1.3.2 球的体积与表面积
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课件8：§1.3 第2课时 球的体积和表面积
球面上的动点．若三棱锥 O－ABC 体积的最大值为 36，则球 O
的表面积为( )
A．36π
B．64π
C．144π
D．256π
【解析】 如图，设球的半径为 R， 因为∠AOB＝90°，所以 S△AOB＝12R2. 因为 VO－ABC＝VC－AOB，而△AOB 面积为定值， 所以当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，VO－ABC 最大， 所以当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时， 体积 VO－ABC 最大为13×12R2×R＝36，所以 R＝6. 所以球 O 的表面积 S＝4πR2＝4π×62＝144π.故选 C. 【答案】 C
2．已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体
的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
49
7
A. 9 π
B.3π
28
28
C. 3 π D. 9 π
解析：由三视图，知该几何体是一个正三棱柱，其底面是边长为 2
的正三角形，侧棱长是 2，三棱柱的两个底面中心连线的中点与三
棱柱的顶点的连线就是其外接球的半径，设其外接球的半径为 r，则
【题型探究】
类型一 球的体积与表面积 [例 1] 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相 等，求圆锥侧面积与球面面积之比．
解 设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，球的半径为 R，
则由题意得 13πr2·h＝43πR3 r＝2R
，∴13π(2R)2·h＝43πR3，
∴R＝h，r＝2h，∴l＝ r2＋h2＝ 5h，
跟踪训练 2 某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A．72π
B．48π
C．30π
D．24π
1.3.2 球的体积和表面积
O A
O′
C
16 64 S = 4πR = 4π × π. = 9 9
2
B
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的 倍,则半径变为原来的 2 倍. 若球的表面积变为原来的2倍 则半径变为原来的 则半径变为原来的___倍 若球的表面积变为原来的 2.若球半径变为原来的 倍，则表面积变为原来的 4 倍. 若球半径变为原来的2倍 则表面积变为原来的___倍 若球半径变为原来的 3.若两球表面积之比为 ，则其体积之比是 1 : 2 2 若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______. 若两球表面积之比为
1:3 4. 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______. 若两球体积之比是1:2 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是
5.有三个球 一球切于正方体的各面,一球切于正 有三个球,一球切于正方体的各面 一球切于正 有三个球 一球切于正方体的各面 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点 一球过正方体的各顶点,求这三 方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求这三 个球的体积之比_________. 个球的体积之比 1 : 2 2 : 3 3
R ∵O′O = , ∆ABC是正三角形， ′A = 2 × 3 AB = 2 3 = r 是正三角形， O 2 3 2 3
′中 ′ ′ 在Rt∆OOA ,∵OA2 = OO2 + OA2 ,
R 2 2 3 2 ) , ∴R = ( ) + ( 2 3
2
4 ∴R = . 3
4 3 4 4 3 256 V = πR = π ( ) = π; 3 3 3 81
o
o
Si
(2)、近似求和. (2)、近似求和.
∆S i
O
球的体积和表面积
O A
O
R O O , ABC是正三角形， 2
C
B
2 3 2 3 OA AB r 3 2 3
例题讲解
例2.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等 于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面 积． 解：在RtOOA中, OA2 OO 2 OA2 ,
3 2 2 2
R
球的体积
V半球 1 1 (1 )( 2 ) n n ] R 3 [1 6
4 3 定理：半径是 R的球的体积为： V R 3
1 当n 时, 0. n 2 3 V半 球 R 3 4 3 从 而V R . 3
例题
例1.如图,圆柱的底面直径与高 都等于球的直径.求证: (1)球的体积等于圆柱体积的三 分之二； (2)球的表面积与圆柱的侧面积 相等.
Si
O
Vi
V V1 V2 V3 Vn
球的表面积 第 二 步： 求 近 似 和
Si
hi
O O
1 Vi S i hi 3 由第一步得：
Vi
V V1 V2 V3 Vn
1 1 1 1 V S1h1 S2 h2 S3 h3 Sn hn 3 3 3 3
2
球的体积
ri
2
R R i 1 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1,2, n n n n
3
R 2 R [ ( i 1)] , i 1,2,, n n
2
V半球 V1 V2 Vn
1 2 ( n 1) [n ] 2 n 3 n R 1 ( n 1) n ( 2n 1) [n 2 ] n n 6 1 ( n 1)( 2n 1) 3 R [1 2 ] n 6
2020版人教A数学必修2：1.3.2 球的体积和表面积
解析:(1)根据几何体的三视图,得该几何体是后部为半径等于2的半球 体,前部为正方体,棱长为2;所以该几何体的表面积是S=4×22+2π·22+ 22π=16+12π.故选C. 答案:(1)C
(2)如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为
.
解析:(2)由三视图可知该几何体是一个组合体,上半部分是半径为 1 的球的
(D)3 倍
解析:设小球半径为 1,则大球的表面积 S 大=36π,S 小+S 中=20π, 36π = 9 . 20π 5
解得 R= 6 ;所以外接球的体积为 V = 外接球 4π ×( 6 )3=8 6 π.故选 B
答案:(1)B
3
(2)(2018·广东靖远县高一期末)在三棱锥 S-ABC 中,SA=BC= 41 ,SB=AC=5,
SC=AB= 34 ,则三棱锥 S-ABC 外接球的表面积为
.
解析:(2)将三棱锥补成一个长、宽、高分别为a,b,c的长方体,
以AB,BD和CD为棱,把三棱锥A-BCD补充为长方体, 则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球,且长方体的对角线是外接球 的直径; 所以(2R)2=AB2+BD2+CD2=1+2+1=4,所以外接球O的表面积为4πR2=4π. 故选D. 答案:(1)D
(2)(2018·安徽六安高一期末)球内切于正方体的六个面,正方体的棱长为
(A) 9 π +12 2
(C)9π +42
(B) 9 π +18 2
(D)36π +18
解析:(1)由三视图可得这个几何体是由上面一个直径为 3 的球,下面一个底 面为正方形且边长为 3,高为 2 的长方体所构成的几何体,则其体积为:
(2)如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为
.
解析:(2)由三视图可知该几何体是一个组合体,上半部分是半径为 1 的球的
(D)3 倍
解析:设小球半径为 1,则大球的表面积 S 大=36π,S 小+S 中=20π, 36π = 9 . 20π 5
解得 R= 6 ;所以外接球的体积为 V = 外接球 4π ×( 6 )3=8 6 π.故选 B
答案:(1)B
3
(2)(2018·广东靖远县高一期末)在三棱锥 S-ABC 中,SA=BC= 41 ,SB=AC=5,
SC=AB= 34 ,则三棱锥 S-ABC 外接球的表面积为
.
解析:(2)将三棱锥补成一个长、宽、高分别为a,b,c的长方体,
以AB,BD和CD为棱,把三棱锥A-BCD补充为长方体, 则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球,且长方体的对角线是外接球 的直径; 所以(2R)2=AB2+BD2+CD2=1+2+1=4,所以外接球O的表面积为4πR2=4π. 故选D. 答案:(1)D
(2)(2018·安徽六安高一期末)球内切于正方体的六个面,正方体的棱长为
(A) 9 π +12 2
(C)9π +42
(B) 9 π +18 2
(D)36π +18
解析:(1)由三视图可得这个几何体是由上面一个直径为 3 的球,下面一个底 面为正方形且边长为 3,高为 2 的长方体所构成的几何体,则其体积为:
课件3：1.3.2 球的体积和表面积
4π5hπ2h2＝
25．
跟踪训练4 若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和 为6，求两球的体积之差．
解 设两个球的半径分别为 R，r(R>r)，
则由题意得 4πR2－4πr2＝48π， R＋r＝6，
∴(R＋r)·(R－r)＝12， ∴R－r＝2， ∴R＝4，
R＋r＝6，
R＋r＝6， r＝2.
两球的体积之差43π×43－43π×23＝43π(43－23)＝2234π.
∴该圆锥的体积和此球体积的比值为4338ππrr33＝392.
答案：
9 32
跟踪训练2 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、 PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积． 解 ∵PA、PB、PC 两两垂直，PA＝PB＝PC＝a， ∴以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体． 又∵P、A、B、C 四点是球面上四点， ∴球是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径．
(3)∵V 球＝43πR3＝5030π，∴R3＝125，R＝5， ∴S 球＝4πR2＝100π.
跟踪训练 1 如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的 表面积之比为________． 解析 根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等 于半径之比的立方，表面积之比等于半径之比的平方． ∵两个球的体积之比为8∶27，∴两个球的半径之比为2∶3， ∴两个球的表面积之比为4∶9. 答案：4∶9
谢 谢！
将球取出后，设容器中水的深度为 h，则水面圆的半径为 33h， 水的体积恒定， 则容器内水的体积是 V′＝13π·( 33h)2·h＝19πh3. 由 V＝V′，得 h＝3 15r. 即这时容器中水的深度为3 15r.
跟踪训练 3 将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，
球的体积与表面积
五、有关球的切、接问题
• 长方体的外接球 D’ A’ D A B
长方体的共顶点的三个 棱长分别是3 ,4, 5 ，求长 方体的外接球的表面积
C’ o
B’ CБайду номын сангаас
六、正四面体与球的组合问题——正 四面体的内切球
【例3】各棱长为 3 的四面体内有一内切球，求该 球的半径。
S
A
O
O1 O B D
C
通常用等体积法 求一个多面体的内 切球的半径。
正四面体的棱切球
C
A 同理，正四面体的 D
棱切球就是对应正 方体的内切球。
B
解决与球有关的组合体问题的解题 技巧
• (1)与球有关的组合体问题：解题时要认真分析 图形，明确切点位置，明确有关元素间的数量关 系，并且作出合适的截面图. • (2)球与旋转体的组合，通过作它们的轴截面 解题. • (3)球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱 和球心、切点或接点作出截面图.
球与正方体六个 五、有关球的切、接问题 面均相切，切点
为各面的中心
• 一、正方体的内切球
A
B
A
B O D
C
D
C
过球心的截面
正方体的内切球的半径是棱长的一半，即直径等于棱长
五、有关球的切、接问题
• 二、正方体的棱切球
五、有关球的切、接问题 与12条棱均相切，
切点为各棱中点
• 二、正方体的棱切球
D’
A
正方体的内切球的直 径等于棱长，即 d = a 1 （或 r 2 a ）；
正方体的棱切球的直 正方体的外接球的直 径等于面对角线，即 径等于体对角线，即 2 a） d 3a （或 r 3 a ） d 2a （或 r 2 2
课件4：1.3.2 球的体积和表面积
名师指导
1．在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过 作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而 这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等． 2．几个常用结论 (1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方 体的棱长等于球的直径；
名师指导 (2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体 的体对角线长等于球的直径； (3)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱 的高，也等于圆柱底面圆的直径； (4)球与棱锥相切，则可利用 V 棱锥＝31S 底 h＝13S 表 R，求球 的半径 R.
()
A. 92π＋12
B. 92π＋18
C．9π＋42
D．36π＋18
题型探究 【解析】 由三视图可得这个几何体是由上面一个直径 为 3 的球，下面一个底面为正方形且边长为 3，高为 2 的长方体所构成的几何体，则其体积为： V＝V1＋V2＝43×π×323＋3×3×2＝92π＋18. 【答案】 B
【答案】 D
课堂检测
2．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在
一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
课堂检测
【解析】 设该球的半径为R， ∴(2R)2＝(2a)2＋a2＋a2＝6a2， 即4R2＝6a2. ∴球的表面积为S＝4πR2＝6πa2. 【答案】 B
跟踪训练
1．球的体积是332π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
16π C. 3
64π D. 3
跟踪训练
【解析】 设球的半径为 R， 则由已知得 V＝34πR3＝323π，R＝2. ∴球的表面积 S＝4πR2＝16π. 【答案】 B
1.3.2 球的体积和表面积
A.72π
B.48π
C.30π
D.24π
2.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为
.
【解题探究】1.典例1中的三视图表示什么几何体? 提示:典例1中几何体是半球与一个圆锥的组合体. 2.典例2中的几何体表示什么? 提示:该几何体为一个半球.
【解析】1.选C.由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体 的组合体,球的半径为3,圆锥的底面半径为3、高为4,那么根据体积公 式可得组合体的体积为30π. 2.由三视图得该几何体为半径为1的半球,则表面积为半球面+底面圆, 代入数据计算为S= 1 ×4π×12+π×12=3π.
【变式训练】球的大圆面积扩大到原来的4倍,那么球的表面积扩大到 ( A.16倍 B.2倍 C.4倍 D. 4 倍
3
)
【解析】选C.球的大圆面积扩大到原来的4倍,则半径成为原来的2倍, 所以球的表面积也变为原来的4倍.
类型二
由三视图求球的体积与表面积
【典例】1.(2015·济宁高一检测)某几何体的三视图如图所示,它的 体积为 ( )
答案:12π
【补偿训练】一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的 体积为 m 3.
【解析】组合体的上面是一个长、宽、高分别为6,3,1的长方体,下面 是两个半径为
3 的相切的球体,所以所求的体积是:V=2V球+V长方体=2× 2
4 3 π × ( )3 +6×3×1=9π +18. 3 2
【方法技巧】求球的表面积与体积的一个关键和两个结论 (1)关键:把握住球的表面积公式S球=4π R2,球的体积公式V球=
4 π R3 3
是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件.把握住 公式,球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了. (2)两个结论:①两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方; ②两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方.
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小结
4 3 球的体积公式： V球 πR 3
球的表面积公式： S 球 4R
2
作业
课本P32练习
球的体积 球的表面积
4 3 V球 R 3
S球 4 R
2
都是以R为自变量的函数
例题
例1.如图,圆柱的底面直径与高 都等于球的直径.求证: (1)球的体积等于圆柱体积的三 分之二； (2)球的表面积与圆柱的侧面积.
O
证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R, 高为2R. 4 V球 R 3 3 2 3 V圆 柱 R 2R 2 R R O
球的体积与
表面积
复习
1. 柱、锥、台的体积计算公式？ 圆柱、 圆锥的侧面积、表面积计算公式？ 2. 两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的 高分成相等的三段，求圆锥分成的三 部分的侧面积之比、三部分的体积之 比.
球的体积
设球的半径为R，它的体积怎么
求呢？你有什么方法吗？
事实上，如果球的半径为R，那 么它的体积为：
D A D1 A1 O B
C
分析:正方体内接于 球,则由球和正方体 都是中心对称图形 可知,它们中心重合, 则正方体对角线与 球的直径相等.
证明略
练习
1.正方形的内切球和外接球的体积的比 为 3 3 : 1，表面积比为 3 : 1 . 2. 若球的表面积变为原来的2倍,则半径 变为原来的___倍. 2 3. 若两球表面积之比为1:2，则其体积之 比是______. 1: 2 2 4. 若两球体积之比是1:2，则其表面积之 3 比是______. 1: 4的体积
h
实验
排液法测小球的体积
H
h
你还有别的方法吗？
小 球 它 的 排 等 体 开 于 积 液 体 的 体 积
球的表面积
设球的半径为R，它的表面积怎
么求呢？你有什么方法吗？
事实上，如果球的半径为R，那 么它的表面积为：
S球 4 R
2
球的体积与表面积:
2 V球 V圆柱 3 (2) S 球 4R 2
S圆柱侧 2R 2 R 4R 2
S 球 S圆柱侧
例题
例2.如图，已知球O的半径为R,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都 在球O的球面上，求证： 3 a R
2
D A C1 B1 A1 D1 B1 O C1 B C