1.3.2球的体积与表面积导学案
1.3.2 球的体积和表面积
1.3.2球的体积和表面积课标要求1.了解球的表面积和体积计算公式.2.会求与球有关的简单组合体的体积和表面积.学法指导决定球的表面积、体积的基本量是球的半径,因此解决与球有关的计算问题的关键是确定球的半径. 新课导入——实例引领 思维激活实例:如图,一个圆锥形空杯子上放着一个半球形的冰激凌.想一想 如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?(比较半球与圆锥体积的大小,即可判断)知识探究——自主梳理 思考辨析1.半径是R 的球的体积为V =34π3R .2.半径是R 的球的表面积为S=思考1:用一个平面去截球,截面是圆面,则球心与截面圆心的距离d,球半径R,截面圆的半径r,三者之间有何关系?(R2=d2+r2)思考2:正方体的外接球、内切球的半径与正方体的棱长分别有什么数量关系?(设正方体的棱长为a,外接球、内切球的半径分别为R 、r,则2R=错误！未找到引用源。
a,2r=a) 题型探究——典例剖析 举一反三题型一 球的表面积与体积的计算【例1】 圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r,圆柱、圆锥的高都是2r,(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比;(2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比.解:(1)V 圆柱=πr 2〃2r=2πr 3, V 圆锥=错误！未找到引用源。
〃πr 2〃2r=23πr 3,V 球=错误！未找到引用源。
πr 3, 所以V 圆柱∶V 圆锥∶V 球=3∶1∶2.(2)S 圆柱=2πr 〃2r+2πr 2=6πr 2, S 圆锥=πr 〃错误！未找到引用源。
+πr 2=(错误！未找到引用源。
+1)πr 2, S 球=4πr 2, 所以S 圆柱∶S 圆锥∶S 球=6∶(错误！未找到引用源。
+1)∶4.题后反思 球的表面积和体积仅与球半径有关,因此求球的表面积和体积的问题可转化为求球半径的问题解决.跟踪训练1-1:(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )(A)错误！未找到引用源。
1.3.2球体的体积和表面积_0
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1.3.2球体的体积和表面积亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！那今天就来小试牛刀吧！注意哦：在答卷的过程中一要认真仔细哦！不交头接耳，不东张西望！不紧张！养成良好的答题习惯也要取得好成绩的关键！祝取得好成绩！一次比一次有进步！ 1. 3.2 球的体积和表面积【教学目标】（1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
（2）培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
【教学重难点】重点：球的体积和面积公式的实际应用难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。
【教学过程】一、教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。
教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积334R =球Ｖ，表面积Ｓ＝４R2 二、典例例 1．一种空心钢球的质量是 732g，外径是 5cm，求它的内径.1/ 12（钢密度 9g/cm 3 ）求空心钢球的体积。
解析：利用体积=质量/密度及球的体积公式334R =球Ｖ解：设球的内径为 r,由已知得球的体积 V=732/9(cm 3 ) 由 V=(4/3) (53 -r 3 )得 r=4(cm) 点评：初步应用球的体积公式变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________( 3 4 ) 例 2 在球心同侧有相距 9 的两个平行截面，它们的面积分别为 49和 400，求球的表面积。
（答案：2500）解析：利用轴截面解决解：设球的半径为 R,球心到较大截面的距离为 x 则 R2 =x 2 +20 2 ,R 2 =(x+9) 2 +7 2 解得 x=15,R=25 所以球的表面积Ｓ＝2500 点评：数形结合解决实际问题变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。
高中数学1.3.2 球的表面积与体积优秀教案
§球的体积和外表积班级姓名小组【学习目标】；1、通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的根本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和〞2、能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题3、培养学生的空间思维能力和空间想象能力教学重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的根本思想方法教学难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成【导学流程】一、了解感知阅读教材P27－28，答复：1．球的体积球的半径为R，那么它的体积V＝ .2．球的外表积球的半径为R，那么它的外表积S＝ .3．与球的关的组合体问题(1)假设一个长方体内接于一个半径为R的球，则2R＝a2＋b2＋c2(a、b、c 分别为长方体的长、宽、高)，假设正方体内接于球，则2R＝3a(a为正方体的棱长)；(2)半径为R的球内切于棱长为a的正方体的每个面，则2R＝a.[知识拓展]对球的外表积与体积公式的几点认识：(1)从公式看，球的外表积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故外表积和体积是关于R的函数．(2)由于球的外表不能展开成平面，所以，球的外表积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的外表积公式的推导方法是不一样的．(3)球的外表积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．二、深入学习4、一个球的体积为36πcm3，则此球的外表积为________．5、(1)火星的直径约为地球直径的一半，地球的体积约是火星体积的多少倍？(2)木星的外表积约为地球外表积的120倍，木星的体积约是地球体积的多少倍？6、某个几何体的三视图如下图(单位：m)(1)求该几何体的外表积；(2)求该几何体的体积．常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何的特殊位置，比方中心、对角线的中点等．(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点〞和“接点〞，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．(3)此类问题的具体解题流程：7、(20xx·全国高考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的外表积为( )A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2。
6.示范教案(1.3.2 球的体积和表面积)
1.3.2 球的体积和表面积整体设计教学分析本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点.三维目标掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培养转化与化归的数学思想方法.重点难点教学重点：球的表面积和体积公式的应用.教学难点：关于球的组合体的计算.课时安排约1课时教学过程导入新课思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务（中国）有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11 380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积.推进新课新知探究球的半径为R ，它的体积和表面积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R ，那么S=4πR 2,V=334R .注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明.应用示例思路1例1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：图1（1）球的体积等于圆柱体积的32； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R.则有V 球=334R π，V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3，所以V 球=圆柱V 32.（2）因为S 球=4πR 2，S 圆柱侧=2πR·2R=4πR 2，所以S 球=S 圆柱侧.点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.变式训练1.如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.图2解：设球的半径为R ，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=a 2,又∵4πR 2=324π,∴R=9.∴AC=28''22=-CC AC .∴a=8.∴S 表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.2有一种空心钢球，质量为142 g,测得外径（直径）等于5 cm ，求它的内径（钢的密度为7.9 g/cm 3，精确到0.1 cm ）.解：设空心球内径（直径）为2x cm,则钢球质量为7.9·［3334)25(34x ππ-•］=142, ∴x 3=14.349.73142)25(3⨯⨯⨯-≈11.3,∴x≈2.24,∴直径2x≈4.5. 答：空心钢球的内径约为4.5 cm.例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m 、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）?图3活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积. 解：圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×1×3=9.3(m 2),半球形物体的表面积为S 2≈2×3.1×(21)2≈1.6(m 2), 所以S 1+S 2≈9.3+1.6=10.9(m 2).10.9×150≈1 635(朵).答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力.变式训练有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R 的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决. 解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，图4圆锥底面半径r=R R 330tan =︒, 圆锥母线l=2r=R 32，圆锥高为h=r 3=3R ，∴V 水=334332πππ=-R h r ·3R 2·3R 333534R R ππ=-， 球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=R 3,设上底面半径为r′， 则高h′=(r -r′)tan60°=)'3(3r R -,∴'3353h R ππ=(r 2+r′2+rr′),∴5R 3=)3'3')('3(322R Rr r r R ++-, ∴5R 3=)'33(333r R -，解得r′=6331634R R =, ∴h′=(3123-)R.答：容器中水的高度为(3123-)R.思路2例1 （2006广东高考，12）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.活动：学生思考长方体和球的结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形.分析：画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径R=233，则该球的表面积为S=4πR 2=27π.答案：27π点评：本题主要考查简单的组合体和球的表面积.球的表面积和体积都是半径R 的函数.对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键.变式训练1.（2006全国高考卷Ⅰ，理7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A.16πB.20πC.24πD.32π分析：由V=Sh ，得S=4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R=642221222=++，所以球的表面积为S=4πR 2=24π.答案：C2.（2005湖南数学竞赛，13）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为_____________.分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为a 22，于是球的半径为a 42，V=3242a π. 答案：3242a π 3.（2007天津高考，理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___________.分析：长方体的对角线为14321222=++，则球的半径为214,则球的表面积为4π(214)2=14π. 答案：14π例2 图5是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？图5活动：学生思考杯里的水将下降的原因，通过交流和讨论得出解题思路.因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20 cm 的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度.解：因为圆锥形铅锤的体积为2)26(31⨯⨯π×20=60π（cm 3），设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为x 2)220(π=100πx （ cm 3）. 所以有60π=100πx ，解此方程得x=0.6（ cm ）.答：杯里的水下降了0.6 cm.点评：本题主要考查几何体的体积问题，以及应用体积解决实际问题的能力.明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键.解实际应用题的关键是建立数学模型.本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积.明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键.变式训练1.一个空心钢球，外直径为12 cm ，壁厚0.2 cm ，问它在水中能浮起来吗？（钢的密度为7.9 g/cm 3）和它一样尺寸的空心铅球呢？（铅的密度为11.4 g/cm 3）分析：本题的关键在于如何判断球浮起和沉没，因此很自然要先算出空心钢球的体积，而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积，从而算出空心钢球的质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会沉没.解：空心钢球的体积为V 钢=348.53463433πππ=⨯-⨯×20.888≈87.45(cm 3)， ∴钢的质量为m 钢=87.45×7.9=690.86(g).∵水的体积为V 水=34π×63=904.32(cm 3)， ∴水的质量为m 水=904.32×1=904.32(g)＞m 钢.∴钢球能浮起来，而铅球的质量为m 铅=87.45×11.4=996.93(g)＞m 水.∴同样大小的铅球会沉没.答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没.2.（2006全国高中数学联赛试题第一试，10）底面半径为1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm 3.分析：设四个实心铁球的球心为O 1、O 2、O 3、O 4，其中O 1、O 2为下层两球的球心，A 、B 、C 、D 分别为四个球心在底面的射影，则ABCD 是一个边长为22 cm 的正方形，所以注水高为(1+22) cm.故应注水π(1+22)-4×)2231()21(343+=ππ cm 3. 答案：（31+22）π 知能训练1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）A.1倍B.2倍C.59倍D.47倍分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r ，则另两个为2r 、3r ，所以各球的表面积分别为4πr 2、16πr 2、36πr 2，5916436222=+r r r πππ（倍）. 答案：C2.（2006安徽高考，理9）表面积为32的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A.32π B.3π C.32π D.322π 分析：此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8×32432=a 知，a=1，则此球的直径为2.答案：A3.（2007北京西城抽样，文11）若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________.分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为2234+=5，所以球的表面积是4π×52=100π.答案：100π4.某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9 g/cm 3）,每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的，请你计算出它的内径（π取3.14,结果精确到1 cm ）.解：由于外径为50 cm 的钢球的质量为7.9×3)250(34⨯π≈516 792(g), 街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000＜516 792,所以钢球是空心的.设球的内径是2x cm ，那么球的质量为7.9·［3334)250(34x ππ-•］=145 000, 解得x 3≈11 240.98,x≈22.4,2x≈45(cm).答：钢球是空心的，其内径约为45 cm.5.（2007海南高考，文11）已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC=r 2,则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）A.πB.2πC.3πD.4π分析：由题意得SO=r 为三棱锥的高，△ABC 是等腰直角三角形，所以其面积是21×2r×r=r 2,所以三棱锥体积是33132r r r =⨯⨯，又球的体积为343r π，则球的体积与三棱锥体积之比是4π.答案：D点评：面积和体积往往涉及空间距离，而新课标对空间距离不作要求，因此在高考试题中其难度很低，属于容易题，2007年新课标高考试题就体现了这一点.高考试题中通常考查球、三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算.我们应高度重视这方面的应用.拓展提升问题：如图6，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A—BEFD与三棱锥A—EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）图6A.S1＜S2B.S1＞S2C.S1=S2D.S1,S2的大小关系不能确定探究：如图7，连OA、OB、OC、OD，则V A—BEFD=V O—ABD＋V O—ABE＋V O—BEFD+V O—ADF，V A—EFC=V O—AFC＋V O—AEC＋V O—EFC，又V A—BEFD=V A—EFC，而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S△ABD＋S△ABE＋S BEFD+S△ADF=S△AFC＋S△AEC＋S△EFC，又面AEF是公共面，故选C.图7答案：C课堂小结本节课学习了：1.球的表面积和体积.2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：（1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.（2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高.注意球没有高的结构特征.（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段.（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识.（5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题.作业课本本节练习1、2、3.设计感想本节教学结合高考要求，主要是从组合体的角度来讨论球的表面积和体积.值得注意的是其中的题目没有涉及球的截面问题（新课标对球的截面不要求），在实际教学中，教师不要增加球的截面方面的练习题，那样会增加学生的负担.。
1、3、2球的体积和表面积教案
解：设截面圆心为 O ，连结 O A ，设球半径为 R ， 则 O A
2 3 3 2
2
2
2 3 3
，
2 2
在 R t O O A 中， O A ∴R ∴S
2
O A O O
4 3
，
C
( 2 3 3
4 R
2
O O'
A'
C' O
则作轴截面如图， A A 1 4 ， A C 又∵ 4 R ∴ AC ∴S
表
2a
，
A C
2
3 2 4
2
，∴ R
2
9，
AC CC 8 2
，∴ a ．
8，
64 2 32 14 576
例 4. 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的 ；
4 3
，内切球的体积
答案：1. 3
，
4 3
5 球 O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶 点都在球 O3 的表面上，求三个球的表面积之比． 分析： 球的表面积之比事实上就是半径之比的平方， 故只需找到球半径 之间的关系即可． 解：设正方体棱长为 a，则三个球的半径依次为 、
2 a
2
,
S圆 柱 侧
.
四、补充练习： 1．三个球的半径之比为 1 : 2 : 3 ，那么最大的球的体积是其余两个球 的体积和的 倍；
4
2.若球的大圆面积扩大为原来的 4 倍，则球的体积比原来增加 倍； 3.把半径分别为 3，4，5 的三个铁球，熔成一个大球，则大球半 径是 ； 4.正方体全面积是 2 4 ，它的外接球的体积是 是 ． 2. 7 3. 6 4.
《1.3.2球的体积和表面积》教学案6
)底面.如图：得)1(])1(1[232n i n i n R n R r V i i ⋯⋯=--=⋅⋅≈、２ ππ 第二步：求和]6)2)(1(1[113321n n n R v v v v ---≈++++πK ＝Ｖ半球 第三步：化为准确的和当n →∞时， n 1→0 (同学们讨论得出)所以 3332)6211(R R ππ=⨯-＝Ｖ半球 得到定理：半径是Ｒ的球的体积334R π=球Ｖ 练习：一种空心钢球的质量是142g ，外径是5cm ，求它的内径(钢的密度是7.9g /cm 3) 2．球的表面积：球的表面积是球的表面大小的度量，它也是球半径R 的函数，由于球面是不可展的曲面，所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式，所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导.思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？半径为R 的球的表面积为 Ｓ＝4πR 2练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 . (答案50元)(三)体积公式的实际应用：例①：一种空心钢球的质量是142g ，外径是5.0cm ，求它的内径. (钢密度7.9g /cm 3) 讨论：如何求空心钢球的体积？→ 列式计算 → 小结：体积应用问题.②有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.③探究阿基米德的科学发现：图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球.在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的23，球的表面积也是圆柱全面积的23.五、课堂小结：本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法.六、作业：1、P28练习1、2、32、⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为，表面积比为 .(答案：1:33；3：1)⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积. (答案：2500πcm2)板书设计：教学后记：。
1.3.2球的表面积与体积学案
球的表面积与体积学案
学习目标： 学习目标：了解球的表面积、体积公式 重难点： 重难点 了解球的表面积、体积公式（不要求推导） 自学设计： 自学设计：
1、球的体积公式： ___________ 球的表面积公式： ___________ 2、 P26 例 4： （1）己知底面直径如何求圆柱的体积与表面积？； （2）计算球的体积与表面积。
2 3 3
D. 4π +
2 3 3
（ 浙江） 3． 09 浙江）若某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，则此几何体的体积是
cm3 ．
2
2 2 正(主)视 2 侧(左)视
俯 视
1
连南民族高级中学“学案导学”课堂教学活页学案 执笔人：潘卫萍 审阅人：李丽娟 时间：09年11月13日
2
课后延伸拓展： 高考题 （ 课后延伸拓展： 高考题）
宁夏） 1.（09 宁夏）棱锥的三视图如图，该棱锥的全面积为 （A）48+12 2 （B）48+24 2 （C）36+12 2 （D）36+24 2 ).
2.(09 山东) 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( .(09 山东) A. 2π + 2 3 B. 4π + 2 3 C. 2π +
达标练习： 达标练习：
1、长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是
_____
2、三个球的表面积之比为 1: 2 : 3 ，则它们的体积之比是（） A、1：2：3 B、 1: 2 : 3 C、 1: 2 2 : 3 3 D、 1: 4 : 7
球的表面积与体积导学案
1.3空间几何体的表面积与体积（第4课时）
主备人：审核人：
1.3.2 球的体积和表面积
学习目标
1. 了解球的表面积和体积计算公式；
2. 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题.
学习过程
一、复习
球的体积公式V=
球的表面积公式S=
二、新课导学
※典型例题
例1.长方体的一个顶点上的三条棱长为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，求出此球的表面积和体积.
例2. 如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.
三、总结提升
※学习小结
1. 球的表面积及体积公式的应用；
2. 空间问题转化为平面问题的思想.
※当堂检测
1.
把一个半径为cm的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆
锥的高应为_______cm.
2. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.
3. 半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体表面积之比是多少?
教师关注
高考连接
1.已知一个正四面体内接在一个表面积为36π的球内, 求这个四面体的表面积和体积.
2.已知P、A、B、C为球面上的四个点, 若PA、PB、PC两两互相垂直, 且PA=3cm 、PB=4cm、PC=6cm , 求这个球的表面积.
3.正方体, 等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱), 球的体积相等, 则哪一个表面积最小?。
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高一数学必修2导学案
1
1.3.2球的体积与表面积导学案
班级： 小组： 姓名： 学号： .
【学习目标】
1、了解球体的体积与表面积公式，并能够利用它们解决几何体的度量问题。
2、积极讨论，大胆质疑，探究球的体积与表面积公式的应用。
3、积极主动，用极度的热情投入学习，体验成功。
【重点、难点】
1、重、难点：了解球体的体积与表面积公式，并能够利用它们解决集合体的度
量问题。
【学法指导】
1、结合问题导学自学课本27-28页，独立完成例题，并总结规律方法。
2、针对预习自学合作探究疑惑点，课上小组讨论交流。答疑解惑。
【自主学习】
1、半径为R的球的表面积公式：________________________。
2、半径为R的球的体积公式：__________________________。
3、半径为2的球的表面为：________________，体积为：__________________。
【自主测评】
1、若球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的_______倍.
2、若球的表面积变为原来的2倍，则半径变为原来的_______倍.
3、若球的体积变为原来的27倍，则半径变为原来的_______倍，表面积变为原
来的_______倍.
合作探究
【合作、探究、展示】
例1、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径。求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的32；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积。
高一数学必修2导学案
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例2、已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体
的边长为a，求球O的表面积和体积。
变式1、已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方
体的表面积为242a，求球O的表面积。
变式2、如果球O和正方体的六个面都相切，且正方体的边长为2a，则有球O
的表面积S=________________
变式3、如果球O和正方体的十二棱都相切，且正方体的边长为a，则有球O的
表面积S=________________
【学习反思】
知识方面：____________________________________________
解题方法：___________________________________________
【达标检测】
1．若两个球的表面积之比是1:4，则它们的体积之比是 .
2．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则这个球的表面积
高一数学必修2导学案
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为 ，体积为 .
3．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）.
A. 3:1 B. 3:2 C. 2:3 D. 3:3
4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球
面上，则这个球的表面积是（ ）.
A. 25 B. 50 C. 125 D. 都不对
5．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的
高与底面半径之比为（ ）.
A. 49 B. 94 C. 427 D. 274
思考：已知过球面上,,ABC三点的截面和球心的距离为球半
径的一半，且2ABBCCA，求球的表面积.
C
B
A
O
O'