2020届山东省高三数学模拟测试(五)数学试题(解析版)

2020届山东省高三数学模拟测试（五）数学试题一、单选题1．已知集合{}2|20A x x x =--≤，{|21}B x x =-<≤，则A B =U （ ）A ．{|12}x x -剟B ．{|22}x x -<„C ．{|21}x x -<„D ．{|22}x x -≤≤【答案】B【解析】化简集合A ，按照并集定义，即可求解. 【详解】}{|12},{|21A B x x x x =-≤≤=-<≤， {|22}A B x x ⋃=-<≤.故选:B. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2．i 是虚数单位，21iz i=-则||z =（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】C【解析】由复数除法的运算法则求出z ，再由模长公式，即可求解. 【详解】由22(1)1,||1i i z i z i+==-+=-. 故选:C. 【点睛】本题考查复数的除法和模，属于基础题.3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ）A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π【答案】D【解析】根据统计数据，求出频率，用以估计概率. 【详解】70412212π≈. 故选:D. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题. 4．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】当0a ≤时，函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1()f x axx =+的递增区间是⎫+∞⎪⎭， 所以2≥14a ≥. 故选:B. 【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题. 5．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】A【解析】根据指数函数的单调性，可得1551a =>，再利用对数函数的单调性，将,b c 与11,2对比，即可求出结论. 【详解】由题知105441551,1log log 22a b =>=>=>=，551log 2log 2c =<=，则a b c >>. 故选:A. 【点睛】本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题.. 6．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由02x π≤≤求出5x ωπ+范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立ω不等量关系，即可求解. 【详解】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵()f x 在[]0,2π上有且仅有5个零点， ∴5265ππωππ≤+<，∴1229510ω≤<. 故选:A. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题.7．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）A B ．2C ．4D ．【答案】C【解析】设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P 点坐标代入切线方程，抽象出直线AB 方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【详解】圆22650x y y +-+=可化为22(3)4x y +-=.设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,l l 的斜率分别为1212,22x xk k ==， 所以12,l l 的方程为()21111:24x x l y x x =-+，即112x y x y =-，()22222:24x x l y x x =-+，即222x y x y =-，由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以11223232x t y x t y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32xt y -=-上， 所以直线AB 的方程为32xt y -=-，恒过定点(0,3)， 即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C. 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.8．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ）A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-【答案】D【解析】根据已知有333b c a b c a ++++=，可得13131ca b+=+-，只需求出3a b +的最小值，根据333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，a 与b 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以333a b a b +=+=≥， 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）. 又+a b 与c 为函数()3xf x =的“线性对称点，所以333b c a b c a ++++=，所以3143131313a b ca b a b +++==+≤--，从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.二、多选题9．下列命题中是真命题的是（ ） A ．“1x >”是“21x >”的充分不必要条件B ．命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”C ．数据128,,,x x x L 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x ---L 的平均数是6D ．当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解 【答案】ABD【解析】根据充分不必要条件定义和不等式关系可判断A 的真假；由全称命题的否定形式，可判断B 真假；根据平均数的性质，判断C 的真假；将3a =-代入方程组，即可判断D 真假. 【详解】选项A ，1x >，则有21x >，但21x >，则1x >或1x <-， 所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，选项A 正确； 选项B ，命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是 “00x ∃>，使得0sin 1x >”，所以选项B 正确； 选项C ，数据128,,,x x x L 的平均数为6， 则数据12825,25,,25x x x ---L 的平均数是7， 所以选项C 错误；选项D ，当3a =-时，方程组为32103210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，所以有无数个解，所以选项D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查命题真假判断，涉及到充分不必要条件的判断、全称命题的否定、数据平均数的性质、方程组的解，属于基础题.10．定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，当[0,3]x ∈时，2()3f x x x =-，下列等式成立的是（ ）A ．(2019)(2020)(2021)f f f +=B ．(2019)(2021)(2020)f f f +=C ．2(2019)(2020)(2021)f f f +=D ．(2019)(2020)(2021)f f f =+【答案】ABC【解析】由已知可得()f x 是周期为6的函数，结合奇偶性和已知解析式，即可求出函数值，逐项验证即可. 【详解】由(3)()f x f x -=-知()f x 的周期为6，(2019)(33663)(3)0f f f =⨯+==，(2020)(33762)(2)(2)2f f f f =⨯-=-=-=，(2021)(33761)(1)(1)2f f f f =⨯-=-=-=.故选:ABC. 【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形ABCD ，11BCC B 的中心.则下列结论正确的是（ ）A ．平面1D MN 与11BC 的交点是11B C 的中点 B ．平面1D MN 与BC 的交点是BC 的三点分点 C ．平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点 D ．平面1D MN 将正方体分成两部分的体积比为1∶1 【答案】BC【解析】取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ，连FM 并延长分别交,BC AD 于,P Q ，连1,D Q PN 并延长交11B C 与H ，平面四边形1D HPQ 为所求的截面，进而求出,,P Q H 在各边的位置，利用割补法求出多面体11QPHD C CD 的体积，即可求出结论. 【详解】如图，取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ， 连接FM 并延长，设FM BC P ⋂=，FM AD Q ⋂=， 连接PN 并延长交11B C 于点H .连接1D Q ，1D H ，则平面四边形1D HPQ 就是平面1D MN 与正方体的截面，如图所示.111111////,22NE CC DD NE CC DD ==Q ，NE ∴为1DD F ∆的中位线，E ∴为DF 中点，连BF ， ,,90DCE FBE BF DC AB FBE DCE ∴∆≅∆==∠=∠=︒， ,,A B F ∴三点共线，取AB 中点S ，连MS ，则12//,,23BP FB MS BP MS BC MS FS =∴==， 22111,33236BP MS BC BC PE BC ∴==⨯=∴=，E Q 为DF中点，11//,233PE DQ DQ PE BC AD ∴=== N 分别是正方形11BCC B 的中心，11113C H BP C B ∴==所以点P 是线段BC 靠近点B 的三等分点， 点Q 是线段AD 靠近点D 的三等分点， 点H 是线段11B C 靠近点1C 的三等分点. 做出线段BC 的另一个三等分点P '， 做出线段11A D 靠近1D 的三等分点G ，连接QP '，HP '，QG ，GH ，1H QPP Q GHD V V '--=， 所以111113QPHD C CD QPHQ DCC D V V V -==多面体长方体正方体 从而平面1D MN 将正方体分成两部分体积比为2∶1. 故选:BC.【点睛】本题考查直线与平面的交点及多面体的体积，确定出平面与正方体的交线是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.12．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1F 且斜率为157的直线l 与C 在第一象限相交于一点P ，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 倾斜角的余弦值为78B ．若112F P F F =，则C 的离心率43e = C ．若212PF F F =，则C 的离心率2e = D ．12PF F △不可能是等边三角形【答案】AD【解析】设直线倾斜角为α，则15tan 7α=，求出cos α可判断选项A ；若1122F P F F c ==，可得222PF c a =-，在焦点12PF F ∆中，由余弦定理得到,a c 齐次关系，即可求出e ，可判断选项B 真假；选项C 同理求出e ，可判断真假；12PF PF >，可判断选项D 真假. 【详解】设直线倾斜角为α，则15tan 7α=，所以7cos 8α=.P 在第一象限内，若112F P F F =，则1122PF F F c ==，222PF c a =-，由余弦定理得222244(22)788c c c a c +--=，整理得23840e e -+=， 解得2e =或23e =（舍）. 若212PF F F =，则2122PF F F c ==，122PFc a =+，由余弦定理得2224(22)478()8c c a c c c a ++-=+， 整理得2340e e --=， 解得43e =或1e =-（舍）. 由12PF PF >，知12PF F △不可能为等边三角形. 故选:AD. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，注意余弦定理在焦点三角形中的应用，属于中档题..三、填空题13．61(2)x x-的展开式中常数项是___________. 【答案】-160【解析】试题分析：常数项为333461(2)()160T C x x=-=-.【考点】二项展开式系数问题.14．已知平面向量a r 与b r 的夹角为3π，1)a =-r ，1b r ||=，则|2|a b -=r r ________.【解析】根据已知求出||b r ，利用向量的运算律，求出2|2|a b -r r 即可.【详解】由1)a =-r 可得||2a ==r，则||||cos 13a b a b π⋅=⋅=r r r r ，所以|2|a b -===r r故答案为【点睛】本题考查向量的模、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题. 15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则2m a +=________. 【答案】0【解析】求出(),(1),(1)f x f f ''，求出切线点斜式方程，原点坐标代入，求出a 的值，求()g x '，求出单调区间，进而求出极小值最小值，即可求解. 【详解】()1ln f x x '=+，(1)1f '=，(1)2f a =-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，()ln 1f x x x =+，1()ln g x x x =+，22111()x g x x x x-'=-=. 当(0,1)x ∈时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>. 故函数()()f x g x x=的最小值(1)1g =，所以1,20m m a =+=. 故答案为:0. 【点睛】本题考查导数的应用，涉及到导数的几何意义、极值最值，属于中档题..16．如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，三棱锥A BCD -的底面边长和侧棱长都为4，C 在平面α内，B 是直线l 上的动点，则点B 到平面ACD 的距离为_______，点O 到直线AD 的距离的最大值为_______.463222 【解析】三棱锥A BCD -的底面边长和侧棱长都为4，所以B 在平面ACD 的投影为ACD ∆的重心，利用解直角三角形，即可求出点B 到平面ACD 的距离；OB OC ⊥，可得点O 是以BC 为直径的球面上的点，所以O 到直线AD 的距离为以BC 为直径的球面上的点到AD 的距离，最大距离为分别过BC 和AD 的两个平行平面间距离加半径，即可求出结论. 【详解】ACD ∆边长为4，则中线长为342⨯，点B 到平面ACD 的距离为22341646323⎛⎫-⨯⨯= ⎪⎝⎭， 点O 是以BC 为直径的球面上的点，所以O 到直线AD 的距离为以BC 为直径的球面上的点到AD 的距离， 最大距离为分别过BC 和AD 的两个平行平面间距离加半径. 又三棱锥A BCD -的底面边长和侧棱长都为4， 以下求过BC 和AD 的两个平行平面间距离， 分别取,BC AD 中点,E F ，连,,BF CF EF ， 则,BF CF EF BC =∴⊥，同理EF AD ⊥， 分别过,E F 做//,//EM AD FN BC ，直线,BC EM 确定平面α，直线,AD FN 确定平面β， 则,,EF FN FN AD F EF β⊥=∴⊥I ，同理EF α⊥，//,EF αβ∴为所求，16423CF =-=Q ，12422EF ∴=-=，所以O 到直线AD 最大距离为222+. 故答案为:463；222+.【点睛】本题考查空间中的距离、正四面体的结构特征，考查空间想象能力，属于较难题.四、解答题17．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+；（2）()22n nn T =+．【解析】试题分析：（1）设公差为d ，列出关于1,a d 的方程组，求解1,a d 的值，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）可得111112n n a a n n +=-++，即可利用裂项相消求解数列的和.试题解析：（1）设公差为d .由已知得()()121114614{26a d a d a a d +=+=+,解得1d =或0d =（舍去）, 所以12a =,故1n a n =+. （2）()()111111212n n a a n n n n +==-++++Q,()111111...23341222n n T n n n ∴=-+-++-=+++ 【考点】等差数列的通项公式；数列的求和.18．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知c =sin 25C =. （1）若1a =，求sin A ； （2）求ABC V 的面积S 的最大值. 【答案】（1）sin A =；（2）4 【解析】（1）根据已知用二倍角余弦求出cos C ，进而求出sin C ，利用正弦定理，即可求解；（2）由c 边C 角，利用余弦定理结合基本不等式，求出ab 的最大值，即可求出结论. 【详解】（1）∵23cos 12sin25C C =-=-，∴4sin 5C =，由正弦定理sin sin a c A C =得sin sin 10a C A c ==. （2）由（1）知3cos 5C =-，2222266162cos 2555c b a b a C b a ba ab ba ba =+-⋅⋅=++≥+=，所以16325ba ≥，10ba ≥，114sin 104225S ba C =≤⨯⨯=， 当且仅当a b =时，ABC V 的面积S 有最大值4. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，应用基本不等式求最值，属于基础题.19．新高考，取消文理科，实行“33+”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在[15,45)称为中青年，年龄在[45,75)称为中老年），并把调查结果制成下表：（1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；（2）请根据上表完成下面22⨯列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.（3）若从年龄在[55,65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及()E X .【答案】（1）25P =；（2）见解析，有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（3）分布列见解析，6()5E X =.【解析】（1）分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出概率； （2）根据数据列出列联表，求出2K 的观测值，对照表格，即可得出结论；（3）年龄在[55,65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，X 可能取值为0，1，2，分别求出概率，列出随机变量分布列，根据期望公式即可求解. 【详解】（1）由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率22113015P ==， 中老年对新高考了解的概率82205P ==. （2）22⨯列联表如图所示2250(221288) 5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联. （3）年龄在[55,65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人， 则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，则0323351 (0)10C CP XC===；12233563(1)105C CP XC====；5122333(2)10C CP XC===.所以X的分布列为X0 1 2P110353101336()012105105E X=⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查概率、独立性检验及随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题. 20．如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点F为线段PC上的点，过,,A D F三点的平面与PB交于点E.将①AB AP=，②BE PE=，③PB FD⊥中的两个补充到已知条件中，解答下列问题：（1）求平面ADFE将四棱锥分成两部分的体积比；（2）求直线PC与平面ADFE所成角的正弦值.【答案】（1）53；（26.【解析】若补充②③根据已知可得AD⊥平面ABP，从而有AD BP⊥，结合PB FD⊥，可得BP⊥平面ADFE，故有PB AE⊥，而BE PE=，得到AB AP=，②③成立与①②相同，①③成立，可得BE PE=，所以任意补充两个条件，结果都一样，以①②作为条件分析;（1）设1AP AB==，可得AE，进而求出梯形AEFD的面积，可求出,P ADFE P ABCDV V--，即可求出结论；（2）1AB AD AP ===，以A 为坐标原点，建立空间坐标系，求出,,B C P 坐标，由（1）得BP 为平面ADEF 的法向量，根据空间向量的线面角公式即可求解. 【详解】第一种情况：若将①AB AP =，②BE PE =作为已知条件，解答如下： （1）设平面ADFE 为平面α.∵BC AD ∥，∴BC ∥平面α，而平面αI 平面PBC EF =， ∴EF BC ∥，又E 为PB 中点. 设1AP AB ==，则1122EF BC ==. 在三角形PAB中，2PB PB AE ===， 由,AD PA AD AB ⊥⊥知AD ⊥平面PAB ， ∴,AD AE EF AE ⊥⊥， ∴梯形AEFD 的面积1122282AEFD AD EFS AE ++=⨯=⨯=， ,,AB AP BE PE PB AE ==∴⊥，AD PB ⊥， ,AD AE A PB =∴⊥I 平面AEFD ，113828P AEFDV -=⨯⨯=，111133P ABCDV -=⨯⨯=， ∴1153824EF ABCD V -=-=， 故1385524P AEFD EF ABCDV V --==，53EF ABCD P AEFD V V --=. （2）如图，分别以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 设1AB AD AP ===，则(1,1,0),(0,0,1),(1,0,0)C P B(1,0,1),(1,1,1)PB PC =-=-u u u r u u u r，由（1）得PB u u u r为平面ADFE 的一个法向量，因为6 cos,3||||23PC PBPC PBPC PB⋅〈〉===⋅u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r，所以直线PC与平面ADFE所成角的正弦值为6.第二种情况：若将①AB AP=，③PB FD⊥作为已知条件，则由,AD AP AD AB⊥⊥知AD⊥平面ABP，AD PB⊥，又PB FD⊥，所以PB⊥平面ADFE，PB AE⊥，又AB AP=，故E为PB中点，即BE PE=，解答如上不变.第三种情况：若将②BE PE=，③PB FD⊥作为已知条件，由PB FD⊥及第二种情况知PB AE⊥，又BE PE=，易知AB AP=，解答仍如上不变.【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系，以及体积、直线与平面所成的角，考查计算求解能力，属于中档题.21．已知函数()21()1ln()2f x m x x m=--∈R.（1）若1m=，求证：()0f x≥.（2）讨论函数()f x的极值；（3）是否存在实数m，使得不等式111()xf xx e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1.【解析】（1）1m=，求出()f x'单调区间，进而求出min()0f x≥，即可证明结论；（2）对()0f x'≥（或()0f x'≤）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出()0,()0f x f x''><的解，即可求出结论；（3）令111,(1,)()x h ex x x --∈+∞=，可证()0,(1,)h x x >∈+∞恒成立，而(1)0f =，由（2）得，0,()m f x ≤在(1,)+∞为减函数，01,()m f x <<在⎛ ⎝上单调递减，在(1,)+∞都存在()0f x <，不满足()()f x g x >，当m 1≥时，设()21111()1ln 2x F x m x x x e-=---+，且(1)0F =，只需求出()F x 在(1,)+∞单调递增时m 的取值范围即可. 【详解】（1）1m =，()21()1ln (0)2f x x x x =-->， 211()x f x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0f x '<， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，∴min ()(1)0f x f ==，故()0f x ≥.（2）由题知，0x >，211()mx f x mx x x -'=-+=，①当0m ≤时，21()0mx f x x-'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；②当0m >时，21()0mx f xx-'==，得x =， 当x⎛∈ ⎝时，()0f x '<；当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0f x '>， 所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭上单调递增.故()f x 在x=处取得极小值111ln 222f m m =+-，无极大值. （3）不妨令11111()x x x e xh x x e xe----=-=， 设11(),(1,),()10x x u x ex x u x e --'=-∈+∞=->在(1,)+∞恒成立，()u x 在[1,)+∞单调递增，()(1)0u x u ∴>=，10x e x -∴-≥在(1,)+∞恒成立，所以，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（2）知，当0,1m x ≤>时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；所以不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >. 当01m <<1>，由（1）知()f x 在⎛ ⎝上单调递减， 所以(1)0f f<=，不满足题意. 当m 1≥时，设()21111()1ln 2x F x m x x x e-=---+， 因为1,1m x ≥>，所以11111,1,01,10x x x mx x e ee---≥><<-<-<，322122111111()1x x x x F x mx x x x e x x x---+'=-++->-++-=， 即()22(1)1()0x x F x x--'>>，所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立， 即()()0f x h x ->恒成立，故存在m 1≥，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立， 此时m 的最小值是1. 【点睛】本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为12e =，其右焦点为F .（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求||||PQ MN 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）⎣⎦. 【解析】（1）由已知短轴长求出b ，离心率求出,a c 关系，结合222a b c =+，即可求解；（2）当直线12,l l 的斜率都存在时，不妨设直线1l 的方程为(1),1y k x k =-≠，直线1l 与椭圆方程联立，利用相交弦长公式求出||PQ ，2l 斜率为11k k+-，求出||MN ，得到||||PQ MN 关于k 的表达式，根据表达式的特点用“∆”判别式法求出||||PQ MN 范围，当12,l l 有一斜率不存在时，另一条斜率为±1，根据弦长公式，求出||||PQ MN ，即可求出结论. 【详解】（1）由2b =b =22222214c a b e a a -===得2234a b =， 则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）由（1）知()1,0F ，①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1),1y k x k =-≠，由()222222(1)438412034120y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩， ()214410k ∆=+>，设()()1122,,,P x y Q x y ， 则221212228412,,4343k k x x x x k k -+==++，则()22121||34k PQ k+==+，由椭圆对称性可设直线2l 的斜率为11k k +-， 则()()2222112122411||7121341k k k MN k k k k +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭==+++⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭， ()()()()222222121712712||||3468241k k k k k PQ MN k k k +++++=⋅=+++ 22727787486882432k k k k ++=+=+++. 令2872432k t k+=+，则23282470tk k t -+-=， 当0t =时，78k =-，当0t ≠时，由64432(247)0t t '∆=-⨯-≥得774848t -+≤≤，所以24978749488243248k k -++≤+≤+，||||PQ MN ≤≤，且||8||7PQ MN ≠. ②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，根据对称性不妨设设直线1l 的方程为1y x =-，2l 斜率不存在， 则24||7PQ =，22||3b MN a==，此时||8||7PQ MN =∈⎣⎦. 若设2l 的方程为1y x =-，1l 斜率不存在，则||7||8PQ MN =∈⎣⎦， 综上可知||||PQ MN的取值范围是⎣⎦. 【点睛】本题考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系，注意根与系数关系、弦长公式、函数最值、椭圆性质的合理应用，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于难题.。