裂项相消法公式大全

裂项相消法是一种数学方法，用于解决等差数列、等比数列以及无理数列的求和问题。该方法的基本思想是将等差数列、等比数列以及无理数列的每一项分别裂项，然后将裂项相消，从而得到等差数列、等比数列以及无理数列的和。

以下是裂项相消法的一些公式:

1. 等差数列求和公式:

Sn = n * (a1 + an) / 2

其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。

2. 等比数列求和公式:

Sn = (n/2) * (a1 * an) / (an + a1)

其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。

3. 无理数列求和公式:

对于无理数列，可以将每一项裂项，然后相消。例如，对于无理数列π*(n+1)/n，可以将π*(n+1)/n 裂项为π/n 和 (n+1)*π/n，然后将两项相消。

4. 等差数列裂项公式:

a[n+1] - a[n] = (n+1-n)*a1

其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。

5. 等比数列裂项公式:

a[n+1]/a[n] = (a[n]/a[n-1])*(a[n-1]/a[n])

其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。

6. 无理数列裂项公式:

π*(n+1)/n - π/n = (n+1-n)*π

其中，π*(n+1)/n 是数列的第 n+1 项，π/n 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。

以上是裂项相消法的一些公式，可以根据实际需要选择合适的公式进行求解。

裂项相消法公式大全

裂项相消法公式大全裂项相消法是一种数学方法，用于解决等差数列、等比数列以及无理数列的求和问题。该方法的基本思想是将等差数列、等比数列以及无理数列的每一项分别裂项，然后将裂项相消，从而得到等差数列、等比数列以及无理数列的和。以下是裂项相消法的一些公式: 1. 等差数列求和公式: Sn = n * (a1 + an) / 2 其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。 2. 等比数列求和公式: Sn = (n/2) * (a1 * an) / (an + a1) 其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。 3. 无理数列求和公式: 对于无理数列，可以将每一项裂项，然后相消。例如，对于无理数列π*(n+1)/n，可以将π*(n+1)/n 裂项为π/n 和 (n+1)*π/n，然后将两项相消。 4. 等差数列裂项公式: a[n+1] - a[n] = (n+1-n)*a1 其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。

5. 等比数列裂项公式: a[n+1]/a[n] = (a[n]/a[n-1])*(a[n-1]/a[n]) 其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。 6. 无理数列裂项公式: π*(n+1)/n - π/n = (n+1-n)*π 其中，π*(n+1)/n 是数列的第 n+1 项，π/n 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。以上是裂项相消法的一些公式，可以根据实际需要选择合适的公式进行求解。

数列裂项相消法例子

数列裂项相消法数列裂项相消法是一种常用的数学技巧，用于求解一些复杂的数列求和问题。以下是几个例子，说明该方法的应用。例1：已知等差数列{an}，其中a1=1，d=2，求前n项和Sn。解：首先，我们可以将等差数列的通项公式表示为an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。然后，我们可以将前n项和表示为Sn=a1+a2+...+an。接下来，我们使用裂项相消法，将相邻两项相加，得到： Sn=(1+3)+(3+5)+...+[(2n-3)+(2n-1)] =2+4+ (2) =n(n+1) 例2：已知等比数列{an}，其中a1=1，q=2，求前n项和Sn。解：首先，我们可以将等比数列的通项公式表示为an=a1*q^(n-1)=2^(n-1)。然后，我们可以将前n项和表示为Sn=a1+a2+...+an。接下来，我们使用裂项相消法，将相邻两项相减，得到： Sn=(1-2)+(2-4)+...+[2^(n-2)-2^(n-1)]+2^(n-1) =-1-1-...-1+2^(n-1) =-(n-1)+2^(n-1) =(2^n)-1-(n-1) =(2^n)-n 例3：已知数列{an}，其中an=n^2，求前n项和Sn。解：首先，我们可以将数列的通项公式表示为an=n^2。然后，我们可以将前n项和表示为Sn=a1+a2+...+an。

接下来，我们使用裂项相消法，将相邻两项相减，得到： Sn=(1^2-0^2)+(2^2-1^2)+...+[n^2-(n-1)^2] =1+3+5+...+(2n-1) =n^2 通过以上例子可以看出，裂项相消法是一种非常实用的数学技巧，可以用于求解各种复杂的数列求和问题。需要注意的是，在使用该方法时，需要根据具体的数列类型和题目要求来选择合适的裂项方式。

裂项相消法公式求和公式

裂项相消法公式求和公式在数学中，求和公式是一个非常基础的概念，它用于将一系列的数值相加，得到它们的总和。裂项相消法是求和公式的一种常见方法，在这种方法中，我们通过将相邻的项相减，以消去一些项，从而简化求和公式。本文将详细介绍裂项相消法的公式和使用方法。裂项相消法公式裂项相消法公式是一个非常重要的求和公式，它可以用来求解一些较为复杂的求和问题。这个公式的具体形式如下： $$\sum_{i=1}^{n}a_i=\frac{1}{2}\left[\sum_{i=1}^{n}(a_i+a_{n- i+1})-\sum_{i=1}^n(a_i-a_{n-i+1})\right]$$ 这个公式看起来比较复杂，但实际上它非常简单。其中，$\sum_{i=1}^{n}a_i$表示从1到n的所有$a_i$的和，而$\sum_{i=1}^{n}(a_i+a_{n-i+1})$和$\sum_{i=1}^{n}(a_i-a_{n-i+1})$分别表示将$a_i$和$a_{n-i+1}$相加和相减后的总和。根据裂项相消法的原理，这两个总和相减后，可以得到原始的$a_i$的和。使用裂项相消法求和使用裂项相消法求和的具体方法非常简单，只需要按照公式进行计算即可。以下是一个具体的例子：

$$\sum_{i=1}^{5}i^3$$ 我们可以使用裂项相消法来计算这个求和式。首先，我们可以将这个求和式写成两个总和的形式： $$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{5}i^3&=\frac{1}{2}\left[\sum_{i =1}^{5}(i^3+(6-i)^3)-\sum_{i=1}^{5}(i^3-(6- i)^3)\right]\\&=\frac{1}{2}\left[\sum_{i=1}^{5}(i^3+(6-i)^3)-\sum_{i=1}^{5}(2i^3-3i^2\times6+3i\times36- 2\times6^3)\right]\end{aligned}$$ 然后，我们可以使用简单的代数运算来计算这两个总和： $$\begin{aligned}&\sum_{i=1}^{5}(i^3+(6- i)^3)=2\times\sum_{i=1}^{5}(i^3+108- 18i^2)\\=&2\times(\sum_{i=1}^{5}i^3+540- 18\sum_{i=1}^{5}i^2)\\=&2\times(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3 +540- 18\times(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2))\\=&2\times(1+8+27+6 4+125+540- 18\times55)\\=&2\times(775)=1550\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&\sum_{i=1}^{5}(2i^3- 3i^2\times6+3i\times36-

第5讲简便计算——裂项相消法

第5 讲简便计算（四）——列项相消法（拆分法）一：裂项相消法（拆分法）：把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相加的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法，也叫拆分法。：列项相消公式 2） 5） 22 a b b a a b a b 三：数列（1）定义：按一定的次序排列的一列数叫做数列。（2）数列中的每一个数叫做这个数列的项。依次叫做这个数列的第一项（首项）、第二项、、、、、、第n 项（末项）。（3）项数：一个数列中有几个数字，项数就是几。四：等差数列（1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。而这个常数叫做等差数列的公差。（2）等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 （3）等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1 （4）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）三：经典例题例1 、 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 （例 1 、例2、例 3 的运算符号都是加号相连，分母都可以分解为两个连续正整数的积可用公式11 n(n 1) n 1 n1 1） 1 1 1 n(n 1) n n 1 3） 1 n(n k) 1 ) 1 kk 4） 11 n n 1 n 2 n n 1 11 n 1 n 2 2 6）

1 1 1 1 1 1 1 +9 +11 +13 +15 +17 +19 20 30 42 56 72 90 110 1 1 1 1 1 1 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 1 1 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56 例 2 、 3 15 35 63 99 11+3 1 +5 1 +7 1 +9 1 3 15 35 63 99 11 1+3 +5 +7 6 12

数列求和裂项相消法

数列求和裂项相消法数列求和裂项相消法是一种利用数列中相邻项之差的特殊性质，通过对数列元素进行分解和化简，最终得到数列的和的公式的方法。具体步骤如下： 1. 找出数列中相邻项的差，通过将相邻项进行相减，得到一个新的数列。 2. 对新数列进行合并。如果新数列中对应的项之间存在相消的情况，可以将它们合并为一个式子。 3. 将合并后的式子进行分解，找出一些特定的公式或规律。 4. 将分解后的公式和规律代入到原数列的求和公式中，得到数列的和的公式。下面以一个简单的例子来说明这种方法：例子：求数列1+3+5+7+9+...+99的和。分析：这个数列中相邻项的差为2，所以我们可以将它分解为： 1 + (3-2) + (5-2*2) + (7-3*2) + (9-4*2) + ... + (99-49*2) 在对每一项进行合并时，可以发现有些项之间存在相消的情况，比如：

3-2和2*1可以相消； 7-3*2和2*2可以相消； 11-4*2和2*3可以相消； ... ... 因此，我们可以将这些相消的项合并起来，得到下面的式子： 1 + 2(1-2) + 2(2-3) + 2(3-4) + ... + 2(49-50) 接下来，我们可以将每一项进行拆分，得到如下的式子： 1 + 2(-1) + 2(-1) + 2(-1) + ... + 2(-1) 或者简写为： 1 - 2 + 2 - 2 + 2 - ... + 2 - 2 这是一个等差数列，公差为-2，首项为1，共有50项。因此，它的和可以通过等差数列求和公式来计算： S = (a1 + an) * n / 2 其中，a1是首项，an是最后一项，n是项数。将这些值代入到求和公式中，得到：

裂项相消法公式推导

裂项相消法公式推导设有一个一次方程：$ax + b = cx + d$。首先，我们将方程中的$a$与$c$相加或相减，将$b$与$d$相加或相减。这样可以得到一个新的方程： $(a\pm c) x + (b\pm d) = 0$。根据方程中系数的正负情况，我们有四种不同的情况：情况1：$(a+c)x+(b+d)=0$；情况2：$(a+c)x+(b-d)=0$；情况3：$(a-c)x+(b+d)=0$；情况4：$(a-c)x+(b-d)=0$。接下来，我们将分别讨论这四种情况，以便更好地理解裂项相消法。情况1：$(a+c)x+(b+d)=0$ 我们可以通过相除的方式，将$(a+c)$与$(b+d)$相消，从而得到 $x$的值。例如：$2x+3=5x+7$。将$a=2$，$b=3$，$c=5$，$d=7$代入情况1的公式： $(a+c)x+(b+d)=0$ $(2+5)x+(3+7)=0$ $7x+10=0$

将$x$的系数和常数项分别相除： $\frac{7x}{7} + \frac{10}{7} = 0$ $x + \frac{10}{7} = 0$ $x = -\frac{10}{7}$ 所以，原方程的解为$x = -\frac{10}{7}$。情况2：$(a+c)x+(b-d)=0$ 在这种情况下，我们同样可以通过相除的方式，将$(a+c)$与$(b-d)$相消，从而得到$x$的值。例如：$2x+3=5x-7$。将$a=2$，$b=3$，$c=5$，$d=-7$代入情况2的公式： $(a+c)x+(b-d)=0$ $(2+5)x+(3-7)=0$ $7x-4=0$ 将$x$的系数和常数项分别相除： $\frac{7x}{7} - \frac{4}{7} = 0$ $x - \frac{4}{7} = 0$ $x = \frac{4}{7}$ 所以，原方程的解为$x = \frac{4}{7}$。情况3：$(a-c)x+(b+d)=0$

高一数学裂项相消公式

高一数学裂项相消公式在高中数学中，学生学习到了很多有趣的数学公式，其中之一便是裂项相消公式。这个公式常常被用于化简复杂的代数式，尤其是在高阶数学中，如高等数学或线性代数中经常用到。在这篇文章中，我们将了解裂项相消公式的基本知识、应用场景以及如何应用它简化代数式。什么是裂项相消公式？首先，我们需要了解什么是裂项相消公式。裂项相消公式是一种将代数式化简的方法，它可以将式子中的任意一项拆分成较小的项，然后将这些项相加或相减，以达到化简的效果。它的基本形式为： (a+b)(a-b)=a^2-b^2 这个公式的应用非常广泛，不仅可以用于简化代数式，还可以用于求解各种数学问题，例如三角函数、复数等等。裂项相消公式的应用场景裂项相消公式的应用场景很多，下面我们来看一些常见的例子： 1.化简三次方程式：

(x+2)(x+3)(x+4)=x^3+9x^2+26x+24 根据裂项相消公式，我们可以将这个式子拆分成两个相加的式子： [(x+2)(x+4)]+[(x+3)(x+4)]=x^2+6x+8+x^2+7x+12 然后我们再将这两个式子相加，即可得到原来的三次方程式的简化形式。 2.求解三角函数： sin(x+y)+sin(x-y)=2sin(x)cos(y) 我们可以将sin(x+y)表示为sinxcosy+cosxsiny，同时将sin(x-y)表示为sinxcosy-cosxsiny，然后进行合并，就可以得到2sin(x)cos(y)的结果。 3.求解复数： (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 这个公式可以用于将一个实数和虚数相乘的过程中。如何应用裂项相消公式？现在我们已经了解了裂项相消公式的基本形式和应用场景，下面就让

裂项相消的万能公式ab

裂项相消的万能公式ab 裂项相消是一个常用的代数技巧，它可以使复杂的式子化简为简单的形式。裂项相消可用于求解各类算式，公式和方程，具有广泛的应用范围，而裂项相消的精髓就是万能公式ab。万能公式ab又称因式相消法则，它告诉我们，如果两个式子的差可以分解成它们的公共因子与不同因子的乘积，那么这两个式子就可以通过裂项相消来简化。万能公式的表达式为： ab = a - b / a - b = a + b / a + b 其中，a和b可以是任意实数或变量，a≠b。使用万能公式ab的步骤： 1.将原式写成差的形式； 2.判断式子中是否存在公共因子，如果存在，将其提取出来； 3.将差分解成不同因子的乘积； 4.对分解后的式子进行裂项相消，将结果合并。下面我们通过一些例子来看看万能公式ab的应用。例1：化简（某^2-25）/(某-5) 解：将分子分母写成差的形式，即： (某^2-25)/(某-5)=(某+5)(某-5)/(某-5)

我们可以发现分子和分母中都存在(某-5)这个公共因子，将其提取出来得到： =(某+5)某[(某-5)/(某-5)] 此时我们可以使用万能公式ab进行化简： =(某+5)某[(某-5+10)/(某-5+10)]（将-5拆成-10+5） =(某+5)某[(某-5)/(某+10)] 最终结果为：(某+5)某[(某-5)/(某+10)] 例2：求解方程某/(某-3)-2/(某-3)=1/(某-3) 解：将方程化为差的形式，得到：某/(某-3)-2/(某-3)-1/(某-3)=0 我们可以发现分母相同，可以将分子分别裂项相消，最终得到： (某-5)/(某-3)=0 因为方程的分母不能为0，所以只有当某=5时，方程成立。例3：将(某^2+某-2)/(某^2-4某+3)化简为最简式子解：将分子分母化成差的形式，并寻找公共因子，得到： (某^2+某-2)/(某^2-4某+3)=(某^2+3某-2某-2)/[(某-3)(某-1)] =[(某+3)(某-1)-2(某-1)]/[(某-3)(某-1)] =(某+3-2)/(某-3) =(某+1)/(某-3)

知识点裂项相消法

知识点裂项相消法 1.基本原理：裂项相消法的基本思想是将有理函数分解成若干个部分分式的和，其中每个部分分式的分母是一次因式的幂。具体而言，对于一个有理函数 P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)是多项式，且Q(x)可分解为一些一次因式的乘积。假设Q(x)可分解为Q(x)=(x-a)^n(x-b)^m...(x-z)^p，则有理函数P(x)/Q(x)可以分解成以下形式的部分分式相加的形式： P(x)/Q(x)=A1/(x-a)+A2/(x-a)^2+...+An/(x-a)^n+B1/(x-b)+B2/(x-b)^2+...+Bm/(x-b)^m+...+Z1/(x-z)+Z2/(x-z)^2+...+Zp/(x-z)^p. 其中，A1,A2,...,An,B1,B2,...,Bm,...,Z1,Z2,...,Zp是待定常数。 2.应用：裂项相消法主要用于求解有理函数的积分和微分。在求解积分时，通过将有理函数分解成部分分式，可以将原来的复杂积分问题转化为一系列简单的积分。同样地，在求解微分方程时，将有理函数分解成部分分式相加的形式可以简化微分方程的求解过程。 3.求解过程：下面我们通过一个例子来演示裂项相消法的求解过程。假设我们要求解积分∫(x^2+4)/(x+1)(x+2)dx。首先，我们需要将被积函数 (x^2+4)/(x+1)(x+2)分解为若干个部分分式相加的形式。首先，我们将(x^2+4)除以(x+1)(x+2)得到一个商函数和一个余数： (x^2+4)/(x+1)(x+2)=x-1+6/(x+1)(x+2).

然后，我们将6/(x+1)(x+2)继续分解为部分分式的和： 6/(x+1)(x+2)=A/(x+1)+B/(x+2). 通过通分得到：将A(x+2)+B(x+1)展开，得到：由于等式两边的系数必须相等，所以有： A+B=0, 解这个方程组可以得到： A=2, 因此，我们有： 6/(x+1)(x+2)=2/(x+1)-2/(x+2). 综合上述结果，我们可以得到： ∫(x^2+4)/(x+1)(x+2)dx=∫(x-1+2/(x+1)-2/(x+2))dx=∫(x- 1)dx+∫2/(x+1)dx-∫2/(x+2)dx=x^2/2-x+2ln，x+1，-2ln，x+2，+C. 其中，C是常数。 4.注意事项：在应用裂项相消法时，需要注意以下几点： a.被分解的有理函数中，分子的次数至多比分母的次数小一、如果分子次数大于等于分母次数，则需要先进行多项式的除法运算，将其分为整式部分和真分式部分。 b.分母需要能够分解为一些一次因式的乘积。

裂项相消法的八种类型

裂项相消法的八种类型一、首项相消法对于一元二次方程，如果方程的首项（即二次项）能够通过裂项相消的方式相消除，就可以简化方程的求解过程。例如： 1.x²+7x+10=0，首项x²可裂为(x+a)(x+b)，将方程变为 (x+a)(x+b)+7(x+a)+10=0。接下来可以求出a和b的值，并解出方程。二、末项相消法对于一元二次方程，如果方程的末项（即常数项）能够通过裂项相消的方式相消除，就可以简化方程的求解过程。例如： 1. x² + 5x + 6 = 0，末项6可以裂为(ax + c)(bx + d)，将方程变为 (ax + c)(bx + d) = 0。接下来可以求出a、b、c和d的值，并解出方程。三、完全平方差公式法对于一元二次方程，如果方程能够通过完全平方差公式的方式进行裂项相消，可以大大简化方程的求解过程。例如： 1.x²+8x+16=0，这是一个完全平方差公式的例子，方程可以变为 (x+4)²=0。结果可直接解得x=-4

四、平方差公式法对于一些特殊的高次方程，可以通过平方差公式的方式进行裂项相消，从而简化方程的求解过程。例如： 1.x⁴-16=0，可以将方程写为(x²)²-4²=0。通过平方差公式，可以得到两个解：x²-4=0，解为x=±2、因此，方程的解为x=±2 五、差平方公式法对于一些特殊的高次方程，可以通过差平方公式的方式进行裂项相消，从而简化方程的求解过程。例如： 1.x⁴+16=0，可以将方程写为(x²)²+4²=0。通过差平方公式，可以得到这个方程无实数解。六、因式分解法对于一些特殊的高次方程，可以通过因式分解的方式进行裂项相消，从而简化方程的求解过程。例如： 1.x³-1=0，可以用立方差公式进行因式分解，得到方程(x- 1)(x²+x+1)=0。然后利用因子为0的性质解出方程，得到x=1 七、选择适当的代换对于一些较为复杂的高次方程，可以通过选择适当的变量代换来简化方程的求解过程。

小学奥数裂项相消法

小学奥数裂项相消法大家好，今天雨过天晴，正是学习的好时机。我们来讲一下裂项相消法。在我们的读书生涯中，裂项相消法一直陪伴着我们。毫不夸张的说，只要你学数学，总会看到它的身影。首先，我们来介绍两个公式： 1、母积子和公式： \displaystyle \frac{b+a}{a\times b } =\frac{b}{a\times b }+\frac{a}{a\times b }=\frac{1}{a}+\frac{1}{b } \\ •分母是两个数的乘积 •分子是这两个数的和 •则可以裂项为两个分数的和 2、母积子差公式： \displaystyle \frac{b-a}{a\times b } =\frac{b}{a\times b }-\frac{a}{a\times b }=\frac{1}{a}-\frac{1}{b } \\ •分母是两个数的乘积 •分子是这两个数的差 •则可以裂项为两个分数的差我们今天要讲的是分裂项的消除，与这两个公式有关。下面介绍一下我们初中数学经常用到的两个基本公式： \displaystyle \frac{1}{n\times \left ( n+1 \right ) } =\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1} \\\displaystyle

\frac{1}{n\times \left ( n+k \right ) } =\frac{1}{k}\left ( \frac{1}{n} -\frac{1}{n+k} \right ) \\ 那这两个基本公式和我们上面看到的母积子和、母积子差公式有什么关系呢？同学们可以暂停思考一下。这里又用到了我们数学计算中非常重要的一个方法：“巧用1”，不管在以后的高中，大学的学习中，都会经常使用到这个计算方法。左边分子1可以表示成\displaystyle 1=n+1-n，那同学们是不是马上就看到了母积子差公式。根据这个思路，我们再来看\displaystyle \frac{1}{n\times\left ( n+k \right ) } ,分子1怎么表示，才能和分母产生联系？\displaystyle n+k-n=k那是不是只要在前面乘上\displaystyle \frac{1}{k} 就搞定了？是的，我们只需要将分子写成\displaystyle \frac{1}{k} \left ( n+k-n \right ) ,这样我们就可以利用母积子差公式推导出常用基本公式。记住这两个基本公式对于我们初中数学计算来说非常重要。接下来，有了公式当然需要实战一下，看对公式掌握的怎么样？例1、\displaystyle \frac{1}{1\times2 } + \frac{1}{2\times3 } + \frac{1}{3\times4 } + \frac{1}{4\times5 } + \frac{1}{5\times6} + \frac{1}{6\times7}

小升初裂项相消法

小升初裂项相消法裂项相消法（拆分法）是一种数学计算方法，它将一个分数拆分成两个或两个以上的分数相减或相加，然后进行计算。这种方法也被称为拆分法。列项相消公式有以下几种形式： 1）$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 2）$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n}- \frac{1}{n+k}\right)$ 3）$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{(- 1)^{k+1}}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right)$ 4） $\frac{1}{n(n+1)(n+k)}=\frac{1}{k}\left[\frac{1}{n(n+1)}- \frac{1}{(n+k)(n+k+1)}\right]$

5） $\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{n(n+1)}- \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$ 另外，还有以下形式： 6）$\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 数列是按一定次序排列的一列数，每个数叫做这个数列的项。数列的项数就是数列中数字的个数。等差数列是指从第二项开始，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。这个常数叫做等差数列的公差。等差数列的和可以用以下公式计算：和=（首项+末项）×项数÷2. 等差数列的项数可以用以下公式计算：项数=（末项-首项）÷公差+1.

等差数列的末项可以用以下公式计算：末项=首项+公差×（项数-1）。以下是一些例题：例1： $\frac{1}{1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times8}=\ frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\times3\times5\times7\times}\frac{1}{9 }\right)$ 例2： $\frac{1}{2\times6\times12\times20\times30\times42\times56}=\fr ac{1}{2\times3\times4\times5\times6}\left(\frac{1}{1\times2}+\fr ac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+\frac{1 }{5\times6}+\frac{1}{6\times7}+\frac{1}{7\times8}\right)$ 例3：$1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100$ 例4： $\frac{1}{3\times5\times7\times9\times11\times13}=\frac{1}{2\ti