三参数weibull分布参数的图解及优化法结合求法
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Weibull分布三参数图估法的程序优化
Weibull分布三参数图估法的程序优化
邓中明
【期刊名称】《武汉纺织工学院学报》
【年(卷),期】1995(008)001
【摘要】鉴于Ｗｅｉｂｕｌｌ三参数图估法作图繁琐，精度不高的特点，本文通过以位置参数γ为设计变量，以二参数回归方程的相关灵目标函数的最优模型，解决了Ｗｅｉｂｕｌｌ三参数图估法的程序化总理２。
【总页数】4页(P31-34)
【作者】邓中明
【作者单位】武汉纺织工学院机电系
【正文语种】中文
【中图分类】O213.2
【相关文献】
1.耐用度服从三参数Weibull分布的机床刀具在变加工条件下的可靠性评估 [J], 王智明;任丽娜;段红燕;杨海鱼
2.三参数Weibull分布函数的参数估计：高斯——牛顿法 [J], 熊安元;赵明明
3.三参数Weibull分布参数的图解及优化法结合求法 [J], 熊和根
4.三参数Weibull分布的多因素作用下混凝土加速寿命试验 [J], 乔宏霞;郭向柯;朱彬荣
5.基于三参数Weibull分布的安徽省年最大风速均一性检验 [J], 温华洋;朱华亮;刘壮;孔芹芹;马文周;陈凤娇
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质量管理课程-Weibull分布
维护和故障预测提供了依据。
案例三
总结词
复杂系统的Weibull分布可靠性评估
详细描述
质量管理课程中，我们还通过案例研究探讨 了复杂系统的Weibull分布可靠性评估。针 对由多个子系统组成的复杂系统，我们首先 识别了各子系统的故障模式和失效机制，然 后使用Weibull分布模型对各子系统的可靠 性进行了评估。最后，我们综合各子系统的 可靠性特征，对整个复杂系统的可靠性进行 了分析和预测。这一案例研究有助于提高我
案例二
总结词
机械部件故障模式的Weibull分布应用
详细描述
在质量管理课程中，我们还探讨了机械部件故障模式的Weibull分布应用。针对不同类 型的机械部件，我们收集了其故障数据，并使用Weibull分布模型进行拟合。通过对比 不同部件的Weibull分布参数，我们分析了各部件的故障模式和可靠性特征，为预防性
Weibull分布的特性
总结词
Weibull分布具有形状参数和尺度参数两个参数，决定了分布 的形状和尺度。
详细描述
Weibull分布有两个参数，一个是形状参数λ（lambda），一个 是尺度参数k。形状参数决定了分布的形状，尺度参数决定了分 布的尺度。当形状参数λ=1时，Weibull分布退化为指数分布。
识别潜在故障模式
通过FMEA分析，识别产品或过程中可能出 现的故障模式。
分析故障影响
评估每种故障模式对产品质量、安全性、可 靠性和其他关键性能指标的影响。
确定风险优先级
根据故障影响程度和发生概率，确定风险优 先级，为改进措施提供依据。
制定预防措施
针对高风险故障模式，制定有效的预防措施， 降低其发生概率或减轻其影响程度。
掌握如何利用软件进行Weibull分布的拟合、分析和绘 图。
案例三
总结词
复杂系统的Weibull分布可靠性评估
详细描述
质量管理课程中，我们还通过案例研究探讨 了复杂系统的Weibull分布可靠性评估。针 对由多个子系统组成的复杂系统，我们首先 识别了各子系统的故障模式和失效机制，然 后使用Weibull分布模型对各子系统的可靠 性进行了评估。最后，我们综合各子系统的 可靠性特征，对整个复杂系统的可靠性进行 了分析和预测。这一案例研究有助于提高我
案例二
总结词
机械部件故障模式的Weibull分布应用
详细描述
在质量管理课程中，我们还探讨了机械部件故障模式的Weibull分布应用。针对不同类 型的机械部件，我们收集了其故障数据，并使用Weibull分布模型进行拟合。通过对比 不同部件的Weibull分布参数，我们分析了各部件的故障模式和可靠性特征，为预防性
Weibull分布的特性
总结词
Weibull分布具有形状参数和尺度参数两个参数，决定了分布 的形状和尺度。
详细描述
Weibull分布有两个参数，一个是形状参数λ（lambda），一个 是尺度参数k。形状参数决定了分布的形状，尺度参数决定了分 布的尺度。当形状参数λ=1时，Weibull分布退化为指数分布。
识别潜在故障模式
通过FMEA分析，识别产品或过程中可能出 现的故障模式。
分析故障影响
评估每种故障模式对产品质量、安全性、可 靠性和其他关键性能指标的影响。
确定风险优先级
根据故障影响程度和发生概率，确定风险优 先级，为改进措施提供依据。
制定预防措施
针对高风险故障模式，制定有效的预防措施， 降低其发生概率或减轻其影响程度。
掌握如何利用软件进行Weibull分布的拟合、分析和绘 图。
利用的规划求解进行求解威布尔分布参数.完整版PPT资料
i t ； ⑸ 在D2 单元格中输入公式“=C2*C2”，用填充柄填 充D3～D6 单元格，D2～D6 单元 格的值为为2 i x ； ⑹ 在
E2 单元格中输入公式“=(A2-0.3)/5.4”，用填充柄填充 E3～E6 单元格，E2～E6 单 元格的值为为( ) i F t ，这里
( ) i F t 采用中位值算法，即F(t )=(i − 0.3) (n + 0.4) i ； ⑺ 在F2 单元格中输入公式“
，m>0；η 称为尺度参数，η>0；γ 称为位 置参数，也称最小寿 命，表示产品在γ 以前不会 失效，对
于产品寿命有γ ≥ 0 ,γ =0 时退化为二参数 威布尔分布； t 是产品的工作时间， t ≥ γ 。
当m<1 时， 由式( 3 ) 给出的失效率是递减型的，适合于 建模早期失效；当m=1 时， 失效率为常数，即退化为指 数分布，适合于建
威布尔分布是瑞典物理学家Weibull W.分析材料强度时在 实际经验的基础上推导出来 的分布形式[1]，国内外大量 研究表明，用三参数威
布尔分布比用对数正态分布往往能更准确 地描述结构疲
劳寿命或腐蚀损伤的概率分布[2]，物理意义更加合理； 在以损耗为特征的机械 零件寿命评估中，
采用三参数威布尔分布比采用二参数威布尔分布拟合精 度更高。因此，三 参数威布尔分布在强度与环境研究领 域及机械零件磨损寿命评价中得到越来越广泛的
其中到第i 个产品失效时的累计失效概率F(ti )可用中 位秩算
法求得：
F t i i （2） 根据失效时间和累计失效概率即可用各种方法对其参数进 行估计。
weibull函数
weibull函数Weibull函数是一种常见的概率分布函数，在工程、生物学、环境科学等领域都有广泛的应用。
本文将围绕Weibull函数展开详细的讲解。
一、Weibull函数的概念Weibull函数是von Weibull于1951年提出的一种数学函数，具有如下公式：f(x) = (k/λ) * [(x/λ)^(k-1)] * exp[-(x/λ)^k] (x>=0)其中，k和λ是Weibull函数的参数，k称为形状参数，反映随机变量的分布形状；λ称为尺度参数，反映随机变量的尺度大小。
二、Weibull函数的特点1、Weibull函数是典型的右偏分布，也称为正倾斜分布，这是由于右侧长尾的存在导致的。
2、Weibull函数可用于刻画各种不同类型的现象，如失效时间、断裂强度等。
3、Weibull函数在实际应用中具有广泛的应用领域，如可靠性分析、质量控制、产品寿命预测等。
三、Weibull函数的参数估计在实际应用中，我们需要估算Weibull函数的参数，目前常用的方法有极大似然估计和最小二乘估计。
1、极大似然估计极大似然估计是一种常用的参数估计方法，其原理是在已知样本数的情况下，通过求解最大的似然函数值，来获得Weibull函数的参数估计值。
2、最小二乘估计最小二乘估计是通过最小化误差平方和的方法来获得Weibull函数的参数估计值。
四、Weibull函数的应用Weibull函数是一种常见的概率分布函数，其应用范围非常广泛。
下面列举几个实际应用案例：1、可靠性分析Weibull函数可以用来描述机械零件的失效时间分布，通过对失效时间的估计，可以预测产品的寿命，并制定相关的维修和更换计划。
2、产品寿命预测基于Weibull函数的特点，可以通过对产品失效数据的分析得到不同时间段内的失效概率和相关的可靠性数据，从而预测产品的寿命。
3、质量控制Weibull函数可以用来描述产品的质量控制数据，通过对数据的分析，可以判断产品整体质量水平，及时发现和解决质量问题。
滚动轴承疲劳寿命威布尔分布三参数的研究
２）参数的图解估计 将寿命试验所得的ｎ个数据按数值大小次序Ｌｔ≤三２≤……≤上ｎ及对应的失 效概率Ｆ（厶）（ｉ＝ｌ，２，……，ｎ）分别为横坐标与纵坐标，可在威布尔概率纸上 得到ｎ个数据点。然后重点依靠Ｆ（厶）＝３０％～７０％范围内的数据点，凭目测
绘制出一条直线。该直线与Ｆ（三）＝６３．２％水平线相交的点所对应的寿命值，即 为三。值。若该直线与横坐标的夹角为０，则可得
二参数威布尔分布的研究重点是形状参数ｂ值的确定，其代表性研究成果 为Ｌｕｎｄｂｅｒｇ和Ｐａｌｍｇｒｅｎ寿命理论。三参数威布尔分布的研究重点则是在二参 数威布尔分布研究的基础上，主要关注最小寿命参数岛值的确定，其代表性研 究成果为Ｔａｌｌｉａｎ寿命理论。ＩＳＯ标准和有关国家标准则对轴承寿命的威布尔形 状参数作了权威性认同与规定。但是，由于威布尔参数的精确（高可靠性与高 置信度的）确定，特别是位置参数即最小寿命参数岛值的确定，需要大量的试 验作支撑，以寻求其统计规律性，财力、物力与时间耗费巨大，因此，有关研 究成果在种种局限性之下所导致的或者难以涉及，或者做不深入，或者做不准 确，就成为必然之事。也正因为如此，继续深入开展相关研究，以求不断完善 威布尔分布、尤其是三参数威布尔分布在轴承寿命方面的应用，其理论意义与 实用价值就十分重大。
１．３本论文的主要研究内容、技术难点与研究方法 １．３．１主要研究内容
１）对轴承寿命的威布尔分布三参数进行研究，其中重点为形状参数ｂ值和 最小寿命参数如值的确定（特征寿命参数Ｌ系尺度性参数，无需特意研究）。
２）将研究结果与Ｌｕｎｄｂｅｒｇ和Ｐａｌｍｇｒｅｎ寿命理论、Ｔａｌｌｉａｎ寿命理论和ＩＳＯ 标准等权威研究成果进行验证性比较研究。 １．３．２技术难点
＃
图２－－３ ｒ＝Ｏ，ａ＝２，而∥取不同数值时的，（ｆ）曲线
绘制出一条直线。该直线与Ｆ（三）＝６３．２％水平线相交的点所对应的寿命值，即 为三。值。若该直线与横坐标的夹角为０，则可得
二参数威布尔分布的研究重点是形状参数ｂ值的确定，其代表性研究成果 为Ｌｕｎｄｂｅｒｇ和Ｐａｌｍｇｒｅｎ寿命理论。三参数威布尔分布的研究重点则是在二参 数威布尔分布研究的基础上，主要关注最小寿命参数岛值的确定，其代表性研 究成果为Ｔａｌｌｉａｎ寿命理论。ＩＳＯ标准和有关国家标准则对轴承寿命的威布尔形 状参数作了权威性认同与规定。但是，由于威布尔参数的精确（高可靠性与高 置信度的）确定，特别是位置参数即最小寿命参数岛值的确定，需要大量的试 验作支撑，以寻求其统计规律性，财力、物力与时间耗费巨大，因此，有关研 究成果在种种局限性之下所导致的或者难以涉及，或者做不深入，或者做不准 确，就成为必然之事。也正因为如此，继续深入开展相关研究，以求不断完善 威布尔分布、尤其是三参数威布尔分布在轴承寿命方面的应用，其理论意义与 实用价值就十分重大。
１．３本论文的主要研究内容、技术难点与研究方法 １．３．１主要研究内容
１）对轴承寿命的威布尔分布三参数进行研究，其中重点为形状参数ｂ值和 最小寿命参数如值的确定（特征寿命参数Ｌ系尺度性参数，无需特意研究）。
２）将研究结果与Ｌｕｎｄｂｅｒｇ和Ｐａｌｍｇｒｅｎ寿命理论、Ｔａｌｌｉａｎ寿命理论和ＩＳＯ 标准等权威研究成果进行验证性比较研究。 １．３．２技术难点
＃
图２－－３ ｒ＝Ｏ，ａ＝２，而∥取不同数值时的，（ｆ）曲线
数据缺失场合三参数Weibull分布的参数估计
水 量 和 月 降水 量¨ 风 速 的概 率 分 布 ¨ ， 的 最 大 流量 口 等． 于 三 参 数 ｗｅｂ ｌ分 布 的统 计 分 析 １ ， ９河 ］ 关 ｉｕ１
已有 许 多文 献 作 了研 究 ， 参 阅文 献 ［ ］ ［ ３ ． 考 虑如 下 情况 ， 由 于某 种 原 因 ， 得 试验 中 的 可 １～ １］ 现 即 使 某 一些 样 本 寿命 数 据 丢 失 ， 只能 知道 其 前后 的寿命 数 据 ． 种 情 况 在 现 实 中是 经 常 发 生 的 ， 其 而 这 称 为 数 据 丢 失 或数 据 缺 失 ． 于 Ｗｅ ｕ１ 布数 据 缺 失场 合 下 的统 计 分 析 ， 关 ｉ ｌ分 ｂ 可参 阅 文 献 ［ ～ ［ ｏ ， １ ］ ２ ］ ５
数对 数 正 态分 布．
１ 参数 的近似极大似 然估计 （ ＡＭＬＥ）
设 产 品的 寿命 ｔ 服从 三参 数 Ｗｅ ｕ１ 布 ， ｉ ｌ分 ｂ 其分 布 函数 和 密度 函数 分 别 为 ：
Ｆ ｆ， ） — — ， （ｉ７ 一ｌ ｃ ｔ ， ｎ
７ 一 ， ，／ ｃ ， ｆ ｒ ＼
Ｖ ．
（） ３
而 Ｙ∽＝ｌ （ ） Ｚ ｎｔ ∽ ， ∽一
， Ｙ（≤ ｙ 则 １ ） ≤ …≤ｙ 为来 自位 置 参数 为 ， 度参 数 为 的极 小 刻
Ｈ ∑
值分 布 的样 本 容 量 为 的前 ｒ 次序 统 计 量 ， 个 ｚ㈩≤ｚ ≤ …≤ｚ 为来 自标 准 极 小值 分 布 的样 本 容 量 为 的 前 ｒ个 次 序统 计 量 ， 虑 到数 据 有 缺失 场 合 ， 有 ： Ａｙ ｒ ≤ｙ ｒ ≤ｙ ≤ … ≤ ｙ ， ０Ａ 考 则 ０ ） Ｊ Ｉ １ １ 及 一
Ｆ（ ， ｙ； ）一 １一 Ｃ 一 －ｅ
已有 许 多文 献 作 了研 究 ， 参 阅文 献 ［ ］ ［ ３ ． 考 虑如 下 情况 ， 由 于某 种 原 因 ， 得 试验 中 的 可 １～ １］ 现 即 使 某 一些 样 本 寿命 数 据 丢 失 ， 只能 知道 其 前后 的寿命 数 据 ． 种 情 况 在 现 实 中是 经 常 发 生 的 ， 其 而 这 称 为 数 据 丢 失 或数 据 缺 失 ． 于 Ｗｅ ｕ１ 布数 据 缺 失场 合 下 的统 计 分 析 ， 关 ｉ ｌ分 ｂ 可参 阅 文 献 ［ ～ ［ ｏ ， １ ］ ２ ］ ５
数对 数 正 态分 布．
１ 参数 的近似极大似 然估计 （ ＡＭＬＥ）
设 产 品的 寿命 ｔ 服从 三参 数 Ｗｅ ｕ１ 布 ， ｉ ｌ分 ｂ 其分 布 函数 和 密度 函数 分 别 为 ：
Ｆ ｆ， ） — — ， （ｉ７ 一ｌ ｃ ｔ ， ｎ
７ 一 ， ，／ ｃ ， ｆ ｒ ＼
Ｖ ．
（） ３
而 Ｙ∽＝ｌ （ ） Ｚ ｎｔ ∽ ， ∽一
， Ｙ（≤ ｙ 则 １ ） ≤ …≤ｙ 为来 自位 置 参数 为 ， 度参 数 为 的极 小 刻
Ｈ ∑
值分 布 的样 本 容 量 为 的前 ｒ 次序 统 计 量 ， 个 ｚ㈩≤ｚ ≤ …≤ｚ 为来 自标 准 极 小值 分 布 的样 本 容 量 为 的 前 ｒ个 次 序统 计 量 ， 虑 到数 据 有 缺失 场 合 ， 有 ： Ａｙ ｒ ≤ｙ ｒ ≤ｙ ≤ … ≤ ｙ ， ０Ａ 考 则 ０ ） Ｊ Ｉ １ １ 及 一
Ｆ（ ， ｙ； ）一 １一 Ｃ 一 －ｅ
基于威布尔分布法的某型发动机MTBF计算
关 键 词 :MTBF ;威布尔分布 ;航空发动机
中图分类号 :O21113 文献标识码 :A 文章编号 :1009 - 2889 (2006) 03 - 0040 - 04
平均故障间隔时间 MTBF (Mean Time Between Failures) 是航空发动机可靠性的重要指标之一 ,对发 动机产品的设计 、生产和使用等都具有重要的影响 和意义 。它标志着发动机产品在同一使用间隔期内 产品质量的优劣 、故障比率的高低和使用寿命的长 短[1 - 2] 。
时间一般是作为确定发动机 MTBF 的辅助性依据 。 目前国内现役机种的厂内试车故障相对较少 ,信息
量不足 ,给 MTBF 的计算带来一定的困难 。 另外 ,由于发动机故障中有些是必然性故障 ,而
有些是偶然性故障 。必然性故障为发动机设计 、生
产等环节带来的问题或潜在的故障问题 ,如零件疲
劳断裂 、耗损等 。有些必然性故障在一定条件下才
TMFHB F的计算表达式为 :
n
ρ ti
TMFHB F
=
i
=1
N
式中 : ti ———相邻两次故障间的飞行小时数 ; N ———总故障数 。
2 平均故障间隔时间 MTBF 的计算
根据间接定义计算 MTBF 需要进行系数修正 , 具有较大的伸缩性和裕度量 ,使 MTBF 值的范围拓 宽 。采用直接计算 ,故障数据直观 ,含义清晰 ,在工 程中较多使用 。
经分析后删除掉一些偶然性的故障保留了其中的89起重复性的故障并对其进行了分类表12某型发动机故障随工作时间的分布故障时间故障次数百分比0100343812100200262912200300161810300400910400500415500600某型航空发动机故障类型分布故障类型重复次数百分比裂纹121315漏油719叶片打伤232518导管断裂910转速不合格213催化点火器掉块213喷口滑油泵故障基于威布尔分布法的某型发动机mtbf计算故障类型重复次数百分比温控放大器故障141517停不了车故障171911热电偶断路故障某型发动机mtbf计算为了便于比较本文分别运用均值法两参数威布尔分布的一二次分布计算法和三参数威布尔分布的一二次分布计算法对该型发动机的故障间隔时间进行统计分析在计算过程中取置信度90所得结果如下
中图分类号 :O21113 文献标识码 :A 文章编号 :1009 - 2889 (2006) 03 - 0040 - 04
平均故障间隔时间 MTBF (Mean Time Between Failures) 是航空发动机可靠性的重要指标之一 ,对发 动机产品的设计 、生产和使用等都具有重要的影响 和意义 。它标志着发动机产品在同一使用间隔期内 产品质量的优劣 、故障比率的高低和使用寿命的长 短[1 - 2] 。
时间一般是作为确定发动机 MTBF 的辅助性依据 。 目前国内现役机种的厂内试车故障相对较少 ,信息
量不足 ,给 MTBF 的计算带来一定的困难 。 另外 ,由于发动机故障中有些是必然性故障 ,而
有些是偶然性故障 。必然性故障为发动机设计 、生
产等环节带来的问题或潜在的故障问题 ,如零件疲
劳断裂 、耗损等 。有些必然性故障在一定条件下才
TMFHB F的计算表达式为 :
n
ρ ti
TMFHB F
=
i
=1
N
式中 : ti ———相邻两次故障间的飞行小时数 ; N ———总故障数 。
2 平均故障间隔时间 MTBF 的计算
根据间接定义计算 MTBF 需要进行系数修正 , 具有较大的伸缩性和裕度量 ,使 MTBF 值的范围拓 宽 。采用直接计算 ,故障数据直观 ,含义清晰 ,在工 程中较多使用 。
经分析后删除掉一些偶然性的故障保留了其中的89起重复性的故障并对其进行了分类表12某型发动机故障随工作时间的分布故障时间故障次数百分比0100343812100200262912200300161810300400910400500415500600某型航空发动机故障类型分布故障类型重复次数百分比裂纹121315漏油719叶片打伤232518导管断裂910转速不合格213催化点火器掉块213喷口滑油泵故障基于威布尔分布法的某型发动机mtbf计算故障类型重复次数百分比温控放大器故障141517停不了车故障171911热电偶断路故障某型发动机mtbf计算为了便于比较本文分别运用均值法两参数威布尔分布的一二次分布计算法和三参数威布尔分布的一二次分布计算法对该型发动机的故障间隔时间进行统计分析在计算过程中取置信度90所得结果如下
三参数Weibull分布竞争失效场合变应力加速寿命试验统计分析_张详坡_尚建忠_
Statistical Inference of Varying-stress Accelerated Life Test with Competing Failures Based on Three-parameter Weibull Distribution
ZHANG Xiangpo1, 2 SHANG Jianzhong 1 CHEN Xun 1 ZHANG Chunhua 1
(1. Laboratory of Science and Technology on Integrated Logistics Support, National University of Defense Technology, Changsha, 410073; 2. College of Field Engineering, PLA University of Science and Technology, Nanjing 210007)
失效和当前应力，而与累积方式无关[1]。 (2) 寿命分布模型。产品 p 个失效模式下的潜 在失效时间在各应力水平下均服从 TPWD，加速应 力只改变各失效模式的分布参数，而不改变其分布 类型。 在时间 t，应力水平 S (t ) 下第 m 个失效模式的 失效概率、失效概率密度、可靠度和故障率函数分 别记为 Fm (t ) 、f m (t ) 、 Rm (t ) 和 hm (t ) ( m 1,2, , p )。月 2014 年 7 月
张详坡等：三参数 Weibull 分布竞争失效场合变应力加速寿命试验统计分析
43
相间失效和槽间失效之一产生，绝缘系统的寿命是 这三种失效模式的最小失效时间[1]。轴承的失效有 可能由轴承内圈失效、外圈失效、滚动体失效和保 持架失效中的一个导致。竞争失效是产品的一种重 要失效形式，竞争失效产品加速寿命试验的统计分 析方法与单一失效分析有很大的差别，研究竞争失 效场合加速寿命试验统计分析具有重要意义，受到 很多学者的关注[1-7]。 但这些研究都是针对常用的分 布如对数正态分布、指数分布和两参数 Weibull 分 布，而系统针对各失效模式分布为三参数 Weibull 分布(Three-parameter Weibull distribution，TPWD) 的竞争失效加速寿命统计分析的研究还鲜见报道。 由于 TPWD 中位置参数 γ 的引入，使得其分 布形式具有最小寿命特征，因此描述对于具有渐变 性失效特征的失效模式如机械产品的磨损、疲劳、 腐蚀、老化等的寿命分布具有更加明确的物理意 义[8-10]，同时因为威布尔分布含有三个参数，所以 与其他较常用寿命分布如正态分布、 对数正态分布、 指数分布(只有一个参数)等相比，对于各种类型的 试验数据拟合能力更强。 正是由于 TPWD 的这些特 点，航空产品的疲劳寿命和强度分布都可以用 TPWD 很好地描述。 目前 TPWD 已经广泛应用在诸 [11-12] 如导弹部件 、发动机部件[13]、数控机床[14]等机 械零部件的可靠性分析与评价中。因此研究 TPWD 竞争失效加速寿命统计分析方法具有重要意义。 本文针对 TPWD 的特点， 研究产品各失效模式 寿命分布为 TPWD 时的竞争失效变应力加速寿命 统计分析方法，建立求解其分布参数的极大似然估 计模型。