球的体积和表面积 课件
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人教版高中数学- 球的体积和表面积(共32张PPT)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
Si
则球的体积为：V V1 V2 V3 Vn
4 R3
3
O
（四）球的表面积公式的推导
讨论：（1）如何求出每一个“准锥体”的体积呢？ 你会算吗可？以怎样处理呢？
展开讨论
“准锥体”的底面是球面的一部分， 底面是“曲”的。
O
Si
Si
hi
O
以平代曲 O
“准锥体”近似看为小棱锥,用小棱锥的体积作 为“准锥体”体积的近似值。
《球的体积和表面积》教学课件(12张PPT)
祖暅原理也就是“等积原理”，它是
由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿
子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是： 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平
行于这两个平行平面的平面所截，如果截
得两个截面的面积总相等，那么这两个几 何体的体积相等.
可以用诗句“两个胖子一般高，平行 地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然 同样胖”形象表示其内涵.利用祖暅原理可 以推导几何体的体积公式，关键是要构造 一个参照体.
你能求出下面物体的体积和表面积吗？
地球可近似地看作球体，地球的半径为 6370km.怎样计算它的体积？ 如果球的半径 为R，那么它的体积 4 V= πR3 3
地球可近似地看作球体，地球的半径为 6370km.怎样计算它的表面积 ？ 球的半径为 R， 那么球的表面积 S=4πR2
如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 （2）球的表面积等于圆柱的侧面积
一个球的体积是100cm3，试计算它的表面积 （π取3.14，结果精确到1cm2） 解：设球的半径为R，那么根据题意有： 4 πR3= 100 3 4 ×3.14×R3= 100 3 R≈2.88
球的表面积S=4πR2=4×3.14×2.882 ≈104（cm2）
一个圆锥形的空杯子上面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ着一个半球形的 冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢满杯子吗？ 解：由图可知，半球的半径为4 4 3 256 π 半球的体积为 π4 = 3 3 1 192 2 π 圆锥的体积为 πR ×12= 3 3 因此，如果冰淇淋融化了，会 溢满杯子.
证明：（1）设球的半径为R，则 圆柱的地面半径也为R， 高为2R 4 因为V球= πR3， 3 V圆柱=πR2·2R=2πR３ 2 所以V球= V圆柱 3
球的表面积和体积PPT课件[1]
![球的表面积和体积PPT课件[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/9b39083a83c4bb4cf7ecd1a4.png)
西伯利亚
问题：防城港桃花湾体育馆近似一个半球， 其室内场地（大圆）面积约1000平方米，它的 半球部分的面积是多少？
一般地，一个球的半径是R，则 大圆的面积是 ，球的表 面积是 S=
球的体积
第 一 步： 分 割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
பைடு நூலகம்
则球的表面积： O
则球的体积为：
S i
O
第 二 步： 求 近 似 和
D1
A1 B1
C1
三、典例分析
例题3 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的 直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
P76 练习1、2题
四、巩固深化
1、正方体的内切球和外接球队体积比为1: 3 ___ ，表面积 ___ 3 之比为 。
2、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别 为49 cm2 和400 cm2，求球的表面积。 答案：2500 cm2
O
由第一步得：
第 S i 三 hi 步： Vi 化 为 准 S i 确 R 和
O
如果网格分得越细,则:曲底 “小锥体”就越接近小棱锥
Vi
又∵球的表面积是
4 球的体积为：V R 3 3
例题2
有一种空心钢球，质量为142g,测得 外径等于5.0cm，求它的内径（钢 的密度为7.9g/cm3,精确到0.1cm).
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
由计算器算得:
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
p76① 球的直径 为原来的2被，则体积变为 原来的几倍？ p76②
一个正方体的顶点都
D A D1 A1 D A O B B1 C O B C1 C
问题：防城港桃花湾体育馆近似一个半球， 其室内场地（大圆）面积约1000平方米，它的 半球部分的面积是多少？
一般地，一个球的半径是R，则 大圆的面积是 ，球的表 面积是 S=
球的体积
第 一 步： 分 割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
பைடு நூலகம்
则球的表面积： O
则球的体积为：
S i
O
第 二 步： 求 近 似 和
D1
A1 B1
C1
三、典例分析
例题3 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的 直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
P76 练习1、2题
四、巩固深化
1、正方体的内切球和外接球队体积比为1: 3 ___ ，表面积 ___ 3 之比为 。
2、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别 为49 cm2 和400 cm2，求球的表面积。 答案：2500 cm2
O
由第一步得：
第 S i 三 hi 步： Vi 化 为 准 S i 确 R 和
O
如果网格分得越细,则:曲底 “小锥体”就越接近小棱锥
Vi
又∵球的表面积是
4 球的体积为：V R 3 3
例题2
有一种空心钢球，质量为142g,测得 外径等于5.0cm，求它的内径（钢 的密度为7.9g/cm3,精确到0.1cm).
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
由计算器算得:
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
p76① 球的直径 为原来的2被，则体积变为 原来的几倍？ p76②
一个正方体的顶点都
D A D1 A1 D A O B B1 C O B C1 C
2第2课时 球的体积和表面积PPT课件(人教版)
栏目 导引
第八章 立体几何初步
球的表面积与体积
(1)已知球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
C八章 立体几何初步
(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两 条互相垂直的半径，若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 ()
角度五 球的内接直棱柱问题
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点
都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B．73πa2
C．131πa2
D．5πa2
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧
棱与底面边长相等，均为 a．如图，P 为三棱柱上
底面的中心，O 为球心，易知 AP＝23× 23a＝ 33a，
A．17π C．20π
B．18π D．28π
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 (1)设球的半径为 R，则由已知得 V＝43πR3＝323π，解得 R＝2. 所以球的表面积 S＝4πR2＝16π. (2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体， 设球的半径为 r， 故78×43πr3＝238π， 所以 r＝2，表面积 S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选 A. 【答案】 (1)B (2)A
栏目 导引
第八章 立体几何初步
该圆锥的体积为 13×π× 23r2×32r＝38πr3，球体积
为
4 3
πr3
，
所
以
该
圆
锥
的
体
积
和
此
球
体
积
的
比
值
为
3843ππrr33＝392.
第八章 立体几何初步
球的表面积与体积
(1)已知球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
C八章 立体几何初步
(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两 条互相垂直的半径，若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 ()
角度五 球的内接直棱柱问题
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点
都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B．73πa2
C．131πa2
D．5πa2
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧
棱与底面边长相等，均为 a．如图，P 为三棱柱上
底面的中心，O 为球心，易知 AP＝23× 23a＝ 33a，
A．17π C．20π
B．18π D．28π
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 (1)设球的半径为 R，则由已知得 V＝43πR3＝323π，解得 R＝2. 所以球的表面积 S＝4πR2＝16π. (2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体， 设球的半径为 r， 故78×43πr3＝238π， 所以 r＝2，表面积 S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选 A. 【答案】 (1)B (2)A
栏目 导引
第八章 立体几何初步
该圆锥的体积为 13×π× 23r2×32r＝38πr3，球体积
为
4 3
πr3
，
所
以
该
圆
锥
的
体
积
和
此
球
体
积
的
比
值
为
3843ππrr33＝392.
《球的表面积和体积》PPT课件
V ir i2R nR n 3[1 (i n 1 )2 ]i, 1 ,2 ,n
V 半球 V 1V 2 V n
R n 3{ 1 [1 n 1 2] [1 n 2 2 2] [1 (n n 2 1 )2]}
R 3 1222 (n1)2
[n n
n2
]
R3 1 (n1)n(2n1) 12 22 (n 1)2
该几何体的表面积是为 24+
.
22
反思与感悟
1.由三视图求球与其他几何体的简单组合 体的表面积和体积，关键要弄清组合体的 结构特征和三视图中数据的含义. 2.求解表面积和体积时要避免重叠和交叉.
.
23
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 倍2 .
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4倍.
球的表面积
第 一 步： 分 割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
S 1 ， S 2 ， S 3, ,S n
则球的表面积：
O
S S 1 S 2 S 3 S n
设 “ 小 锥 体 ” 的 体 积为 Vi
Si
O Vi
则球的体积为：
V V 1V 2V 3 V n
球的表面积
第 二 步： 求 近 似 和
球的体积
已知球的半径为R,用V表示球的体积.
A
A
r3
O
C2
r2
B2
O
r1
r1 R2 R,
r2
R2 (R)2, n
r3
R2 (2R)2. n
球的体积 A
ri
O
R (i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面半的径：
人教版数学高一必修二1.3.2 球的体积和表面积 (共29张PPT)
球半径的求法
——数学必修2
球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集
合，叫做 球面 。
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体。
球表面积公式： S 4 R2
球体积公式：
V 4 R3
A C
P
O B
变式：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于
类型二、直棱柱
例2：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形， 且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为
类型三、对棱相等
r 6a 12
6 r内 12 a
R棱＝
2a 4
R外＝
6 4
a
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
课后练习：利用直角三角形勾股定理求正四面体 的外接球、内切球半径。
P
R A
R O
M B
C D
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿＿＿cm3.
R＝ 2 a 4
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
1
1
P
V 3 S底面积 h 3 S全面积 r
S底面积 h S全面积 r
O
S底面积 r 1 S全面积 h 4
A
C M
D
B
r1h 4
——数学必修2
球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集
合，叫做 球面 。
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体。
球表面积公式： S 4 R2
球体积公式：
V 4 R3
A C
P
O B
变式：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于
类型二、直棱柱
例2：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形， 且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为
类型三、对棱相等
r 6a 12
6 r内 12 a
R棱＝
2a 4
R外＝
6 4
a
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
课后练习：利用直角三角形勾股定理求正四面体 的外接球、内切球半径。
P
R A
R O
M B
C D
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿＿＿cm3.
R＝ 2 a 4
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
1
1
P
V 3 S底面积 h 3 S全面积 r
S底面积 h S全面积 r
O
S底面积 r 1 S全面积 h 4
A
C M
D
B
r1h 4
高中数学新课标人教A版必修2：球的体积和表面积 课件
Si 表面积S与S1, S2,…, Sn有什么关系？
o
Vi 2. 分割越细密，即n越大，每一片的顶点
O
和球心的连线构成的几何体接近什么
几何体？其体积Vi可以如何近似求解？ 请列式表示出来.
3. 球的体积V可以如何表示？试着推导出球的表面积公式.
都是以R为自变量的函数
已知标准篮球的直径为24.6厘米，请大家计算篮 球的表面积和体积。
（2）正方体的各个顶点都在一个球 的球面上，已知正方体的棱长为a，求 该球的半径为多少?
谢谢大家
半径为R的球的体积
V球
4 3
R3
OR
刘徽割圆术
割之弥细，失之弥少 割之又割，以至于不可割 则与圆合体，而无所失矣
学生活动：切橙子
把半球分割成n个薄片
把半球分割成n个薄片
把半球分割成n个薄片
分割→取近似→求和→取极限
探究三
hi
1. 经线圈和纬线圈将球面分割成n片，这 n片的面积分别记为S1, S2,…, Sn，球的
回顾：球体的定义
探究一
已知半球的半径为R，圆柱和圆锥的底面半径为R，高也为R. （1）请观察一下这三个几何体的体积之间有什么大小关系？ （2）设圆柱的体积为V，试猜想半球的体积为多少？
请各小组用实验的方法验证你的猜想是否正确.
祖暅原理
幂势即同 积不容异
祖冲之
祖暅，字景烁，是著名数学 家祖冲之的儿子，也是南北朝时 代的伟大科学家。他于5世纪末提 出祖暅原理。在欧洲直到17世纪 ，才有意大利数学家卡瓦列里提 出相关结论，比西方国家的数学 家早一千多年。
球的体积和表面积
球体无处不在！
已知标准篮球的直径为24.6厘米，则制作和使用 篮球往往需要考虑：
o
Vi 2. 分割越细密，即n越大，每一片的顶点
O
和球心的连线构成的几何体接近什么
几何体？其体积Vi可以如何近似求解？ 请列式表示出来.
3. 球的体积V可以如何表示？试着推导出球的表面积公式.
都是以R为自变量的函数
已知标准篮球的直径为24.6厘米，请大家计算篮 球的表面积和体积。
（2）正方体的各个顶点都在一个球 的球面上，已知正方体的棱长为a，求 该球的半径为多少?
谢谢大家
半径为R的球的体积
V球
4 3
R3
OR
刘徽割圆术
割之弥细，失之弥少 割之又割，以至于不可割 则与圆合体，而无所失矣
学生活动：切橙子
把半球分割成n个薄片
把半球分割成n个薄片
把半球分割成n个薄片
分割→取近似→求和→取极限
探究三
hi
1. 经线圈和纬线圈将球面分割成n片，这 n片的面积分别记为S1, S2,…, Sn，球的
回顾：球体的定义
探究一
已知半球的半径为R，圆柱和圆锥的底面半径为R，高也为R. （1）请观察一下这三个几何体的体积之间有什么大小关系？ （2）设圆柱的体积为V，试猜想半球的体积为多少？
请各小组用实验的方法验证你的猜想是否正确.
祖暅原理
幂势即同 积不容异
祖冲之
祖暅，字景烁，是著名数学 家祖冲之的儿子，也是南北朝时 代的伟大科学家。他于5世纪末提 出祖暅原理。在欧洲直到17世纪 ，才有意大利数学家卡瓦列里提 出相关结论，比西方国家的数学 家早一千多年。
球的体积和表面积
球体无处不在！
已知标准篮球的直径为24.6厘米，则制作和使用 篮球往往需要考虑：
1.3.2球的体积和表面积 课件
的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积
为16+20π ,则r=( B )
A.1
B.2
C.4
D.8
【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球
与半个圆柱的组合体,圆柱的底面半径与球的半 径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为 1 ×4πr2+
2
πr×2r+πr2+2r×2r=5πr2+4r2=16+20π,
R=6,
则球 O 的表面积为 S=4πR2=144π.
5.一个球的半径扩大到原来的3倍，则其表面积扩大 到原来的__9_倍，体积扩大到原来的_2_7_倍.
【解析】设球原来的半径为R，表面积为S表，体积为
V，则扩大后的半径为3R，表面积为 S表，体积为V′,
所以
S表 S表
=
4π(3R)2 4πR2
体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 ( C )
A.36π B.64π C.144π D.256π
【解析】如图所示,当点 C 位于垂直
于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O-ABC
的体积最大,设球 O 的半径为 R,此时
V =V = O-ABC C-AOB
1 3
×
1 2
R2×R=
1 6
R3=36,故
球的表面积是大圆 面积的4倍
球的体积与表面积
1.球的体积公式： V = 4 R 3. 3
2.球的表面积公式： S = 4 R 2 .
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2. 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
证明:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，
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截面，由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截
面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)． ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm)． 设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm. 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202， 在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2，解得x＝15，
∴R2＝x2＋202＝252，∴R＝25(cm)．
∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)． ∴球的表面积为2500π cm2.
(2)当截面在球心的两侧时，如图乙所示为球的轴截面，
由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1、O2分别为两截面圆
的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B. 设球的半径为R.
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)． ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm)． 设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400. 在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49. ∴x2＋400＝(9－x)2＋49， 解得x＝－15(cm)，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为2500π cm2.
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：由4πR2－4πr2＝48π，2πR＋2πr＝12π，得R－r ＝2.
答案：C
1．球的体积比等于半径的立方比，表面积之 比等于半径的平方比．
2．球体与多面体的组合体的解决关键是作出 以球的轴截面为主的球及多面体的轴截面图，实现空 间几何向平面几何的转化.
练习2.一个球的半径是2，它的表面积是__1_6_π____．
练习3.一个球的表面积变为原来的一半，半径是原来的 __2_2_____倍．
练习4.一个球的体积是36π，它的表面积是___3_6_π___．
思考应用
1．用一个平面去截球体，截面是什么平面图形？试在 球的轴截面图形中，展示截面图与球体之间的内在联系．
3．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的 半径是________．
解析：设大球半径为 R，则43πR3＝43π·13＋43π·13， ∴R3＝2，R＝3 2. 答案：3 2
为原来的(
球的体积和表面积 把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大
)
A．2倍
B．2 2 倍
C. 2 倍
D．3 2 倍
解析：作出截面图，分别求出三个球的半径．
设正方体的棱长为a.
(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个 正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图甲，所 以有2r1＝a，r1＝a2 ，所以S1＝4πr12＝πa2.
(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正
方体的对角面得截面，如图乙，所以有2r2＝
解析：可以想像，用一个平面 去截球体，截面是圆面，在球的轴截 面图中，截面圆与球的轴截面的关系 如图所示．若球的半径为R，截面圆 的半径为r，OO′＝d.在Rt△OO′C中， OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2.
2.正方体的外接球和内切球的球心分别在正方体的什么位 答案：都在正方体的中心.
空间几何体
1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.2 球的体积和表面积
基础梳理
1．球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝___43π_R_3___. 练习1.一个球的半径是2，它的体积为___3_32_π___． 2．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝_4_π_R_2__，即球的表面 积等于它的大圆面积的__4__倍．
2
a，r2＝
2 2
a，
所以S2＝4πr22＝2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面
得截面，如图丙，所以有2r3＝
3a，r3＝
3 2
a，所以S3＝4πr32＝
3πa2.
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
点评：解决与球有关组合体问题，可通过画过球心的截面 来分析．下列结论常用：
解析：V＝Sh＝πr2h＝43πR3，R＝3 64×27＝12 cm. 答案：12
1．若球的大圆周长是C，则这个球的表面积是( )
C2 A.4π
C2 B.2π
C2 C. π
D．2πC2
解析：由 2πR＝C，得 R＝2Cπ，∴S 球＝4πR2＝Cπ2.
答案：C
2．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为 12π，这两个球的半径之差为( )
解析：设改变前、后球的半径分别是r、r′，则由条件可
知4πr′2＝2×4πr2.∴r′＝ r.V′＝ 2
4πr3′3＝2 2×4π3r3.
答案：B
一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面 积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．
解析：(1)当截面在球心的同侧时，如图甲所示为球的轴
点评：球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体 几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球 的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来 分析解决问题．
球的内接、外切几何体问题
有三个球，第一个球内切于正方体，第二个 球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各 个顶点，求这三个球的表面积之比．
自测自评
1．若球的直径为1，则这个球的表面积为( )
A．4π
B．2π
C．π
D.
π 4
解析：球的半径为 1 ，球的表面积为4π×( )12＝π.
2
2
答案：C
2．两个球的半径之比为1∶2，那么这两个球的体积之 4
解析：V1∶V2＝R13∶R23＝1∶8. 答案：C
①长方体的8个顶点在同一个球面，则长方体的体对角线 是球的直径；
②球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的 棱长；
③球与正方体的8条棱均相切，则球的直径是正方体的面 对角线．
球的体积、表面积的综合应用
一个直径为32 cm的圆柱形水桶中放入一个铁 球，球全部没入水中后，水面升高9 cm，则此球的半径为 ________cm.
面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)． ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm)． 设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm. 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202， 在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2，解得x＝15，
∴R2＝x2＋202＝252，∴R＝25(cm)．
∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)． ∴球的表面积为2500π cm2.
(2)当截面在球心的两侧时，如图乙所示为球的轴截面，
由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1、O2分别为两截面圆
的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B. 设球的半径为R.
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)． ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm)． 设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400. 在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49. ∴x2＋400＝(9－x)2＋49， 解得x＝－15(cm)，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为2500π cm2.
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：由4πR2－4πr2＝48π，2πR＋2πr＝12π，得R－r ＝2.
答案：C
1．球的体积比等于半径的立方比，表面积之 比等于半径的平方比．
2．球体与多面体的组合体的解决关键是作出 以球的轴截面为主的球及多面体的轴截面图，实现空 间几何向平面几何的转化.
练习2.一个球的半径是2，它的表面积是__1_6_π____．
练习3.一个球的表面积变为原来的一半，半径是原来的 __2_2_____倍．
练习4.一个球的体积是36π，它的表面积是___3_6_π___．
思考应用
1．用一个平面去截球体，截面是什么平面图形？试在 球的轴截面图形中，展示截面图与球体之间的内在联系．
3．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的 半径是________．
解析：设大球半径为 R，则43πR3＝43π·13＋43π·13， ∴R3＝2，R＝3 2. 答案：3 2
为原来的(
球的体积和表面积 把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大
)
A．2倍
B．2 2 倍
C. 2 倍
D．3 2 倍
解析：作出截面图，分别求出三个球的半径．
设正方体的棱长为a.
(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个 正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图甲，所 以有2r1＝a，r1＝a2 ，所以S1＝4πr12＝πa2.
(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正
方体的对角面得截面，如图乙，所以有2r2＝
解析：可以想像，用一个平面 去截球体，截面是圆面，在球的轴截 面图中，截面圆与球的轴截面的关系 如图所示．若球的半径为R，截面圆 的半径为r，OO′＝d.在Rt△OO′C中， OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2.
2.正方体的外接球和内切球的球心分别在正方体的什么位 答案：都在正方体的中心.
空间几何体
1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.2 球的体积和表面积
基础梳理
1．球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝___43π_R_3___. 练习1.一个球的半径是2，它的体积为___3_32_π___． 2．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝_4_π_R_2__，即球的表面 积等于它的大圆面积的__4__倍．
2
a，r2＝
2 2
a，
所以S2＝4πr22＝2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面
得截面，如图丙，所以有2r3＝
3a，r3＝
3 2
a，所以S3＝4πr32＝
3πa2.
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
点评：解决与球有关组合体问题，可通过画过球心的截面 来分析．下列结论常用：
解析：V＝Sh＝πr2h＝43πR3，R＝3 64×27＝12 cm. 答案：12
1．若球的大圆周长是C，则这个球的表面积是( )
C2 A.4π
C2 B.2π
C2 C. π
D．2πC2
解析：由 2πR＝C，得 R＝2Cπ，∴S 球＝4πR2＝Cπ2.
答案：C
2．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为 12π，这两个球的半径之差为( )
解析：设改变前、后球的半径分别是r、r′，则由条件可
知4πr′2＝2×4πr2.∴r′＝ r.V′＝ 2
4πr3′3＝2 2×4π3r3.
答案：B
一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面 积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．
解析：(1)当截面在球心的同侧时，如图甲所示为球的轴
点评：球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体 几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球 的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来 分析解决问题．
球的内接、外切几何体问题
有三个球，第一个球内切于正方体，第二个 球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各 个顶点，求这三个球的表面积之比．
自测自评
1．若球的直径为1，则这个球的表面积为( )
A．4π
B．2π
C．π
D.
π 4
解析：球的半径为 1 ，球的表面积为4π×( )12＝π.
2
2
答案：C
2．两个球的半径之比为1∶2，那么这两个球的体积之 4
解析：V1∶V2＝R13∶R23＝1∶8. 答案：C
①长方体的8个顶点在同一个球面，则长方体的体对角线 是球的直径；
②球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的 棱长；
③球与正方体的8条棱均相切，则球的直径是正方体的面 对角线．
球的体积、表面积的综合应用
一个直径为32 cm的圆柱形水桶中放入一个铁 球，球全部没入水中后，水面升高9 cm，则此球的半径为 ________cm.