2个Weibull分布的Pearson-χ~2距离

2 β −1 β 2β 2β α2β )]−1α1β (2α2β − α1β ) = (2α1β α2β − α2 ) (2α1β α2 − α12β ) ，只需比较 α12 β 和 α 2 的大小即可。而 α12β / α2 = (α1 / α2 )2β ， 2β = (α1 / α2 )2β > 1 ，即可得 [α 2β (2α 1β − α 2β )]−1 (α 1β − α 2β ) 2 < 根据指数函数的特点，当 α1 / α 2 > 1 时，有 α12β / α2
定 义 ２ ： 设 随 机 变 量 X 、 Y 的 密 度 函 数 分 别 是 f ( x) 、 g ( x) ， 并 设 f ( x) > 0 ， 若 ∫ g 2 ( x) / f ( x)dx < +∞ ， 记
d 2 ( f , g ) = ∫ g 2 ( x ) / f ( x )dx − 1 ，称 d 2 ( f , g ) 是密度函数 g ( x ) 到密度函数 f ( x ) 的 Pearson- χ 2 距离。
0
引言
数理统计中比较 2 个密度函数差异性的 Pearson- χ 2 距离 [1 － 2] 有着广泛的应用，近年来，人们给出了
Pearson- χ 2 距离和 Pearson- χ 2 最大距离的诸多性质 [3－ 4]以及一些重要分布的 2 种距离及其渐进性质 [5－ 6]。笔 者着重讨论 2 个 Weibull 分布间的 Pearson- χ 2 距离和 Pearson- χ 2 最大距离，并给出了其渐进性结果。
2 2 当 α1 / 2 <α2 <α1时 。 并 有 ： 1) 当 α α α2 时 ， dm ( f , g) →+∞； 3) 当 α1 →2−β α2 时 ， 1→ 2 时 ， dm ( f , g ) →0 ； 2 ) 当 α 1→ 2 2 dm ( f , g) →+∞。
β
β
β
β
β
β 证明： 在定理 1 和定理 2 结论的基础上， 比较 (2)式和 (3)式的大小， 由于 d 2 ( f , g ) / d 2 ( g , f ) = [α 2 (2α1β −
distance between two Weibull distributions by discussing Weibull distribution and the Pearson- χ 2 distance.
Key words: Weibull distribution; the Pearson- χ 2 distance; the maximum Pearson- χ 2 distance
XU Shou-fang
(Department of Mathematics, Xinxiang University, Xinxiang 453003, China)
Abstract: In this paper, we give the expressions of the Pearson- χ 2 distance and the maximum Pearson- χ 2
第 27 卷 第 4 期 Vol. 27 No. 4
新乡学院学报：自然科学版 Journal of Xinxiang University: Natural Science Edition
2010 年 8 月 Aug. 2010
2 个 Weibull 分布的 Pearson- χ 2 距离
许寿方
（ 新乡学院 数学系，河南 新乡 453003） 要： 通过对 Weibull 分布和 Pearson- χ 2 距离等概念的讨论， 给出了 2 个 Weibull 分布的 Pearson- χ 2 距离
证明： 对双参数 Weibull 分布 WEB(α, β ) ， 当 β =1时， 令 λ = α −1 ， 即得其密度函数 f (x) = λexp(−λx) ， 其中 λ > 0 ，
−1 即参数为 λ 的指数分布。因此，在定理１中只需取 β = 1 、 α1 = λ1−1 、 α2 = λ2 即可得到要证明的结论。
β β −1 −1 β β 2 2 2 定、 α α α1β −α2 ) ] (α1 −α2 ) ，当 α1 <α2 < 2α1 时 ； dm ( f , g) = [α1β (2α2β −α1β )]−1(α1β −α2β )2 , 1 / 2<α 2< 2 1时，有 dm ( f , g) =[α2 (2
当 f ( x ) 、 g ( x ) 都是离散随机变量的密度函数时 , 定义 2 中的积分号需换成相应的求和号。 性质 1： d 2 ( f , g ) 具有如下特性： 1) d 2 ( f , g ) ≥ 0 ； 2 ) d 2 ( f , g ) = 0 的充要条件是 f ( x ) = g ( x ) 。 性 质 1 是 容 易 验 证 的 ， 容 易 看 出 定 义 2 中 的 Pearson- χ 2 距 离 不 能 满 足 距 离 公 理 的 对 称 性 , 即 : d 2 ( f , g ) ≠ d 2 ( g , f ) 。下面的定义弥补了这个缺陷，同时又保持了 Pearson- χ 2 距离自身的特性。 定义３：设 f ( x ) 、 g ( x ) 是随机变量 X 、Y 的密度函数，并设 f ( x ) > 0 ， g ( x ) > 0 ，若 d 2 ( f , g ) 、 d 2 ( g , f ) 都
由定理２和定理３可得下面的结论。 推论２：设 f ( x ) 、 g ( x ) 分别是具有参数 λ1、λ2 的指数分布的密度函数，则当 λ2 < 2λ1 时，有 d 2 ( g , f ) =
−2β β β −1 β β −1 β = ∫0 α2 α1 (2α1β −α2 ) α1 α2 α β(x /α)β−1 exp(−(x /α))β dx =[α2 ( 2α1β −α2β )]−1α12β ∫0 α−1β(x / α)β−1 exp(−(x / α))β dx =[α2β ( 2α1β −α2β )]−1α12β ， +∞
2
主要结论
定理１：设 f ( x ) 是 Weibull 分布 WEB (α1 , β ) 的密度函数， g ( x ) 是 Weibull 分布 WEB (α 2 , β ) 的密度函数，
当 β 确定， 且 α 2 < β 2α1 时， 有 d 2 ( f , g ) = [α 2β (2α1β − α 2β )]−1 (α1β − α 2β ) 2 ， 并有以下结论：1) 当 α 2 → α1 时，d 2 ( f , g ) → 0 ；
2 2 时， d m ( f , g ) → +∞ ；当 α1 → 2− β α 2 时， d m ( f , g ) → +∞ 。
β
推论１： 设 f ( x ) 、g ( x ) 分别是具有参数 λ 1、 λ 2 的指数分布的密度函数， 则 λ 1 < 2 λ 2 时， 有 d2 ( f ,g)
= [ λ1 (2 λ2 − λ1 )]−1 ( λ1 − λ2 ) 2 ，并有： 1) 当 λ1 → λ2 时， d 2 ( f , g ) → 0 ； 2 ) 当 λ1 → 2λ2 时， d 2 ( f , g ) → +∞ 。
β β 2 2β β β −1 β 2 [α1β (2α 2 − α1β )]−1 (α1β − α 2 ) ； 当 α1 / α 2 < 1 时，α12β / α2 = (α1 / α2 )2β < 1 ， 即可得 [α 2 (2α1β − α 2 )] (α1β − α 2 ) > β β 2 2 [α1β (2α 2 − α1β )]−1 (α1β − α 2 ) 。因此，可得 (4)式成立。容易验证：当 α1 → α 2 时，d m ( f , g ) → 0 ；当 α1 → 2α 2
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相关概念
定义 1：若随机变量 X 的密度函数为： f ( x;α, β ) = α −1β (x / α )β −1 exp(−(x / α ))β ，x ≥ 0 ，则称 X 服从参数为
α 、 β (α > 0, β > 0) 的 Weibull 分布，记作 X ∼ WEB (α, β ) ，其中 α 为尺度参数， β 为形状参数。容易发现， 当 β = 1 时， Weibull 分布即为指数分布。
β
成立。易验证，当 α2 →α1 时， d ( f , g) →0 ；当 α2 → 2α1 时 d ( f , g ) →+∞ 。类似于定理 1，可以得到定理 2。 定理２：设 f ( x ) 是 Weibull 分布 WEB (α1 , β ) 的密度函数， g ( x ) 是 Weibull 分布 WEB(α2 , β ) 的密度函数，
收稿日期：2010-02-26 修回日期：2010-06-08
作者简介：许寿方(1980－)，男，河南新乡人。硕士，研究方向：概率统计。E-mail: xuxu8803@。
许寿方：2 个 Weibull 分布的 Pearson- χ 2 距离
2 ) 当 α 2 → 2α1 时， d 2 ( f , g ) → +∞ 。
2 2 存在，记 dm ( f , g) = max{d2 ( f , g) , d2 ( g, f )} ，则称 dm ( f , g ) 为密度函数 f ( x ) 、 g ( x ) 之间的 Pearson- χ 2 最大距离。 类似性质 1，可以给出如下结论。 2 2 2 2 2 性质２： dm ( f , g) 具有如下特性： 1) dm ( f , g ) ≥ 0 ； 2) dm ( f , g) = 0 的充要条件是 f ( x) = g( x) ； 3) dm ( f , g) = dm ( g, f ) 。 2 显而易见，在度量 2 个密度函数的差异时， d m ( f , g ) 比 d 2 ( f , g ) 更加合理。