裂项相消法原理

裂项相消法是把每项都拆成两项，然后这两项跟前后的有关系，可以消掉。数列裂项相消公式是1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)。变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。裂项相消就是根据数列通项公式的特点，把通项公式写成前后能够消去的形式，裂项后消去中间的部分，达到求和目的一种数列求和方法。

裂项相消法公式大全

裂项相消法公式大全裂项相消法是一种数学方法，用于解决等差数列、等比数列以及无理数列的求和问题。该方法的基本思想是将等差数列、等比数列以及无理数列的每一项分别裂项，然后将裂项相消，从而得到等差数列、等比数列以及无理数列的和。以下是裂项相消法的一些公式: 1. 等差数列求和公式: Sn = n * (a1 + an) / 2 其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。 2. 等比数列求和公式: Sn = (n/2) * (a1 * an) / (an + a1) 其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。 3. 无理数列求和公式: 对于无理数列，可以将每一项裂项，然后相消。例如，对于无理数列π*(n+1)/n，可以将π*(n+1)/n 裂项为π/n 和 (n+1)*π/n，然后将两项相消。 4. 等差数列裂项公式: a[n+1] - a[n] = (n+1-n)*a1 其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。

5. 等比数列裂项公式: a[n+1]/a[n] = (a[n]/a[n-1])*(a[n-1]/a[n]) 其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。 6. 无理数列裂项公式: π*(n+1)/n - π/n = (n+1-n)*π 其中，π*(n+1)/n 是数列的第 n+1 项，π/n 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。以上是裂项相消法的一些公式，可以根据实际需要选择合适的公式进行求解。

数列求和的“裂项相消法”讲解

对于本题通项公式类型的数列，采用的“求前n 项和”的方法叫“裂项相消法”——就是把通项拆分成“两项的差”的形式，使得恰好在求和时能够“抵消”多数的项而剩余少数几项。很多题目要善于进行这种“拆分” 请看几例：（1）本题： n a ===-“分子有理化”技巧）得 41111111 n S =++++==-----… 【往下自己求吧！答案 C 】（2）求和 1111122334(1) n S n n =++++???+… 解：通项公式：()()()1111111 n n n a n n n n n n +-===-+++ 所以 111111*********n S n n ????????=-+-+-++- ? ? ? ?+???????? (1) 111n n n =- +=+

（3）求和 1111377111115(41)(43) n S n n =++++???-+… 解：()()()()()()43411 111141434414344143n n n a n n n n n n +--??===- ?-+-+-+?? 得 1111377111115(41)(43) n S n n =++++???-+… 11111111143771111154143n n ??????????=-+-+-++- ? ? ? ???-+?????????? … 1114343n ??=- ?+?? () 343n n = + （4）求和 1111132435(2) n S n n =++++???+… ()()()21111122222n n n a n n n n n n +-??===- ?+++?? ()()()()1111111113243546572112n S n n n n n n = ++++++++?????--++... 1111111111111112132435462112n n n n n n ????????????????=-+-+-+-++-+-+- ? ? ? ? ? ? ???--++???????????????? (11111212) n n =+--++ （仔细看看上一行里边“抵消”的规律） 311212 n n =--++ 最后这个题，要多写一些项，多观察，才可能看出抵消的规律来。

裂项相消法公式求和公式

裂项相消法公式求和公式在数学中，求和公式是一个非常基础的概念，它用于将一系列的数值相加，得到它们的总和。裂项相消法是求和公式的一种常见方法，在这种方法中，我们通过将相邻的项相减，以消去一些项，从而简化求和公式。本文将详细介绍裂项相消法的公式和使用方法。裂项相消法公式裂项相消法公式是一个非常重要的求和公式，它可以用来求解一些较为复杂的求和问题。这个公式的具体形式如下： $$\sum_{i=1}^{n}a_i=\frac{1}{2}\left[\sum_{i=1}^{n}(a_i+a_{n- i+1})-\sum_{i=1}^n(a_i-a_{n-i+1})\right]$$ 这个公式看起来比较复杂，但实际上它非常简单。其中，$\sum_{i=1}^{n}a_i$表示从1到n的所有$a_i$的和，而$\sum_{i=1}^{n}(a_i+a_{n-i+1})$和$\sum_{i=1}^{n}(a_i-a_{n-i+1})$分别表示将$a_i$和$a_{n-i+1}$相加和相减后的总和。根据裂项相消法的原理，这两个总和相减后，可以得到原始的$a_i$的和。使用裂项相消法求和使用裂项相消法求和的具体方法非常简单，只需要按照公式进行计算即可。以下是一个具体的例子：

$$\sum_{i=1}^{5}i^3$$ 我们可以使用裂项相消法来计算这个求和式。首先，我们可以将这个求和式写成两个总和的形式： $$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{5}i^3&=\frac{1}{2}\left[\sum_{i =1}^{5}(i^3+(6-i)^3)-\sum_{i=1}^{5}(i^3-(6- i)^3)\right]\\&=\frac{1}{2}\left[\sum_{i=1}^{5}(i^3+(6-i)^3)-\sum_{i=1}^{5}(2i^3-3i^2\times6+3i\times36- 2\times6^3)\right]\end{aligned}$$ 然后，我们可以使用简单的代数运算来计算这两个总和： $$\begin{aligned}&\sum_{i=1}^{5}(i^3+(6- i)^3)=2\times\sum_{i=1}^{5}(i^3+108- 18i^2)\\=&2\times(\sum_{i=1}^{5}i^3+540- 18\sum_{i=1}^{5}i^2)\\=&2\times(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3 +540- 18\times(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2))\\=&2\times(1+8+27+6 4+125+540- 18\times55)\\=&2\times(775)=1550\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&\sum_{i=1}^{5}(2i^3- 3i^2\times6+3i\times36-

裂项相消法公式推导

裂项相消法公式推导设有一个一次方程：$ax + b = cx + d$。首先，我们将方程中的$a$与$c$相加或相减，将$b$与$d$相加或相减。这样可以得到一个新的方程： $(a\pm c) x + (b\pm d) = 0$。根据方程中系数的正负情况，我们有四种不同的情况：情况1：$(a+c)x+(b+d)=0$；情况2：$(a+c)x+(b-d)=0$；情况3：$(a-c)x+(b+d)=0$；情况4：$(a-c)x+(b-d)=0$。接下来，我们将分别讨论这四种情况，以便更好地理解裂项相消法。情况1：$(a+c)x+(b+d)=0$ 我们可以通过相除的方式，将$(a+c)$与$(b+d)$相消，从而得到 $x$的值。例如：$2x+3=5x+7$。将$a=2$，$b=3$，$c=5$，$d=7$代入情况1的公式： $(a+c)x+(b+d)=0$ $(2+5)x+(3+7)=0$ $7x+10=0$

将$x$的系数和常数项分别相除： $\frac{7x}{7} + \frac{10}{7} = 0$ $x + \frac{10}{7} = 0$ $x = -\frac{10}{7}$ 所以，原方程的解为$x = -\frac{10}{7}$。情况2：$(a+c)x+(b-d)=0$ 在这种情况下，我们同样可以通过相除的方式，将$(a+c)$与$(b-d)$相消，从而得到$x$的值。例如：$2x+3=5x-7$。将$a=2$，$b=3$，$c=5$，$d=-7$代入情况2的公式： $(a+c)x+(b-d)=0$ $(2+5)x+(3-7)=0$ $7x-4=0$ 将$x$的系数和常数项分别相除： $\frac{7x}{7} - \frac{4}{7} = 0$ $x - \frac{4}{7} = 0$ $x = \frac{4}{7}$ 所以，原方程的解为$x = \frac{4}{7}$。情况3：$(a-c)x+(b+d)=0$

第04讲数列求和 (精讲)(解析版)-2023年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)

第04讲数列求和 (精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：裂项相消求和法题型二：错位相减求和法题型三：分组求和法题型四：倒序相加求和法第四部分：高考真题感悟 1.公式法 (1)等差数列前n 项和公式11()(1)22 n n n a a n n d S na +-= =+; (2)等比数列前n 项和公式1 11(1)11n n na q S a q q q =⎧⎪ =-⎨≠⎪-⎩ 2.裂项相消求和法: 裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前n 项和变成首尾若干少数项之和,从而求出数列的前n 项和. ①21111 (1)1 n n n n n n ==-+++ ② 1111 ()()n n k k n n k =-++

③ 211111 ()41 (21)(21)22121 n n n n n = =---+-+ ④ 1111 ()(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ 1 k = 3.错位相减求和法: 错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =⋅，其中{}n a 、{}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 4.分组求和法: 如果一个数列可写成n n n c a b =±的形式，而数列{}n a ，{} n b 是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法. 5.倒序相加求和法: 即如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n 项和. 1．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）若数列{}n a 满足() 1 1n a n n =+，则{}n a 的前2022项和为（） A ． 12023 B ． 2022 2023 C ． 1 2022 D ． 2021 2022 【答案】B 解：由题得()111 11 n a n n n n = =-++，所以{}n a 的前2022项和为1111 1112022 11223 2022202320232023 -+-+ + -=-=. 故选：B 2．（2022·全国·高三专题练习（文））若数列{an }的通项公式为an ＝2n ＋2n －1，则数列{an }的前n 项和为（） A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋n －2 D ．2n ＋1＋n 2－2 【答案】D

数列的裂项相消法结合放缩法技巧及经典例题讲解

数列的裂项相消法结合放缩法技巧及经典例题讲解一．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.常用的放缩技巧（1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） 1n n -<21n n n >-，111n n +>2(1)n n n n +>= （3） 21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n -=<<=->++-- （4）2(1)2(1)11n n n n n n n n n n n +=<=<=-++++- （5）若,,a b m R +∈，则,a a a a m b b m b b +><+ （6）21111111 112!3!!222 n n -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+ （7）2221111111111(1)()()232231n n n + ++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211(1)n n n <-）（7） 1111111112321111n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++ 或11111111 123222222 n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ （8）123n n n n n n +⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+== （9） )1(11)1(12-<<+k k k k k ，⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211 （10） 1 211 2-+< <++k k k k k 【经典回放】例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =, 21212 33 n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值； (Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有 12 11 174 n a a a +++ <.

裂项相消法的公式

裂项相消法的公式裂项相消法是一种求解代数式的方法，可以通过对某些项进行分解，从而实现消去相同的项，从而简化计算。该方法适用于多项式和分式，下面详细介绍一下这种方法的公式和应用。公式：对于多项式和分式中的一些项，如果它们的差是一个常数，那么我们可以借助裂项相消法将它们消去。具体而言，我们可以将这些项的和或差表示为如下形式： a / (x - p) + b / (x - q) 其中，a和b是常数，p和q是两个不同的实数。注意，这里的x 是变量，不等于p或q。这个式子可以用通分的方式表示为：(a(x - q) + b(x - p)) / ((x - p)(x - q)) 可以看出，这个式子的分母是(x - p)(x - q)，而分子是a(x - q) + b(x - p)，其中的(x - p)和(x - q)是“相消”的项，因此可以约掉，留下(a(x - q) + b(x - p))这一常数。应用：裂项相消法可以用于简化多项式和分式中的表达式，让计算变得更加简便。例如，我们可以用这个方法来计算以下式子的值： 1 / (x - 2) + 2 / (x + 1)

首先，我们可以将这个式子表示为通分的形式： (1(x + 1) + 2(x - 2)) / ((x - 2)(x + 1)) 展开后，可以得到： (3x - 3) / (x^2 - x - 2) 可以看出，这个结果已经比原式简化了很多。在具体计算时，我们只需要将原式表示为上述形式，然后将分母进行分解，最终得到一个简单的代数式。总之，裂项相消法是一种非常实用的方法，适用于求解各种代数式。通过它，我们可以将原本复杂的计算问题转化为简单的分解和化简过程，让数学计算变得更加轻松。

高中数学知识点裂项

任给数列}{n a ，如果存在数列}{n b 和+∈N k ，使得()++∈=-N n a b b n n k n ，那么 ()∑∑=+=-=m n n k n m n n b b a 1 1 上述结论的右边经过前后抵消后最多只有k 2项，这就是裂项相消法的一般原理和过程. 类比函数的导数的定义： ()()()x f x x f x x f x 'lim =∆-∆++∞ →,可将n n a b b k n =-+变形为 n n k n a k k b b 1 =-+ 微积分的经验告诉我们，求一个函数的导数比较容易，但反过来求导函数的原函数则比较困难，因此，我们可以先求出各类函数的导数，从中找出导数和原函数之间形式上的联系，然后再反过来得出导数的原函数类似的，已知n a 要写出n b 相对比较困难，所以我们类比地先做出一些数列的项差（即差分），通过发现两者形式上的联系，找出一系列常见数列的裂项求和法.下面类比导数的类型分别列出裂项求和的几种常见类型. （指数型）例 1.因为)1()1(1 ≠-=-+a a a a a n n n ,所以() n n n a a a a --= +11 1 ，故1)(1111 11--=--=+=+=∑∑a a a a a a a m m n n n m n n ,以往等比数列的求和一般采用错位相减法，上例说明也可以用裂项相消法. （对数型）例 2.因为 )1 1(l o g l o g )1(l o g n n n a a a +=-+,所以 [])1(l o g )(l o g )1(l o g )1 1(l o g 1 1+=-+=+∑∑==m n n n m n a a a m n a （三角函数型）例3.因为2 sin cos 2)21sin()21 sin(x nx x n x n =--+ 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+= x n x n x nx )21sin()21sin(2 sin 21 cos 故 ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡ -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+= ∑∑==2sin )21sin(2sin 2121sin )21sin(2sin 21 cos 11 x x m x x n x n x nx m n m n 同理 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +-= ∑=x m x x nx m n )21cos(2cos 2 sin 21 sin 1

五年级思维训练｜第65题裂项相消法

五年级思维训练｜第65题裂项相消法【思路与解法】利用裂项公式，在计算若干个分数之和时，如果能把每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算。五年级思维训练｜第1题小数乘法的简便计算五年级思维训练｜第2题简易方程五年级思维训练｜第3题观察物体五年级思维训练｜第4题面积五年级思维训练｜第5题面积五年级思维训练｜第6题生活中的编码

五年级思维训练｜第7题图形变换——平移五年级思维训练｜第8题质数、合数与分解质因数五年级思维训练｜第9题公因数与最大公因数五年级思维训练｜第10题公倍数与最小公倍数五年级思维训练｜第11题奇数与偶数五年级思维训练｜第12题长方体的表面积五年级思维训练｜第13题长方体的体积五年级思维训练｜第14题枚举法五年级思维训练｜第15题容斥原理五年级思维训练｜第16题分数的大小比较五年级思维训练｜第17题单位分数五年级思维训练｜第18题可能性问题五年级思维训练｜第19题优化策略五年级思维训练｜第20题最值问题五年级思维训练｜第21题逻辑推理问题五年级思维训练｜第22题置换问题五年级思维训练｜第23题牛吃草问题五年级思维训练｜第24题统筹方法五年级思维训练｜第25题小数乘法的简便计算五年级思维训练｜第26题解方程五年级思维训练｜第27题观察物体五年级思维训练｜第28题三角形的面积五年级思维训练｜第29题阴影部分的面积五年级思维训练｜第30题车牌号中的信息五年级思维训练｜第31题图形的平移五年级思维训练｜第32题因数的个数五年级思维训练｜第33题公因数与最大公因数五年级思维训练｜第34题公倍数五年级思维训练｜第35题奇数与偶数五年级思维训练｜第36题表面积