裂项相消法公式大全
数列求和裂项相消法公式
数列求和裂项相消法公式
数列裂项相消公式：1/[n(n+1)]=(1/n)-[1/(n+1)]。
裂项是指这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。
是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。
通项分解（裂项）倍数的关系。
通常用于代数，分数，有时候也用于整数。
公式，在数学、物理学、化学、生物学等自然科学中用数学符号表示几个量之间关系的式子。
具有普遍性，适合于同类关系的所有问题。
在数理逻辑中，公式是表达命题的形式语法对象，除了这个命题可能依赖于这个公式的自由变量的值之外。
第5讲--简便计算(四)——裂项相消法(精品文档)
第5讲 简便计算（四）—— 列项相消法（拆分法）一：裂项相消法（拆分法）：把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相加的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法，也叫拆分法。
二：列项相消公式（1）111(n 1)1n n n =-++ （2）()11k n n k n n k =-++ （3）1111()(n )n k n n k k=-⨯++ （4）()()()()()1111121122n n n n n n n ⎛⎫=-⨯ ⎪ ⎪+++++⎝⎭ （5）11a b a b a b+=+⨯ （6）22a b b a a b a b+=+⨯ 三：数列（1）定义：按一定的次序排列的一列数叫做数列。
(2)数列中的每一个数叫做这个数列的项。
依次叫做这个数列的第一项（首项）、第二 项、、、、、、第n 项（末项）。
（3）项数：一个数列中有几个数字，项数就是几。
四：等差数列（1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
而这个常数叫做等差数列的公差。
（2）等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2（3）等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1（4）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）三：经典例题例1、111111112233445566778++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （例1、例2、例3的运算符号都是加号相连，分母都可以分解为两个连续正整数的积可用公式111(n 1)1n n n =-++）例2、1111111 261220304256 ++++++例3、111111111 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 612203042567290110例4、111111 133557799111113 +++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯例5、11111315356399++++例6、111111+3+5+7+9315356399144771*********⨯⨯⨯⨯⨯例8、22222 +++++ 1335572001200320032005⨯⨯⨯⨯⨯例9、3579111315-+-+-+261220304256例10、354963779110561220304256-+-+-（例9和例10的运算符号是一减一加，分母能分解成两个连续数相乘，分子恰好是这两个数相加的和。
六种裂项基本公式
六种裂项基本公式(1) 二次方程的裂项公式：设ax²+bx+c=0，则有x= [-b±√(b²-4ac)]/2a(2) 三次方程的裂项公式：设ax³+bx²+cx+d=0，则有x=-[(b+√(b^2-4ac))/2a] [+(b-√(b^2-4ac))/2a](3) 四次方程的裂项公式：设ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0，则有x=[-(b+√(b²-4ac))/2a]+[(b+√(b²-4ac))/2a], [-(b-√(b²-4ac))/2a]+(b-√(b²-4ac))/2a](4) 五次方程的裂项公式：设ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f=0，则有x=[-(b+√(b²-4ac))/2a]+[(b+√(b²-4ac))/2a], [-(b-√(b²-4ac))/2a]+(b-√(b²-4ac))/2a], [-(b+ 2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)]+[(b+2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)], [-(b-2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)]+(b-2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)](5) 六次方程的裂项公式：设ax⁶+bx⁵+cx⁴+dx³+ex²+fx+g=0，则有x=[-(b+√(b²-4ac))/2a]+[(b+√(b²-4ac))/2a], [-(b-√(b²-4ac))/2a]+(b-√(b²-4ac))/2a], [-(b+2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)]+[(b+2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)], [-(b-2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)]+(b-2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)], [-(b+ 3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)]+[(b+3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)], [-(b-3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)]+(b-3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)]裂项是在多项式函数中，根据特定的基本公式将方程拆解之后得到的解。
裂项相消法公式它的原理是什么
裂项相消法公式它的原理是什么数列裂项相消公式是1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)，裂项相消法是把每项都拆成两项，然后这两项跟前后的有关系，可以消掉。
变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。
裂项相消就是根据数列通项公式的特点，把通项公式写成前后能够消去的形式，裂项后消去中间的部分，达到求和目的一种数列求和方法。
裂项相消法公式数列裂项相消公式是1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)，裂项相消法是把每项都拆成两项，然后这两项跟前后的有关系，可以消掉。
变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。
裂项法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。
是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。
通项分解（裂项）倍数的关系。
通常用于代数，分数，有时候也用于整数。
裂项相消法的原理裂项相消就是根据数列通项公式的特点，把通项公式写成前后能够消去的形式，裂项后消去中间的部分，达到求和目的一种数列求和方法。
先根据通项公式找裂项公式，然后逐项写开，消去。
举个最简单的例子，某一数列的通项公式an=1/[n(n+1)]，求其前n项和Sn。
其实观察可知an=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)，实则上一项的减数等于下一项的被减数，所以两者相加就抵消掉了。
因此Sn就是首项的被减数减去第n项的减数，即Sn=1/2-1/(n+1)。
这就是所谓的裂项相消法，此外还有很多例子，比如分母是连续奇数或连续偶数相乘，或者是阶乘，分子是个常数（往往是1）的，都可以采用裂项相消法求解Sn。
裂项相消法能达到化繁为简的效果。
求Sn前先观察通项公式，如果符合这样特点的就可以用裂项相消法了。
裂项相消法的公式
裂项相消法的公式裂项相消法是一种求解代数式的方法，可以通过对某些项进行分解，从而实现消去相同的项，从而简化计算。
该方法适用于多项式和分式，下面详细介绍一下这种方法的公式和应用。
公式：对于多项式和分式中的一些项，如果它们的差是一个常数，那么我们可以借助裂项相消法将它们消去。
具体而言，我们可以将这些项的和或差表示为如下形式：a / (x - p) +b / (x - q)其中，a和b是常数，p和q是两个不同的实数。
注意，这里的x是变量，不等于p或q。
这个式子可以用通分的方式表示为：(a(x - q) + b(x - p)) / ((x - p)(x - q))可以看出，这个式子的分母是(x - p)(x - q)，而分子是a(x - q) + b(x - p)，其中的(x - p)和(x - q)是“相消”的项，因此可以约掉，留下(a(x - q) + b(x - p))这一常数。
应用：裂项相消法可以用于简化多项式和分式中的表达式，让计算变得更加简便。
例如，我们可以用这个方法来计算以下式子的值：1 / (x - 2) +2 / (x + 1)首先，我们可以将这个式子表示为通分的形式：(1(x + 1) + 2(x - 2)) / ((x - 2)(x + 1))展开后，可以得到：(3x - 3) / (x^2 - x - 2)可以看出，这个结果已经比原式简化了很多。
在具体计算时，我们只需要将原式表示为上述形式，然后将分母进行分解，最终得到一个简单的代数式。
总之，裂项相消法是一种非常实用的方法，适用于求解各种代数式。
通过它，我们可以将原本复杂的计算问题转化为简单的分解和化简过程，让数学计算变得更加轻松。
裂项相消
裂项法求和
例：求数列 1, 1 , 1 , 1 ,,
1
,(n N*)
12 123 1234 123n
的前n项和
提示： an
1
2
1
n
2 n(n 1)
2( 1 n
1) n 1
Sn
2[1
1 2
1 2
1 3
提示：
(3n
1 2)(3n
1)
1 3
(1 3n
2
1 3n
) 1
∴ 1 1
1
1 4 4 7
(3n 2)(3n 1)
1 [(1 1) (1 1) ( 1 1 )]
3 4 47
3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
裂项相消法求和
所谓”裂项相消法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相 邻的项两彼此相消,就可以化简后求和.
一些常用的裂项公式:
(1)
1
nn 1
1 n
n
1
1
(2)
(2n
1
1)2n
1
1 2
(
1 2n 1
1) 2n 1
(3)
1 n(n
2)
1 2
(
1 n
n
1
2
)
(4)
1 n 1
n
n 1
n
注意：根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和
小试身手
应该怎样拆项？
第5讲 简便计算(四)——裂项相消法
第5讲 简便计算（四）—— 列项相消法（拆分法）一：裂项相消法（拆分法）：把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相加的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法，也叫拆分法。
二：列项相消公式（1）111(n 1)1n n n =-++ （2）()11k n n k n n k =-++ （3）1111()(n )n k n n k k=-⨯++ （4）()()()()()1111121122n n n n n n n ⎛⎫=-⨯ ⎪ ⎪+++++⎝⎭ （5）11a b a b a b+=+⨯ （6）22a b b a a b a b+=+⨯ 三：数列（1）定义：按一定的次序排列的一列数叫做数列。
(2)数列中的每一个数叫做这个数列的项。
依次叫做这个数列的第一项（首项）、第二 项、、、、、、第n 项（末项）。
（3）项数：一个数列中有几个数字，项数就是几。
四：等差数列（1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
而这个常数叫做等差数列的公差。
（2）等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2（3）等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1（4）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）三：经典例题例1、111111112233445566778++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （例1、例2、例3的运算符号都是加号相连，分母都可以分解为两个连续正整数的积可用公式111(n 1)1n n n =-++）例2、1111111 261220304256 ++++++例3、111111111 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 612203042567290110例4、111111 133557799111113 +++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯例5、11111315356399++++例6、111111+3+5+7+9315356399144771*********⨯⨯⨯⨯⨯例8、22222 +++++ 1335572001200320032005⨯⨯⨯⨯⨯L例9、3579111315-+-+-+261220304256例10、354963779110561220304256-+-+-（例9和例10的运算符号是一减一加，分母能分解成两个连续数相乘，分子恰好是这两个数相加的和。
裂项相消法 (教师版)
常见裂项相消法公式一、等差型1.1a n a n +1=1d 1a n -1a n +1 1a n a n +2=12d 1a n -1a n +2 1a n a n +k=1kd 1a n -1a n +k 1n n +1=1n-1n +11+1n 2+1(n +1)2=[n (n +1)+1]2n 2(n +1)2=n (n +1)+1n (n +1)=1+1n -1n +11n n +k=1k 1n-1n +k 1n -1 n +1=121n -1-1n +1 12n -1 2n +1=1212n -1-12n +1 n22n +1 2n -1=2n242n +1 2n -1 =2n 2-1+142n +1 2n -1 =141+12n -1 2n +133n +1 3n +4=13n +1-13n +413n -2 3n +1=1313n -2-13n +1n n +1 =n (n +1)(n +2)-(n -1)n (n +1)3162n +1 2n +3 =2n +1 2n +3 2n +5 -2n -1 2n +1 2n +3 -1 n +12n +1 2n +3 =-1 n -2n 2-2n +12 --1 n +1-2n +1 2-2n +1 +12 二、根式型2.1n +k +n =1k n +k -n1n +1+n=n +1-nn +1+n n +1-n=n +1-n三、指数型3.a -1 ana n +b a n +1+b=1a n+b-1a n +1+b 4n4n -1 4n +1-1=1314n -1-14n +1-12×3n +13n -1 3n +1-1=313n -1-13n +1-1 2∙3n +13n +n 3n +1+n +1=13n +n -13n +1+n +12n +12n -1 2n +1-1=12n -1-12n +1-1四、对数型4.ba n +1a nlog =b a n +1log -b a n log 五、三角函数型5.1αcos βcos =1α-βsin αtan -βtan6.αtan βtan =1α-βtan αtan -βtan -1六、阶乘和组合数公式型7.n ×n !=n +1 !-n !8.n (n +1)!=1n !-1(n +1)!【解析】n (n +1)!=n +1-1(n +1)!=1n !-1(n +1)!试题(2022年全国高中数学联赛浙江赛区预赛)：已知数列a 1=1，a n =nn 2-1n ≥2 ，则nk =1a 1a 2⋯a k =21-1n +1 !.当n ≥2时，a n =n n 2-1=nn -1 n +1 ∴a 1a 2⋯a k =1×21×3×32×4×⋯×kk -1 k +1 =k !k -1 !k +1 !2=2k k +1 !=2k +1-1k +1 !=21k !-1k +1 !当n =1时，原式=21-12! =1当n ≥2时，原式=21-1n +1 !，综上所述，原式=21-1n +1 !9.n +2n !+n +1 !+n +2 !=1n +1 !-1n +2 !【解析】n +2n !+n +1 !+n +2 !=n +2n !1+n +1 +n +1 n +2 =n +2n !n 2+4n +4 =n +2n !n +22=1n !n +2 =n +1n +2 !=n +2 -1n +2 !=1n +1 !-1n +2 !10.C m -1n =C m n +1-C mn七、差比型a n 是等差数列，b n 是等比数列，设c n =a n ∙b n =kn +b ∙b 1q n -1=kb 1n +bb 1 q n -1因为kb 1n +bb 1是关于n 的一次式，于是，设c n =An +B q n -A n -1 +B q n -1=A q -1 n +q -1 B +A q n -1①由恒等式比较得A q -1 =kb 1q -1 B +A =bb 1，解得A =kb 1q -1，B =bq -b -kq -12②把A ，B 的值代入①各项相消即得“差比型数列”的前n 项和公式S n =c 1+c 2+c 3+⋯+c n =An +B q n -B ③其中A ，B 由②式确定.11.2018年浙江卷 b n +1-b n =4n -1 ⋅12n -1，即b n +1+16n +1 +122n +1=b n +16n +122n =b 1+16+122=15或者b n +1+8n +142n=b n +8n -1 +142n -1=b 1+141=1512.2020年浙江卷 b n 是等差数列：c n =b 1b 2b n b n +1=1+d d 1b n -1b n +1 =1+1d 1b n -1b n +1 13.2021年浙江卷 b n =(n -4)34n =3n -334 n -1-3n 34 n【解析】设b n =(n -4)34 n =a n -a n +1=A n -1 +B 34 n -1-An +B 34n=A n -1 +B 34 n -1×34×43-An +B 34n=43An -43A +43B -An -B 34 n =13An +13B -43A 34 n∴13A =113B -43A =-4A =3B =0∴b n =(n -4)34n =3n -3 34n -1-3n 34nS n =b 1+b 2+⋯+b n =a 1-a 2+a 2-a 3+⋯+a n -a n +1=a 1-a n +1=B -An +B 34 n =-3n 34n14.2n -1 -13n=12n +18-13n-12n -1 +18 -13n -1八、混合型15.1n n +1 n +2 =121n n +1 -1n +1 n +21n n 2-1=121n -1 n-1n n +116.2n +1n 2n +1 2=1n 2-1n +1 217.n ∙2nn +1 n +2 =2n +1n +2-2nn +118.3n -2 2n -1n n +2 =122n +2n +2-2n n19.n +2n n +1 2n -2=2n +1 -n n n +1 2n -2=1n ∙2n -3-1n +1 2n -220.n +2n n +1 2n=2n +1 -n n n +1 2n =1n ∙2n -1-1n +1 2n21.n +2n n +1 2n +1=2n +1 -n n n +1 2n +1=1n ∙2n -1n +1 2n +122.n 2+2n +2n n +1 2n +1=n +1 2+1n n +1 2n +1=12n +1+1n ∙2n -1n +1 ∙2n +1 23.n +42n +1∙n ∙n +1 ∙n +2 =1n +1∙n +42n +1∙n ∙n +2=12n∙n ∙n +1-12n +1∙n +1 ∙n +2 24.4n -n 22n=12n n 2-2n -1 2+2=n 22n -n -1 22n -1 +12n -125.-1 n ×4n2n -1 2n +1=-1 n×12n -1+12n +1 =-1 n 2n -1--1 n +12n +126.-1 n +1×4n +42n +1 2n +3=-1n +112n +1+12n +3=-1n +12n +1--1n +22n +327.-1 n +13n 8n -2 2n -1 2n +1=-1 n +13n 2n -1+3n +12n +1 =-1 n +13n +12n +1--1 n 3n 2n -128.3n +2n n +1 -2n +1=-1 n +11n ∙2n +1n +1 2n +1=1n +1 -2n +1-1n ∙-2 n29.3n +2-1 n -1n n +1 2n +1=-1 n -11n ∙2n +1n +1 2n +1=3n +2 -2n-1n -1n ∙2n -1 n n +1 2n +1=1-1 n -1n ∙2n -1-1 n n +1 2n +1。
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裂项相消法公式大全
裂项相消法是一种数学方法，用于解决等差数列、等比数列以及无理数列的求和问题。
该方法的基本思想是将等差数列、等比数列以及无理数列的每一项分别裂项，然后将裂项相消，从而得到等差数列、等比数列以及无理数列的和。
以下是裂项相消法的一些公式:
1. 等差数列求和公式:
Sn = n * (a1 + an) / 2
其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。
2. 等比数列求和公式:
Sn = (n/2) * (a1 * an) / (an + a1)
其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。
3. 无理数列求和公式:
对于无理数列，可以将每一项裂项，然后相消。
例如，对于无理数列π*(n+1)/n，可以将π*(n+1)/n 裂项为π/n 和 (n+1)*π/n，然后将两项相消。
4. 等差数列裂项公式:
a[n+1] - a[n] = (n+1-n)*a1
其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。
5. 等比数列裂项公式:
a[n+1]/a[n] = (a[n]/a[n-1])*(a[n-1]/a[n])
其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。
6. 无理数列裂项公式:
π*(n+1)/n - π/n = (n+1-n)*π
其中，π*(n+1)/n 是数列的第 n+1 项，π/n 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。
以上是裂项相消法的一些公式，可以根据实际需要选择合适的公式进行求解。