =±时上式取等号，AEF ∴△的面积的最小值为2.解析：43.答案：1.设模型ˆ0.9369y =+ˆ0.95540.0306ln y x =+的相关指数分别为21R 和22R ，则22120.0005910.0001641,10.006050.00605R R =-=-， 因为0.0005910.000164>，所以2212R R <,所以模型ˆ0.95540.0306ln yx =+的拟合效果更好． 2.由2知，模型ˆ0.95540.0306ln yx =+的拟合效果更好， 所以利用该模型预测可得，这个小区2018年6月份的在售二手房均价为ˆ0.95540.0306ln180.95540.0306(ln 22ln3) 1.044y=+=++≈万元/平方米． （i ）设该购房者应支付的购房金额为h 万元，因为税费中买方只需缴纳契税，所以①当7090m ≤≤时，契税为计税价格的1%，故 1.044(1%1) 1.05444h m m =⨯⨯+=； ②当90144m <≤时，契税为计税价格的1.5%，故 1.044(1.5%1) 1.05966h m m =⨯⨯+=； ③当144160m <≤时，契税为计税价格的3%，故 1.044(3%1) 1.07532h m m =⨯⨯+=．故 1.05444,7090,1.05966,90144,1.07532,144160.m m h m m m m ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪<≤⎩所以，当7090m ≤≤时，购房金额为1.05444m 万元；当90144m <≤时，购房金额为1.05966m 万元；当144160m <≤时，购房金额为1.07532m 万元．（ii ）设该购房者可购买小区二手房的最大面积为t 平方米， 由（i ）知，当7090t ≤≤时，应支付的购房金额为1.05444t 万元， 又1.05444 1.0544490100t ≤⨯<，又因为房屋均价为1.044万元/平方米，所以100t <，所以90100t ≤<． 由1.05966100t ≤，解得1001.05966t ≤，因为10094.41.05966≈,所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为94平方米． 解析：44.答案：1.21()ln (2)2f x a x x a x =+-+Q ， '()(2)af x x a x∴=+-+, '(1)1f ∴=-， ∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)2y a x -++=--.Q 切线经过坐标原点,1121,22a a ∴-++==-.2.()f x 的定义域为(0,)+∞，且2(2)'()(2)a x a x a f x x a x x-++=+-+=，依题意方程2(2)0x a x a -++=有两个不同的正根1212,()x x x x <，则121220,0x x a x x a +=+>=>，所以2212121122()()ln (2)ln (2)22x x f x f x a x a x a x a x +=+-+++-+ 22212121212121212()2(ln ln )(2)()ln (2)()22x x x x x x a x x a x x a x x a x x ++-=++-++=+-++221ln [(2)2](2)2a a a a a =++--+.依题意2215ln [(2)2](2)322a a a a a a ++--+<--，整理得22ln 10a a a -+<. 令2()2ln 1(0)h a a a a a =-+>，则'()2(ln 1)h a a a =-+， 令()'()2(ln 1)g a h a a a ==-+，则2(1)'()a g a a-=， 故()g a 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max ()'(1)0g a h ==， 所以'()2(ln 1)0h a a a =-+≤，()h a 在(0,)+∞上单调递减. 又(1)0h =，所以(1,)a ∈+∞时，()0h a <，所以实数a 的取值范围为(1,)+∞. 解析：45.答案：1.2cos ,.x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)可化为22143x y +=，所以,E F 为椭圆C 的两个焦点． 又,A B 在椭圆上，所以||||||||4AE AF BE BF +=+=.又直线AB 过点E ，所以ABF △的周长为8. 2.将1cos ,sin .x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入22143x y +=，得()223sin 6cos 90t t αα+--=， 设点,A B 对应的参数为12,t t ，其中()2236cos 363sin 1440αα++=>△=， 且1212226cos 9,3sin 3sin t t t t ααα-+==++,所以12AB t t =-=2123sin α=+. 不妨设:2:1AE BE =，则122t t =-，()2212212212,22t t t t t t t t +=-=-=-+， 22296cos 23sin 3sin ααα-⎛⎫∴=-⋅ ⎪++⎝⎭， 即()2293sin 72cos αα+=，得25sin 9α=，sin α=所以ABF △的面积为1||||sin 2S EF AB α=⋅⋅⋅21124sin 23sin αα=⋅⋅⋅+ 解析：46.答案：1.当1a =，0b =时， 不等式()3||1f x x ≥+ 即2|1||3|3||1x x x ++≥+,1|1|2x ∴+≥，112x ∴+≥，或112x +≤-，解得12x ≥-，或32x ≤-， ∴不等式()3||1f x x ≥+的解集为1{|2x x ≥-，或3}2x ≤-．2.0a >，0b >， 3bx ≥时，()2()(3)52f x x a x b x a b =++-=+-． 3ba x -≤<时，()2()(3)2f x x a x b x a b =+--=-++． x a <-时，()2()(3)52f x x a x b x a b =-+--=--+． Q 函数()f x 的最小值为2，∴当3b x =时，5()2233b b f a b =+-=，可得626a b +=，33a b ∴+=． 解析：。