数列求和裂项相消法
裂项相消法【1 】
典范例题
（以下n均为正整数）
例1：
这是一道较为简略的裂项相消法化简题,１到２,２到３,３到４,……,n到n＋１,都相差１,直接裂项即可.（化成1/1-1/2+1/2-1/3...）
例2：
这是例１的升华题,是将分母稍作变更,标题就不一样了.１到3,3到5,5到7,……,2n-1到2n＋１,都相差2,裂项后总体要乘以1/2,如许才可以.
例3：
这是例2的拓展题,此时分母每个因数相差3了,做法一样,裂项后总体要乘以1/3,如许才行.
例4：
这是将例1一般化,此时分母每个因数相差1,裂项后直接相消.
例5：
这是将例3的拓展题,此时分母每个因数相差3,做法一样,裂项后总体要乘以1/3,如许才行.
例6：
这道题易错题,易写成,如许就造成错误,本来是正的,如今是负的.正好相反,这一点多留意.
例7：
这道题易错题,如许就造成错误,本来是正的,如今是负的.正好相反,这一点多留意.
数列裂项相消知识点
数列裂项相消是一种常用的数列求和技巧，可以帮助我们简化数列求和的过程。在本文中，我将为大家介绍数列裂项相消的基本原理和应用方法。 一、数列裂项相消的基本原理在求和过程中，我们经常会遇到连续数列，即数列中的元素相差固定的值。假设我们有一个连续数列{a, a+d, a+2d, a+3d, …}，其中 a为首项，d为公差。如果我们将这个数列从头和从尾开始相加，会发现很多项会 相消掉，最后只剩下首项和尾项。 二、数列裂项相消的应用方法假设我们要求解连续数列{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} 的和。我们可以使用数列裂项相消的方法来简化求和过程。 首先，我们可以将这个数列分为两部分：{1, 3, 5, 7}和{9, 11, 13, 15}。接下来， 我们将这两个数列从头和从尾开始相加： 1 + 15 = 16 3 + 13 = 16 5 + 11 = 16 7 + 9 = 16 可以发现，这四组数的和都是16。而在原始数列中，这四组数分别位于数列 的首项和尾项，所以它们的和也等于数列的和。 所以，我们只需要计算数列的首项和尾项，然后将它们相加，即可得到数列的和。在这个例子中，首项为1，尾项为15，所以数列的和为1 + 15 = 16。 三、数列裂项相消的推广数列裂项相消不仅适用于连续数列，还可以推广到其他类型的数列。 例如，对于等差数列{a, a+d, a+2d, a+3d, …}，我们可以将它裂为两部分： {a, a+d, a+2d, …}和{a+3d, a+4d, a+5d, …} 然后将这两个数列从头和从尾开始相加，最后只剩下首项和尾项。 对于等比数列{a, ar, ar^2, ar^3, …}，同样可以使用数列裂项相消的方法来简化 求和过程。 四、数列裂项相消的优势数列裂项相消的方法在求和过程中可以大大简化计算，特别是对于长数列来说。通过将数列分为两部分，并从头和从尾开始相加，我们可以消除大部分中间项，只保留首项和尾项，从而大幅度减少计算量。 另外，数列裂项相消的方法也可以帮助我们更好地理解数列的求和规律。通过 观察首项和尾项的关系，我们可以推导出数列求和的通项公式，进一步拓展数学思维。 总结：数列裂项相消是一种常用的数列求和技巧，通过将数列分为两部分，并从头和从尾开始相加，可以帮助我们简化计算过程并更好地理解数列的求和规律。无论是连续数列、等差数列还是等比数列，都可以应用数列裂项相消的方法进行求和。这种方法不仅能够减少计算量，还能够提高数学思维的拓展能力。希望本文对大家对数列裂项相消有更深入的了解和应用提供帮助。
裂项相消法公式大全
裂项相消法公式大全 裂项相消法是一种数学方法，用于解决等差数列、等比数列以及无理数列的求和问题。该方法的基本思想是将等差数列、等比数列以及无理数列的每一项分别裂项，然后将裂项相消，从而得到等差数列、等比数列以及无理数列的和。 以下是裂项相消法的一些公式: 1. 等差数列求和公式: Sn = n * (a1 + an) / 2 其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。 2. 等比数列求和公式: Sn = (n/2) * (a1 * an) / (an + a1) 其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。 3. 无理数列求和公式: 对于无理数列，可以将每一项裂项，然后相消。例如，对于无理数列π*(n+1)/n，可以将π*(n+1)/n 裂项为π/n 和 (n+1)*π/n，然后将两项相消。 4. 等差数列裂项公式: a[n+1] - a[n] = (n+1-n)*a1 其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。
5. 等比数列裂项公式: a[n+1]/a[n] = (a[n]/a[n-1])*(a[n-1]/a[n]) 其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。 6. 无理数列裂项公式: π*(n+1)/n - π/n = (n+1-n)*π 其中，π*(n+1)/n 是数列的第 n+1 项，π/n 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。 以上是裂项相消法的一些公式，可以根据实际需要选择合适的公式进行求解。
数列裂项相消法例子
数列裂项相消法 数列裂项相消法是一种常用的数学技巧，用于求解一些复杂的数列求和问题。以下是几个例子，说明该方法的应用。 例1：已知等差数列{an}，其中a1=1，d=2，求前n项和Sn。 解：首先，我们可以将等差数列的通项公式表示为an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。 然后，我们可以将前n项和表示为Sn=a1+a2+...+an。 接下来，我们使用裂项相消法，将相邻两项相加，得到： Sn=(1+3)+(3+5)+...+[(2n-3)+(2n-1)] =2+4+ (2) =n(n+1) 例2：已知等比数列{an}，其中a1=1，q=2，求前n项和Sn。 解：首先，我们可以将等比数列的通项公式表示为an=a1*q^(n-1)=2^(n-1)。 然后，我们可以将前n项和表示为Sn=a1+a2+...+an。 接下来，我们使用裂项相消法，将相邻两项相减，得到： Sn=(1-2)+(2-4)+...+[2^(n-2)-2^(n-1)]+2^(n-1) =-1-1-...-1+2^(n-1) =-(n-1)+2^(n-1) =(2^n)-1-(n-1) =(2^n)-n 例3：已知数列{an}，其中an=n^2，求前n项和Sn。 解：首先，我们可以将数列的通项公式表示为an=n^2。 然后，我们可以将前n项和表示为Sn=a1+a2+...+an。
接下来，我们使用裂项相消法，将相邻两项相减，得到： Sn=(1^2-0^2)+(2^2-1^2)+...+[n^2-(n-1)^2] =1+3+5+...+(2n-1) =n^2 通过以上例子可以看出，裂项相消法是一种非常实用的数学技巧，可以用于求解各种复杂的数列求和问题。需要注意的是，在使用该方法时，需要根据具体的数列类型和题目要求来选择合适的裂项方式。
数列求和裂项相消法
数列求和裂项相消法 数列求和裂项相消法是一种利用数列中相邻项之差的特殊性质，通过对数列元素进行分解和化简，最终得到数列的和的公式的方法。 具体步骤如下： 1. 找出数列中相邻项的差，通过将相邻项进行相减，得到一个新的数列。 2. 对新数列进行合并。如果新数列中对应的项之间存在相消的情况，可以将它们合并为一个式子。 3. 将合并后的式子进行分解，找出一些特定的公式或规律。 4. 将分解后的公式和规律代入到原数列的求和公式中，得到数列的和的公式。 下面以一个简单的例子来说明这种方法： 例子：求数列1+3+5+7+9+...+99的和。 分析：这个数列中相邻项的差为2，所以我们可以将它分解为： 1 + (3-2) + (5-2*2) + (7-3*2) + (9-4*2) + ... + (99-49*2) 在对每一项进行合并时，可以发现有些项之间存在相消的情况，比如：
3-2和2*1可以相消； 7-3*2和2*2可以相消； 11-4*2和2*3可以相消； ... ... 因此，我们可以将这些相消的项合并起来，得到下面的式子： 1 + 2(1-2) + 2(2-3) + 2(3-4) + ... + 2(49-50) 接下来，我们可以将每一项进行拆分，得到如下的式子： 1 + 2(-1) + 2(-1) + 2(-1) + ... + 2(-1) 或者简写为： 1 - 2 + 2 - 2 + 2 - ... + 2 - 2 这是一个等差数列，公差为-2，首项为1，共有50项。因此，它的和可以通过等差数列求和公式来计算： S = (a1 + an) * n / 2 其中，a1是首项，an是最后一项，n是项数。将这些值代入到求和公式中，得到：
数列的求和(裂项相消法)
数列的求和（裂项相消法） 对于⎭ ⎬⎫⎩⎨ ⎧ +1n n a a c ，其中{}n a 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用1+n n a a c =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+111n n a a d c ， 常见拆项： 1 11)1(1+-=+n n n n )121 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n 1 k = =1、已知数列的的通项，求数列的前n 项和： （1） )1(1+=n n a n （2）) 2(1 +=n n b n 2、求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1 1, ,3 21, 2 11n n 的前n 项和. 3、在数列{a n }中，11211++ ⋅⋅⋅++++= n n n n a n ，又1 2+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
4、等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =log 3 a 1 +log 3 a 2 +…+log 3 a n ，求数列{}的前n项和． 5、正项数列{a n }满足﹣（2n﹣1）a n ﹣2n=0． （1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）令b n =，求数列{b n }的前n项和T n ． 6、已知等差数列{a n }满足：a 3 =7，a 5 +a 7 =26．{a n }的前n项和为S n ． （1）求a n 及S n ；（2）令（n∈N*），求数列{b n }的前n项和T n ．
7. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点), (n s n n 在直线2 11 21+=x y 上，数列{}n b 满足0212=+-++n n n b b b ，()* N n ∈，113 =b ，且其前9项和为153. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设) 12)(112(3 --=n n n b a c ，求数列{}n c 前n 项的和n T . 8、已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足5,053-==S S (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列21211 n n a a -+⎧ ⎫⎨⎬⎩⎭ 的前n 项和．
数列求和裂项相消法例题
数列求和裂项相消法例题 摘要： 一、引言 二、数列求和的基本概念 三、裂项相消法的原理 四、裂项相消法求和实例解析 五、总结与展望 正文： 一、引言 数列求和是数学中的一个基本概念，裂项相消法是求解数列和的一种常用方法。本文将详细介绍数列求和裂项相消法的原理，并通过实例解析帮助读者理解和掌握这种方法。 二、数列求和的基本概念 数列求和是将一个数列中所有项相加得到的总和。常见的数列求和方法有等差数列求和公式、等比数列求和公式等。裂项相消法是求解数列和的一种方法，尤其适用于部分和容易计算的数列。 三、裂项相消法的原理 裂项相消法是将数列中的相邻两项相互抵消，从而简化求和过程。具体操作是，将数列{a_n}的相邻两项a_n 和a_(n+1) 相减，得到一个新的数列{b_n}，使得b_n = a_n - a_(n+1)。这样，原数列的和就可以表示为b_1 + b_2 + ...+ b_n 的形式，从而简化求和过程。
四、裂项相消法求和实例解析 下面我们通过一个具体的例子来说明裂项相消法的应用。 例题：求数列1, 2, 3, 4, ...的前n 项和。 解析：我们可以使用裂项相消法来求解这个数列的和。首先，将相邻两项相减，得到新数列-1, -1, -1, ...，可以发现这个新数列是一个公差为-1 的等差数列。接下来，我们可以利用等差数列求和公式求解这个新数列的和，即：S_n = n * (2 * (-1) + (n - 1) * (-1)) / 2 = n^2 - n 所以，原数列1, 2, 3, 4, ...的前n 项和为n^2 - n。 五、总结与展望 裂项相消法是一种求解数列求和的简便方法，尤其适用于部分和容易计算的数列。
数列的求和方法----裂项法
用裂项相消法对数列求和（文科用） 西安市第一中学：张平乐 在数列求和的方法中，裂项相消法是一种重要的方法. 裂项相消法——化作同一个数列中的两项之差的形式,适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+1n n a a c 、⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧⋅+k n n a a c 其中{}n a 是各项不为0的等差数列，+∈N k ，c 为常数；部分无理数列等等. 裂项法的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，如果，数列通项是分式，分母是几个因子连乘的形式，裂项往往是将分子变成分母中一些因子之差的形式进行裂项；如果是几个因子连乘的形式，则往往通过给它在乘以结果为1的两个式子之差的形式，裂项相消法通常从通项入手进行裂项. 一、裂项法对数列求和的一些实例（教师出示数列的通项，学生试着裂项，展示依据和过程）： （1）)()1(n f n f a n -+=或)()(n f K n f a n -+= （2）1 11)1()1()1(1+-=+-+=+=n n n n n n n n a n （3）)2 11(21)2(2)2()2(1+-=+-+=+=n n n n n n n n a n 在对（1）、（2）、（3）的思考之后，由学生探索出（4）式. (4) )11(1)()()(1k n n k k n kn n k n k n n a n +-=+-+=+=. (5)).1 21121(21)12)(12(2)12()12()12)(12(1+--=+---+=+-=n n n n n n n n a n 在对（4）、（5）的思考之后，由学生探索出（6）、（7）、（8）、（9）式.
数列求和————裂项相消法高考常见的类型总结
数列求和————裂项相消法高考常见 的类型总结 裂项相消法是数列求和中的常见求解策略，说是高考的高频考点，通常出现在数列解答题的第二问，是学生必须掌握的内容，本文章就是对裂项相消法常见的经典题型进行总结，，基本上，数列的通项中含有乘积的分式的形式，就应该想到这种方法。 （一）、减法型：裂项为减法，分母之“差”等于分子 裂项相消法就是将代数式中的项拆分成“两项的差”的形式，使得其在进行求和运算时恰好能够“抵消”多数项而剩余少数几项，从而达到简便求和的目的﹒本文试举例说明﹒ 常用的裂项公式 （1）；（2）； （3）； （4）； （5）；（6） 类型一：等差型（裂项主要是逆用通分，把乘积式转化为两式的差） （1）连续两项型
1．已知等差数列的前项和为 ,则数列的前100项和为 A．B．C．D． 解、设等差数列{a n }的首项为a 1 ，公差为d. ∵a 5＝5，S 5 ＝15，∴⇒⇒a n ＝n. ∴＝＝， S 100 ＝＋＋…＋＝1－＝ . 2．已知数列满足，， .（1）求证：数列是等比数列； （2）已知，求数列的前项和 .解、（1）当时，、当时 ∴数列是首项为2，公比为的等比数列 （2）由（1）知∴ ∴ ∴ .
3．若的前项和为，点均在函数的图像上. （1）求数列的通项公式；（2），求数列的前项和 . 解、（1）由于点在函数的图像上，所以①. 当时，；当时，②， ①-②得 .当时上式也满足，所以数列的通项公式为 . （2）由于，所以， 所以 所以 . （2）相隔项 4．记为数列的前n项和，已知 . （1）求的值及的通项公式；（2）设，求数列的前n项和. 解：（1）当时，， 故，即，又， 故对任意， . （2）由题知，
裂项相消法求和附答案
裂项相消法 利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。 （1）若是{a n }等差数列，则)11.(1111++-=n n n n a a d a a ,)11.(2112 2n ++-=n n n a a d a a （2）1 1111+-=+n n n n ）（ （3） )11(1)(1k n n k k n n +-=+ （4）)1 21121(2112)121+--=+-n n n n ）（（ （5）]) 2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n （6）n n n n -+=++111 （7）)(11 n k n k k n n -+= ++ 1.已知数列的前n 项和为， ． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n 项和为．
[解析] (1) ……………① 时, ……………② ①②得: 即……………………………………3分 在①中令, 有, 即，……………………………………5分 故对 2.已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8． （Ⅰ）求公差d的值； （Ⅱ）若a1=1，设T n是数列{}的前n项和，求使不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值； [解析]（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d， ∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8， 解得d=2．……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由a1=1，d=2，得a n=2n-1，…………………………………………5分 ∴=．…………………………………………6分 ∴ T n=
数列求和裂项相消法
裂项相消法 典型例题 (以下n均为正整数) 求丄十丄+丄+……+—的值. 例］： A2 2x3 3x4 方・3+1) 这是一道较为简单的裂项相消法化简题，1到2, 2到3, 3到4,……，n到n + 1 ,都相差1,直接裂项即可。(化成1/1-1/2+1/2-1/3...) 击 1 1 I I 小m 彳列2："3 3x5 5x7 这是例1的升华题，是将分母稍作变化，题目就不一样了. 1到3, 3 到5, 5到7,……，2nT到2n+ 1 ,都相差2,裂项后总体要乘以1/2,这样才可以。 1 + 1 + 1卜一t 1的值, 例1x4 4x7 7x10 97x100 这是例2的拓展题，此时分母每个因数相差3了，做法一样，裂项后总体要乘以1/3,这样才行。 常■------ -- * —------ s - * ----- ---- 壽隆■ ： 例4：(sH-Ma+2) (ir+2Xm+3) 債+ 59肪+1期 这是将例1 一般化，此时分母每个因数相差1,裂项后直接相消。
不------ * ---------- 1 ---------------- +• + ------------------- 阿恵• 例5：再5+引S+欢用 + 巧(fl+WXw + W) 这是将例3的拓展题，此时分母每个因数相差3,做法一样，裂项后 总体要乘以1/3,这样才行。 例6: * ^-1X5--2)*(W-2XW-3I*M，"''*1 J 1 1 丨、亠,1 1 . 这道题易错题，易写成(;~)+(—)+…'(三TR),这样就造成错 误，原来是正的，现在是负的。正好相反，这一点多注意。 求——4 ——-—— 4 --------- ------ + --4 -------- ] ---- 的氤 例7：伸-町叶畑f何 这道题易错题，这样就造成错误，原来是正的，现在是负的。正好相 反，这一点多注意。
裂项相消法
裂项相消法 数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和 方法称为裂项相消法。适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭ （其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭ ，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++ （2）()11n k n k n k n =+-++，特别地当1k =时111n n n n =+-++ 例1、数列{}n a 的通项公式为1(1)n a n n = +，求它的前n 项和n S 解：1231n n n S a a a a a -=+++ ++ ()()1111112233411 n n n n =+++++⨯⨯⨯-+ =11111111112233411n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎝⎭⎝⎭ 1111 n n n =- =++ 小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同. 针对训练、求数列1111 ,,,,,1223321n n +++++的前n 项和n S . 例题2：(2015安徽,18,12分)已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n = ,求数列{b n }的前n 项和T n .