北师大版高一数学必修1教案-三种函数增长比较

4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-北师大版高中数学必修第一册(2019版)教案

4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案1. 教学目标•了解指数函数、幂函数、对数函数的定义和特征；•掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像和性质；•掌握指数函数、幂函数、对数函数的增长速度及其比较方法；•掌握指数函数、幂函数、对数函数的应用。

2. 教学重点和难点2.1 教学重点•指数函数、幂函数、对数函数的定义和特征；•指数函数、幂函数、对数函数的图像和性质；•指数函数、幂函数、对数函数的增长速度及其比较方法。

2.2 教学难点•对数函数的性质和增长速度比较；•指数函数和幂函数的增长速度比较。

3. 教学内容及方法3.1 指数函数的基本性质1.指数函数的定义；2.指数函数的图像和性质；3.指数函数的增长速度及其比较方法；4.指数函数的应用。

教学方法：讲解、演示、练习。

3.2 幂函数的基本性质1.幂函数的定义；2.幂函数的图像和性质；3.幂函数的增长速度及其比较方法；4.幂函数的应用。

教学方法：讲解、演示、练习。

3.3 对数函数的基本性质1.对数函数的定义；2.对数函数的图像和性质；3.对数函数的增长速度及其比较方法；4.对数函数的应用。

教学方法：讲解、演示、练习。

3.4 比较指数函数、幂函数、对数函数的增长速度1.指数函数和幂函数的比较；2.对数函数的增长速度比较。

教学方法：讲解、演示、练习。

3.5 应用综合运用指数函数、幂函数、对数函数的特性，解决实际问题。

教学方法：案例分析和讨论。

4. 教学资源教材：北师大版高中数学必修第一册（2019版）5. 教学步骤及时间安排5.1 第一课时（40分钟）课时内容：指数函数的基本性质1.讲解指数函数的定义及性质（10分钟）；2.演示指数函数的图像和性质（10分钟）；3.练习指数函数的增长速度及其比较方法（15分钟）；4.介绍指数函数的应用（5分钟）。

5.2 第二课时（40分钟）课时内容：幂函数的基本性质1.讲解幂函数的定义及性质（10分钟）；2.演示幂函数的图像和性质（10分钟）；3.练习幂函数的增长速度及其比较方法（15分钟）；4.介绍幂函数的应用（5分钟）。

北师大版高中数学必修一学学案指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(1)指数函数、对数函数、幂函数为增函数的前提条件当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞0时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．(2)具体的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(只考虑x＞0的情况)在同一直角坐标系内利用几何画板软件作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(如图)．从图中可以观察出，y＝2x与y＝x2有两个交点：(2,4)和(4,16)，当0＜x＜2时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2；当x＞4时，2x＞x2恒成立，即y＝2x比y＝x2增长得快；而在(0，＋∞)上，总有x2＞log2x，即y＝x2比y＝log2x增长得快．由此可见，在(0,2)和(4，＋∞)上，总有2x＞x2＞log2x，即y＝2x增长得最快；在(2,4)上，总有x2＞2x＞log2x，即y＝x2增长得最快．(3)一般的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较改变指数函数、对数函数的底数和幂函数的指数，重新作图，观察图像会发现这三种函数的增长情况具有一定的规律性．一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论a比n小多少，尽管在x的一定范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n 的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n；同样的，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定区间内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(x＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x＜a.由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．析规律三种函数模型的性质【例1．解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．答案：y2析规律函数值的增加量在指数函数、幂函数、对数函数三种增加的函数中，当自变量增加相同的量时，指数函数的函数值增加量最大．【例1－2】在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是()．A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3D．y＝log3x解析：随着x的增大，函数y＝a x(a＞1)的增速会远远超过y＝x n(n＞0)的增速，而函数y ＝log a x(a＞1)的增长速度最慢．故选B.答案：B2．增长型函数模型在实际问题中的应用根据题意，选用合适的增长型函数模型，进行一些简单的应用是本节重点，其选择的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．我们要熟悉指数函数、对数函数和幂函数的图像及性质，对题目的具体要求进行抽象概括，灵活地选取和建立数学模型．例如，根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨．有关专家预测，到2011年我国能源生产总量将达到25.6亿吨，则专家是选择下列哪一种类型函数作为模型进行预测的()．A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数解答：本题不需要写出函数解析式，只需根据函数值的变化规律作出判断即可．从1986年起第一个五年增长了1.8亿吨，第二个五年增长了2.5亿吨，每五年的增长速度不同，故不是一次函数；假设是指数函数，由“指数爆炸”以及前五年的增长速度可知，从1986年到2011年25年的时间，2011年的产值将很大，故不是指数函数；对数函数的增长速度较慢，不符合题意．由以上分析，此函数模型可能是幂函数类型，结合本题的数字特点，可判断是二次函数．故选B.【例2】某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不能超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10,1 000]时，能够满足y≤5，且yx≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0. 25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像如下图所示：观察图像发现，在区间[10,1 000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，当x∈(20,1 000)时，y＞5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806,1 000]时，y＞5，因此，也不符合题意．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上单调递增且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合资金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，资金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1 000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1 000]时，y＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求．析规律不同函数类型增长的含义从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．3．利用三种函数的图像解决与方程和不等式有关的问题利用指数函数、对数函数和幂函数图像的直观性，可解决与方程和不等式有关的问题，如判断方程是否有解、解的个数，方程根的分布情况等．把解方程和不等式问题转化为函数问题，这是函数思想和转化与化归思想的运用．例如，方程log2(x＋4)＝3x解的个数是()．A．0B．1C．2D．3我们可以在同一坐标系中画出对数型函数y ＝log 2(x ＋4)和指数函数y ＝3x 的图像(其中，y ＝log 2(x ＋4)的图像由y ＝log 2x 的图像向左平移4个单位长度得到)，如图所示．由图像可以看出，它们有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即方程log 2(x ＋4)＝3x 的解为x＝x 1或x ＝x 2，因此，方程的解有两个．又如，若x 满足－3＋log 2x ＝－x ，则x 属于区间( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,3)D ．(3,4)由－3＋log 2x ＝－x ，得log 2x ＝3－x ，在同一坐标系中作出对数函数y ＝log 2x 和一次函数y ＝3－x 的图像，如图所示．观察图像可知，若log 2x ＝3－x ，则x 的取值在1与3之间，又知log 22＝1,3－2＝1，故选C.【例3－1】已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的解，x 2是方程x ＋10x ＝3的解，则x 1＋x 2＝( )．A ．6B ．3C ．2D ．1解析：方程x ＋lg x ＝3可化为lg x ＝3－x ，方程x ＋10x ＝3可化为10x ＝3－x .在同一直角坐标系中画出函数y ＝lg x ，y ＝10x 和y ＝3－x 的图像，由于y ＝lg x 与y ＝10x 互为反函数，所以它们的图像关于直线y ＝x 对称．又因为直线y ＝3－x 与y ＝x 垂直，由3,y x y x =-⎧⎨=⎩得，两直线的交点P 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.由题意知，y ＝lg x 与y ＝3－x 交点A 的横坐标为x 1，y ＝10x 与y ＝3－x 交点B 的横坐标为x 2.因为点A ，B 关于P 对称，所以，由线段的中点坐标公式得12322x x +=，即x ＋x 2＝3. 答案：B谈重点线段AB 的中点坐标公式在平面直角坐标系中，若点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.【例3－2】若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数m 的取值范围．解：设y 1＝x 2，y 2＝log m x .若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则0＜m ＜1.两个函数的图像如图所示．当12x =时，211124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.若两函数图像在12x =处相交，则214y =，由11log 24m =得1412m =，即411216m ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，根据底数m 对函数y ＝log m x 图像的影响可知，实数m 的取值范围为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【例3－3】方程2x ＝x 2有多少个实数根？解：在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 和y ＝x 2的图像．可以看出，在y 轴左侧，两个函数的图像有一个交点，而在y 轴右侧有两个交点(2,4)和(4,16)．当x ＞4时，指数函数y ＝2x 的增长快于幂函数y ＝x 2的增长，这就是说在x ＞4时，指数函数y＝2x与幂函数y＝x2的图像没有交点，因此方程2x＝x2有3个实数根．。

北师大版高中数学必修1第三章《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》参考课件

思考2:当a>1，n>0时，在区间(0,+∞)上, ax与xn的大小关系应如何阐述？
思考3:一般地，指数函数y=ax (a>1)和幂函数 y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况是如何变化的？
思考4:对任意给定的a>1和n>0，在区间 (0,+∞) 上,logax是否恒大于xn? logax是否恒小于xn?
x 0123 4 56 7 8 y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128 256 y=x2 0 1 4 9 16 25 36 49 64
当x>0时，你估计函数y=2x和y=x2的图象共有几个交点？
思考3:设函数f(x)=2x -x2(x>0)，你能用二分法求出函数f(x)的零点吗？
思考4:在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置
思考5:随着x的增大,logax增长速度的快慢程度如何变化? xn增长速度的快慢程度如何变化？
思考6:当x充分大时,logax(a>1)xn与(n>0)谁的增长速度相对较快？
y y=xn
y=logax
o1
x
思考7:一般地，对数函数y=logax(a>1)和幂函数 y=xn(n>0) 在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况如何是如何变化的？
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/13
最新中小学教学课件
13
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4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-高一数学(北师大版必修第一册)课件

导入课题新知探究典例剖析课堂小结
思考探究：函数增长快慢比较
又因为 f(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，
∴f(8)<g(8)，
f(9)＝29＝512，g(9)＝93＝729，
∴f(9)<g(9)，
f(10)＝210＝1 024，g(10)＝103＝1 000，
∴f(10)>g(10)，
= 的函数值增长远远大于 = 的函数值增长，
= 的函数值增长又远远大于 = 的函数值的增长，
由于指数函数 = 的函数值增长非常快，我们将这种现象称为
“指数爆炸”.
导入课题新知探究典例剖析课堂小结
教材P120练习
练习1：对于函数 = 3 与 = 3 ，
这说明，按模型 y＝log7x＋1 进行奖励，奖金不超过利润的 25%.
综上所述，模型 y＝log7x＋1 符合公司要求．
导入课题新知探究典例剖析课堂小结
一、幂函数y = x c x > 0, c > 1 与对数
函数y = log b x b > 1 的增长情况比较
二，指数函数y = ax a > 1 与幂函数
当的值趋近于正无穷大时，的值都是趋近于正无穷大的，那么，这3
个增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢？
我们今天来比较指数函数、幂函数、对数函数的增长.
导入课题新知探究典例剖析课堂小结
一、幂函数 = > , > 与对数函数 = > 的增长情况比较
①对于模型 y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，当
x∈(20,1 000]时，y>5，因此该模型不符合要求．

指数函数幂函数对数函数增长的比较(完整版)3

①对于模型 y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，当 x∈(20,1 000]时，y>5，因此该模型不符合要求． ②对于模型 y＝1.002x，利用计算器，可知 1.002806≈5.005，由于 y ＝1.002x 在(－∞，＋∞)上是增函数，故当 x∈(806,1 000]时，y>5，因此，也不符合要求． ③对于模型 y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，且当 x＝1 000 时，y＝log71 000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过 5 万元的要求．
导入课题新知探究典例剖析课堂小结
• 三、指数函数、幂函数、对数函数的增长情况
导入课题新知探究典例剖析课堂小结
• 教材P120 练习
导入课题新知探究典例剖析课堂小结
思考探究：函数增长快慢比较
导入课题新知探究典例剖析课堂小结
思考探究：函数增长快慢比较
解：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知： C1 对应函数 g(x)＝x3，C2 对应函数 f(x)＝2x； (2)依题意知 x1 和 x2 是使两个函数的函数值相等的自变量 x 的值．当 x<x1 时，2x>x3，即 f(x)>g(x)；当 x1<x<x2 时，f(x)<g(x)；当 x>x2 时，f(x)>g(x)．因为 f(1)＝2，g(1)＝1， f(2)＝22＝4，g(2)＝23＝8，所以 x1∈[1,2]，即 a＝1.
导入课题新知探究典例剖析课堂小结
• 思考探究：函数不同增长特点在实际问题中的
应用
再计算按模型 y＝log7x＋1 奖励时，奖金是否超过利润 x 的 25%，即当 x∈[10,1 000]时，利用计算器或计算机作 f(x)＝log7x＋1－0.25x 的图象(图略)，由图象可知 f(x)在[10,1 000]上是单调递减的，因此 f(x)<f(10)≈－0.316 7<0，即 log7x＋1<0.25x，所以当 x∈[10,1 000]时，y<0.25x. 这说明，按模型 y＝log7x＋1 进行奖励，奖金不超过利润的 25%. 综上所述，模型 y＝log7x＋1 符合公司要求．

学高一数学北师大版必修一学案3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(1)指数函数、对数函数、幂函数为增函数的前提条件当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞0时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．(2)具体的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(只考虑x＞0的情况)在同一直角坐标系内利用几何画板软件作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(如图)．从图中可以观察出，y＝2x与y＝x2有两个交点：(2,4)和(4,16)，当0＜x＜2时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2；当x＞4时，2x＞x2恒成立，即y＝2x比y＝x2增长得快；而在(0，＋∞)上，总有x2＞log2x，即y＝x2比y＝log2x增长得快．由此可见，在(0,2)和(4，＋∞)上，总有2x＞x2＞log2x，即y＝2x增长得最快；在(2,4)上，总有x2＞2x＞log2x，即y＝x2增长得最快．(3)一般的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较改变指数函数、对数函数的底数和幂函数的指数，重新作图，观察图像会发现这三种函数的增长情况具有一定的规律性．一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论a比n小多少，尽管在x的一定范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n 的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n；同样的，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定区间内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(x＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x＜a.由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．析规律三种函数模型的性质【例1．解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．答案：y2析规律函数值的增加量在指数函数、幂函数、对数函数三种增加的函数中，当自变量增加相同的量时，指数函数的函数值增加量最大．【例1－2】在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是()．A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3D．y＝log3x解析：随着x的增大，函数y＝a x(a＞1)的增速会远远超过y＝x n(n＞0)的增速，而函数y ＝log a x(a＞1)的增长速度最慢．故选B.答案：B2．增长型函数模型在实际问题中的应用根据题意，选用合适的增长型函数模型，进行一些简单的应用是本节重点，其选择的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．我们要熟悉指数函数、对数函数和幂函数的图像及性质，对题目的具体要求进行抽象概括，灵活地选取和建立数学模型．例如，根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨．有关专家预测，到2011年我国能源生产总量将达到25.6亿吨，则专家是选择下列哪一种类型函数作为模型进行预测的()．A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数解答：本题不需要写出函数解析式，只需根据函数值的变化规律作出判断即可．从1986年起第一个五年增长了1.8亿吨，第二个五年增长了2.5亿吨，每五年的增长速度不同，故不是一次函数；假设是指数函数，由“指数爆炸”以及前五年的增长速度可知，从1986年到2011年25年的时间，2011年的产值将很大，故不是指数函数；对数函数的增长速度较慢，不符合题意．由以上分析，此函数模型可能是幂函数类型，结合本题的数字特点，可判断是二次函数．故选B.【例2】某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不能超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10,1 000]时，能够满足y≤5，且yx≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0. 25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像如下图所示：观察图像发现，在区间[10,1 000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，当x∈(20,1 000)时，y＞5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806,1 000]时，y＞5，因此，也不符合题意．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上单调递增且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合资金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，资金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1 000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1 000]时，y＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求．析规律不同函数类型增长的含义从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．3．利用三种函数的图像解决与方程和不等式有关的问题利用指数函数、对数函数和幂函数图像的直观性，可解决与方程和不等式有关的问题，如判断方程是否有解、解的个数，方程根的分布情况等．把解方程和不等式问题转化为函数问题，这是函数思想和转化与化归思想的运用．例如，方程log2(x＋4)＝3x解的个数是()．A．0B．1C．2D．3我们可以在同一坐标系中画出对数型函数y ＝log 2(x ＋4)和指数函数y ＝3x 的图像(其中，y ＝log 2(x ＋4)的图像由y ＝log 2x 的图像向左平移4个单位长度得到)，如图所示．由图像可以看出，它们有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即方程log 2(x ＋4)＝3x 的解为x＝x 1或x ＝x 2，因此，方程的解有两个．又如，若x 满足－3＋log 2x ＝－x ，则x 属于区间( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,3)D ．(3,4)由－3＋log 2x ＝－x ，得log 2x ＝3－x ，在同一坐标系中作出对数函数y ＝log 2x 和一次函数y ＝3－x 的图像，如图所示．观察图像可知，若log 2x ＝3－x ，则x 的取值在1与3之间，又知log 22＝1,3－2＝1，故选C.【例3－1】已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的解，x 2是方程x ＋10x ＝3的解，则x 1＋x 2＝( )．A ．6B ．3C ．2D ．1解析：方程x ＋lg x ＝3可化为lg x ＝3－x ，方程x ＋10x ＝3可化为10x ＝3－x .在同一直角坐标系中画出函数y ＝lg x ，y ＝10x 和y ＝3－x 的图像，由于y ＝lg x 与y ＝10x 互为反函数，所以它们的图像关于直线y ＝x 对称．又因为直线y ＝3－x 与y ＝x 垂直，由3,y x y x =-⎧⎨=⎩得，两直线的交点P 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.由题意知，y ＝lg x 与y ＝3－x 交点A 的横坐标为x 1，y ＝10x 与y ＝3－x 交点B 的横坐标为x 2.因为点A ，B 关于P 对称，所以，由线段的中点坐标公式得12322x x +=，即x ＋x 2＝3. 答案：B谈重点线段AB 的中点坐标公式在平面直角坐标系中，若点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.【例3－2】若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数m 的取值范围．解：设y 1＝x 2，y 2＝log m x .若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则0＜m ＜1.两个函数的图像如图所示．当12x =时，211124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.若两函数图像在12x =处相交，则214y =，由11log 24m =得1412m =，即411216m ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，根据底数m 对函数y ＝log m x 图像的影响可知，实数m 的取值范围为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【例3－3】方程2x ＝x 2有多少个实数根？解：在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 和y ＝x 2的图像．可以看出，在y 轴左侧，两个函数的图像有一个交点，而在y 轴右侧有两个交点(2,4)和(4,16)．当x ＞4时，指数函数y ＝2x 的增长快于幂函数y ＝x 2的增长，这就是说在x ＞4时，指数函数y＝2x与幂函数y＝x2的图像没有交点，因此方程2x＝x2有3个实数根．。

高一数学北师大版1教学案：指数函数、对数函数、幂函数增长

教案、学案用纸Βιβλιοθήκη 年级高一学科数学课题
指数函数、幂函数、对数函数增长比较
授课时间
撰写人
学习重点
认识指数函数、幂函数、对数函数增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.
学习难点
比较指数函数、幂函数、对数函数的增长差异
学习目标
1。利用计算工具，比较指数函数、幂函数、对数函数的增长差异；
2。结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.
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教学过程
一自主学习
复习1：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质？
2。阅读教材比较三种函数变化趋势
二师生互动
例1 求下列函数的定义域：
（1) ；
（2）；
（3）。
例2已知函数，判断的奇偶性和单调性。
例3已知定义在R上的偶函数在上是减函数，若，求不等式的解集。
练1. 求下列函数的定义域与值域。
5。若函数为减函数，则a的取值范围是。
6。若 ,那么下列不等式成立的是（）。
A． <l< B．1< <
C．〈l〈 D．1< 〈
四课后反思
五课后巩固练习
1.函数．
（1)求的定义域；
（2)讨论的奇偶性；
（3）讨论的单调性．
2。已知幂函数f（x)＝（p∈Z）在上是增函数，且在其定义域内是偶函数,求p的值，并写出相应的函数f(x).
（1) ；（2）
练2. 讨论函数的单调性.
三巩固练习
1. 函数的单调递增区间为( ）.
A. B。
C. D.

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